空间向量的数量积(人教A版)(含答案)

3.1.3 空间向量的数量积运算[目标] 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．[重点] 空间向量的数量积运算．[难点] 利用空间向量解决夹角、距离等问题．知识点一 空间向量的夹角[填一填]1．定义：(1)条件：a ，b 是空间的两个非零向量．(2)作法：在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b . (3)结论：∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作a ，b ．2．范围：a ，b∈[0，π]，其中，(1)当a ，b ＝0时，a 与b 的方向相同． (2)当a ，b ＝π时，a 与b 的方向相反． (3)当a ，b＝π2时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . [答一答]1．若a ，b 是空间的两个非零向量，则－a ，b ＝a ，－b ＝a ，b ，对吗？提示：不对．∵－a 与a ，－b 与b 分别是互为相反向量，∴－a ，b＝a ，－b ＝π－a ，b ．知识点二 空间向量的数量积[填一填]1．空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos a ，b 叫做a ，b 的数量积，记作a ·b .即a ·b＝|a ||b |cosa ，b ．(2)运算律：①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ；③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 2．空间向量数量积的性质[答一答]2．类比平面向量，你能说出a ·b 的几何意义吗？提示：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |·cos θ的乘积． 3．对于向量a ，b ，c ，由a ·b ＝a ·c ，能得到b ＝c 吗？提示：不能，若a ，b ，c 是非零向量，则a ·b ＝a ·c 得到a ·(b －c )＝0，即可能有a ⊥(b －c )成立．4．对于向量a ，b ，若a ·b ＝k ，能不能写成a ＝k b？ 提示：不能，向量没有除法，k b无意义． 5．为什么(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立？ 提示：由定义得(a ·b )c ＝(|a ||b |cosa ，b )c ，即(a ·b )c ＝λ1c ；a (b ·c )＝a (|b ||c |cos b ，c )，即a (b ·c )＝λ2a ，因此，(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立．1.求两向量的数量积时，关键是搞清楚两个向量间的夹角，在求两个向量间的夹角时，可用平移向量的方法，把一个向量平移到另一个向量的起点．2.利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可．3.利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系，其思路是将直线的方向向量用已知向量表示，然后进行数量积的运算．类型一 空间向量的数量积运算【例1】 如下图所示，已知正三棱锥A ­BCD 的侧棱长和底面边长都是a ，点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、DC 的中点．求下列向量的数量积．(1)AB →·AC →；(2)AD →·BD →； (3)GF →·AC →；(4)EF →·BC →.【解】 (1)由题知|AB →|＝|AC →|＝a ，且〈AB →，AC →〉＝60°， ∴AB →·AC →＝a ·a ·cos60°＝12a 2.(2)|AD →|＝a ，|BD →|＝a ，且〈AD →，BD →〉＝60°. ∴AD →·BD →＝a ·a ·cos60°＝12a 2.(3)|GF →|＝12a ，|AC →|＝a ，又GF →∥AC →，∴〈GF →，AC →〉＝180°.∴GF →·AC →＝12a ·a ·cos180°＝－12a 2.(4)|EF →|＝12a ，|BC →|＝a ，又EF →∥BD →，∴〈EF →，BC →〉＝〈BD →，BC →〉＝60°. ∴EF →·BC →＝12a ·a ·cos60°＝14a 2.在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角.已知正四面体OABC 的棱长为1.求：(1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)． 解：如图所示，(1)OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝1×1×cos60°＝12；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.类型二 利用数量积求夹角【例2】 如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．【分析】 求异面直线BA 1与AC 所成的角，可转化为求向量BA 1→与AC →所成的角，因此可先求BA 1→·AC →，再求|BA 1→|，|AC →|，最后套用夹角公式求得，但要注意两直线夹角与两向量夹角的区别．