《猜想、证明与拓广》樊丹子---说课分解

证明、猜想、拓广--------记北师大版九年级数学(上)中的课题探究问题：是否存在一个矩形，其周长和面积都是已知矩形周长和面积的若干倍。

探究过程：从学生熟悉的简单情形出发，引导学生逐步思考一个个看似简单但又颇具有挑战性的问题，不断经历猜想、判断以及综合运用二次方程，方程组、不等式、函数等知识，在做中学，体验用数学的眼光观察整个世界，用数学的方式来解决实际问题，这个课题学习是一个开放性，研究性的课题，主要意图是提供一个思考、探究的平台，在活动中体现归纳、综合与拓广，感悟处理问题的策略和方法，积累数学活动的经验。

一、 任意给定一个正方形，是否一定存在另一个正方形，使得其周长和面积都是原来的2倍？猜想，证明，并拓广。

猜想：任意给定一个正方形，一定不存在另一个正方形，使得其周长和面积都是原来的2倍。

证明：如图1所示，设原来正方形边长为a 。

则原来正方形的周长C 1=4a ，面积S 1=a 2，那么新正方形的边长必定是2a ，新正方形的周长C 2=8a ，面积S 2=4a 2，但此时2221S 4a 42S a ==≠所以，原猜想正确。

评注：本猜想的证明还可以固定新正方形的面积是原正方形面积的2倍；也可以利用相似形的知识来证明，若新正方形周长与原来正方形周长的比为21C 2C =，则其相似比k=2，因此，新正方形面积与原正方形面积比为221S k 42S ==≠；等等。

拓广：1． 任意一个正多边形，一定不存在另一个正多边形，使得其周长和面积都是原来的n 倍(n ≠1)；2． 任意给定一个圆，琔 不存在另一个圆，使得其周长和面积都是的n 倍(n ≠1)；二、 任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，使得其周长和面积都是原来的2倍？猜想，证明，并拓广。

猜想：任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，使得其周长和面积都是原来的2倍？(简称加倍矩形)证明：如图2所示，设原来矩形的长和宽分别为a ，b(a>b)，新矩形的长为x ，则由新矩形的周长是原来矩形周长的2倍，新矩形的宽为2a+2b-x 。

课题学习：猜想证明与拓广【教材的章节、页码】北师大新世纪教材九年级上学期第五章《反比例函数》第六节《课题学习：猜想、证明与拓广》第150页。

【Z+Z版本】Z+Z智能教育平台新世纪版八上【使用环境】学生在网络教室操作。

【教学目的】使学生能通过课件拓展看问题的角度，达到课题学习的目的：综合运用数学知识，在解决问题的过程中综合运用所学知识，体会数学知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识。

提高用数形结合的方法从不同角度思考问题的能力。

【课件特点】兼备展示性和学生可操作性的课件，即可以利用“广播教学”向全体学生展示新矩形的产生和发展过程，及函数图象的生成过程。

又可以让每一个学生获得亲自操作的机会，学生甚至可以当堂作出相应的函数图象以解决其它特殊值的问题。

拖动变量滑块，还可以清晰的观察减半矩形的存在是有条件的。

【案例】师：我们可以先固定矩形的面积为4，观察并拖动屏幕中的矩形，其周长能达到12吗？生：边思考边操作，面积为4的矩形，其周长可以为12。

师：那么这个矩形的长与宽之间有什么关系呢？我们以长为横坐标、宽为纵坐标，追踪一下看看生：形成了一条双曲线师：你想知道符合条件的长与宽决定的是哪一个点吗？再看将矩形的周长固定，图中出现了什么？生：出现了一条直线生：符合条件的点就是直线与双曲线的交点。

师：这样我们就可以从另一个角度来解决这个问题了，它体现了数形结合的思想。

你能提出类似的问题并加以解决吗？生：我们可以研究三倍矩形的存在性师：说的好，同学们打算怎样解决这个问题啊？生：我可以在Z+Z里直接作出特殊值所对应的函数图象，看看有没有交点就行了。

