高中数学人教B版选修2-1练习：综合水平测试

04课后课时精练一、选择题1. 下列命题正确的有( )①空间向量就是空间中一条有向线段；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件；③|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件；④AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A. 1个 B. 2个 C. 3个D. 4个解析：①不正确．有向线段可以表示向量，但不是向量． ②正确，∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →.又A ，B ，C ，D 不共线，∴四边形ABCD 是平行四边形． 反之，在▱ABCD 中，AB →＝DC →.③正确．a ＝b ⇒|a |＝|b |，|a |＝|b |D ⇒/a ＝b .④不正确.AB →＝CD →⇒|AB →|＝|CD →|，AB →与CD →同向．但是向量可以平移，起点位置不确定．答案：B2. A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点( )A. 不共面B. 共面C. 不一定共面D. 无法判断是否共面解析：OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →＝34OA →＋18(OA →＋AB →)＋18(OA →＋AC →) ＝OA →＋18AB →＋18AC →， ∴OP →－OA →＝18AB →＋18AC →， ∴AP →＝18AB →＋18AC →.由共面的充要条件知P ，A ，B ，C 四点共面． 答案：B3．在四面体O —ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝( )A. 12a －14b ＋14cB. a －12b ＋12cC. 12a ＋14b ＋14cD. 14a ＋12b ＋14c解析：OE →＝OA →＋AE →＝a ＋12AD →＝a ＋12(OD →－OA →) ＝12a ＋12OD →＝12a ＋12×12(OB →＋OC →) ＝12a ＋14b ＋14c . 答案：C4．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则( )A ．a ∥e 1B ．a ∥e 2C ．a 与e 1、e 2共面D ．以上三种情况均有可能解析：假设a 与e 1共线，则a ＝k e 1，所以a ＝λe 1＋μe 2可变为(k －λ)e 1＝μe 2，所以e 1与e 2共线，这与e 1与e 2不共线相矛盾，故假设不成立，即A 不正确，同理B 不正确，则D 也错误．答案：C5．下列条件能使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A. OM →＝2OA →－OB →－OC → B. OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C. MA →＋MB →＋MC →＝0 D. OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0解析：在C 中，MA →＝－MB →－MC →，∴MA →、MB →、MC →共面．∴M 、A 、B 、C 一定共面，故C 正确．在A 、B 、D 三个选项中，OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →的式子中，x＋y ＋z ≠1，故全错．答案：C6．在空间四边形OABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 的中点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则下列命题：①AB →＝a ＋b ；②BE →＝b ＋12(a ＋c )；③CF →＝12(a ＋b )－c ；④AF →＝－12a ＋12b ；⑤AD →＋BE →＋CF →＝0，其中正确的命题为( )A ．①②③B ．①②④C ．③④⑤D ．②③⑤解析：如图，AB →＝OB →－OA →＝b －a ，∴①错；BE →＝OE →－OB →＝12(a ＋c )－b ，∴②错．答案中只有C 不含①②，故选C.答案：C 二、填空题7．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使 λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．解析：∵A ，B ，C 三点共线， ∴存在唯一实数k 使AB →＝kAC →， 即OB →－OA →＝k (OC →－OA →)， ∴(k －1)OA →＋OB →－kOC →＝0， 又λOA →＋mOB →＋nOC →＝0， 令λ＝k －1，m ＝1，n ＝－k ， 则λ＋m ＋n ＝0. 答案：08．若G 为△ABC 内一点，且满足AG →＋BG →＋CG →＝0，则G 为△ABC 的________．(填“外心”“内心”“垂心”或“重心”)解析：如图，取BC 的中点O ，AC 的中点D ，连接OG 、DG .由题意知AG →＝－BG →－CG →＝GB →＋GC →＝2GO →，同理BG →＝2GD →，故G 为△ABC 的重心．答案：重心9．如图，已知边长为1的正四面体O －ABC ，边OA 的中点为M ，自O 作平面ABC 的垂线OH 与平面ABC 交于点H ，与平面MBC 交于点I ，将OI →用OA →，OB →，OC →表示为________．解析：易知H 是正三角形ABC 的中心，所以OH →＝13(OA →＋OB →＋OC →)．又I 在OH 上，故存在实数λ，满足OI →＝λOH →，故OI →＝λ3(OA →＋OB →＋OC →)＝λ3(2OM →＋OB →＋OC →)．因为I 在平面MBC 内，所以2λ3＋λ3＋λ3＝1，所以λ＝34，于是OI →＝14OA →＋14OB →＋14OC →.答案：OI →＝14OA →＋14OB →＋14OC →三、解答题10．如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 分CA →所成的比为2∶1，N 分DA 1→所成的比为1∶2，设AB →＝m ，AD →＝n ，AA 1→＝t ，试将MN →表示成m 、n 、t 的关系式．