2014年高考北京理科数学试题及答案(word解析版)

2014年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分、在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1、（5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A、{0}B、{0，1}C、{0，2}D、{0，1，2}2、（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A、y=B、y=（x﹣1）2C、y=2﹣xD、y=log0.5（x+1）3、（5分）曲线（θ为参数）的对称中心（）A、在直线y=2x上B、在直线y=﹣2x上C、在直线y=x﹣1上D、在直线y=x+1上4、（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A、7B、42C、210D、8405、（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为递增数列”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件6、（5分）若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A、2B、﹣2C、D、﹣7、（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A、S1=S2=S3B、S2=S1且S2≠S3C、S3=S1且S3≠S2D、S3=S2且S3≠S18、（5分）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”、若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”、如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）A、2人B、3人C、4人D、5人二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9、（5分）复数（）2=、10、（5分）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|=、11、（5分）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C 的方程为；渐近线方程为、12、（5分）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=时，{a n}的前n项和最大、13、（5分）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种、14、（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f （x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为、三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15、（13分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=、（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长、16、（13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与的大小（只需写出结论）、17、（14分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H、（1）求证：AB∥FG；（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长、18、（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0，]（1）求证：f（x）≤0；（2）若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，求a的最大值与b的最小值、19、（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4，（1）求椭圆C的离心率（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论、20、（13分）对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（a n，b n），记T1（P）=a1+b1，T k（P）=b k+max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}（2≤k≤n），其中max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}表示T k（P）和a1+a2+…+a k两个数中最大的数，﹣1（Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；（Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P′）的大小；（Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值（只需写出结论）、参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分、在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1、（5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A、{0}B、{0，1}C、{0，2}D、{0，1，2}分析：解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集、解答：解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，2}故选：C、点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键、2、（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A、y=B、y=（x﹣1）2C、y=2﹣xD、y=log0.5（x+1）分析：根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论、解答：解：由于函数y=在（﹣1，+∞）上是增函数，故满足条件，由于函数y=（x﹣1）2在（0，1）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=2﹣x在（0，+∞）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=log0.5（x+1）在（﹣1，+∞）上是减函数，故不满足条件，故选：A、点评：本题主要考查函数的单调性的定义和判断，基本初等函数的单调性，属于基础题、3、（5分）曲线（θ为参数）的对称中心（）A、在直线y=2x上B、在直线y=﹣2x上C、在直线y=x﹣1上D、在直线y=x+1上分析：曲线（θ为参数）表示圆，对称中心为圆心，可得结论、解答：解：曲线（θ为参数）表示圆，圆心为（﹣1，2），在直线y=﹣2x上，故选：B、点评：本题考查圆的参数方程，考查圆的对称性，属于基础题、4、（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A、7B、42C、210D、840分析：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出S的值、解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，当m=7，n=3时，m﹣n+1=7﹣3+1=5，∴跳出循环的k值为4，∴输出S=7×6×5=210、故选：C、点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键、5、（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为递增数列”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件分析：根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论、解答：解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但{a n}不是递增数列，充分性不成立、若a n=﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q＞1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D、点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键、6、（5分）若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A、2B、﹣2C、D、﹣分析：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0时，可行域内没有使目标函数z=y﹣x取得最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左边，z=y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案、解答：解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边，故由约束条件作出可行域如图，当y=0，由kx﹣y+2=0，得x=，∴B（﹣）、由z=y﹣x得y=x+z、由图可知，当直线y=x+z过B（﹣）时直线在y轴上的截距最小，即z最小、此时，解得：k=﹣、故选：D、点评：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题、7、（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A、S1=S2=S3B、S2=S1且S2≠S3C、S3=S1且S3≠S2D、S3=S2且S3≠S1分析：分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论、解答：解：设A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），则各个面上的射影分别为A'，B'，C'，D'，在xOy坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，2，0），C'（0，2，0），D'（1，1，0），S1=、在yOz坐标平面上的正投影A'（0，0，0），B'（0，2，0），C'（0，2，0），D'（0，1，），S2=.