【设计思路】首先，通过事先作好的课件动态展示新矩形的形状变化过程，让学生通过亲自操纵鼠标边观察数据的变化，边观察矩形的形状变化，能够真切的感受到数与形的结合其次，利用数据追踪生成函数图象功能，先用两动点的横、纵坐标表示两矩形的长、宽的数值，再跟踪动点运动的每一个位置，渐渐生成了直线和双曲线的函数图象，这样可以直观的展示出两函数图象的交点，再次从“形数结合”的角度解决该课题研究的内容；最后，在知识的拓广部分研究三倍矩形的存在性时，有些学生就直接利用Z+Z画函数图象的功能，在几秒钟内完成两个函数图象交点存在性的研究，从而解决了三倍矩形的存在性问题。

北师大版九年级（上）猜想、证明与拓广教学设计吕永芳一、内容解析课题学习是初中数学四大领域之一的重要内容，课题学习设计的意图是为了将前面某领域内所学知识进行综合，加深知识间的理解水平，或在数学内部不同领域间建立起联系，或把数学内容与其它学科内容沟通在一起，建立起数学与其它学科的联系。

本节课是北师大版九年级（上）的课题学习《猜想、证明与拓广》的第1课时，它是在学生已经学完证明（二）、证明（三）及一元二次方程和反比例函数的基础上设计的开放性、研究性的课题，主要意图是给学生提供一个思考、研究的平台，在活动中体会和把握猜想、证明与拓广的数学化思维模式，将数学最本质的东西——思想和方法进行汇总和梳理，同时感悟处理问题的策略和方法，积累数学活动经验。

因此本节课是数学学习中非常重要的一节思维训练课。

二、目标与目标解析1、教学目标：（1）经历猜想、证明与拓广的过程，掌握猜想、证明与拓广的方法，培养问题意识和自主探索的能力，获得探索和发现的体验；（2）在问题解决过程中综合运用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体认识；（3）在探索过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必要性；（4）在合作交流过程中扩展思路，发展学生的推理能力，培养团队合作精神。

2、目标解析：本课题学习整体上是一个开放性、研究性的课题，教学设计依照数学化的进程展开，在围绕“是否存在与已知图形的周长和面积同时倍增的图形”的一系列问题展开的，学生在经历这些问题的探索中加深对数学的领悟，教学实施中对问题的思考以自然的、启发性的方式进行探究，从中学习并感受数学知识的发生历程，其蕴含的“问题情境→猜想→验证→发现规律→证明→拓广”这一数学模式及由特殊到一般、数形结合的思想方法是学生应重点把握的。

本课题学习的目的不在于对某个具体问题的解决，而在于对猜想、证明与拓广能力的培养，因此如何在教学实施中使学生学会猜想，学会证明，学会拓广是本节课的教学重点更是难点，为此我在教学设计中将通过在学生经历猜想、证明与拓广的每一阶段后及时进行反思提炼，总结方法来培养学生猜想、证明与拓广的能力。

《猜想、证明与拓广》（第1课时）说课稿设计理念：创造性地使用教材，改变课本因过多重复计算而显得枯燥无味的局面，摆脱教材编写模式的束缚，增强课堂过程的趣味性；通过对教材内容的提炼和重组，精心设计可操作性强、开放性适度的活动项目，体会实验活动和归纳的局限性以及证明推理的必要性。

让学生在愉快的活动中学习，实现数学活动人人参与，“不同的人在数学上得到不同的发展”的新课标理念。

一、说教材1．教材的地位和作用《猜想、证明与拓广》是北师大版九年级上册课题学习的内容，本课是在学生学习了一元二次方程、证明（二）、证明（三）、反比例函数的基础上，围绕着中心课题——图形的周长和面积“倍增”（以下简称图形“倍增”），通过一系列具体问题逐渐展开，其主要意图是引导学生通过自主探索活动，综合运用已学的数学知识，体验处理问题的策略和方法，提高解决问题的能力。

2．学情分析在本节课之前，学生已经学习了“方程（组）”、“函数”“反证法”等知识，也学习过从特殊到一般的思想方法，掌握了类比，转化的思想。

3．教学目标(一)教学知识点探索“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”的议题.(二)能力训练要求1．经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索的意识。