【解】 因为BA 1→＝BA →＋AA 1→＝BA →＋BB 1→，AC →＝BC →－BA →，且BA →·BC →＝BB 1→·BA →＝BB 1→·BC →＝0， 所以BA 1→·AC →＝(BA →＋BB 1→)·(BC →－BA →)＝BA →·BC →－BA→2＋BB 1→·BC →－BB 1→·BA →＝－1. 又|AC →|＝2，|BA 1→|＝1＋2＝ 3.所以cos 〈BA 1→，AC →〉＝BA 1→·AC→|BA 1→||AC →|＝－16＝－66.则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66.如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1B 与AC 所成的角．解：不妨设正方体的棱长为1， 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，A 1B →＝a －c ，AC →＝a ＋b .∴A 1B →·AC →＝(a －c )·(a ＋b ) ＝|a |2＋a ·b －a ·c －b ·c ＝1.而|A 1B →|＝|AC →|＝2，∴cos 〈A 1B →，AC →〉＝12×2＝12，∴〈A 1B →，AC →〉＝60°.∴异面直线A 1B 与AC 所成的角为60°. 类型三 利用数量积求距离【例3】 在正四面体ABCD 中，棱长为a .M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且|MB |＝2|AM |，|CN |＝12|ND |，求|MN |.【分析】 转化为求向量MN →的模，然后将向量MN →分解，再根据数量积运算性质进行求解． 【解】 因为MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23AB →＋(AC →－AB →)＋13(AD →－AC →)＝－13AB →＋13AD →＋23AC →，所以MN →·MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →＝19AB →2－29AD →·AB →－49AB →·AC →＋49AC →·AD →＋19AD →2＋49AC →2＝19a 2－19a 2－29a 2＋29a 2＋19a 2＋49a 2＝59a 2. 所以|MN |＝53a .求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a |2＝a ·a ，通过向量运算去求|a |，即得所求距离.如下图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使直线AB 与CD 成60°角，求B ，D 间的距离．解：∵∠ACD ＝90°， ∴AC →·CD →＝0，同理BA →·AC →＝0.∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA →，CD →〉＝60°或120°. ∵BD →＝BA →＋AC →＋CD →， ∴BD →2＝BA →2＋AC →2＋CD→2＋2BA →·AC →＋2BA →·CD →＋2AC →·CD →＝BA→2＋AC→2＋CD→2＋2BA →·CD →＝3＋2·1·1·cos〈BA →，CD →〉＝⎩⎪⎨⎪⎧4 〈BA →，CD →〉＝60°， 2〈BA →，CD →〉＝120°.∴|BD →|＝2或2，即B ，D 间的距离为2或 2. 类型四 利用数量积证明垂直问题【例4】 如下图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心．求证：B 1O ⊥平面PAC .【分析】 本题考查利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0求证线面垂直，关键是在平面PAC 中找出两相交向量与向量B 1O →垂直．【证明】 不妨设正方体的棱长为1，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b＝b ·c ＝a ·c ＝0.由题图得：PA →＝PD →＋DA →＝－12AA 1→－AD →＝－b －12c ，PC →＝PD →＋DC →＝－12AA 1→＋AB →＝a －12c ，B 1O →＝B 1B →＋BO →＝－c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b －c .∵PA →·B 1O →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b －12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b －c＝12a ·b －12b 2＋b ·c ＋14a ·c －14b ·c ＋12c 2， PC →·B 1O →＝⎝⎛⎭⎪⎫a －12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b －c＝－12a 2＋12a ·b －a ·c ＋14a ·c －14b ·c ＋12c 2，又∵|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝a ·c ＝b ·c ＝0，∴PA →·B 1O →＝0，PC →·B 1O →＝0.∴PA →⊥B 1O →，PC →⊥B 1O →. ∴PA ⊥B 1O ，PC ⊥B 1O .