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mooney-rivlin 模型表达式Mooney-Rivlin模型表达式及其应用引言Mooney-Rivlin模型是一种用于描述材料的力学行为的数学模型，常用于橡胶和弹性体的研究。
本文将介绍Mooney-Rivlin模型的表达式及其应用，并探讨其在工程领域中的重要性和实际价值。
一、Mooney-Rivlin模型表达式Mooney-Rivlin模型是一种用于描述材料的应力-应变关系的模型，其表达式如下：σ = C1(I1-3) + C2(I2-3) - p其中，σ表示应力，C1和C2是材料的Mooney-Rivlin常数，I1和I2分别是主应变不变量，p表示材料的体积应力。
二、Mooney-Rivlin模型的应用1. 弹性体材料的建模Mooney-Rivlin模型被广泛应用于弹性体材料的建模和仿真中。
通过确定材料的Mooney-Rivlin常数，可以准确地描述材料在不同应力下的变形行为，从而为工程设计和分析提供可靠的依据。
2. 橡胶材料的研究Mooney-Rivlin模型在橡胶材料的研究中具有重要作用。
橡胶是一种具有高弹性和可塑性的材料，其力学行为难以用简单的模型描述。
Mooney-Rivlin模型通过考虑材料的非线性特性，能够更准确地预测橡胶材料在不同应力下的变形和应力分布。
3. 工程设计和优化Mooney-Rivlin模型在工程设计和优化中起着关键的作用。
通过使用Mooney-Rivlin模型，工程师可以预测材料在不同工况下的应力和变形情况，从而进行结构设计和优化。
这有助于提高产品的性能和可靠性，并减少材料的浪费和成本。
4. 医学领域中的应用Mooney-Rivlin模型在医学领域中也有广泛的应用。
例如，在人工心脏瓣膜的设计和仿真中，Mooney-Rivlin模型可以帮助工程师评估瓣膜在不同血液压力下的变形和应力分布，从而优化瓣膜的设计，提高其性能和寿命。
三、Mooney-Rivlin模型的局限性和改进尽管Mooney-Rivlin模型在许多领域中得到了广泛应用，但它也存在一些局限性。
圆球与橡胶垫接触的有限元分析一、问题描述分别模拟钢球以及橡胶球在以=0.95F N 的垂向载荷挤压硅橡胶（PDMS ）垫时的变形情况。
钢球直径1=12.7mm Φ，硅橡胶圆盘直径2=50mm Φ，厚度d=5mm .已知硅橡胶杨氏模量 1.0363E MPa =，泊松比0.499σ=，为超弹性材料。
分别模拟小球为刚性材料和为橡胶材料时两种情况下硅橡胶垫的变形情况。
二、有限元分析由于橡胶本构关系的非线性化，以及橡胶制品在应用时的大变形、接触非线性边界条件使其工程模拟变的非常困难。
模拟的准确性与采用的本构关系模型以及模型中材料常数测试的准确性有密切关系。
本次分析以橡胶中常用的Mooney-Rivlin 材料作为橡胶的本构模型。
1、 材料参数的确定Mooney-Rivlin 模型的基本理论不赘述，通过查阅相关文献得知Mooney-Rivlin 模型中材料常数与材料弹性模量有如下关系：10016()E C C =+并且有经验公式：01100.25C C =可以计算Mooney-Rivlin 模型中材料常数1001138173,34543C C ==，用于有限元分析中定义材料。
2、 钢球与硅橡胶盘接触由于钢球与硅橡胶接触时钢球变形可以忽略，可以把钢球看做刚体（Rigid body ），建有限元模型如下：图1 刚性球接触时的有限元模型分析结果如下：图2 刚性球接触时圆盘变形云图最大变形为图中红色部分，为42.82100.282y m mm-∆=⨯=3、橡胶球与硅橡胶圆盘接触将球划分网格，并定义为可变性体（Deformable body）有限元模型如下：图3 橡胶球与硅橡胶圆盘接触时的有限元模型将球看做可变性体，与圆盘赋相同的材料进行分析，圆盘变形云图如下：图4 橡胶球接触时圆盘变形云图最大变形为图中红色部分，为41.62100.162z m mm -∆=⨯=。