在zOx坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，0，0），C'（0，0，0），D'（0，1，），S3=，则S3=S2且S3≠S1，故选：D、点评：本题主要考查空间坐标系的应用，求出点对于的投影坐标是解决本题的关键、8、（5分）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”、若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”、如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）A、2人B、3人C、4人D、5人分析：分别用ABC分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出文成绩得A，B，C的学生各最多只有1个，继而推得学生的人数、解答：解：用ABC分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A的学生最多只有1个，语文成绩得B得也最多只有一个，得C最多只有一个，因此学生最多只有3人，显然（AC）（BB）（CA）满足条件，故学生最多有3个、故选：B、点评：本题主要考查了合情推理，关键是找到语句中的关键词，培养了推理论证的能力、二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9、（5分）复数（）2=﹣1、分析：由复数代数形式的除法运算化简括号内部，然后由虚数单位i的运算性质得答案、解答：解：（）2=、故答案为：﹣1、点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题、10、（5分）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|=、分析：设=（x，y）、由于向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），可得，解出即可、解答：解：设=（x，y）、∵向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），∴=λ（x，y）+（2，1）=（λx+2，λy+1），∴，化为λ2=5、解得、故答案为：、点评：本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法，属于基础题、11、（5分）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C 的方程为；渐近线方程为y=±2x、分析：利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论、解答：解：与﹣x2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为﹣x2=m，（m≠0），∵双曲线C经过点（2，2），∴m=，即双曲线方程为﹣x2=﹣3，即，对应的渐近线方程为y=±2x，故答案为：，y=±2x、点评：本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础、12、（5分）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=8时，{a n}的前n项和最大、分析：可得等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论、解答：解：由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8＞0，∴a8＞0，又a7+a10=a8+a9＜0，∴a9＜0，∴等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴等差数列{a n}的前8项和最大，故答案为：8、点评：本题考查等差数列的性质和单调性，属中档题、13、（5分）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有36种、分析：分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②计算其中A、B相邻又满足B、C相邻的情况，即将ABC看成一个元素，与其他产品全排列，③在全部数目中将A、B相邻又满足A、C相邻的情况排除即可得答案、解答：解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有2=48种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2=12种摆法，故满足条件的摆法有48﹣12=36种、故答案为：36、点评：本题考查分步计数原理的应用，要优先分析受到限制的元素，如本题的A、B、C、14、（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f （x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为π、分析：由f（）=f（）求出函数的一条对称轴，结合f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=﹣f（）可得函数的半周期，则周期可求、解答：解：由f（）=f（），可知函数f（x）的一条对称轴为x=，则x=离最近对称轴距离为、又f（）=﹣f（），则f（x）有对称中心（，0），由于f（x）在区间[，]上具有单调性，则≤T⇒T≥，从而=⇒T=π、故答案为：π、点评：本题考查f（x）=Asin（ωx+φ）型图象的形状，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是中档题、三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15、（13分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=、（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长、分析：根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论、解答：解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，∴sin∠ADC====，则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=×﹣=、（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×=49，即AC=7、点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大、16、（13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与的大小（只需写出结论）、分析：（1）根据概率公式，找到李明在该场比赛中超过0.6的场次，计算即可，（2）根据互斥事件的概率公式，计算即可、（3）求出平均数和EX，比较即可、解答：解：（1）设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6为事件A，由题意知，李明在该场比赛中超过0.6的场次有：主场2，主场3，主场5，客场2，客场4，共计5场所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率P（A）=，（2）设李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为事件B，同理可知，李明主场命中率超过0.6的概率，客场命中率超过0.6的概率，故P（B）=P1×（1﹣P2）+P2×（1﹣P1）=；（3）=（12+8+12+12+8+7+8+15+20+12）=11.4EX=点评：本题主要考查了概率的计算、数学期望，平均数，互斥事件的概率，属于中档题、17、（14分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H、（1）求证：AB∥FG；（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长、分析：（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得；（2）由于PA⊥底面ABCDE，底面AMDE为正方形，建立如图的空间直角坐标系Axyz，分别求出A，B，C，E，P，F，及向量BC的坐标，设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），求出一个值，设直线BC与平面ABF所成的角为α，运用sinα=|cos|，求出角α；设H（u，v，w），再设，用λ表示H的坐标，再由n=0，求出λ和H的坐标，再运用空间两点的距离公式求出PH的长、解答：（1）证明：在正方形AMDE中，∵B是AM的中点，∴AB∥DE，又∵AB⊄平面PDE，∴AB∥平面PDE，∵AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG，∴AB∥FG；（2）解：∵PA⊥底面ABCDE，∴PA⊥AB，PA⊥AE，如图建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，2），E（0，2，0），F（0，1，1），，设平面ABF的法向量为=（x，y，z），则即，令z=1，则y=﹣1，∴=（0，﹣1，1），设直线BC与平面ABF所成的角为α，则sinα=|cos＜，＞|=||=，∴直线BC与平面ABF所成的角为，设H（u，v，w），∵H在棱PC上，∴可设，即（u，v，w﹣2）=λ（2，1，﹣2），∴u=2λ，v=λ，w=2﹣2λ，∵是平面ABF 