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《猜想、证明与拓广》教学设计西街初中柴晓娟教学目标：⑴经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验.⑵在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识.⑶在探究过程中,感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必要性.学习重点难点1.重点:通过对一个开放性、探究性的课题的探索，获得探索和发现的体验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法.2.难点:处理问题的策略和方法.课时引入：世界三大几何难题：化圆为方，三等分任意角，倍立方这些问题困扰数学家一千多年都不得其解,而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的.1637年笛卡儿创建解析几何以后,许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。
1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。
1882年林得曼（Linderman）也证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根）,化圆为方的不可能性也得以确立 .教学过程：探究活动1：正方形的“倍增”问题问题(1)：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？教学策略：提出问题后引导学生思考，学生会出现的三种解决问题的思路：1、先有具体情况入手研究，得到一个猜想，然后再拓展到一般情况进行证明。
2、因为问题比较简单，有学生可能直接进行一般情况的证明。
3、由于任意两个正方形都是相似的，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 所以周长比和面积比不可能同时为2. 因此这样的正方形不存在. 这三种解决问题的方法都应该给与肯定和表扬。
证明方法：解：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a,面积为a2,周长扩大两倍后为8a,则其边长应为 2a,此时面积应为 4a2，它不是已知给定的正方形的面积的2倍.所以不存在这样的正方形。
或是先考虑面积扩大为原来的两倍为2a2，则边长应为a2，此时周长应为4a2，不是4a的两倍，无论从哪个角度考虑，都不存在这样的正方形。
公开课《课题学习—猜想、证明与拓广》教案授课时间：2006年11月8日授课地点：多媒体（1）室教学内容：北师大版九年级上册P152至P154教学目标：1、通过创设问题情境，让学生经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验。
2、在探究过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会知识之间的内在联系，理解证明的必要性。
3、在合作交流中扩展思路，发展学生的推理水平。
教学重点：经历猜想、证明、拓广的“数学化”的过程教学难点：在问题解决过程中综合使用所学知识教学过程：一、引入：1、解答一道较简单的寻找规律后猜想结果的问题。
2、举出三个数学家猜想的例子，说明猜想中有对的，有错的，有未知对错的。
并动员学生大胆猜想。
3、引入课题二、通过问题1经历猜想、证明、拓广的过程1、出问题1：任意给定一个正方形，是否存有另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？2、引导学生讲出给已知正方形一些具体的边长来验证结论。
3、启发学生由特殊转入一般，由验证转入证明。
4、小结解决问题的方法、过程。
5、由问题1拓广出问题2三、通过问题2再次经历猜想、证明、拓广的过程1、出问题2：任意给定一个矩形，是否存有另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？2、引导学生说出用具体的例子来验证猜想，确定拿已知矩形的长和宽分别为2和1，3和1，4和1，5和1的情况来实行验证。
3、以已知矩形的长和宽分别为2和1的情况来引导学生完成解答。
（主要是用方程或方程组的办法）4、学生分组以已知矩形的长和宽分别为3和1，4和1，5和1的情况来实行验证。
并鼓励学生用不同方法解答。
5、评议学生的解题过程6、引导可用函数方法来解答。
7、引导学生发现规律，并用已知矩形的长和宽分别为n和1的情况来实行验证猜想。