⼏种典型的橡胶材料超弹性本构模型及其适⽤性橡胶材料具有良好的粘弹性，被⼴泛⽤作密封、减振部件。
橡胶作为⼀种超弹性材料，其物理化学性能与⾦属材料有很⼤差别。
橡胶材料的主要特点不可压缩性：橡胶材料的泊松⽐µ⼀般在0.45～0.4999范围内变化，接近于液体的泊松⽐(1) 不可压缩性：0.5，因此橡胶可以看作是⼀种体积近似不可压缩的材料。
⼤变形特性：橡胶⾼分⼦材料变形很⼤，⽽其弹性模量与⾦属材料相⽐却⼩很多。
橡胶材料(2) ⼤变形特性：的变形范围⼀般在200%～500%，甚⾄能够达到1000%，很多⾦属材料的变形则不⾜0.5%。
(3) ⾮线性：⾮线性：橡胶材料具有三重⾮线性，即⼏何⾮线性、材料⾮线性和边界⾮线性。
橡胶材料的应⼒-应变关系具有明显的⾮线性，其⼒学性能与环境条件、应变历程、加载速率等因素有很⼤关联，且随时间延长⽽不断变化。
本构模型及其适⽤性从20世纪40年代⾄今，国内外许多学者提出了许多橡胶材料的本构模型，⼤致可分为两⼤类：基于应变能函数的唯象模型和基于分⼦链⽹络的统计模型。
基于应变能函数的唯象模型⼜可分为两类。
⼀类是以应变不变量表⽰的应变能密度函数模型，这类模型在处理橡胶弹性时，可以把橡胶材料的变形看成是各向同性的均匀变形，从⽽将应变能密度函数表⽰成变形张量不变量的函数，⽐如：Mooney-Rivlin模型、Yeoh模型等。
另⼀类是以主伸长表⽰的应变能函数模型，⽐如：Valanis-Landel模型、Ogden模型等。
基于分⼦链⽹络的统计模型按照分⼦链的统计特性可分为两类：⾼斯链⽹络模型和⾮⾼斯链⽹络模型。
其中最具代表性的分⼦统计学模型包括Treloar模型以及Arruda-Boyce的8链模型。
下⾯对⼏种常见的本构模型进⾏简要介绍：Mooney-Rivlin模型Mooney-Rivlin模型是⼀个⽐较常⽤的模型，⼏乎可以模拟所有橡胶材料的⼒学⾏为。
其应变能密度函数模型为：对于不可压缩材料，典型的⼆项三阶展开式为：式中：N、Cij和dk为材料常数，由实验确定。
Abaqus超弹性材料分析模型了解：本案例所用模型如下：图1 模型认识其中，1为压块，结构刚材料，2为橡胶超弹性材料。
有限元分析流程分为3大步、3小步，如下图所示。
今天将以这种方式介绍使用workbench 实现齿轮啮合的分析流程。
图2 ABAQUS有限元分析流程介绍一、前处理1.1 几何模型的构建本案例中的几何模型较为简单，因此直接在abaqus中创建。
本例使用平面应力应变单元模拟实体的压缩过程，将Module切换到Part模块，单击create part创建压块部件，部件类型选择2D planar、Deformable、Shell，进入草图环境，绘制压块图形如图1，绘制完成后单击done完成压块的创建。
继续单击create part创建橡胶部件，部件类型也为2D planar、Deformable、Shell，进入草图环境，绘制橡胶图形如图1所示，绘制完成后单击done退出橡胶的创建。
1.2 材料参数的定义1.2.1 材料本构将Module切换到property模块。
单击create material创建材料，压块使用结构刚材料，密7850kg/m，杨氏模量为2.1e11Pa，泊松比为0.3。
度设置3橡胶使用超弹性材料，使用Mooney-Rivlin本构模型1.2.2 截面定义Abaqus赋予模型材料需要先定义截面属性，单击create section为压块以及橡胶各创建一个截面属性，类型为solid，Homogeneous，单击continue，在弹出的对话框中勾选，Plane stress/strain thickness，并为其指派厚度，如图3所示。
