证明与拓广

课题学习猜想、证明与拓广汪国刚贵阳市开阳县宅吉中学课时安排2 课时从容说课本课题学习中的课题背景是：是否存在一个矩形，其周长与面积是已知矩形周长与面积相同的若干倍.探索活动从学生熟悉的简单情形出发，引导学生逐步思考一个个看似简单但又具挑战性的问题，不断经历判断、选择及综合运用二次方程、方程组、不等式、函数等知识的过程，在做中学，体验以数学的方式来做数学^本课题学习整体上是一个开放性、研究性的课题，主要意图不在于回答一些具体问题，而是提供一个思考、探究的平台，在活动中体现归纳、综合和拓展.感悟处理问题的策略和方法，积累数学活动的经验 .在内容设计上，教科书为学生自主探索留有较大空间：通过“做一做”积累经验，通过“想一想”诱导发现，“议一议”中提出的问题均有一定深度和相当大的弹性，不同的学生可以找到自己感兴趣的问题，在“读一读”中引出两种思路，对问题的解决有很大的启发性 .教学时要为学生提供充分思考和交流的空间，鼓励学生在自主探索和猜测的基础上及时交流自己的想法和做法，可以采用小组合作的方法进行教学，注意问题的连贯性和前后内容的一致性，引导学生分类研究，由特殊到一般，启发学生发现更具一般性的结论，寻找一般性的解决方法，对不同学生有不同要求，分层教学，渗透处理问题的策略和方法^第一课时课题课题学习一一猜想、证明与拓广（一）教学目标（一）教学知识点探索“任意给定一个矩形.是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”的议题.（二）能力训练要求1. 经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索的意识^2. 在问题解决的过程中综合运用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识.3. 在探究过程中，感受由特殊到一般、形数结合的思想方法，体会证明的必要性.4. 在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力^（三）情感与价值观要求1. 积极参与数学活动，积极思考并与同学合作交流^2. 获得成功的体验和克服困难的经历，增强运用数学的信心^教学重点探究“任意给定一个矩形.是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”，从而获得解决问题的方法和途径.教学难点从特殊到一般，启发学生综合运用一元二次方程、方程组、不等式等知识发现具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法.教学方法自主探索——合作交流.教具准备多媒体演示教学过程I.创设情境问题，搭建探究平台［问题1］任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？你是怎样做的？你有哪些解决方法？你能提出新的问题吗？［问题2］任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？请大家结合自己学过的知识，认识思考问题1,并谈谈你自己的想法.［生1］若给定的正方形的边长是1,则它的周长是4,面积是1,另一个正方形周长变成它的2倍，即周长变为4X 2= 8,面积则变成了（8）2= 4,即这个正方形的面积是原来正方4形面积的4倍.若另一个正方形面积变成原正方形的2倍，即面积变为2.则这个正方形周长变为4.2.我认为不存在另一个正方形.它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍.［生2］生1举的只是一个特例，不见得就没有存在的情况^［师］到底存不存在，同学们可在小组内讨论交流，然后发表看法 ^［组1］我们组找了几个已知的正方形，都不存在另一个正方形，它的周长和面积是已知正方形周长和面积的2倍.［组2］我们组从一般情况下证明不存在，设已知给定的正方形的边长为a,则其面积为a2,周长为4a,若周长倍增，即周长变为8a正方形的边长变为2a.面积变为4a2.不符合要求；若面积倍增，即面积变为2a2，正方形的边长变为J窑，周长变为4%，''公，不符合要求，即无论从哪个角度考虑，都说明不存在这样的正方形^［师］很好!我们举几个特例猜想这样的正方形不存在，又从一般情况验证了这样的正方形确实不存在.同学们已经历丁一一个数学问题的解决过程，但如果将问题1拓展，正方形不具有这样的特点，我们学过的其他图形如三角形、矩形、菱形等是否具有这样的特点呢？11.展示思维过程，构建探究空间［师］你是如何思考问题2的？［生］矩形的形状太多了，我们可以先来研究一个具体的^［师］很好，我们就来先看一个特殊的、具体的矩形^多媒体演示：做一做如果已知矩形的长和宽分别是2和1.结论会怎样呢？你是怎么做的？与同伴交流.［生］已知矩形的长和宽分别是2和1,则其周长和面积分别为6和2,则所求矩形的周长和面积分别为12和4.可以先固定所求矩形的周长：周长为12的矩形很多，它们的长和宽可以是5和1, 4一一一一11 一1和2, 3和3,也可以是和艾和《……其中是否有面积为4的呢？我们可以去尝试着找一下.（教师一定要给学生时间和空间去探索、猜测）［生］这样找太费劲。