8、说明猜想的必要性，引导学生设定已知矩形的长和宽为n和m的情况来实行证明。
9、再次总结解决问题的方法、过程。
![证明(3)[上学期] 北师大版(PPT)5-3](https://img.taocdn.com/s1/m/6ce7e9825fbfc77da269b14b.png)
课题学习猜想、证明与拓广课时安排2课时从容说课本课题学习中的课题背景是：是否存在一个矩形，其周长与面积是已知矩形周长与面积相同的若干倍.探索活动从学生熟悉的简单情形出发，引导学生逐步思考一个个看似简单但又具挑战性的问题，不断经历判断、选择及综合运用二次方程、方程组、不等式、函数等知识的过程，在做中学，体验以数学的方式来做数学.本课题学习整体上是一个开放性、研究性的课题，主要意图不在于回答一些具体问题，而是提供一个思考、探究的平台，在活动中体现归纳、综合和拓展.感悟处理问题的策略和方法，积累数学活动的经验.在内容设计上，教科书为学生自主探索留有较大空间：通过“做一做”积累经验，通过“想一想”诱导发现，“议一议”中提出的问题均有一定深度和相当大的弹性，不同的学生可以找到自己感兴趣的问题，在“读一读”中引出两种思路，对问题的解决有很大的启发性.教学时要为学生提供充分思考和交流的空间，鼓励学生在自主探索和猜测的基础上及时交流自己的想法和做法，可以采用小组合作的方法进行教学，注意问题的连贯性和前后内容的一致性，引导学生分类研究，由特殊到一般，启发学生发现更具一般性的结论，寻找一般性的解决方法，对不同学生有不同要求，分层教学，渗透处理问题的策略和方法.第一课时课题课题学习——猜想、证明与拓广(一)教学目标(一)教学知识点探索“任意给定一个矩形.是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”的议题.(二)能力训练要求1.经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索的意识.2.在问题解决的过程中综合运用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识.3.在探究过程中，感受由特殊到一般、形数结合的思想方法，体会证明的必要性.4.在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，积极思考并与同学合作交流.2.获得成功的体验和克服困难的经历，增强运用数学的信心.教学重点探究“任意给定一个矩形.是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”，从而获得解决问题的方法和途径.教学难点从特殊到一般，启发学生综合运用一元二次方程、方程组、不等式等知识发现具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法.教学方法自主探索——合作交流.教具准备多媒体演示教学过程Ⅰ.创设情境问题，搭建探究平台[问题1]任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍?你是怎样做的?你有哪些解决方法?你能提出新的问题吗?[问题2]任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍?请大家结合自己学过的知识，认识思考问题1，并谈谈你自己的想法.[生1]若给定的正方形的边长是1，则它的周长是4，面积是1，另一个正方形周长变成它的2倍，即周长变为4×2＝8，面积则变成了(48)2＝4，即这个正方形的面积是原来正方形面积的4倍.若另一个正方形面积变成原正方形的2倍，即面积变为2.则这个正方形周长变为42.我认为不存在另一个正方形.它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍.[生2]生1举的只是一个特例，不见得就没有存在的情况.[师]到底存不存在，同学们可在小组内讨论交流，然后发表看法.[组1]我们组找了几个已知的正方形，都不存在另一个正方形，它的周长和面积是已知正方形周长和面积的2倍.[组2]我们组从一般情况下证明不存在，设已知给定的正方形的边长为a ，则其面积为a 2,周长为4a ，若周长倍增，即周长变为8a 正方形的边长变为2a.面积变为4a 2.不符合要求；若面积倍增，即面积变为2a 2，正方形的边长变为a 2，周长变为4a 2，不符合要求，即无论从哪个角度考虑，都说明不存在这样的正方形.[师]很好!我们举几个特例猜想这样的正方形不存在，又从一般情况验证了这样的正方形确实不存在.同学们已经历丁—一个数学问题的解决过程，但如果将问题1拓展，正方形不具有这样的特点，我们学过的其他图形如三角形、矩形、菱形等是否具有这样的特点呢?11.展示思维过程，构建探究空间[师]你是如何思考问题2的?[生]矩形的形状太多了，我们可以先来研究一个具体的.[师]很好，我们就来先看一个特殊的、具体的矩形.多媒体演示：做一做如果已知矩形的长和宽分别是2和1.结论会怎样呢?你是怎么做的?与同伴交流.[生]已知矩形的长和宽分别是2和1，则其周长和面积分别为6和2，则所求矩形的周长和面积分别为12和4.可以先固定所求矩形的周长：周长为12的矩形很多，它们的长和宽可以是5和1，4和2，3和3，也可以是和和21121……其中是否有面积为4的呢?我们可以去尝试着找一下. (教师一定要给学生时间和空间去探索、猜测)[生]这样找太费劲。