图3 截面属性创建1.2.3 截面指派当两个部件的截面创建完成后，便可以为其指派相应的截面属性。
1.3 网格系统的构建1.3.1 网格划分将Module切换到Mesh模块。
通过合理控制网格大小，得到如图所示的网格图4 网格系统模型1.3.2 单元类型设定对于本例，单元类型可以使用默认的单元类型1.3.3 装配将Module切换到Assembly模块，进入装配环境，按照图1所示位置关系进行装配。
基于有限元分析的橡胶减振器优化设计苏渤【摘要】目的加快橡胶减振器的设计过程.方法分析橡胶材料及Mooney-Rivllin 橡胶本构模型特点,介绍橡胶减振器应用特点及隔振设计的相关理论,采用Mooney-Rivllin模型模拟橡胶材料的力学特性,通过引进有限元优化技术,在设计初期保证减振器的刚度特性.结果在某设备减振设计中,采用单轴拉压曲线获取了橡胶材料的Mooney-Rivllin模型参数,以减振器的部分结构尺寸为设计参数,减振器的三向刚度为设计目标,获取了三轴向频率近似相等的隔振系统(轴向频率40 Hz、径向频率40.9 Hz).通过试验测试,减振系统频率与试验值差别较小,其中轴向差别为2％,径向差别为1％.结论通过引进有限元优化技术,采用合理的橡胶本构模型,可以满足工程精度要求,加速了橡胶减振器的设计过程.【期刊名称】《装备环境工程》【年(卷),期】2018(015)009【总页数】4页(P92-95)【关键词】优化设计;减振器;有限元【作者】苏渤【作者单位】中国飞机强度研究所,西安 710065【正文语种】中文【中图分类】TJ85现代飞机尤其是战斗机，其机动性、速度等要求更高，发动机不平衡振动及气动载荷对飞机机体带来了更多的有害振动及冲击。
这些振动及冲击会造成机载电子产品结构破坏、疲劳失效以及设备精度降低，造成不可预估的后果。
采用减振器隔振安装的方式，将机载设备与机体隔离，能有效地隔离机载产品与机体耦合振动，提高电子产品的耐振可靠性。
高阻尼硅橡胶具有高弹性及较高能量耗散能力，较宽的温域特性，良好的多轴向刚度设计特性，广泛应用于机载电子设备隔振安装[1]。
橡胶减振器通过热硫化压制成型，通常橡胶减振器产品研发需要多次修改模具，周期长，经济性差。
文中在工程研制经验基础上，通过引进有限元设计优化技术，缩短减振器的研发周期。
1 隔振的基础理论产品隔振即通过柔性连接装置将原来硬联接变为软联接，隔离产品的高频振动，其隔振基本原理分析如图1所示。
abaqus中橡胶大变形问题橡胶材料由于其特殊的力学性质，在许多工程领域都有着广泛的应用。
abaqus作为一种常用的有限元分析软件，能够有效地模拟和分析橡胶材料的大变形问题。
本文将从理论和实践两个层面，介绍abaqus 中橡胶大变形问题的模拟与分析。
一、橡胶材料的理论模型橡胶材料的力学行为可以用超弹性理论来描述。
超弹性理论是一种介于弹性和塑性之间的模型，能够更准确地刻画橡胶材料的非线性力学性质。
在abaqus中，常用的超弹性模型有Mooney-Rivlin模型和Arruda-Boyce模型。
Mooney-Rivlin模型是一种二次超弹性模型，适用于小应变范围内的橡胶材料。
该模型的应力-应变关系可以表示为：σ = 2C1(I1-3)+2C2(I2-3)其中，σ为应力矢量，C1和C2为模型的材料参数，I1和I2为形变张量的不变量。
这个模型能够良好地描述橡胶的线性和非线性力学性质。
Arruda-Boyce模型是一种更为广泛适用于大应变范围内的超弹性模型。
该模型的应力-应变关系可以表示为：σ = 2μ(I-3)+kJ-1/3(I-3)其中，σ为应力矢量，μ和k为模型的材料参数，I为形变张量的不变量，J为形变张量的体积变化。