解：连接AN ，则MN →＝MA →＋AN →，由已知得四边形ABCD 为平行四边形，故AC →＝AB →＋AD →＝m ＋n ，又MA →＝－13AC →＝－13(m ＋n )，AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →＝13(t ＋2n )，MN →＝MA →＋AN →＝－13(m ＋n )＋13(t ＋2n )＝13(n ＋t －m )．11．已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点(如右图)，并且OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OH →＝kOD →，AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →.求证：(1)A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面； (2)AC →∥EG →；(3)OG →＝kOC →.证明：(1)由AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →，知A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面．(2)∵EG →＝EH →＋mEF → ＝OH →－OE →＋m (OF →－OE →) ＝k (OD →－OA →)＋km (OB →－OA →) ＝kAD →＋kmAB → ＝k (AD →＋mAB →)＝kAC →， ∴AC →∥EG →.(3)由(2)知OG →＝EG →－EO →＝kAC →－kAO →， ＝k (AC →－AO →)＝kOC →， ∴OG →＝kOC →.12. 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，M 为PD 的中点，证明PB ∥平面ACM .(用向量法)证明：∵M 是PD 的中点，∴PM →＝MD →. 又∵PB →＝PM →＋MA →＋AB →＝PM →＋MA →＋AC →＋CB → ＝PM →＋MA →＋AC →＋DA → ＝PM →＋MA →＋AC →＋MA →－MD →.∴PB →＝2MA →＋AC →.∴PB →、MA →、AC →共面． 又∵PB ⊄平面ACM ，∴PB ∥平面ACM .。

2.4.3抛物线习题课一、选择题1．P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p ≠0)上任一点，则P 到焦点的距离是( ) A ．|x 0－p2|B ．|x 0＋p2|C ．|x 0－p |D ．|x 0＋p |[答案] B[解析] 利用P 到焦点的距离等于到准线的距离，当p >0时，p 到准线的距离为d ＝x 0＋p 2；当p <0时，p 到准线的距离为d ＝－p 2－x 0＝|p2＋x 0|.2．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y [答案] B[解析] 由题意，知抛物线的标准方程为：y 2＝2px (p >0)，又准线方程为x ＝－7，∴p ＝14.3．抛物线y 2＝－4px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，则p 表示( ) A ．F 到l 的距离 B ．F 到y 轴的距离 C ．F 点的横坐标 D ．F 到l 的距离的14[答案] B[解析] 设y 2＝－2p ′x (p ′>0)，p ′表示焦点到准线的距离，又2p ′＝4p ，p ＝p ′2，故P 表示焦点到y 轴的距离．4．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝8，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4[答案] A[解析] 设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，则由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋p2＝x 2＋1，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝10.5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则一定有y 1y 2x 1x 2等于( ) A ．4 B ．－4 C ．p 2D ．－p 2[答案] B[解析] 设过焦点的直线方程为x ＋ay －p2＝0(a ∈R )，则代入抛物线方程有y 2＋2apy－p 2＝0，故由根与系数的关系知y 1y 2＝－p 2.又由y 21＝2px 1，①y 22＝2px 2，②①②相乘得y 21y 22＝4p 2x 1x 2，∴x 1x 2＝p 24，∴y 1y 2x 1x 2＝－4. 6．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( )A ．2或－2B ．－1C ．2D ．3[答案] C[解析] 由⎩⎨⎧y 2＝8xy ＝kx －2得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，则4(k ＋2)k2＝4，即k ＝2. 7．(2010·山东文，9)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案] B[解析] 本题考查了抛物线的方程及中点弦问题，属圆锥曲线部分题型，可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴y 1＋y 22＝2，⎩⎨⎧y 21＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ②①－②得y 21－y 22＝2p (x 1－x 2)⇒y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p y 1＋y 22，∴k AB ＝1＝p 2⇒p ＝2，∴y 2＝4x ，∴准线方程式为：x ＝－1，故选B.8．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为( )A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)[答案] B[解析] 依题意F (1,0)设A 点坐标为(x ，y )，则OA →＝(x ，y )，AF →＝(1－x ，－y )， OA →·AF →＝x (1－x )＋y (－y )＝x －x 2－y 2，x －x 2－4x ，＝－x 2－3x ＝－4.