大学物理 第八讲 洛伦兹变换

u'x ux v u' y u y u'z uz
a' x a x
(4)
a' y a y
a' z a z
(5)
a a' F ma F ' ma '
结论：在相互作匀速直线运动的两惯性系中，牛顿 定律具有相同的形式！
s y
y
o
s'
y'
考察质点 P 的运动： 两个坐标系中质点 P 对应不同的坐标， 两套坐标之间的关 系为伽利略变换；
(oxyz )； 惯性系： S ' (o' x' y' z ' )；
s y
y
o
s'
y'
y'
v
x'
x
*
P ( x, y , z ) ( x' , y ' , z ' )
vt
o' z' z'
z z
Albert Einstein ( 1879 – 1955 ) 20世纪 最伟大的物理学家，于1905、1915年 先后创立了狭义相对论、广义相对论。 于1905年提出光量子假设，为此获得 1921年度诺贝尔物理学奖。
爱因斯坦的哲学观念：自然界应当是 和谐而简单的。理论特色：出于简单 而归于深奥。
1. 狭义相对论建立的历史标志：1905年 Einstein 发 表的论文《论动体的电动力学》，以极其清晰和高 度简洁的观点叙述了相对性原理、光速不变原理， 狭义相对论建立在两原理基础之上。
以上结果说明：
在 S 系长为 x 的物体，在 S 系测量也为 x' x ； ' 在 S 系寿命为t 的生命，在 S ' 系测量也为t ' t ； 2.速度变换与加速度变换 注意：方程组(1)、(2)称为伽利略变换，反映了经典力学 时空观！将(1)对时间求导可得速度、加速度变换式： 速度变换公式： 加速度变换公式：

1 v c2


v c2
(x2 x1)
3 2103 m 5.77 106 s 2c
例4、一长为1m 的棒，相对于S ´系静止并与 x 轴夹 ´= 45º。问：在S 系的观察者来看，此棒的长度以
及它与 x 轴的夹角为多少？（已知 v 3c 2 ）
解：
lx lcos
1 v2 c2 1 0.99662
L vt 3108 26.9106 8103 m
例2： 有一静止的电子枪向相反方向发射甲、乙两个 电子。实验室测得甲电子的速率为 0.6c , 乙电子速率 为 0.7c ，求一个电子相对于另一个电子的速率。
解：
S系
设实验室为S 系， S系
S 系中两个事件： A ( x1 , 0 , 0 , t1 ) B ( x2 ,0 , 0 , t2 )
S系： A ( x1 , 0 , 0 , t1 ) B ( x2 ,0 , 0 , t2 )
t2

t1

t2

t1
1
v c2 v2
x2
/ c2

x1

不同地点但同时的两个事件在另一系中不同时。 同一地点、同时的两个事件在另一系中也同时。 同地点但不同时的两个事件在另一系中不同时。

x2 x1
1 v c2
2.0103 1.0103
1 v c2
v 3c 2
t1
t1

v c2
x1
1 v c2
t2
t2

v c2
x2
1 v c2
t2

t1

(t2

t1) 1
v c2

2 2
ut
2
a1 u b2 c c
2 2 2 2
o
z
o' z'
联立求解,
x' x
(x,y,z,t) P (x`,y`,z`,t`)
x x'
联立求解得：
a1 b2 1 1 (u c )
2
b1 c
u
2
1 (u c )
2
x ' a 1 ( x ut )
t' b 1 x b 2 t
子的寿命实验（B.Rossi, D.B.Hall 1941）
子在高空大气顶层形成，静止平均寿命 为2.1510 －6s，速率为 0.995c.若无时间膨胀
效应，只能走640m就消失了，地面观测不到。 在地面上看其寿命膨胀 g
1 1 0 . 995
2
10
倍，
衰变前可飞行6400m, 实际上可到达地面。
y
S
S u
v
' x
vx u 1 uv x c
2
,
y
c
光信号
xx v

S ‘：vx， = c S：vx = ？
v u cx 1 uv c x c
2
O
O
x
c
！
z
z
不可能通过参考系变换达到超光速。
例题 在地面测得两枚静长为20m 的火箭 A、B以 0.9 c 的速度背向飞行。求：在火箭 A上测量 火箭 B 的速度和长度？
u u u
r'
l' l'
l'
45
0
x
S

洛伦兹变换的最简单推导在相对论中，洛伦兹变换是描述物体在不同参考系中运动的数学工具。

它对于理解光速不变原理以及时间和空间的相对性至关重要。

虽然推导洛伦兹变换可能需要高等数学和物理学知识，但以下是最简单的推导方法：1. 假设有两个参考系S和S'，它们之间的相对速度为v。

2. 假设S和S'的坐标系是相互垂直的，并且在t=0时它们的原点重合，如下图所示。

3. 假设在S中有一个事件，其坐标为(x,y,z,t)，在S'中有一个事件，其坐标为(x',y',z',t')。

4. 根据相对性原理，可以得出：x' = ax + bty' = yz' = zt' = ct + dt其中a、b、c和d是待定系数，需要通过数学推导来确定它们的值。

5. 假设在S中有两个事件，它们在S'中的间隔为Δx'，在S中的间隔为Δx。

则有：Δx' = aΔx + bΔt因为Δx和Δt是相对的，所以可以认为Δx'=Δx和Δt'=Δt。

因此，上式可以写为：1 = a^2 - b^2也就是说，a和b之间存在一个关系式。

同样地，可以根据y、z 和t坐标轴的相对性得到其他系数之间的关系式。

6. 在相对论中，光速是不变的，因此光在S和S'中的速度是相同的。

设在S中有一束光从(x,y,z,t)出发，经过Δt的时间后到达(x+Δx,y,z,t+Δt)，在S'中的坐标为(x',y',z',t') = (x,y,z,t)，则有：c^2Δt^2 - Δx^2 - Δy^2 - Δz^2 = c^2Δt'^2 - Δx'^2 - Δy'^2 - Δz'^2将4式和5式代入上式，可以得到：Δt'^2 = (c^2Δt^2 - Δx^2 - Δy^2 - Δz^2) / (c^2 - v^2) Δx'^2 = (c^2Δt^2 - Δx^2 - Δy^2 - Δz^2)v^2 / (c^2 - v^2)Δy'^2 = Δy^2Δz'^2 = Δz^27. 根据勾股定理，可以将上式化简为：Δs^2 = Δt'^2 - Δx'^2 - Δy'^2 - Δz'^2 = Δt^2 - Δx^2 - Δy^2 - Δz^2这就是著名的时间和空间的相对性方程式。