该模型能够更准确地描述橡胶在大变形下的力学特性。
二、abaqus中橡胶大变形问题的模拟与分析在abaqus中，橡胶大变形问题的模拟可以通过建立合适的几何模型和材料模型来实现。
首先，需要通过abaqus提供的建模工具，创建橡胶材料的几何模型，可以是一维、二维或三维的。
然后，在模型中定义橡胶材料的力学性质，包括材料的超弹性模型和材料参数。
接下来，需要定义橡胶模型的加载条件。
可以通过施加位移、力或压力来加载模型，模拟橡胶在拉伸、压缩、扭转等情况下的力学响应。
同时，还可以设置边界条件，限制模型的运动自由度。
在模拟过程中，abaqus会自动生成网格并进行数值计算，得到橡胶材料的变形和应力分布。
可以通过后处理功能，对模拟结果进行可视化，并分析橡胶的变形情况、应力分布以及其他相关的力学参数。
Dragon-skin 30 硅橡胶材料参数的确定摘要：利用Mark-10力学实验台对Dragon-skin 30材料进行单轴压缩试验。
根据已知的Mooney-Rivilin模型与Yeoh模型本构方程，采用泰勒级数展开的方式推导出基于小变形的本构关系。
将实验所得的结果与推导出的本构关系进行拟合，求取出相应的Mooney-Rivilin模型与Yeoh模型的材料参数。
同时通过Abaqus仿真分析单轴压缩试验的整个过程，将仿真结果与实验结果进行比较，从而验证了实验结果的准确性与材料参数数值的准确性。
关键词：超弹性材料；本构方程；仿真分析一、引言Dragon-skin 30硅胶材料是一种典型的超弹性材料，具有无毒、无味、无毒等特性，此种材料由A、B两部分组成，将A:B=1:1的比例混合后需要16h的时间来等待凝固，凝固后的邵氏硬度为30A，可以将其看作为一种不可压缩的材料[1]。
对于不可压缩的超弹性材料，通常描述其材料应力-应变本构关系性能的方法是建立应变能函数[2]，常见的描述超弹性材料本构方程的模型有Mooney-Rivilin模型与Yeoh模型[3]。
常见的实验方法有单轴压缩实验、单轴拉伸实验、双轴压缩试验、双轴拉伸实验[4]，由于条件的约束，我们采用单轴压缩的方式进行实验。
二、实验过程在实验之前我们需要利用模具，采用浇铸的方式制备实验块，按照国标要求制作出四个直径15mm，高度23mm的实验块。
在正式实验之前我们需要对这四个实验块进行预压处理，从而消除应力软化的现象[5]，将四个实验块放入Mark-10试验台的压头之下，设置压头向下移动速度为1mm/min，最大轴向位移为5mm，反复施加压力与撤去压力。
预压处理过程完成之后开始正式实验，设置压头向下移动速度为1mm/min，最大轴向位移为8mm，从而使实验块的压缩比达到35％，实现超弹性材料的大变形过程。
将测得实验数据倒入Origin软件中，绘制应力应变数据图。
中文摘要摘要作为一种工程材料硫化橡胶早在19世纪就被广泛的应用。
由于它良好弹性的特性被用于承载结构轴承，密封圈，吸收震动的衬垫，连接器，轮胎等。
然而，不同于金属材料仅需要几个参数描述其材料特性，橡胶的行为复杂，材料本构关系是非线性的。
它的力学行为对温度，环境，应变历史，加载的速率都非常敏感，这样使得描述橡胶的行为变得更为复杂。
橡胶的制造工艺和成分也对橡胶力学性能有显著的影响。
这也意味着橡胶作为工程材料的研究是一段不断的尝试和改进的过程，而不是完全彻底的理解。
幸运的是，由于计算机以及有限元分析的飞速发展，我们可以借助计算机来对超弹性材料工程应用进行深入研究以及优化设计。
本文给出如何用有限元方法来分析工业中的橡胶元件的力学性能的完整的方法，包括选取橡胶的本构模型，拟合本构模型，有限元建模，处理计算结果。
有限元分析的精度是直接与输入的材料数据相关的。