2．在问题解决的过程中综合运用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识。

3．在探究过程中，感受由特殊到一般、形数结合的思想方法，体会证明的必要性。

4．在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力。

(三)情感与价值观要求1．积极参与数学活动，积极思考并与同学合作交流.2．获得成功的体验和克服困难的经历，增强运用数学的信心.根据新课程下创建高效课堂理念，让学生在经历探索过程中培养交流合作意识，提升解决问题的能力，从而更利于学生理解数学知识，获得发展。

结合本课内容，我认为重点是：探究“任意给定一个矩形.是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”，从而获得解决问题的方法和途径。

综合与实践—猜想、证明与拓广一、说教材（一）、教材的地位和作用《猜想、证明与拓广》是北师大版九年级上册课题的内容，本节课学习是一个开放性研究性课题，为学生提供了一个思考探究的平台，本课题学习的背景是任意给定一个矩形，是否存有另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？本课题学习在学生学习过程当中具有很强的提升作用，让学生在解决问题当中去体验和领悟解决问题的方法策略，让学生通过本课题的学习不但掌握知识技能，更能举一反三，培养数学推理水平和逻辑思维水平。

（二）、学情分析知识基础：本节课前，学生已基本掌握一元二次方程的思想，方程的根与系数之间的关系，积累了简单方程的处理和分析经验。

认知水平：初三学生已经具备一些简单方程的处理水平，因为年龄及认知特点，理性理解强于感性理解。

（三）、教学目标知识技能方面：在合作交流当中，拓展思路，发展学生的推理水平。

过程与方法：在问题探究过程当中综合使用所学的知识，体会知识的内在联系，形成对数学的整体性理解，在探究过程中，感受从特殊到一般，数形结合的数学方法，体会证明的必要性。

情感态度目标：经历猜想、证明与拓广过程，增强问题意识，获得探索和发现的体验，感悟处理问题的策略和方法。

（四）、教学重点、难点重点：通过对一个开放性、探究性的问题的探索，获得探索和发现的体验，感悟处理问题的策略和方法。

难点：从特殊到一般，启发学生综合使用一元二次方程，方程组等知识发现具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法。

突破重难点策略：从数学学习的必要性入手，通过学生的小组互动探讨，增强对数学研究思想的理解，并配合创设的情景，使学生掌握猜想、证明与拓广的方法。

二、说教法与学法：教法：本节课我采用探究讨论模式，由浅入深设置问题，从特殊图形，特殊数字出发，引导学生解决问题，掌握从特殊到一般的数学研究思想，使学生初步了解建模的思路（建立一元二次方程解决几何问题）学法：本节课我采取了“自主探究，动手实验及小组合作探究”的方法，相互交流，互相探索，让学生产生意见的分歧，并且产生数学思想，使各层次学生水平都有发展。

