猜想证明拓广课件

数学小故事一
蜂蜜，人人喜爱的补品；蜜蜂，勤劳的象 征；蜂房，蜜蜂制作蜂蜜的巢穴，蜂房的奇 妙结构令无数学者和数学家们赞叹不已，蜜 蜂建筑蜂房的本领使人类的许多建筑师感到 惭愧。早在公元前300年前后，亚历山大的 巴鲁士就研究过蜂房的形状，他认为六棱柱 的巢是最经济的结构。
蜂房的表面是由正六边形构成的，蜜蜂 之所以建筑这种消耗最少材料的蜂房，那是 因为蜜蜂“懂得”其中的数学道理。
作业： 1.发现自己生活中与数学相关 的事件，用照片或视频记录下 来； 2.发现动物世界中与数学相关 的事件，用照片或视频记录下 来。
艺术的都要知道计算角度和黄金分割点！
从买菜时的算术，到列车时刻表，到航
天飞机的发射……哪个环节离得了数学。从IT，
到建筑，到金融，到税务，到设计……哪个行
业离得了数学。数学真的是无时不在，无处不
在啊！
学习目标
1．感受数学的存在； 2．体会数学的重要性和学习的 必要性； 3．感受数学的乐趣，树立学好 数学的信心。
发开 现启 数生 学活 的的 奥智 秘慧
•新密市第二初级中学 张爱云
宇宙之繁，无处
不用数学。
--------华罗庚
数学与我们的生活息息相关，首先作为
一门科学。数学是一切科学的源科学。科学的
终极目标是追求真理，哲学提供了方法论。而
数字则是最真的结果。不要说理工科，甚至学
数学小故事二
数学小故事三
生活中的趣味数学
缪勒•莱耶错觉
看看上面带箭头的两条线段，猜猜 看哪条更长，是上边那条吗？
生活中的趣味数学
“一笔画”的规律 你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个 图形吗？试试看！（不走重复路线）
生活中的趣味数学
烤面包的时间

长和面积的2倍?
问题二——具体实例分析
思考：矩形的形状有很多种，我们应该如何 展开探究？
要求：1、四人小组用同一数据展开研究。
比如：可以以长宽比为2:1类型，如果已知矩
形的长和宽分别为2和1,那么是否存在另一个矩形,它 的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.
2、独立思考后小组合作交流，小组代表汇报交流 的成果。
四、布置作业，巩固所学
1、181页1,2,3. 2、写篇小论文，把课题学习探索的过程
和探索得到的结果及你的感受体验整 理成数学小论文。
二、矩形 “倍增”（2倍） 问题探究
问题3
对于一个长和宽分别为m和n的矩形,是 否存在另一个矩形,它的周长和面积分别 是已知矩形周长和面积的2倍.
二、矩形“倍增” 探究
结论:
任意给定一个矩形,必然存在另一个
矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周
长和面积的2倍。
同学们,把我们对上述问题探究过程中的思路、 方法和感受与同伴进行交流,探讨一下我们学到了什 么？
此时周长应为 4 a , 它不是已知给定的正方形的
周长的2倍.所以无论从哪个角度考虑,都说明不 存在这样的正方形.
问题一
结论:
任意给定一个正方形，不存在另一个 正方形,它的周长和面积分别是已知正方 形周长和面积的2倍.
二、矩形 “倍增”（2倍） 问题探究
问题2
任意给定一个矩形,是否存在另一个
矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周
(3)也可以根据已知矩形的长和宽分别为2和1,那么 其周长和面积分别为6和2,所求矩形的周长和面积 应分别为12和4,设其长和宽分别为x和y,则得方程
组
x y xy 6
8是, 否有解的问题然后讨论它的解是否符