理想情况下，数据应该来自一系列的独立的实验。
本文给出了常用的用于拟合橡胶本构关系的实验方案。
另外本文详细讨论了一种橡胶元件中常用的超弹性材料轴对称过盈配合问题。
分别用解析的方法和有限元计算方法详细研究了此问题，包括平面应变大变形和小变形的解析解，有限元解，平面应力的小变形理论解，平面应力情况大变形和小变形的有限元解，橡胶体积模量对过盈配合的影响，接触面的摩擦系数对过盈配合的影响。
关键词：橡胶过盈配合超弹性大变形- I -目录摘要 (II)Abstract（英文摘要） (III)目录 (V)第一章超弹性材料本构关系 (1)引言： (1)1.1 超弹性模型概况 (1)1.2 橡胶模型的特征 (3)1.3 常用的橡胶本构模型介绍 (3)1.3.1 多项式形式及其特殊情况 (3)1.3.1.1 Mooney-Rivlin模型和Neo-Hookean模型 (4)1.3.1.2 Yeoh形式（Yeoh, 1993） (5)1.3.2 Ogden形式 (6)1.3.3 Arruda-Boyce形式 (6)1.3.4 Van der Waals模型 (7)1.4 本文的主要内容 (8)第二章超弹性材料过盈配合的解析解和数值解 (10)引言： (10)2.1 橡胶大变形和小变形本构关系 (11)2.1.1 大变形 (11)2.1.2 小变形 (12)2.2 平面应变情况下的解析解和有限元解 (14)2.2.1解析解 (14)2.2.1.1 线弹性小变形解析解 (14)2.2.1.2 大变形超弹性本构关系解析解 (15)2.2.1.3 线弹性与超弹性解析解的比较 (17)- II -2.2.2解析解与ABAQUS数值解的比较 (20)2.3 平面应力情况下解析解和有限元解 (22)2.3.1 解析解（小变形线弹性） (22)2.3.2有限元解 (23)2.3.2.1解析解与有限元解（线弹性橡胶本构关系）的比较 (23)2.3.2.2 两种本构关系的有限元解的比较（线弹性和超弹性） (25)2.4 可压缩性对过盈配合的影响 (26)2.5 摩擦系数对过盈配合的影响 (27)2.5.1 ABAQUS中接触的定义 (28)2.5.2 ABAQUS模拟过盈配合 (28)2.6 本章总结 (32)第三章实验拟和超弹性本构模型系数 (33)引言： (33)3.1 超弹性材料试验简介 (33)3.1.1 多种应变状态测试 (34)3.2 超弹性材料基本试验 (35)3.2.1单轴拉伸实验 (35)3.2.2 纯剪（平面拉伸）实验 (36)3.2.3等轴拉伸实验 (37)3.2.4压缩实验 (38)3.2.5体积压缩实验 (39)3.3 弹性本构模型中的系数 (39)3.3.1 最小二乘法用于多项式形式 (40)3.3.2 非线性最小二乘法 (40)3.3.3 非线性最小二乘法用于Ogden模型 (41)第四章橡胶定位器的有限元计算 (43)4.1 定位器建模 (43)4.1.1数值方法的选择 (44)4.1.2 有限元建模 (44)- III-4.2 静力学分析 (45)4.2.1 垂向刚度 (45)4.2.2 横纵向刚度 (46)4.2.3 静态分析结果对比 (48)4.3 动态分析 (49)4.3.1 模态分析基本方程 (49)4.3.2 定位器振型有限元分析结果 (49)4.4 本章总结 (52)第五章球铰的有限元计算 (53)5.1 球铰建模 (53)5.1.1数值方法的选择 (54)5.2 静力学分析 (54)5.2.1有限元计算扭转刚度 (55)5.2.2 偏转刚度 (56)5.2.3 有限元计算与实验的比较 (58)5.3 本章总结 (59)第六章结论 (60)参考文献 (61)致谢 (62)附录A 纯剪实验方法 (63)附录B 体积模量实验方法 (65)个人简历和在学期间的研究成果及发表的学术论文 (67)- IV -目录第一章超弹性材料本构关系引言作为一种工程材料硫化橡胶早在19世纪就被广泛的应用。