又∵PA ∩PC ＝P ，∴B 1O ⊥平面PAC .用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可.已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，求证：AD ⊥BC . 证明：如图．方法一：∵AB ⊥CD ，AC ⊥BD ， ∴AB →·CD →＝0，AC →·BD →＝0.AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·(AC →－AB →)＝AB →·AC →＋BD →·AC →－AB→2－AB →·BD →＝AB →·AC →－AB→2－AB →·BD →＝AB →·(AC →－AB →－BD →)＝AB →·DC →＝0. ∴AD →⊥BC →，从而AD ⊥BC .方法二：设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ， ∵AB ⊥CD ，∴AB →·CD →＝0，即AB →·(AD →－AC →)＝0，a ·(c －b )＝0，即a ·c ＝b ·a . ∵AC ⊥BD ，∴AC →·BD →＝0，即AC →·(AD →－AB →)＝0，b ·(c －a )＝0， 即b ·c ＝b ·a .∴a ·c ＝b ·c ，c ·(b －a )＝0， 即AD →·(AC →－AB →)＝0，AD →·BC →＝0. ∴AD →⊥BC →，从而AD ⊥BC.1．如图所示，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，对角线AC 1和BD 1相交于点O ，则有( C)A.AB →·A 1C 1→＝2a 2B.AB →·AC 1→＝2a 2C.AB →·AO →＝12a 2D.BC →·DA 1→＝a 2解析：∵AB →·AO →＝AB →·12AC 1→＝12AB →·(AB →＋AD →＋AA 1→)＝12(AB →2＋AB →·AD →＋AB →·AA 1→)＝12AB →2＝12|AB →|2＝12a 2. 2．已知a ，b ，c 是两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋3c |＝( B ) A ．14 B.14 C ．4 D ．2解析：|a －2b ＋3c |2＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2－4a ·b ＋6a ·c －12b ·c ＝14，∴|a －2b ＋3c |＝14.3．已知i 、j 、k 是两两垂直的单位向量，a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a·b 等于－2.解析：a·b ＝(2i －j ＋k )·(i ＋j －3k )＝2i 2－j 2－3k 2＝－2. 4．已知向量a 、b 、c 两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则 |a －b ＋2c |等于 5.解析：(a －b ＋2c )2＝a 2＋b 2＋4c 2－2a·b ＋4a·c －4b ·c ＝1＋1＋4－2cos60°＝5，∴|a －b ＋2c |＝ 5.5．如图所示，已知△ADB 和△ADC 都是以D 为直角顶点的直角三角形，且AD ＝BD ＝CD ，∠BAC ＝60°.求证：BD ⊥平面ADC .证明：不妨设AD ＝BD ＝CD ＝1，则AB ＝AC ＝ 2. BD →·AC →＝(AD →－AB →)·AC →＝AD →·AC →－AB →·AC →，由于AD →·AC →＝AD →·(AD →＋DC →)＝AD →·AD →＝1，AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos60°＝2×2×12＝1.∴BD →·AC →＝0，即BD ⊥AC ，又已知BD ⊥AD ， ∴BD ⊥平面ADC .。

2023暑假新高二第02讲空间向量的数量积运算（4种类型）【知识梳理】一、空间向量的数量积1．两个向量的数量积．已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos 〈a，b〉叫做向量a 与b 的数量积，记作a·b，即a·b=|a|·|b|cos 〈a，b〉．要点诠释：（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．2.空间向量数量积的性质设,a b 是非零向量，e 是单位向量，则①||cos ,a e e a a a e ⋅=⋅=<>；②0a b a b ⊥⇔⋅= ；③2||a a a =⋅ 或||a = ④cos ,||||a b a b a b ⋅<>=⋅ ；⑤||||||a b a b ⋅≤⋅ 3．空间向量的数量积满足如下运算律：（1）（λa）·b=λ（a·b）；（2）a·b=b·a（交换律）；1.定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作OA a =，OB b =，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a，b〉，如下图。

根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，那么空间两个向量a、b 的夹角的余弦cos ,||||a b a b a b ⋅〈〉=⋅。