即x 2＋3x －4＝0解之得x ＝1或x ＝－4 又∵x ≥0，∴x ＝1，y 2＝4，y ＝±2. ∴A (1，±2)．9．一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)[答案] B[解析] 由抛物线定义知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，又动圆圆心在抛物线上且恒与x ＋2＝0相切．∴动圆过定点F (2,0)，故选B.10．(2008·宁夏、海南)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2)[答案] A[解析] 依题意，抛物线的焦点F (1,0)，准线为l x ＝－1.过Q 点作直线l 的垂线交抛物线于P 点，交准线l 于M 点，则|QP |＋|PF |＝|QP |＋|PM |＝|QM |＝3为所求的最小值，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1.故选A.二、填空题11．P 点是抛物线y 2＝4x 上任一点，到直线x ＝－1的距离为d ，A (3,4)，|PA |＋d 的最小值为________．[答案] 2 5[解析] 设抛物线焦点为F (1,0)则d ＝|PF |，∴|AP |＋d ＝|AP |＋|PF |≥|AF |＝(3－1)2＋(4－0)2＝2 5. 12．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是________．[答案] 2x －y ＋4＝0[解析] 设y ＝3x 2－4x ＋2在M (1,1)处切线方程为y －1＝k (x －1)，联立得⎩⎨⎧y ＝3x 2－4x ＋2，y －1＝k (x －1)，∴3x 2－(k ＋4)x ＋(k ＋1)＝0. ∵Δ＝0，∴k ＝2.∴过P (－1,2)与切线平行的直线为2x －y ＋4＝0.13．已知点P 在抛物线y 2＝2x 上运动，点Q 与点P 关于(1,1)对称，则点Q 的轨迹方程是________．[答案] y 2－4y ＋2x ＝0[解析] 设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )由已知得⎩⎨⎧x 0＋x ＝2，y 0＋y ＝2∴x 0＝2－x ，y 0＝2－y ，又P (x 0，y 0)在y 2＝2x 上， ∴(2－y )2＝2(2－x ) 即y 2－4y ＋2x ＝0.14．(2010·全国Ⅱ理，15)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B .若AM →＝MB →，则p ＝______.[答案] 2[解析] 如图，设B (x 0，y 0)，则MK ＝12BH ，则x 0＋p2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 2有x 0＝p2＋2.可得y 0＝p 2＋4p ，又直线AB 方程为y ＝3(x －1)，代入有p 2＋4p ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋2－1，解得p ＝2. 三、解答题15．已知抛物线y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线满足下列条件：①只有一个公共点； ②有两个公共点； ③没有公共点．[解析] 由题意得直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)， 由⎩⎨⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，消去x 得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0①，当k ＝0时，由方程①得y ＝1，把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14，此时，直线l 与抛物线只有一个公共点(14，1)．当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．①当Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1或k ＝12，此时方程①只有一解，方程组只有一个解，直线l 与抛物线只有一个公共点．②当Δ>0，即2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12，所以－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点．③当Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k >12或k <－1，此时，直线l 与抛物线没有公共点．综上所述可知当k ＝0或k ＝－1或k ＝12时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k <－1或k >12时，直线l 与抛物线没有公共点．16．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证OA ⊥OB ；(2)当△AOB 的面积等于10时， 求k 的值．[解析] (1)证明：如图所示，由方程组⎩⎨⎧y 2＝－xy ＝k (x ＋1)消去x 得ky 2＋y －k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由根与系数的关系知y 1y 2＝－1.因为A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，所以y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，y 21y 22＝x 1x 2，因为k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，所以OA ⊥OB .