![[原创]课题学习：猜想证明与拓广(1)doc初中数学](https://img.taocdn.com/s1/m/724b9fd4b7360b4c2f3f648c.png)
[ 原创] 课题学习：猜想证明与拓广（1）doc 初中数学猜想、证明与拓广汪国刚贵阳市开阳县宅吉中学课时安排2 课时镇定讲课本课题学习中的课题背景是：是否存在一个矩形，其周长与面积是矩形周长与面积相同的假设干倍. 探究活动从学生熟悉的简单情形动身，引导学生逐步摸索一个个看似简单但又具挑战性的咨询题，不断经历判定、选择及综合运用二次方程、方程组、不等式、函数等知识的过程，在做中学，体验以数学的方式来做数学.本课题学习整体上是一个开放性、研究性的课题，要紧意图不在于回答一些具体咨询题，而是提供一个摸索、探究的平台，在活动中表达归纳、综合和拓展. 感悟处理咨询题的策略和方法，积存数学活动的体会.在内容设计上，教科书为学生自主探究留有较大空间：通过〝做一做〞积存体会，通过〝想一想〞诱导发觉，〝议一议〞中提出的咨询题均有一定深度和相当大的弹性，不同的学生能够找到自己感爱好的咨询题，在〝读一读〞中引出两种思路，对咨询题的解决有专门大的启发性.教学时要为学生提供充分摸索和交流的空间，鼓舞学生在自主探究和推测的基础上及时交流自己的方法和做法，能够采纳小组合作的方法进行教学，注意咨询题的连贯性和前后内容的一致性，引导学生分类研究，由专门到一样，启发学生发觉更具一样性的结论，查找一样性的解决方法，对不同学生有不同要求，分层教学，渗透处理咨询题的策略和方法. 第一课时课题课题学习——猜想、证明与拓广（一）教学目标（一）教学知识点探究〝任意给定一个矩形. 是否存在另一个矩形，它的周长和面积分不是矩形周长和面积的 2 倍〞的议题.（二）能力训练要求1. 经历猜想、证明、拓广的过程，增强咨询题意识和自主探究的意识.2. 在咨询题解决的过程中综合运用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识.3. 在探究过程中，感受由专门到一样、形数结合的思想方法，体会证明的必要性.4. 在合作交流中扩展思路，进展学生的推理能力.（三）情感与价值观要求1. 积极参与数学活动，积极摸索并与同学合作交流.2. 获得成功的体验和克服困难的经历，增强运用数学的信心.教学重点探究〝任意给定一个矩形. 是否存在另一个矩形，它的周长和面积分不是矩形周长和面积的 2 倍〞，从而获得解决咨询题的方法和途径.教学难点从专门到一样，启发学生综合运用一元二次方程、方程组、不等式等知识发觉具有一样性的结论，寻求一样性的解决方法•教学方法自主探究一一合作交流•教具预备多媒体演示教学过程I •创设情境咨询题，搭建探究平台［咨询题1］任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分不是正方形周长和面积的2倍?你是如何样做的？你有哪些解决方法？你能提出新的咨询题吗？［咨询题2］任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分不是矩形周长和面积的2倍？请大伙儿结合自己学过的知识，认识摸索咨询题1，并谈谈你自己的方法•［生1］假设给定的正方形的边长是1,那么它的周长是4,面积是1,另一个正方形周长8 2变成它的2倍，即周长变为4 X 2 = 8,面积那么变成了（8）2= 4,即那个正方形的面积是原4先正方形面积的4倍.假设另一个正方形面积变成原正方形的2倍，即面积变为2.那么那个正方形周长变为 4 2我认为不存在另一个正方形•它的周长和面积分不是正方形周长和面积的2倍•［生2］生1举的只是一个特例，不见得就没有存在的情形［师］到底存不存在，同学们可在小组内讨论交流，然后发表看法［组1］我们组找了几个的正方形，都不存在另一个正方形，它的周长和面积是正方形周长和面积的2倍•［组2］我们组从一样情形下证明不存在，设给定的正方形的边长为a，那么其面积为a2,周长为4a,假设周长倍增，即周长变为8a正方形的边长变为2a.面积变为4a2.不符合要求；假设面积倍增，即面积变为2a2，正方形的边长变为、2a，周长变为4、. 2a，不符合要求，即不管从哪个角度考虑，都讲明不存在如此的正方形［师］专门好！