要点诠释：1.规定：π>≤≤<b a ,02.特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果090,>=<b a ，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。

第十七讲 空间向量的数量积运算【知识梳理】1、数量积及相关概念①两向量的夹角：已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .②非零向量a ，b 的数量积a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉.2、空间向量数量积的运算律：①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )；②交换律：a·b ＝b·a ；③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c .【考点剖析】考点一 数量积的线性运算【例1】 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →；(2)EG →·BD→； 【解析】 设AB→＝a ，AC →＝b ，AD →＝c . 则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，(1)EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，DC →＝b －c ， EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a·c ＝14， (2)EG →·BD →＝(EA →＋AD →＋DG →)·(AD→－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋AD →＋AG →－AD →·(AD →－AB →) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋12AC →＋12AD →·(AD →－AB →) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b ＋12c ·(c －a ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1×1×12＋1×1×12＋1＋1－1×1×12－1×1×12 ＝12.规律方法 1.利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.2.空间向量的数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题.(1)a ≠0，b ≠0，a ⊥b ⇔a ·b ＝0；(2)|a |＝a 2；(3)cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |.考点二 数量积的相关应用【例题2-1】在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，若点E 是线段AB 的中点，点M 是底面ABCD 内的动点，且满足11A M C E ⊥，则线段AM 的长的最小值为（ ）A B C ．1 D 【答案】B【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设()10,0,1A ，()11,1,1C ，1,0,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),,0M x y ，所以()111,,1,,1,12A M x y C E ⎛⎫=-=--- ⎪⎝⎭，由11A M C E ⊥可得1102x y --+=，即220x y +-=，所以线段AM 的长的最小值为22225512=+． 故选：B ． 【例题2-2】三棱锥P ABC -中，PAB △和ABC 都是等边三角形，2AB =，1PC =，D 为棱AB 上一点，则PD PC ⋅的值为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．与D 点位置关系【答案】A【详解】如图所示，取AB 的中点E ，连接,PE CE ，PAB △和ABC 都是等边三角形，,PE AB CE AB ∴⊥⊥，PE CE E ⋂=，AB ∴⊥面PEC ，PC ⊂面PEC ，∴AB PC ⊥，在APC △中，2AP AC ==，1PC =， 由余弦定理2224141cos 244AP PC AC APC AP PC +-+-∠===⨯， ∴()112142PD PC PA AD PC PA PC AD PC PA PC ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=⨯⨯=. 故选：A【跟踪训练1】正四面体ABCD 的棱长为1，点P 是该正四面体内切球球面上的动点，当PA PD ⋅取得最小值时，点P 到AD 的距离为（ ）A B C D 【答案】A【详解】因为四面体ABCD 是棱长为1的正四面体，所以其体积为1111322312⨯⨯⨯⨯=. 设正四面体ABCD 内切球的半径为r ，则114113212r ⨯⨯⨯⨯=r =如图，取AD 的中点为E ，则()()PA PD PE EA PE ED ⋅=+⋅+221()4PE PE EA ED EA ED PE =+⋅++⋅=-. 显然，当PE 的长度最小时，PA PD ⋅取得最小值.设正四面体内切球的球心为O ，可求得4OA OD ==.