(2)解：设直线AB 与x 轴交于点N ，显然k ≠0，所以点N 的坐标为(－1,0)，因为S △OAB＝S △OAN ＋S △OBN＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|，所以S △OAB ＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12(1k )2＋4，因为S △OAB ＝10，所以10＝121k 2＋4，解得k ＝±16. 17．设抛物线y 2＝8x 的焦点是F ，有倾斜角为45°的弦AB ，|AB |＝85，求△FAB 的面积．[解析] 设AB 方程为y ＝x ＋b ，由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，y 2＝8x .消去y 得：x 2＋(2b －8)x ＋b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2b ，x 1·x 2＝b 2.∴|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝2×(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2 ＝2[(8－2b )2－4b 2]＝85，解得：b ＝－3.∴直线方程为y ＝x －3.即：x －y －3＝0， ∴焦点F (2,0)到x －y －3＝0的距离为d ＝12＝22.∴S △FAB ＝12×85×22＝210. 18．已知抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线l ：y ＝k (x －1)＋1对称，求实数k 的取值范围．[解析] 设抛物线上的点A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)关于直线l 对称．则⎩⎪⎨⎪⎧k ·y 1－y2y 21－y 22＝－1y 1＋y 22＝k (y 21＋y222－1)＋1得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－k y 1y 2＝k 22＋1k －12，∴y 1、y 2是方程t 2＋kt ＋k 22＋1k －12＝0的两个不同根．∴Δ＝k 2－4(k 22＋1k －12)>0得－2<k <0.。

本册综合素质检测(一)时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．命题“∀a 、b ∈R ，如果a ＝b ，则a 2＝ab ”的否命题是( )A ．∀a 、b ∈R ，如果a 2＝ab ，则a ＝bB ．∀a 、b ∈R ，如果a 2＝ab ，则a ≠bC ．∀a 、b ∈R ，如果a 2≠ab ，则a ≠bD ．∀a 、b ∈R ，如果a ≠b ，则a 2≠ab [答案] D[解析] 否命题既否定条件，又否定结论，故原命题的否命题是“∀a 、b ∈R ，如果a ≠b ，则a 2≠ab ”．2．下列说法中正确的是( )A ．“x >5”是“x >3”的必要条件B ．命题“∀x ∈R ，x 2＋1>0”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋1≤0”C ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数D ．设p 、q 是简单命题，若p ∨q 是真命题，则p ∧q 也是真命题 [答案] B[解析] 命题“∀x ∈R ，x 2＋1>0”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋1≤0”，故选B.3．已知A 、B 、C 三点不共线，对于平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是( )A.OM →＝OA →＋OB →＋OC →B.OM →＝2OA →－OB →－OC →C.OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →D.OM →＝12OA →＋13OB →＋16OC →[答案] D[解析] 若点M 与点A 、B 、C 一定共面，则OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →且x ＋y ＋z ＝1，故选D. 4．已知方程x 21＋k ＋y 24－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k <4B ．k <－1或k >4C ．k <－1D ．k >4[答案] B[解析] 由题意，得(1＋k )(4－k )<0，∴(k ＋1)(k －4)>0，∴k >4或k <－1.5．设l 、m 、n 均为直线，其中m 、n 在平面α内，则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵l ⊥α，m ⊂α，n ⊂α，∵l ⊥m 且l ⊥n ，故充分性成立；又l ⊥m 且l ⊥n 时，m 、n ⊂α，不一定有m 与n 相交，∴l ⊥α不一定成立，∴必要性不成立，故选A.6．设p ：2x 2－3x ＋1≤0，q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若¬p 是¬q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，12]B ．(0，12)C ．(－∞，0]∪[12，＋∞)D ．(－∞，0)∪(12，＋∞)[答案] A[解析] 由2x 2－3x ＋1≤0，得12≤x ≤1，¬p 为x <12或x >1，由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0得a ≤x ≤a ＋1，¬q 为x <a 或x >a ＋1.若¬p 是¬q 的必要不充分条件，应有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a <12，所以0≤a ≤12.故选A.7．如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，A 、B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，则此椭圆的离心率是( )A.12 B ．55 C.13 D ．22[答案] B[解析] 点P 的坐标(－c ，b 2a )，于是k AB ＝－b a ，kPF 2＝－b 22ac ，由k AB ＝kPF 2得b ＝2c ，故e ＝c a ＝55. 8．