矩形周长和面积二分之一. 第9页
超越自我:已知等边ΔABC和点P,设点P到ΔABC三
边AB,AC,BC距离分别为 h1,h2,h3 .ΔABC高为h.
若点P在一边BC上如图(1),此时h3=0,可得结 论:“h1+h2+h3=h”，请直接应用上述信息处理以下 问题：
当点P在ΔABC内,如图(2),点P在ΔABC外,如图
结论:假如矩形长和宽分别为2和1,3和1,4和1,5和1时.都 不存在另一个矩形,它周长和面积分别是已知矩形周长和 面积二分之一.
第6页
想,做,悟 15
挑战“自我”
由特殊到普通
我们已经知道:假如矩形长和宽分别为2和1,3和1,4 和1,5和1时.都不存在另一个矩形,它周长和面积分 别是已知矩形周长和面积二分之一.这个结论是否含 有普通性?
由b2-4ac=32-4×2×2=-7<0,知道这个方程没有实数根.
结论:假如矩形长和宽分别为2和1,那么不 存在另一个矩形,它周长和面积分别是已知 矩形周长和面积二分之一.
第5页
想,做,悟 14
挑战“自我”
由特殊到普通
解:当假如矩形长和宽分别为3和1,4和1,5和1时.设所求 矩形长为x, 依据题意所得方程都有没有实数根解,则说明 这么矩形不存在.
第4页
想,做,悟 13
挑战“自我”
由特殊到普通
解:假如矩形长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别
为6和2,所求矩形周长和面积应分别为3和1.设所求矩形
长为x,那么它宽为1.5-x,其面积为x(1.5-x).依据题意,
得
x(1.5-x)=1.
即
2x2-3x+2=0.
假如这个方程有解,则说明这么矩形存在.

2、每小组选一种情况进行说明。
3、整理并写出完整的解答过程。
4、尝试更多的方法解决。
3 倍增问题——猜想
任意给定一个矩形，是否存在另 一个矩形，它的周长和面积分别 是已知矩形周长和面积2倍.
猜想的结论是：存在.
3 倍增问题——证明
从特殊到一般：
当已知矩形的长和宽分别为n和m时， 是否仍然有相同的结论？
九年级数学(上) 综合与实践
课题学习：猜想，证明与拓广
1 七桥问题的解决经历了哪几步？
验证 猜想
欧拉怀疑七 桥问题是不 是本来就无 解呢
A
建模
C
证明
B
延伸
D
拓广
拓扑学
探究活动一：初步感知探究模式
提出问题：
生活在草原上的小明家有一个用篱笆围成的 正方形羊圈，随着羊的数量的增加，需要重 建一个更大的羊圈,那么能否新建一个正方形 羊圈,使得它的周长和面积都是本来的2倍?
的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半?
2.如果已知矩形的长和宽分别为3和2，是否还有相同的结论?
3.如果已知矩形的长和宽分别为4和1呢?
4 减半问题——验证
任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长 和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.
解：当如果矩形的长和宽分别为2和1，3和2，4和1时
那么所求矩形的周长和面积应分别为 m+n 和
.
设所求矩形的长为x，那么它宽为
其面积为
根据题意，得 由
,即
知道,只有当 m2+n2≥6mn 时，这个方程才有实数根.
结论:矩形长宽满足m2+n2≥6mn时，才存在。
5 课堂小结
特例验证 大胆猜想 建立模型 严格证明 延伸拓广

小明的结论
• 小明的结论是正确的，理由是：既然任意 给定一个矩形，它的周长和面积是已知矩 形周长和面积的2倍，也就是任何一个矩形 的周长和面积可以同时“加倍”，那么， 原矩形自然满足新矩形的“减半”要求， 即原矩形的周长和面积分别是新矩形周长 和面积的一半。
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猜想、证明与拓广
正方形
• 设定正方形的边长是a，则面积为a² • 周长加倍，即边长为2a，面积是4a² • 面积加倍，变为2a²，则边长为 2 a
• 结论：
•
无论从哪方面考虑，都说明不存在这
个正方形。
矩形
• 设定矩形的长为m，宽为n，周长是2(m+n), 面积是mn，有另一个矩形的周长与面积是 原矩形的2倍
• 得方程x[2(m+n)-x]=2mn
• 解得x1=m+n+√(m2+n2)
•
x2=m+n-√(m2+n2)
Байду номын сангаас
• 当长为x1，宽为m+n-√(m2+n2) • 而宽为x2，长为m+n+√(m2+n2)，长小于宽，
舍去。
• 所以，长为m+n+√(m2+n2)，宽为 m+n-√(m2+n2)
结论
• 任意给定一个矩形，必然存在另一个矩形， 它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2 倍。