因为球心O 到点E 的距离d ===，所以球O 上的点P 到点E 的最小距离为4d r -==，即当PA PD⋅取得最小值时，点P到AD的距离为32612-.故选：A.【跟踪训练2】已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，2，则PM PN⋅的取值范围为（）A．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．3,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【详解】根据题意，以D为坐标原点，DA为x轴正方向，DC为y轴正方向，1DD为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图示.设长方体外接球球心为O，则DB1为外接球的一条直径，设O为DB1中点，不妨设M与D重合，N与B1重合.则外接球的直径长为2221122++=，所以半径r =1；所以()()PM PN PO OM PO ON =++()()PO OM PO OM =+-22||||PO OM =-2||1PO =- 由P 在长方体表面上运动，所以1||,12PO ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即21||,14PO ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 所以23||1,04PO ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，即PM PN ⋅3,04⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【跟踪训练3】如图所示正三棱锥P ABC -中，M 是PC 上一点，2PM MC =，且PB AM ⊥，2AB =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．2πB ．22πC ．4πD ．6π【答案】D【详解】 解：以底面中心O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，过O 平行于AC 的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则323(1,0),(3,0,0),(3A B C -，设(0,0,)P h ， 1112122(3,,)33333933h OM OC CM OC CP OC CO OP OC OP =+=+=++=+=，235(3,0,),(,,)3933h PB h AM =-=， 所以2293h PB AM ⋅=-， 因为PB AM ⊥，所以22093h -=，得63h =， 设外接球的半径为r ，则22262()(3)33r r =-+，解得62r =， 所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积为2264462r πππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选：D【过关检测】1．已知E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 各边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若对角线BD ＝2，AC ＝4，则EG 2＋HF 2的值是（ ）A ．5B ．10C ．12D ．不能确定【答案】B【详解】 如图所示，由三角形中位线的性质可得1//,2EF AC EF AC =,1//,2HG AC HG AC =. 所以四边形EFGH 是平行四边形，因为,EG EF EH HF EF EH =+=-，所以 222222()()2()2(14)10EG HF EF EH EF EH EF EH +=++-=+=+=.故选：B.2．如图，PA ⊥面ABCD ，ABCD 为矩形，连接AC ､BD ､PB ､PC ､PD ，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）A ．PC 与BDB ．PB 与DAC ．PD 与ABD ．PA 与CD【答案】A【详解】由PA ⊥面ABCD ，ABCD 为矩形， A ：AD ⊂面ABCD ，则PA AD ⊥，而AC 与AD 不一定垂直，不一定有BD ⊥面PAC ，故BD 不一定与PC 垂直，所以PC 与BD 数量积不一定为0，符合题意；B ：由A 知PA AD ⊥，又DA AB ⊥且AB PA A ⋂=，则DA ⊥面PAB ，又PB ⊂面PAB ，所以PB DA ⊥，即PB 与DA 数量积为0，不合题意；C ：由上易知PA AB ⊥，又DA AB ⊥ 且DA PA A =，则AB ⊥面PAD ，又PD ⊂面PAB ，所以AB PD ⊥，即PD 与AB 数量积为0，不合题意；D ：由上知PA AB ⊥，而//AB CD ，所以PA CD ⊥，即PA 与CD 数量积为0，不合题意； 故选：A.3．在棱长为1的正四面体ABCD 中，点M 满足()1AM xAB yAC x y AD =++--，点N 满足()1DN DA DB λλ=--，当AM DN 、最短时，·AM MN =（ ）A ．13-B ．13C ．23-D ．