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 等于( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或2[答案] B[解析] 由题设条件可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，又点P 在抛物线上，则k 2＝4p ， ∵|PF |＝4∴p2＋2＝4，即p ＝4，∴k ＝±4.9．已知a 、b 是两异面直线，A 、B ∈a ，C 、D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a 、b 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°[答案] B[解析] 由于AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝CD →2＝1.cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝12⇒〈AB →，CD →〉＝60°，故选B.10．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y ＝33(x －1)或y ＝－33(x －1) C ．y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1) D ．y ＝22(x －1)或y ＝－22(x －1) [答案] C[解析] 由抛物线方程y 2＝4x 知焦点F (1,0)，准线x ＝－1，设直线l ：x ＝my ＋1，代入y 2＝4x 中消去x 得，y 2－4my －4＝0.由根与系数的关系得，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1>0>y 2， ∵|AF |＝3|BF |，∴y 1＝－3y 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝－4y 1＝－3y 2，解得y 2＝－23，∴y 1＝2 3.∴m ＝y 1＋y 24＝33，∴直线l 的方程为x ＝33y ＋1. 由对称性知，这样的直线有两条．11．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1 B ．y 24－x 24＝1 C.y 24－x 28＝1 D ．x 28－y 24＝1[答案] B[解析] 由题意知，焦点在y 轴上，且2a ＋2b ＝22c ，即a ＋b ＝2c ，又a ＝2，且a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝2，b ＝2.所以双曲线的标准方程为y 24－x 24＝1.12．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12P A ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A.216 B ．833 C.21060D ．21030[答案] D[解析] ∵OP ⊥平面ABC ，OA ＝OC ，AB ＝BC ， ∴OA ⊥OB ，OA ⊥OP ，OB ⊥OP .以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz . 设AB ＝a ，则A (22a,0,0)、B (0，22a,0)、C (－22a,0,0)． 设OP ＝h ，则P (0,0，h )， ∵P A ＝2a ，∴h ＝142a . ∴OD →＝(－24a,0，144a )．由条件可以求得平面PBC 的法向量n ＝(－1,1，77)， ∴cos 〈OD →，n 〉＝OD →·n |OD →||n |＝21030.设OD 与平面PBC 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈OD →，n 〉|＝21030.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为y ＝34x ，则此双曲线的离心率为________.[答案] 54[解析] 由题意知b a ＝34，∴b 2a 2＝916，∴c 2－a 2a 2＝916，∴e 2＝2516，∴e ＝54.14．已知在空间四边形OABC 中，OA →＝a 、OB →＝b 、OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝3MA ，N 为BC 中点，用a 、b 、c 表示MN →，则MN →等于________.[答案] －34a ＋12b ＋12c[解析] 显然MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－34OA →＝12b ＋12c －34a .15．若双曲线x 2m －y 2m ＋2＝1的一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，则实数m ＝________.[答案] 1[解析] ∵抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，∴双曲线x 2m －y 2m ＋2＝1的一个焦点为(2,0)，∴a 2＝m ，b 2＝m ＋2，∴c 2＝2m ＋2＝4，∴m ＝1.16．过二面角α－l －β内一点P 作P A ⊥α于A ，作PB ⊥β于B ，若P A ＝5，PB ＝8，AB ＝7，则二面角α－l －β的度数为________.[答案] 120°[解析] 设P A →＝a ，PB →＝b ，由条件知|a |＝5，|b |＝8，|AB →|＝7， ∴AB 2＝|AB →|2＝|b －a | ＝|b |2＋|a |2－2a ·b ＝64＋25－2a ·b ＝49， ∴a ·b ＝20，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12， ∴〈a ，b 〉＝60°，∴二面角α－l －β为120°.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知命题p ：“方程x 2a －1＋y 27－a ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”；命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2－(a －1)x ＋1<0”.