[原创]课题学习：猜想证明与拓广（1）doc初中数学猜想、证明与拓广汪国刚贵阳市开阳县宅吉中学课时安排2课时镇定讲课本课题学习中的课题背景是：是否存在一个矩形，其周长与面积是矩形周长与面积相同的假设干倍.探究活动从学生熟悉的简单情形动身，引导学生逐步摸索一个个看似简单但又具挑战性的咨询题，不断经历判定、选择及综合运用二次方程、方程组、不等式、函数等知识的过程，在做中学，体验以数学的方式来做数学.本课题学习整体上是一个开放性、研究性的课题，要紧意图不在于回答一些具体咨询题，而是提供一个摸索、探究的平台，在活动中表达归纳、综合和拓展.感悟处理咨询题的策略和方法，积存数学活动的体会.在内容设计上，教科书为学生自主探究留有较大空间：通过〝做一做〞积存体会，通过〝想一想〞诱导发觉，〝议一议〞中提出的咨询题均有一定深度和相当大的弹性，不同的学生能够找到自己感爱好的咨询题，在〝读一读〞中引出两种思路，对咨询题的解决有专门大的启发性.教学时要为学生提供充分摸索和交流的空间，鼓舞学生在自主探究和推测的基础上及时交流自己的方法和做法，能够采纳小组合作的方法进行教学，注意咨询题的连贯性和前后内容的一致性，引导学生分类研究，由专门到一样，启发学生发觉更具一样性的结论，查找一样性的解决方法，对不同学生有不同要求，分层教学，渗透处理咨询题的策略和方法.第一课时课题课题学习——猜想、证明与拓广(一)教学目标(一)教学知识点探究〝任意给定一个矩形.是否存在另一个矩形，它的周长和面积分不是矩形周长和面积的2倍〞的议题.(二)能力训练要求1.经历猜想、证明、拓广的过程，增强咨询题意识和自主探究的意识.2.在咨询题解决的过程中综合运用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识.3.在探究过程中，感受由专门到一样、形数结合的思想方法，体会证明的必要性.4.在合作交流中扩展思路，进展学生的推理能力.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，积极摸索并与同学合作交流.2.获得成功的体验和克服困难的经历，增强运用数学的信心.教学重点探究〝任意给定一个矩形.是否存在另一个矩形，它的周长和面积分不是矩形周长和面积的2倍〞，从而获得解决咨询题的方法和途径.教学难点从专门到一样，启发学生综合运用一元二次方程、方程组、不等式等知识发觉具有一样性的结论，寻求一样性的解决方法.教学方法自主探究——合作交流.教具预备多媒体演示教学过程Ⅰ.创设情境咨询题，搭建探究平台[咨询题1]任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分不是正方形周长和面积的2倍?你是如何样做的?你有哪些解决方法?你能提出新的咨询题吗?[咨询题2]任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分不是矩形周长和面积的2倍?请大伙儿结合自己学过的知识，认识摸索咨询题1，并谈谈你自己的方法.[生1]假设给定的正方形的边长是1，那么它的周长是4，面积是1，另一个正方形周长变成它的2倍，即周长变为4×2＝8，面积那么变成了(48)2＝4，即那个正方形的面积是原先正方形面积的4倍.假设另一个正方形面积变成原正方形的2倍，即面积变为2.那么那个正方形周长变为42.我认为不存在另一个正方形.它的周长和面积分不是正方形周长和面积的2倍.[生2]生1举的只是一个特例，不见得就没有存在的情形.[师]到底存不存在，同学们可在小组内讨论交流，然后发表看法.[组1]我们组找了几个的正方形，都不存在另一个正方形，它的周长和面积是正方形周长和面积的2倍.[组2]我们组从一样情形下证明不存在，设给定的正方形的边长为a ，那么其面积为a 2,周长为4a ，假设周长倍增，即周长变为8a 正方形的边长变为2a.面积变为4a 2.不符合要求；假设面积倍增，即面积变为2a 2，正方形的边长变为a 2，周长变为4a 2，不符合要求，即不管从哪个角度考虑，都讲明不存在如此的正方形.[师]专门好!我们举几个特例猜想如此的正方形不存在，又从一样情形验证了如此的正方形确实不存在.同学们差不多历丁—一个数学咨询题的解决过程，但假如将咨询题1拓展，正方形不具有如此的特点，我们学过的其他图形如三角形、矩形、菱形等是否具有如此的特点呢?11.展现思维过程，构建探究空间[师]你是如何摸索咨询题2的?[生]矩形的形状太多了，我们能够先来研究一个具体的.[师]专门好，我们就来先看一个专门的、具体的矩形.多媒体演示：做一做假如矩形的长和宽分不是2和1.结论会如何样呢?你是如何做的?与同伴交流.[生]矩形的长和宽分不是2和1，那么其周长和面积分不为6和2，那么所求矩形的周长和面积分不为12和4.能够先固定所求矩形的周长：周长为12的矩形专门多，它们的长和宽能够是5和1，4和2，3和3，也能够是和和21121……其中是否有面积为4的呢?我们能够去尝试着找一下. (教师一定要给学生时刻和空间去探究、推测) [生]如此找太费劲。