23【答案】A【详解】()1AM xAB yAC x y AD =++--，()1DN DA DB λλ=--，∴ ()()AM AD x AB AD y AC AD -=-+-，()DN DB DA DB λ-=-，即:DM xDB yDC =+，BN BA λ=； M ∴∈平面BCD ，N ∈直线AB ，所以当AM 、DN 最短时，AM ⊥平面BCD ，DN AB ⊥，M ∴为BCD 的中心，N 为线段AB 的中点，如图：又正四面体的棱长为1，AM ∴=AM ⊥平面BCD ， ∴2cos 60AM AB AM AB AM ⋅=⋅︒=， ∴AM MN ⋅()AM AN AM =⋅-12AM AB AM ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭212AM AM AM =⋅-212AM =-161293=-⨯=-．4．已知1e ，2e 是夹角为60°的两个单位向量，则12a e e =+与122b e e =-的夹角为（ ） A ．60° B ．120° C ．30° D ．90°【答案】B【详解】()()221212112212132212,22a b e e e e e e e e e e ⋅=+⋅-=-⋅-=-⨯-=-()222212112221a a e e e e e e ==+=+⋅+=+=()22221211222441b b e e e e e e ==-=-⋅+=-=所以312cos ,32a b a b a b -⋅===-．所以,120a b =︒．故选：B5．已知非零向量,a b 不平行，且a b =，则a b +与a b -之间的关系是（ ） A ．垂直B ．同向共线C ．反向共线D ．以上都可能【答案】A【详解】因为()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=，所以a b +与a b -垂直．故选: A6．已知a →，b →均为单位向量，它们的夹角为60°，那么3a b →→+等于（ ）A B C D ．4【答案】C 【详解】3a b →→+===.故选：C7．若向量()0,1,1a =-，()1,1,0b =且()a b a λ+⊥，则实数λ=（ ）A ．2BC ．2-D ．【答案】C 【详解】因为()a b a λ+⊥所以()0a b a λ+⋅=即0a a b a λ⋅+⋅=，所以()()0110100λ+++++= 得2λ=-故选：C 8．在正方体''''ABCD A B C D -中，棱长为2，点M 为棱'DD 上一点，则AM BM ⋅的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【详解】如图所示，以1,,DA DC DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0),(2,2,0)A B ，设(0,0,)M a ，所以(2,0,),(2,2,)AM a BM a =-=--， 则2(2,0,)(2,2,)4AM BM a a a ⋅=-⋅--=+，当0a =时，AM BM ⋅的最小值为4.故选：D.9．在正四面体P ABC -中，棱长为1，且D 为棱AB 的中点，则PC PD ⋅的值为（ ）A ．14-B ．14C ．12-D ．12【答案】D【详解】如图，因为D 为棱AB 的中点，所以()12PD PA PB =+， ()()1122PC PD PC PC C PA PB PA B P P ⋅=⋅⋅=+⋅+，因为几何体为正四面体，故PA 与PC 夹角为60°，同理PB 与PC 夹角为60°，111cos 602P PA PB C PC ⋅⋅==⨯⨯︒=，故21211122PC PD ⎛⎫⋅=⨯+= ⎪⎝⎭， 故选：D 10．已知四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是矩形，1111,2,3AB AD AA A AD A AB π===∠=∠=，则1AC =（ ）A ．23B ．4C ．32D 15【答案】D【详解】()2111AC AB AD AA AB AD AA =++=++ ()2221112AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅()144201215=+++++=.故选：D11．如图所示，已知P 是ABC 所在平面外一点，,,PA PC PB PC PA PB ⊥⊥⊥，求证：P 在平面ABC 上的射影H 是ABC 的垂心．【详解】∵,,PA PC PB PC PA PB ⊥⊥⊥，∴0PC PA ⋅=，0PB PC ⋅=，0PA PB ⋅=，PA ⊥平面PBC ，∴0PA BC ⋅=．由题意可知，PH ⊥平面ABC ，∴0PH BC ⋅=，0PH AB ⋅=，0PH AC ⋅=，∴()0AH BC PH PA BC PH BC PA BC ⋅=-⋅=⋅-⋅=，∴AH BC ⊥．同理可证BH AC ⊥，CH AB ⊥．∴H 是ABC 的垂心．12．如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠BAD ＝120°，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝6．求PC的长．【详解】解：因为PC PA AD DC=++，所以22222=++=+++⋅+⋅+⋅PC PA AD DC PA AD DC PA AD PA DC AD DC()222222=+++⨯⨯⨯︒=，643243cos12049PC=．所以7故PC的长为7．13．在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量OA与BC所成角的余弦值．