第８期黄建龙等．基于Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型和Ｙｅｏｈ模型的超弹性橡胶材料有限元分析４６７基于Ｍｏｏｎｅｙ—Ｒｉｖｌｉｎ模型和Ｙｅｏｈ模型的超弹性橡胶材料有限元分析
黄建龙１，解广娟１，刘正伟２（１．兰州理工大学机械电子工程学院，兰州７３００５０；２．中海油田服务股份有限公司。北京１０１１４９）
摘要：介绍橡胶材料两种常用的应变能密度函数模型——Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒ－ｖｌｉｎ模型和Ｙｅｏｈ模型．并解析求得其材料常数。采用ＡＮＳＹＳ有限元分析软件，分析比较两种模型的位移和应力云图，验证其适用性，即Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型适合模拟中小变形行为；Ｙｅｏｈ模型适合模拟炭黑填充ＮＲ的大变形行为。关簟词：超弹性；橡胶材科ｌ应变能密度函效模型；有限元分析中田分类号：ＴＱ３３０．１＋２１０２４１．８２文献标识码：Ａ文章编号：１０００－８９０Ｘ（２００８）０８—０４６７—０５
橡胶材料作为一种高分子非线性超弹性材料广泛应用于承载结构轴承、密封件、吸收震动的衬垫、连接器和轮胎等，已成为现代工业的重要原材料。橡胶硫化后分子形成网状结构，从而成为具有超弹性、体积几乎不发生变化（即不可压缩）、大变形的非线性固体材料。材料特性的非线性和几何非线性给橡胶材料的研究带来了很大的困难。几十年来，人们对橡胶材料做了大量的研究工作，主要有罚有限元、混合元和杂交元等方法。文献［１—３］均以Ｐｉｏｌａ—Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ应力和Ｃａｕｃｈｙ－Ｇｒｅｅｎ应变建立拉格朗日虚功方程，将非线性方程线性化，并利用目前广泛应用的应变能密度函数模型——Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型进行有限元分析，介绍确定适当罚因子的方法。文献Ｅ４－］采用罚函数和拉格朗日乘子法，并引入静水压力概念，同样应用Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型对橡胶材料进行有限元分析，通过试验和解析方法确定算法的有效性。文献［５，６］采用试验方法结合有限元方法对如何确定Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ常数做了研究。文献［７］以Ｐｉｏｌａ—Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ应力和Ｃａｕｃｈｙ－Ｇｒｅｅｎ应变理论，采用Ｙｅｏｈ模型对橡胶材料进行有限元分析，从而确定此类材料的有限先模型。尽管应变能密度作者简介：黄建龙（１９５１一），男，甘肃兰州人，兰州理工大学教授，硕士，主要从事成套设备的设计与开发及机械可靠性设计理论与方法的研究。函数模型理论越来越多，应用研究范围也越来越广，但是针对具体工况选择合适的应变能密度函数模型仍有很大困难。本文根据有限元分析软件ＡＮＳＹＳ提供的超弹性不可压缩材料的材料特性描述，介绍橡胶材料的有限元分析模型——Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型和Ｙｅｏｈ模型，并用实例证明这两种典型模型的适用性，以期为有限元分析打下理论基础。