我们举几个特例猜想如此的正方形不存在，又从一样情形验证了如此的正方形确实不存在•同学们差不多历丁一一个数学咨询题的解决过程，但假如将咨询题1拓展，正方形不具有如此的特点，我们学过的其他图形如三角形、矩形、菱形等是否具有如此的特点呢？11.展现思维过程，构建探究空间［师］你是如何摸索咨询题2的？［生］矩形的形状太多了，我们能够先来研究一个具体的［师］专门好，我们就来先看一个专门的、具体的矩形多媒体演示：做一做假如矩形的长和宽分不是2和1.结论会如何样呢？你是如何做的？与同伴交流•［生］矩形的长和宽分不是2和1,那么其周长和面积分不为6和2,那么所求矩形的周长和面积分不为12和4.能够先固定所求矩形的周长：周长为12的矩形专门多，它们的长和宽能够是5和1, 4［生］刚才几位同学采纳的方法差不多上方程的方法 数，假如 x+y=6, 把-xy=4.的x,y 看成变量而不是未知数，那么满足条件的 4 一数y= 两个图象的交点坐标.x［师］这位同学的方法太棒了，你能把你的方法讲得更具体吗 ［生］好！假如固 定所求矩形的面积， 那么能够发觉：满x 、 y .我们刚学习了反比例函数及一次函就成了一次函数 y = 6-x.与反比例函11 1和2,3和3,也能够是和 —和-……其中是否有面积为4的呢？我们能够去尝试着找一下.2 2(教师一定要给学生时刻和空间去探究、推测)［生］如此找太费劲。
综合与实践猜想、证明与拓广一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在经历了证明一证明二以及特殊的四边形的学习后，积累了一定的证明的经验思想和方法，具备了几何证明及探究的能力，在九上的第二章学习了一元二次方程后，会利用根的判别式判断根的情况，并且积累了列一元二次方程解决几何问题的实际经验。
二、教学任务分析猜想、证明与拓广，通过一系列具体的问题逐渐展开，引导学生分类研究，先考察一些简单的，特殊的情形，发现一些规律后再讨论一般情况，在此过程中让学生不断的体会由一般到特殊的探究问题的思想，寻求一般性的解决方法.培养学生直观“判断”和正确“猜想”，并配合一定的形式说理，在交流个人想法中拓展思维。
猜想要“检验是否存在”，再由“特殊到一般”给出一般性的证明.然后拓展推广，总结获得的数学知识和策略性的经验，发展学生的推理能力和探究能力.教学突出学生自主探索，合作交流，协助学生自行找到解决问题的方法。
为此，本节课的教学目标是：1、通过创设问题情境，让学生经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验。
2、在探究过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会知识之间的内在联系，理解证明的必要性。
3、在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力。
教学重点：经历猜想、证明、拓广的“数学化”的过程，获得探索和发现的体验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法.教学难点：在问题解决过程中的策略和方法。
三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：情境导课,出示学习目标；第二环节：探究活动1正方形的“倍增”问题--猜想，证明，拓广；第三环节：探究活动2矩形的“倍增”问题--猜想，证明，拓广；第四环节：课堂小结（总结反思，方法提炼）；第五环节：布置作业，巩固所学。
第一环节：情境导课出示学习目标出示“哥尼斯堡七桥问题”，激发学生学习兴趣和热情，引出并板书课题，出示学习目标。
第二环节：探究活动1正方形的“倍增”问题问题(1)任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？（教学策略：提出问题后引导学生思考，学生会出现的三种解决问题的思路：1、先有具体情况入手研究，得到一个猜想，然后再拓展到一般情况进行证明。
北师大版初中数学九年级上册《综合与实践猜想、证明与拓广》公开课教案_1直觉的误导教学设计一、教学目标知识技能目标经历看图时的错觉，问题引入的误区，感觉上的误导，经验导致的错误，认识到直觉在解决问题时的误导作用。
数学思考目标了解对于数学的结论，光凭直觉判断是不行的，还需要通过演绎推理来验证。
解决问题目标会从具体情境中自己发现问题自己解决问题，增强应用意识，提高实践能力。
情感态度目标通过积极参加数学活动，对数学有强烈的好奇心和求知欲，并且在交流探究中敢于发表自己的想法，勇于质疑，勇于创新。
教学重点:探究直觉在解决问题时的误导作用教学难点：通过演绎推理来验证数学直觉二、教法与学法1、教学方法：综合与实践应以学生自主探究为主，教师引导为辅，因此我选用“引导启发式”进行教学，做学生活动的组织者、.引导者、合作者。