【详解】=-，BC AC AB∴⋅=⋅-⋅=⋅⋅<>-⋅⋅<>cos,cos,OA BC OA AC OA AB OA AC OA AC OA AB OA AB＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－162， ∴24162cos ,85OA BCOA BC OA BC ⋅-<>===⨯⋅3225- 故答案为：3225- 14．如图，已知四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点．求：（1）AB AC ⋅； （2）AD DB ⋅； （3）GF AC ⋅； （4）EF BC ⋅；（5）FG BA ⋅； （6）GE GF ⋅．【详解】四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，∴任意两条棱所在直线的夹角为3π，E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点，//,//,||||2a EF BD FG AC EF FG ∴==， （1）2cos 32a AB AC a a π⋅=⨯⨯=； （2）22cos 32a AD DB a a π⋅=⨯⨯=-； （3）2cos 22a a GF AC a π⋅=⨯⨯=-； （4）//EF BD ，则直线BD 与直线BC 所成角就是直线EF 与直线BC 所成角，又3CBD π∠=，2cos 234a a EF BC a π⋅==∴⨯⨯； （5）//FG AC ，则直线AC 与直线AB 所成角就是直线FG 与直线BA 所成角，22cos 234a a FG BA a π⋅-∴=⨯⨯=； （6）取BD 中点M ，连接AM ，CM ，则,AM BD CM BD ⊥⊥，AM CM M ⋂=，BD ∴⊥平面ACM ， 又AC ⊂平面ACM ，BD AC ∴⊥，//EF BD ，EF AC ∴⊥，又//AC FG ，EF FG ∴⊥，0EF FG ⋅=，可知1122GF AC a ==， 222()||024a a GE GF GF FE GF GF FE GF ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+= ⎝⎭∴⎪.。

3.1.3 空间向量的数量积运算一、选择题1．已知向量a 、b 是平面α的两个不相等的非零向量，非零向量c 是直线l 的一个方向向量，则c·a ＝0且c·b ＝0是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |( ) A.7 B.10 C.13 D ．43．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为 a ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则〈A ′B →，B ′D ′→〉＝( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°4．已知P A ⊥平面ABC ，垂足为A ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( )A ．62B ．6C ．12D ．1445．已知a 、b 、c 是两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋3c |＝( )A ．14 B.14 C ．4 D ．26．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |等于( )A ．97B ．97C ．61D ．617．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉等于( ) A ．12 B ．22 C ．－12 D ．08．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定二、填空题9．已知|a |＝22，|b |＝22，a ·b ＝－2，则〈a ，b 〉＝________.10．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则(1)AC ′→·DB ′→＝________；〈AC ′→，DB ′→〉＝________；(2)BD ′→·AD →＝________.11．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则A 1B →·B 1C →＝________.12．已知在空间四边形OABC 中，OA ⊥BC ，OB ⊥AC ，则AB →·OC →＝________.三、解答题13．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，求〈a ，b 〉．14．对于任意空间四边形，试证明它的一组对边中点的连线段与另一组对边可平行于同一平面．15．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1B 与AC 1所成的角．参考答案一、选择题1．[答案] B[解析] 当a 与b 不共线．．．时，由c ·a ＝0，c ·b ＝0，可推出l ⊥α；当a 与b 为共线向量时，由c·a ＝0，c·b ＝0，不能够推出l ⊥α；l ⊥α一定有c ·a ＝0且c ·b ＝0，故选B. ２．[答案] C[解析] |a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a·b ＋9b 2＝|a |2＋6|a ||b |cos<a ，b >＋9|b |2，∵|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°， ∴|a ＋3b |2＝13，∴|a ＋3b |＝13.