猜想、证明、拓广
课题学习
猜想,证明与拓广
挑战“自我”
猜想,证明与拓广
1.任意给定一个正方形,是否存在另一个正方形,它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2 倍?
2.你准备怎幺去做?
3.你有哪些解决方法?
挑战“自我”
解:设给定的正方形边长为a,则其面积是a2.
猜想,证明与拓广
若周长倍增,即边长变为2a,则面积应为4a2;
无论从哪个角度考虑,都说明不存在这样的正方形.
挑战“自我”
猜想,证明与拓广
任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2 倍?
老师提示:
矩形的形状太多了我们可以先研究一个具体的矩形,比如长和宽分别为2 和1,怎幺样?
挑战“自我”
由特殊到一般。

数学通讯问题征解第610号解答与拓广一、问题描述问题：设a和b是不全为0的复数，证明ab的取值范围是以原点为中心的半平面。

二、问题分析此题是关于复数乘法的性质问题，要求证明复数乘积的取值范围是以原点为中心的半平面。

复数乘法的几何意义是复平面上的两个向量的相乘，而一个复数对应于复平面上的一个点，可以表示为向量的形式。

问题实质是要求证明复平面上任意两个复数的乘积所对应的点位于以原点为中心的半平面上。

三、证明与拓广证明：假设a=re^{iα}，b=se^{iβ}，其中r、s为实数，α、β为实数，根据欧拉公式，任意复数都可以写成指数形式。

则ab=rse^{i(α+β)}=rs(cos(α+β)+isin(α+β))。

由于cos(α+β)和sin(α+β)皆为实数，所以ab的实部为rs*cos(α+β)，虚部为rs*sin(α+β)。

当α+β=0时，ab为实数，取值范围为实轴上的点。

当α+β=π/2时，ab为纯虚数，取值范围为虚轴上的点。

当α+β在0到π/2之间时，ab为复数，取值范围为复平面上的一半。

ab的取值范围是以原点为中心的半平面。

拓广：本题只是证明了ab的取值范围是以原点为中心的半平面，并未给出具体的几何图形表示。

我们可以进一步拓广，通过具体的几何图形分析来展示ab的取值范围。

我们可以在复平面上取一些具体的a和b，计算它们的乘积并画出对应的点，从而观察ab的取值范围的具体形态。

取a=1+i，b=2+i，计算ab=(1+i)(2+i)=1+3i，代表复平面上的一个点，我们可以将这一过程画出来，并观察ab的取值范围。

通过这种具体的例子分析，可以更加直观地理解ab的取值范围是以原点为中心的半平面。

通过欧拉公式和复数乘法的性质，我们证明了ab的取值范围是以原点为中心的半平面，并且通过具体的几何图形分析拓广了问题的解答。

这一问题的解答和拓广不仅帮助我们更好地理解复数乘法的性质，也有助于我们对复平面的具体图形形态有更深入的认识，有利于我们在进一步学习和研究复数及其性质时有更清晰的认识和理解。

《猜想、证明与拓广》（第1课时）说课稿宜昌市十中黄毅一、说教材《猜想、证明与拓广》是北师大版九年级上册课题学习的内容，本课是在学生学习了一元二次方程、证明（二）、证明（三）、反比例函数的基础上，围绕着中心课题——图形的周长和面积“倍增”（以下简称图形“倍增”），通过一系列具体问题逐渐展开，其主要意图是引导学生通过自主探索活动，综合运用已学的数学知识，体验处理问题的策略和方法，提高解决问题的能力。