2、学法指导：在老师的组织引导下，采用“自主探索、合作交流”的学习方法，真正成为学习的主体。
三、教学过程这节课我设计了“创设情景，导入新课”、“合作交流，探究新知”、“华山论剑，展现自我”、“归纳总结，知识升华”、“作业设计，延续拓展”这五个教学环节。
第一个环节：创设情景，导入新课。
首先欣赏爱因斯坦·玛丽莲混合画，引出人们的直觉是不同的，同时激发学生的学习兴趣和探究欲望，然后通过亚里士多德的名言——直觉就是科学知识的创始性根源，以及这些历史上由直觉而产生的重大发现，让学生感受到直觉思维在解决问题时的积极作用。
然而不是所有的直觉都是可靠的，很多时候直觉对解决问题造成不好的误导作用。
从而引出课题——直觉的误导。
第二个环节：合作交流，探究新知我设两个探究活动：从看图时的错觉到解决为什么看图时产生了错觉。
围绕着直觉会产生误导的主题，从形象到抽象，从感性认识到理性认识，循序渐进，引导学生深入探究问题的本质。
探究活动一：多媒体展示一系列图片，它们都能引起大家看图时直觉上的错觉，形象直观，让学生对直觉的误导的问题有了初步的认识。
猜想、证明与拓广1. 经历猜想、证明、拓广的过程, 增强问题意识和自主探索意识, 获得探索和发现的体验.2. 在问题解决过程中综合运用所学的知识, 体会知识之间的内在联系, 形成对数学的整体性认识.3. 在探究过程中, 感受由特殊到一般的思维规律和数形结合、函数与方程的思想方法,体会证明的必要性.4．在合作交流中扩展思路, 发展学生的推理能力, 培养团队合作精神．重点探究“任意给定一个矩形, 是否存在另一个矩形, 它的周长和面积, 分别是已知矩形周长和面积的2倍”, 从而获得解决问题的方法和途径.难点综合运用一元二次方程、方程组、函数等知识发现具有一般性的结论.一、情境导入教师: 同学们, 图片中的人物你们认识吗？对, 他是伟大的物理学家——牛顿. 他在思考苹果为什么落地的问题时, 首先做出了大胆的猜想, 最终得出了一个伟大的结论——牛顿万有引力定律. 同时也给我们留下了一句名言: 没有大胆的猜想, 就没有伟大的发现与发明. 当然, 仅靠大胆的猜想, 并不能对问题作出正确的决策和判断, 那么, 怎样才能对问题作出全面、正确的决策和判断呢？本节课我们就一起探究解决问题的策略与方法——猜想、证明与拓广.二、探究新知1. 感悟猜想教师: 已知一个正方形, 是否存在另一个正方形, 它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？引导学生思考：(1)要对这个问题作出合理的猜想, 首先应怎么做？(2)你得出的猜想是什么？你的猜想对任意正方形一定适用吗？学生讨论交流后回答, 教师点评, 并进一步讲解:猜想是在对具体事例的研究结论的基础上, 通过类比或归纳得出的具有普遍性的结论．猜想前所需经历的重要过程就是特例尝试, 要使得猜想合理化, 就要通过特例尝试．2. 体会证明猜想结论：任意给定一个正方形, 不存在另一个正方形, 使它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍．教师: 你的猜想正确吗？对任意正方形一定适用吗？如何知道猜想的正确性？学生思索、讨论、交流意识到: 通过几个特例得来的猜想不一定适用于所有正方形, 必须要经过证明从而体会到证明的必性．3. 学会拓广教师: 由正方形的倍增问题的结论出发, 从改变图形或改变条件或将此结论向更一般化的规律上去拓广等角度出发, 你能提出新的问题吗？学生思考、讨论、交流, 分析出：此命题受图形、周长、面积及2倍等条件因素的影响.教师：如果改变某一条件，新的命题就会生成，这就是拓广．拓广就是改变命题的某一条件，生成新的命题；拓广就是新一轮的猜想；拓广就是举一反三、思维的更高境界.三、举例分析例 1 任意给定一个矩形, 是否存在另一个矩形, 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？面对矩形倍增问题, 你有怎样的研究过程和步骤？请说出你的研究步骤.学生小组合作研讨解决此问题的主体步骤. 每组可任选一种矩形的长和宽进行研究. 然后得出确定的结论, 注意解题策略的多样性, 小组活动后展示本组的思维成果.例 2 任意给定一个矩形, 是否一定存在另一个矩形, 它的周长和面积, 分别是已知矩形周长和面积的一半？学生思考、讨论、交流、归纳.四、练习巩固1. 当矩形满足什么条件时, 存在一个新矩形, 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？2. 自学教材第168页“读一读”.五、小结1. 知识方面:(1)任意给定一个正方形, 一定不存在另一个正方形, 它的周长和面积分别是已知正方形的2倍；(2)任意给定一个矩形, 一定存在另一个矩形, 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍．2. 数学思想方法方面:(1)转化思想——几何中图形是否存在的问题, 常常把它转化为代数中方程是否有解的问题加以解决；(2)特殊到一般的思想——对一个问题的研究, 一般先从特殊开始, 然后再到一般．六、课外作业教材169～170页习题第1～4题.在实际教学中, 我们常被课本或教学参考书中的教学设计模式牢牢套住, 授课时按部就班, 有时显得十分牵强附会. 本设计尽可能做到摆脱课本内容模式对授课过程的束缚, 在学生行动上先从简单易操作的动手试验入手, 力求营造一个轻松愉快的课堂氛围, 激发学生的学习兴趣和求知欲. 在内容上先从最特殊的正方形的探究入手, 让学生在轻松愉快的活动过程中建立起思考和解决问题的模式. 然后循序渐进, 通过类比、实验、探索、猜想、验证和拓广的数学模型, 提出和解决了矩形的相关问题. 然而, 本课题中的具体问题仅是一个展示平台, 在教学活动中感悟问题的产生和提出, 体会知识的归纳、综合与拓展, 领会处理与解决问题的方法与策略, 积累一定的数学活动经验, 才是本课题教学应追某某现的目标. 因此, 本节课教学更侧重于学生数学活动水平的提高, 努力渗透数学思想方法、问题的处理和解决策略等, 并力求做到人人参与, 使不同的学生均有不同的收获.。
课题学习：猜想、证明与拓广(1)本课题学习就是围绕中心课题“是否存在一个矩形，其周长与面积是已知矩形周长与面积的若干倍”而展开，希望能在问题解决的过程中综合运用所学的数学知识，体会知识之间的相互联系，形成对数学的整体认识的观念.同时在探究的过程中，经历由特殊到一般，不断发现一般性的结论，努力寻求一般性解决问题方法的过程，从中体会证明的必要性，感悟研究数学问题的策略和方法．【目标导引】1.经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索的意识.2.在问题解决的过程中综合运用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学整体性认识的观念.3.在探究过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必要性.【学习探究】一、铺垫导入与自主预习1.任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？说说你的理由.2.任意给定一个圆,是否存在另一个圆的周长与面积分别是已知圆周长和面积的2倍?为什么?3.对于问题1你是怎样做的？你有哪些解决方法？你能提出新的问题吗？二、知识探究与合作学习通过前面的预习，你能完成下面的学习任务吗？1.预习部分中为什么给定一个正方形不存在另一个正方形的周长和面积是已知正方形周长与面积的两倍？你是怎么思考的?与同伴交流．从数上：从形上：任给一个几何图形（非线段），一定不存在另一个与它相似的图形，其周长和面积分别是已知图形周长和面积的2倍．2.合作学习：任意给定一个矩形，是否存在一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？(1)特殊化，了解所研究问题的实质如果已知矩形的长和宽分别是2和1，结论会怎样呢？你是怎么做的？方法一:（固定周长）已知矩形的长为 2 ，宽为 1,则其周长为6，面积为2，那么所求矩形的周长为12，面积为4．设所求矩形的长为x，则宽为（6-x）．则方法二:（固定面积）方法三：（图像法）（2）深入思考，系统具体化：试一试：如果已知矩形的长和宽分别是3和1时，是否还有相同的结论？已知矩形的长和宽分别是4和1，5和1，……，n和1呢？（3）问题的一般化：当已知矩形的长和宽分别为n和m时,是否还有相同的结论？【当堂演练】（独立完成，交换检查，对照目标，自我评价）1.在1－10这10个自然数中，每次取两个奇数，使得它们的和大于10，有＿＿种取法.2.连续掷一枚骰子两次，朝上的一面的点数的和大于6，有种不同的情况.3.两个数的和为6，则这两个数是时，它们的积最大，这个最大的积是.4.观察一列各式：∙∙∙==+==+==+,154415641544,833827833,32238322你能猜想其规律吗？写出用n表示的等式，并给予证明（n≥2，且n为整数）．5.任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长是已知矩形周长的2倍，而面积是已知矩形面积的3倍？．．．【拓展延伸】 一、归纳反思1.解决这类问题的一般策略是：先固定所求矩形一个量，这样的矩形一般很多，在这些矩形中看有没有满足另一个量的矩形，若有，则这样的矩形存在；若没有，则这样的矩形不存在．验证“存在性”的问题，可以转化成如下问题来探究： (1)方程（组）是否有解； (2)两函数图像有无交点。