３．[答案] D[解析] B ′D ′→＝BD →，∵△A ′BD 为正三角形，∴〈A ′B →，BD →〉＝120°.４．[答案] C[解析] ∵PC →＝P A →＋AB →＋BC →，∴PC →2＝P A →2＋AB →2＋BC →2＋2AB →·BC →＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144. ∴|PC →|＝12.５．[答案] B[解析] |a －2b ＋3c |2＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2－4a ·b ＋6a ·c －12b ·c ＝14，∴选B. ６．[答案] C[解析] |2a －3b |2＝4a 2＋9b 2－12a·b ＝4×4＋9×9－12×|a ||b |cos60°＝97－12×2×3×12＝61.７．[答案] D[解析] cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝OA →·(OC →－OB →)|OA →||BC →|＝OA →·OC →－OA →·OB →|OA →||BC →|＝|OA →||OC →|cos ∠AOC －|OA →||OB →|cos ∠AOB |OA →||BC →|. 因为|OB →|＝|OC →|，∠AOC ＝∠AOB ＝π3， 所以cos 〈OA →，BC →〉＝0.８．[答案] B[解析] BD →＝AD →－AB →，BC →＝AC →－AB →，BD →·BC →＝(AD →－AB →)·(AC →－AB →)＝AD →·AC →－AD →·AB →－AB →·AC →＋|AB →|2＝|AB →|2>0，∴cos ∠CBD ＝cos 〈BC →，BD →〉＝BC →·BD →|BC →|·|BD →|>0， ∴∠CBD 为锐角，同理，∠BCD 与∠BDC 均为锐角，∴△BCD 为锐角三角形．二、填空题９．[答案] 3π4[解析] cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－22， ∴〈a ，b 〉＝3π4. 10．[答案] (1)1，arccos 13(2)1 [解析] (1)AC ′→·DB ′→＝(a ＋b ＋c )·(a －b ＋c )＝a 2＋c 2＋2a ·c －b 2＝1，|AC ′→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2a ·c ＋2b ·c ＝3，∴|AC ′→|＝3，|DB ′→|2＝(a －b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2－2a ·b ＋2a ·c －2b ·c ＝3，∴|DB ′→|＝3，∴cos 〈AC ′→，DB ′→〉＝AC ′→·DB ′→|AC ′→|·|DB ′→|＝13， ∴〈AC ′→，DB ′→〉＝arccos 13. (2)BD ′→·AD →＝(b ＋c －a )·b ＝|b |2＋b ·c －b ·a ＝1.11．[答案] a 2[解析] A 1B →·B 1C →＝A 1B →·A 1D →＝|A 1B →|·|A 1D →|·cos 〈A 1B →，A 1D →〉 ＝2a ×2a ×cos60°＝a 2.12．[答案] 0[解析] AB →·OC →＝(OB →－OA →)·(OA →＋AC →)＝OB →·OA →＋OB →·AC →－|OA →|2－OA →·AC →＝OB →·OA →－|OA →|2－OA →·AC →＝OA →·AB →－OA →·AC →＝OA →·CB →＝0.三、解答题13．[解析] (a ＋3b )·(7a －5b )＝7|a |2－15|b |2＋16a ·b ＝0，(a －4b )(7a －2b )＝7|a |2＋8|b |2－30a ·b ＝0，解之得，|b |2＝2a ·b ＝|a |2，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12，∴〈a ，b 〉＝60°. 14．[证明] 如图所示，空间四边形ABCD ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，利用多边形加法法则可得，EF →＝EA →＋AD →＋DF →，EF →＝EB →＋BC →＋CF →.①又E 、F 分别是AB 、CD 的中点，故有EA →＝－EB →，DF →＝－CF →.②将②代入①后，两式相加得，2EF →＝AD →＋BC →，∴EF →＝12AD →＋12BC →. 即EF →与BC →、AD →共面，∴EF 与AD 、BC 可平行于同一平面．15．[解析] 不妨设正方体的棱长为1, 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，A 1B →＝a －c ，AC 1→＝a ＋b ＋c .∴A 1B →·AC →＝(a －c )·(a ＋b ＋c )＝(a －c )(a ＋c )＋b (a －c )＝0∴<A 1B →，AC 1→>＝90°.因此，异面直线A 1B 与AC 所成的角为90°.[说明] 求异面直线所成的角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须把所求向量用空间的一组基向量来表示．。