(1)若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围； (2)若命题p ∧q 为真命题，求实数a 的取值范围． [解析] (1)若命题p 为真命题，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧a －1>07－a >07－a >a －1，∴1<a <4.故实数a 的取值范围是(1,4)．(2)若命题p ∧q 为真命题，则p 真、q 真，由(1)知p 真，1<a <4. 若q 真，则不等式x 2－(a －1)x ＋1<0有解，即Δ＝(a －1)2－4>0， ∴a 2－2a －3>0，∴a >3或a <－1. 又∵1<a <4，∴3<a <4. 故实数a 的取值范围是(3,4)．18．(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点坐标为(2,0)，短轴长为4 3.(1)求椭圆C 的标准方程及离心率；(2)设P 是椭圆C 上一点，且点P 与椭圆C 的两个焦点F 1、F 2构成一个直角三角形，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值．[解析] (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1.由题意得c ＝2，b ＝23，∴a ＝4.故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1，离心率e ＝c a ＝12.(2)当点P 为短轴的一个端点时，∠F 1PO ＝30°， ∴∠F 1PF 2＝60°.故不论点P 在椭圆C 上的任何位置时，∠F 1PF 2≠90°. ∵|PF 1|>|PF 2|，∴∠PF 2F 1＝90°. ∴|PF 2|＝b 2a ＝124＝3.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8， ∴|PF 1|＝5，∴|PF 1||PF 2|＝53.19．(本小题满分12分)已知抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋m 所得弦长|AB |＝3 5.(1)求m 的值；(2)设P 是x 轴上的点，且△ABP 的面积为9，求点P 的坐标． [思路分析] (1)由弦长公式建立关于m 的方程求解； (2)设出P 点坐标，根据面积S ＝12|AB |·d 求解．[解析] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，y 2＝4x 得4x 2＋4(m －1)x ＋m 2＝0， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝1－m ，x 1·x 2＝m 24，∴|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋22(1－m )2－4×m 24＝5(1－2m )，∵|AB |＝35，∴5(1－2m )＝35，解得m ＝－4. (2)设P (a,0)，P 到直线AB 的距离为d ， 则d ＝|2a －0－4|22＋(－1)2＝2|a －2|5，又S △ABP ＝12|AB |·d ，则d ＝2·S △ABP |AB |，∴2|a －2|5＝2×935，∴|a －2|＝3，∴a ＝5或a ＝－1，故点P 的坐标为(5,0)或(－1,0)．20．(本小题满分12分)(2015·湖南澧县一中高二期中测试)如图，四边形ABCD 是正方形，四边形BDEF 是矩形，AB ＝2BF ，DE ⊥平面ABCD .(1)求证：CF ∥平面ADE ； (2)求二面角C －EF －B 的余弦值． [解析] (1)∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ∥BC .又∵四边形BDEF 是矩形，∴BF ∥DE .又∵BC ∩BF ＝B ，BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，AD ⊂平面ADE ，DE ⊂平面ADE ， ∴平面BCF ∥平面ADE ，又∵CF ⊂平面BCF ，∴CF ∥平面ADE .(2)建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .设AB ＝a ，则BF ＝a2，则B (a ，－a,0)、C (a,0,0)、E (0,0，a 2)、F (a ，－a ，a2)．∴CE →＝(－a,0，a 2)、CF →＝(0，－a ，a 2)、BE →＝(－a ，a ，a 2)、BF →＝(0,0，a 2)．设平面CEF 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面BEF 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·CE →＝0n 1·CF →＝0，⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BE →＝0n 2·BF →＝0.即⎩⎨⎧－ax 1＋a2z 1＝0－ay 1＋a2z 1＝0，⎩⎨⎧－ax 2＋ay 2＋a2z 2＝0a2z 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝1y 1＝1z 1＝2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1y 2＝1z 2＝0.∴n 1＝(1,1,2)，n 2＝(1,1,0)． cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝223＝33.∴二面角C －EF －B 的余弦值是33. 21．(本小题满分12分)设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且P A →＝512PB →，求a 的值．[解析] (1)由C 与l 相交于两个不同的点，故知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1x ＋y ＝1，有两组不同的实数解，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.