ｌ橡胶材料增量形式的应力－应变关系和其本构关系（１）假设橡胶材料在小范围内是线性的，可以用增量形式建立其应力（盯）一应变（￡）关系：
ｄｅｌ＝ｉＩ—ｄｏｌ一＃（ｄ０２＋ｄ仍）］出。一吉Ｅｄｏ＝一／比（ｄｏ－＋ｄ０３）Ｊ（１）
ｄｅ。＝击［ｄ仍一Ｆ（曲－＋ｄｃｒ２）］式中，Ｅ为弹性模量，口为剪切模量。但是式中的Ｅ是变形过程函数，给试验测定和实际应用带来很大困难，因此该公式很少使用。（２）假设橡胶材料为各向同性和不可压缩（Ｊ。兰１），基于应力一应变关系以唯象理论建立橡胶材料的本构关系，以应变能密度函数（Ｗ）表示：Ｗ＝Ｗ（Ｊ１，１２，ｆ３）（２）
式中
４６８橡胶工业２００８年第５５卷Ｉ，＝Ａｉ＋Ａｉ＋砖Ｊ。＝Ａ｛Ｊ：【；＋Ａ；Ａ；＋Ａ｝Ｊ：【；Ｉ。＝ＡｉＡ；Ａ；一１．：Ｉ｛＝１＋九式中，Ｊ。，Ｉ。和Ｉ。为变形张量不变量，Ａ。，屯和Ａ。为主伸长比，竹为主应变。２Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型和Ｙｅｏｈ模型２．１应变能密度函数模型（１）Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型是一个比较经典的模型，几乎可以模拟所有橡胶材料的力学行为，适合于中小变形，一般适用于应变约为１００％（拉伸）和３０％（压缩）的情况。但是Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型不能模拟多轴受力数据，由某种试验得到的数据不能用来预测其它的变形行为。ＡＮＳＹＳ有限元分析软件可根据不同需要，将其展开为二项三阶展开式、三项三阶展开式、五项三阶展开式和九项三阶展开式等，其应变能密度函数模型如下：ｗ一∑Ｃｏ（Ｊ１—３）‘（ｆ２—３）ｊ＋ｉ十ｊ一１∑了１（躬一１）“（３）＾＝１口Ｉ典型的二项三阶展开式为Ｗ—Ｃ１０（１１—３）＋Ｃｏｌ（Ｌ一３）＋｛（Ｊ一１）２“（４）式中，Ｎ，Ｇｊ和ｄ。为材料常数，由材料试验所确定；对于不可压缩材料，＿ｒ＝１。（２）Ｙｅｏｈ模型Ｙｅｏｈ模型比较适合模拟炭黑填充ＮＲ的大变形行为，并且可以用简单的单轴拉伸试验数据模拟其它变形的力学行为，但是它不能很好地解释双轴试验数据，当材料发生较大变形时，计算结果就会不精确。ＡＮＳＹＳ有限元分析软件中也将其分为一、二、三、四和五等多项参数形式，其应变能密度函数模型如下：ＮＷ＝∑Ｃ司（ｆ，一３）‘＋∑万１（Ｊ一１）２‘（５）＾＝ｌ竹●典型的二项参数形式为Ｗ＝Ｃ１０（ｊ１—３）＋ｃ２０（ｆ。一３）２（６）式中，材料常数Ｎ，Ｃ∞和ｄｔ由材料试验所确定，初始剪切模量口＝２Ｃ１。；同样，对于不可压缩材料，Ｊ＝１。２．２Ｐｉｏｌａ－Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ应力张量与Ｃａｕｃｈｙ－Ｇｒｅｅｎ
应变张量的关系应力一应变关系表征材料的主要特性。橡胶材料的应力一应变关系可以由应变能密度函数对其主伸长比求偏导表示，此应力一应变形式由Ｐｉｏ—ｌａ—Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ和Ｃａｕｃｈｙ－Ｇｒｅｅｎ定义，因此也称为ＰｉｏＩａ—Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ应力张量（ｔｄ）和Ｃａｕｃｈｙ－Ｇｒｅｅｎ应变张量（Ｙｏ），其形式如下：ａｗ．一ａｗａ１１．ａｗａ１２．ａｗａ１３
＝一＝…－Ｉ－———二－－ｂ…
“ａ７０ａｌｌａ％。ａ１２ａ％。ａ１３ａ％
（７）由上述公式得主应力（岛）与主伸长比（Ａ。）之间的关系：
２Ａ
２Ａ２Ａ
署＋署＋两ａｗ＋＋＋＋爰＋署＋爰＋
ａｗａ１３ａＷ
ａ１３ａＷａ１３（８）