猜想、证明与拓广
探究活动一
任意给定一个正方形，是否存在另一个 正方形，它的周长和面积分别是已知正 方形周长和面积的2倍？
周长变大为2倍
面积变大为2倍
探究活动一
已知正 所求正方 所求正方
方形
形
形
边长 1
周长 4 面积 1
8（周长固定 为2倍）
2（面积固定 为2倍）
探究活动一
猜想： 不存在周长和面积分别是已知正方形周长和面积2倍的正方形。
宽分别为
。
2、已知矩形的长和宽分别为m和n，则满足要求新矩形的长和
宽分别为
。
解：设新矩形的长为x；
已知矩形 长：m 宽：n
周长：2(m+n) 面积：mn
新矩形
长：x 宽：2(m+n)-x
周长：4(m+n) 面积：2mn
可列方程 x[2(n+m)-x]=2mn
解得
探究活动二 结论
任意给定一个矩形，必然存在另一个矩 形，它的周长和面积是已知正方形边长为a
代数方法 几何方法
结论：任意给定一个正方形， 不存在另一个正方形，它的 周长和面积分别是已知正方 形周长和面积的2倍。
探究活动二
任意给定一个矩形，是否存在另一个矩 形，它的周长和面积分别是已知矩形周 长和面积的2倍？
探究活动二
1、已知矩形的长和宽分别为2和1，那么你能找到 满足上面要求的矩形吗？
总结反思，方法提炼
探究与数学有关的问题时，我们往往要经历
问题情境
初步猜想
验证
拓广
证明
发现规律
布置作业，拓广所学
任意给定一个矩形，是否一定存在另一 个矩形，它的周长和面积分别是已知矩 形周长和面积的一半？

新北师大版义务教育教科书 数学九年级上册
猜想、证明与拓广 —来场头脑的风暴
成都市第十七中学 曾宪
鳄鱼还是木头？
任意两个数的平方和与这两个数积的 2倍哪一个大？
①你能举几个特例试一下吗？
②你的猜想是什么？
③你能证明你的猜想吗？
学校在搞基础建设，有一块地铺的正方形 地砖有点小，容易损坏又不好清洁，周校 长想把它换的大一点，这时曾经是数学老ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ师的周校长就提出了这样一个问题：对于 任意的一个正方形地砖，能不能让新换的 正方形地砖周长和面积都是原来正方形地 砖的2倍？
2(m n)2 8mn 4m2 4n2
x m n m2 n2
你今天学到了哪些解决问题的重要方 法？
课后思考： 1.任意给定一个矩形，是否一定存在另一
个矩形，它的周长和面积分别是已知矩 形周长和面积的一半？ 2.阅读课本168页的读一读，体会不一样 的证明方法
如果是食堂前的矩形地砖呢？
对于任意一个矩形地砖，能不能让新换的
矩形地砖的周长和面积都是原来矩形地砖 的2倍？
n m
2(m+n)-x x
原周长：2(m+n) 新周长：4(m+n)
原面积：mn
新面积：2mn
解：
x2(m n) x 2mn
x2 2(m n)x 2mn 0
波恩哈德·黎曼 -- 黎曼猜想
谢谢观看••••••

我!
驶向胜利 的彼岸
想,做,悟 13
挑战“自我”
由特殊到一般




分析:如果矩形的长和宽分别为m和n,那么其周长和面 积分别为2(m+n)和mn,所求矩形的周长和面积应分别 为4(m+n)和2mn. 从周长是4(m+n)出发,看面积是否是2mn; 解:如果设所求矩形的长为x,那么它宽为2(m+n)-x,其 面积为x[2(m+n)-x].根据题意,得 x[2(m+n)-x]=2mn. 即 x2-2(m+n)x+2mn=0. 驶向胜利 解这个方程得: 的彼岸
的彼岸
结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么 存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩 形周长和面积的2倍.
想,做,悟 11


挑战“自我”
猜想,证明与拓广


(2)从面积是4出发,看周长是否是12. 解:如果设所求矩形的长为x,那么宽为4/x,其周长为 x+4/x).根据题意,得 x+4/x=6. 即 x2-6x+4=0. 显然这个方程有解,由此说明这样的矩形存在. 解这个方程得: x1 3 5, x2 3 5. 驶向胜利 x
的彼岸
结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么 存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩 形周长和面积的2倍.
想,做,悟 12
挑战“自我”
由特殊到一般




如果已知矩形的长和宽分别为3和1,是否还有相同的 结论? 如果已知矩形的长和宽分别为4和1,5和1,……,n和1 呢? 更一般地,当已知矩形的长和宽分别为m和n时,是否仍 然有相同的结论? 还等什么！用实际行动证明:第一个得到结论的是