①所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠04a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得0<a <2且a ≠1，双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， ∵0<a <2且a ≠1，∴e >62，且e ≠2，即离心率e 的取值范围为(62，2)∪(2，＋∞) (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、P (0,1)，∵P A →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2，由于x 1、x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2. 消去x 2得，－2a 21－a 2＝28960. 由a >0，所以a ＝1713.22．(本小题满分14分)(2014·天津理，17)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.(1)证明：BE ⊥DC ；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F －AB －P 的余弦值．[解析] 解法一：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，由E 为棱PC 的中点， 得E (1,1,1)．(1)BE →＝(0,1,1)、DC →＝(2,0,0)，故BE →·DC →＝0，所以BE ⊥DC .(2)BD →＝(－1,2,0)、PB →＝(1,0，－2)，设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0n ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0x －2z ＝0，不妨令y ＝1，可得n ＝(2,1,1)为平面PBD 的一个法向量，于是有 cos 〈n ，BE →〉＝n ·BE →|n |·|BE →|＝26×2＝33.所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)向量BC →＝(1,2,0)，CP →＝(－2，－2,2)，AC →＝(2,2,0)，AB →＝(1,0,0)，由点F 在棱PC 上，设CF →＝λCP →，0≤λ≤1.故BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋λCP →＝(1－2λ，2－2λ，2λ)，由BF ⊥AC ，得BF →·AC →＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)，解得λ＝34，即BF →＝(－12，12，32)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面F AB 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AB →＝0n 1·B F →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0－12x 1＋12y 1＋32z 1＝0， 不妨令z 1＝1，可得n 1＝(0，－3,1)为平面F AB 的一个法向量，取平面ABP 的法向量n 2＝(0,1,0)，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－310×1＝－31010.易知，二面角F －AB －P 是锐角，所以其余弦值为31010.解法二：(1)证明：如图，取PD 中点M ，连接EM 、AM .由于E 、M 分别为PC 、PD 的中点，故EM ∥DC ，且EM ＝12DC ，又由已知，可得EM ∥AB 且EM ＝AB ，故四边形ABEM 为平行四边形，所以BE ∥AM .因为P A ⊥底面ABCD ，故P A ⊥CD ，而CD ⊥DA ，从而CD⊥平面P AD ，因为AM ⊂平面P AD ，于是CD ⊥AM ，又BE ∥AM ，所以BE ⊥CD . (2)连接BM ，由(1)有CD ⊥平面P AD ，得CD ⊥PD ，而EM ∥CD ，故PD ⊥EM ，又因为AD ＝AP ，M 为PD 的中点，故PD ⊥AM ，可得PD ⊥BE ，所以PD ⊥平面BEM ，故平面BEM ⊥平面PBD ，所以，直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ，而BE ⊥EM ，可得∠EBM 为锐角，故∠EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角．依题意，有PD ＝22，而M 为PD 中点，可得AM ＝2，进而BE ＝2，故在直角三角形BEM 中，tan ∠EBM ＝EM BE ＝AB BE ＝12，因此sin ∠EBM ＝33.所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)如图，在△P AC 中，过点F 作FH ∥P A 交AC 于点H ，因为P A ⊥底面ABCD ，故FH ⊥底面ABCD ，从而FH ⊥AC ，又BF ⊥AC ，得AC ⊥平面FHB ，因此AC ⊥BH ，在底面ABCD 内，可得CH ＝3HA ，从而CF ＝3FP .在平面PDC 内，作FG ∥DC 交PD 于点G ，于是DG ＝3GP ，由于DC ∥AB ，故GF ∥AB ，所以A 、B 、F 、G 四点共面，由AB ⊥P A ，AB ⊥AD ，得AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥AG ，所以∠P AG 为二面角F －AB －P 的平面角．在△P AG 中，P A ＝2，PG ＝14PD ＝22，∠APG ＝45°，由余弦定理可得AG ＝102，cos ∠P AG ＝31010. 所以，二面角F －AB －P 的余弦值为31010.。