根据本节内容在教材中的地位和作用，以及九年级学生的认知结构与心理特征，本课时的教学力求达到以下目标：1、经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验；2、在问题解决的过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识；3、在探索过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必要性；4、在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力。

根据新课程下创建高效课堂理念，让学生在经历探索过程中培养交流合作意识，提升解决问题的能力，从而更利于学生理解数学知识，获得发展。

结合本课内容，我认为重点是：经历探索图形“倍增”的过程，综合运用所学知识。

难点是：感悟处理问题的策略和方法，体验以数学的方式来做数学。

二、说教法和学法考虑到学生的层次情况，在教法上采用启发引导的方法，由浅入深地设置问题，引导不同层次的学生思考不同的问题，发现解决问题的策略，并相互间交流经验，用灵活的课堂评价来鼓励学生研究问题；学法上采取独立思考，分小组进行合作探究，相互交流，让各层次的学生找到自己感兴趣的问题，并有各自收获与发展。

三、说教学过程在本节课中，根据学生的差异性分成小组，每小组中包含不同层次的学生，一起围绕图形“倍增”问题，由浅入深地进行一连串层次分明并且相互关联的探究活动，如下图表所示四、教学反思问题1与探究1作为本课的导入问题，预计时间在5分钟以内。

在此过程中，学生较容易想到方法①与②，其中方法①实质上可以用来判断所有正多边形包括圆的“倍增”图形均不存在。

九年级数学综合与实践课课题：《辨伪求真－－猜想、证明与推广》一、教学内容和内容解析本课内容为九年级总复习的综合与实践课，这是一些直觉与逻辑不符的例子，涉及到平移、一次函数、勾股定理、全等三角形、相似三角形角、平分线的性质、等腰三角形判定、三角形四边形的面积计算等相关知识。

同学们通过实验与操作(画图、测量、剪拼)、数形论证、推理求证等方法，辨明对错,解决问题。

通过学习让学生体会到:对于数学的结论，完全凭借直觉判断是不行的，还需要通过演绎推理来验证。

通过对“真假命题”的探究，有助于培养学生尊重科学、实事求是的态度，有助于启迪学生养成言之有据的科学态度，培养学生理性思维，敢于批判质疑的科学研究精神。

二、教学目标(1) 在解决问题的过程中综合运用所学的知识, 体会知识间的内在联系, 形成对数学的应用性认识.(2) 教师以具体实例让学生进行探究和陈述，旨在培养学生观察、比较、综合、概括、判断、推理能力，激发学生进行深度思考，从而提升学生的逻辑思维能力。

三、教学问题诊断分析数学活动经验是学生个人经验的重要组成部分，是学生学习数学、提升核心素养的重要基础之一。

数学活动经验是在做和思考中积淀的，教师应该帮助学生利用已有的知识经验，积极参与到数学学习活动中去，促使学生进行数学思考。

因此，本节课的教学重点是：创新教学形式，让教学充满趣味，充满活力，更充满“诱惑”，激发学生探究的欲望，主动尝试，综合运用初中三年所学知识积极实践。

本节课的教学难点是“活动5 剪下重拼,面积怎么少了一个单位？”。

在实际教学中可以引导学生先看图，再让学生分组将图开，动手操作发现矛盾（64＝65？）。

然后，尝试找出理由并尝试证明，最后表达收获。

四、教学支持条件分析本节课以“抛出问题、明确矛盾──尝试探索、操作实践──表达说理、交流方法──总结思想、提升素养”的模式展开，引导学生从一个个直觉与逻辑不符的例子出发，提出问题与学生共同探索、讨论解决问题的方法，让学生经历探索与应用的过程，培养学生理性思维，敢于批判质疑的科学研究精神。