３基于Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型和Ｙｅｏｈ模型的参数计算通过单轴拉伸试验确定材料常数，并取二项参数的Ｍｏｏｎｅｙ—Ｒｉｖｌｉｎ模型和Ｙｅｏｈ模型作为计算准则，采用ＡＮＳＹＳ有限元分析软件对两模型进行分析对比。（１）单轴拉伸试验简化对于单轴拉伸试验，有ｔ。＝ｔ。＝０
Ａｉ＝Ａｉ＝÷（９）
＾１
对于绝对不可压缩材料，Ｊ。＝Ａ。２＾。２Ａ；＝１，结合
式（８）和（９）推导出绝对不可压缩橡胶材料的主应力与主应变和变形张量不变量与主伸长比的关系：栌和一志，ｃ署州。爰，㈣，
Ｉｌ＝Ａｉ＋告（１１）
第８期黄建龙等．基于Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型和Ｙｅｏｈ模型的超弹性橡胶材料有限元分析４６９（２）Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型常数Ｃ１０和Ｃ０１确定二项参数Ｍｏｏｎｅｙ—Ｒｉｖｌｉｎ模型应变能密度函数为ｗ＝Ｃｌ。（Ｉ。一３）＋Ｃｏ。（Ｊ２—３），结合式（９）～（１１）求得：——耳＝Ｃ，。＋÷Ｃｏ，
…’Ⅷ２（．；【１一击）＾１＾１根据试验测得不同拉伸比（Ａ，）下的应力值（南），然后以÷为横坐标，以——斗为纵坐标，
＾１２（Ａｌ一击）
ａｉ把试验点绘在坐标系中，并把试验点回归成一条
直线，则Ｃ。。为这条直线的截距，ｃｏ。为其斜率。（３）Ｙｅｏｈ模型常数Ｃｌｏ和Ｃ２０确定二项参数Ｙｅｏｈ模型应变能密度函数为式（６），与上述方法相同，先求得忐。一。暑
１一音）Ａ１最后求得Ｃ。。和ｃ２。。
（４）基于数值分析和Ｍａｔｌａｂ求解Ｃ。ｏ和Ｃｏ。及Ｃ。。和Ｃ２。以一种典型橡胶材料为例，本研究选用轨道减震器做单轴拉伸试验，所得应力一应变关系如图１所示，根据上述方法做图并回归为直线，如图２和３所示。根据对应斜率和截距关系求得材料常数。Ｍｏｏｎｅｙ—Ｒｉｖｌｉｎ模型：Ｃ１０一１．２０，Ｃｏｌ＝一０．３５；Ｙｅｏｈ模型：Ｃｌｏ＝Ｏ．７１，Ｃ２０一－－０．０１９。
４ＡＮＳＹＳ分析结果本研究采用ＡＮＳＹＳｌ０．０有限元分析软件对这种材料进行分析［８］，结果如图４－－－７所示。根据图４～７可得到模型位移和应力数据，如表１和２所示。由表１和２可看出，两种模型应力云图对应等值线差值几乎为零，但很明显位移差值却很大，并逐渐增大，最小差值为０．９％，最大可达到８．２％。Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型的最大位移为０．１９７０１６ｍｍ，Ｙｅｏｈ模型最大位穆为０．２７９０１６ｍｍ，相差８．２％，从而可以验证：Ｍｏｏ—ｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型适合模拟中小变形行为，Ｙｅｏｈ模型比较适合模拟炭黑填充ＮＲ的大变形行为ｊ图１应力－应变关系０．５１．０１．５２．０２．５３．０３．５４．０４．５５．０１／；ｔｌ圈２Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型拟合线●一试验数据ｆ１一拟合二次曲线（ｙ＝Ｏ．３８ｘ２—２．５ｘ＋３）Ｉ２一拟合直线（，＝一Ｏ．３５ｚ＋１．２）。圈３Ｙｅｏｈ模型拟合线●一试验数据１１一拟合二次曲线（ｙ＝－－０．０１３ｘ２＋Ｏ．２８ｚ—Ｏ．５３）Ｉ２～拟台直线（ｙ＝－－ｏ．０１９ｘ＋Ｏ．７１）．５结语本研究主要总结了目前两种常用的超弹性橡胶材料的应变能密度函数模型，并分析比较其适用性，具体给出了Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型和Ｙｅｏｈ模型材料参数的确定方法。采用ＡＮＳＹＳ有限元分析软件对两种模型进行分析，进一步证明了两种