3章末一、选择题1．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)，则P A 与底面ABCD 的关系是( )A ．相交B ．垂直C ．不垂直D ．成60°角 [答案] B[解析] ∵AP →·AB →＝0，AP →·AC →＝0，∴AP →⊥平面ABCD .2．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角为( )A ．60°B ．90°C ．105°D ．75° [答案] B[解析] 如图，建立空间直角坐标系O －xyz ，设高为h ，则AB ＝2h ，可得A ⎝⎛⎭⎫0，－22h ，h ，B ⎝⎛⎭⎫0，22h ，h ， B 1⎝⎛⎭⎫0，22h ，0，C 1⎝⎛⎭⎫62h ，0，0，这样AB 1→＝(0，2h ，－h )， BC 1→＝⎝⎛⎭⎫62h ，－22h ，－h ，由空间向量的夹角公式即可得到结果．3．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在BB 1棱上，且BD ＝1.若AD 与平面AA 1C 1C 所成角为α，则α等于( )A.π3B.π4 C ．arcsin104D ．arcsin 64 [答案] D[解析] 建立如图所示的直角坐标系，则A (12，0,0)，B (0，32，0)，D (0，32，1)∵OB ⊥平面AA 1C 1C ，∴平面AA 1C 1C 的法向量为OB →＝(0，32，0)，又AD → ＝(－12，32，1) ∴OB →·AD →＝34，|OB →|＝32，|AD →|＝2， 由向量夹角公式知cos 〈OB →，AD →〉＝3432·2＝64， ∵α＝π2－〈OB →，AD →〉， ∵sin α＝sin(π2－〈OB →，AD →〉)＝cos 〈OB →，AD →〉＝64. ∴α＝arcsin 64. 4．如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱，两两夹角都为60°，且AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，M 、N 分别为BB 1、B 1C 1的中点，则MN 与AC 所成角的余弦值为( )A.1314B.9114C.9128D.7812[答案] B[解析] 如图，本题考查异面直线所成的角．易知∠D 1AC 即为所求，即为向量AD 1→与AC→所成的角．设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则由条件知|a |＝2，|b |＝1，|c |＝3，b·c ＝2×1×12＝1，a·c ＝2×3×12＝3，b·c ＝1×3×12＝32. ∵AD 1→＝b ＋c ，AC →＝a ＋b ， ∴|AD 1→|2＝12＋32＋2·32＝13， |AC →|2＝22＋12＋2·1＝7.∴AD 1→·AC →＝132， ∴cos 〈AD 1→，AC →〉＝9114.故选B. 二、解答题5．如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 是PB 的中点．(1)证明：面P AD ⊥面PCD ；(2)求AC 与PB 所成角的余弦值；(3)求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值．[解析] 因为P A ⊥AD ，P A ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点，AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A (0,0,0)、B (0,2,0)、C (1,1,0)、D (1,0,0)、P (0,0,1)、M ⎝⎛⎭⎫0，1，12.(1)证明：∵AP →＝(0,0,1)，DC →＝(0,1,0)，故AP →·DC →＝0，∴AP ⊥DC .又由题设知：AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面P AD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD .又DC 在面PCD 上，故面P AD ⊥面PCD .(2)解：∵AC →＝(1,1,0)，PB →＝(0,2，－1)，∴|AC →|＝2，PB →＝5，AC →·PB →＝2，∴cos 〈AC →，PB →〉＝AC →·PB →|AC →|·|PB →|＝105. 由此得AC 与PB 所成角的余弦值为105. (3)解：在MC 上取一点N (x ，y ，z )，则存在λ∈R ，使NC →＝λMC →，NC →＝(1－x,1－y ，－z )，MC →＝⎝⎛1，0，－12， ∴x ＝1－λ，y ＝1，z ＝12λ. 要使AN ⊥MC ，只需AN →·MC →＝0，即x －12z ＝0， 解得λ＝45. 可知当λ＝45时，N 点坐标为⎝⎛⎭⎫15，1，25， 能使AN →·MC →＝0.此时，AN →＝⎝⎛⎭⎫15，1，25，BN →＝⎝⎛⎭⎫15，－1，25， 有BN →·MC →＝0.由AN →·MC →＝0，BN →·MC →＝0，得AN ⊥MC ，BN ⊥MC .∴∠ANB 为所求二面角的平面角．∵|AN →|＝305，|BN →|＝305.AN →·BN →＝－45. ∴cos 〈AN →，BN →〉＝AN →·BN →|AN →||BN →|＝－23. 故所求的二面角的余弦值为－23. 6．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，求证：(1)AD 1∥平面BDC 1；(2)A 1C ⊥平面BDC 1.[证明]以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D －xyz . 设正方体的棱长为1，则有D ＝(0,0,0)，A (1,0,0)，D 1(0,0,1)，A 1(1,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，C1(0,1,1)，AD 1→＝(－1,0,1)，A 1C →＝(－1,1，－1)．设n ＝(x ，y ，z )为平面BDC 1的法向量，则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→.所以⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y ，z )·(1，1，0)＝0(x ，y ，z )·(0，1，1)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0y ＋z ＝0. 令x ＝1，则n ＝(1，－1,1)．(1)n ·AD 1→＝(1，－1,1)·(－1,0,1)＝0，知n ⊥AD 1→.又AD 1⊄平面BDC 1，所以AD 1∥平面BDC 1.(2)因为n ＝(1，－1,1)，A 1C →＝(－1,1，－1)，知A 1C →＝－n ，即n ∥A 1C →，所以A 1C ⊥平面BDC 1.。