的法向量，∴=0，即（0，﹣1，1）•（2λ，λ，2﹣2λ）=0，解得λ=，∴H（），∴PH==2、点评：本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面平行、垂直的判定和性质，同时考查直线与平面所成的角的求法，考查运用空间直角坐标系求角和距离，是一道综合题、18、（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0，]（1）求证：f（x）≤0；（2）若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，求a的最大值与b的最小值、分析：（1）求出f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，判定出在区间∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，得f（x）在区间∈[0，]上单调递减，从而f（x）≤f （0）=0、（2）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx ＜0”构造函数g（x）=sinx﹣cx，通过求函数的导数讨论参数c求出函数的最值，进一步求出a，b的最值、解答：解：（1）由f（x）=xcosx﹣sinx得f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，此在区间∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，所以f（x）在区间∈[0，]上单调递减，从而f（x）≤f（0）=0、（2）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx ＜0”令g（x）=sinx﹣cx，则g′（x）=cosx﹣c，当c≤0时，g（x）＞0对x∈（0，）上恒成立，当c≥1时，因为对任意x∈（0，），g′（x）=cosx﹣c＜0，所以g（x）在区间[0，]上单调递减，从而，g（x）＜g（0）=0对任意x∈（0，）恒成立，当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈（0，）使得g′（x0）=cosx0﹣c=0，g（x）与g′（x）在区间（0，）上的情况如下：x（0，x0）x0（x0，）g′（x）+﹣g（x）↑↓因为g（x）在区间（0，x0）上是增函数，所以g（x0）＞g（0）=0进一步g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，当且仅当综上所述当且仅当时，g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，）恒成立，所以若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1点评：本题考查利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的最值；考查解决不等式问题常通过构造函数解决函数的最值问题，属于一道综合题、19、（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4，（1）求椭圆C的离心率（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论、分析：（1）化椭圆方程为标准式，求出半长轴和短半轴，结合隐含条件求出半焦距，则椭圆的离心率可求；（2）设出点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0，由OA⊥OB得到，用坐标表示后把t用含有A点的坐标表示，然后分A，B的横坐标相等和不相等写出直线AB的方程，然后由圆x2+y2=2的圆心到AB的距离和圆的半径相等说明直线AB与圆x2+y2=2相切、解答：解：（1）由x2+2y2=4，得椭圆C的标准方程为、∴a2=4，b2=2，从而c2=a2﹣b2=2、因此a=2，c=、故椭圆C的离心率e=；（2）直线AB与圆x2+y2=2相切、证明如下：设点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0、∵OA⊥OB，∴，即tx0+2y0=0，解得、当x0=t时，，代入椭圆C的方程，得、故直线AB的方程为x=，圆心O到直线AB的距离d=、此时直线AB与圆x2+y2=2相切、当x0≠t时，直线AB的方程为，即（y0﹣2）x﹣（x0﹣t）y+2x0﹣ty0=0、圆心O到直线AB的距离d=、又，t=、故=、此时直线AB与圆x2+y2=2相切、点评：本题考查椭圆的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线的综合，训练了由圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了计算能力和逻辑思维能力，是压轴题、20、（13分）对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（a n，b n），记T1（P）=a1+b1，T k（P）=b k+max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}（2≤k≤n），其中max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}表示T k（P）和a1+a2+…+a k两个数中最大的数，﹣1（Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；（Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P′）的大小；（Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值（只需写出结论）、分析：（Ⅰ）利用T1（P）=a1+b1，T k（P）=b k+max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}（2≤k ≤n），可求T1（P），T2（P）的值；（Ⅱ）T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}，分类讨论，利用新定义，可比较T2（P）和T2（P′）的大小；（Ⅲ）根据新定义，可得结论、解答：解：（Ⅰ）T1（P）=2+5=7，T2（P）=1+max{T1（P），2+4}=1+max{7，6}=8；（Ⅱ）T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}、当m=a时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+d+b，∵a+b+d≤c+d+b，且a+c+d≤c+b+d，∴T2（P）≤T2（P′）；当m=d时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+a+b，∵a+b+d≤c+a+b，且a+c+d≤c+a+d，∴T2（P）≤T2（P′）；∴无论m=a和m=d，T2（P）≤T2（P′）；（Ⅲ）数对（4，6），（11，11），（16，11），（11，8），（5，2），T5（P）最小；T1（P）=10，T2（P）=26；T3（P）42，T4（P）=50，T5（P）=52点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解与运用新定义是解题的关键。

2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B = ( )A.{0}B.{0,1}C.{0,2}D.{0,1,2}【测量目标】集合的基本运算(交集).【考查方式】用描述法、列举法写出集合，求其交集. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题分析】{}0,2A = ，{02}{012}{02}A B ∴ ＝，，，＝，，故选D. 2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A.y = 2B.(1)y x =-C.2xy -= 0.5D.l o g (1)y x =+【测量目标】基本初等函数的性质(单调性).【考查方式】初等函数在区间内的单调性. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题分析】 由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，故选A. 3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）A.在直线2y x =上B.在直线2y x =-上C.在直线1y x =-上D.在直线1y x =+上【测量目标】曲线的参数方程.【考查方式】曲线方程消去参数化为普通方程，求经过对称中心的一条直线. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题分析】曲线方程消去参数化为22(1)(2)1x y ＋＋－＝,其对称中心点为(－1，2)，验证知其在直线2y x ＝－上，故选B.4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A.7 B.42 C.210 D.480zxm9第4题图【测量目标】选择结构和循环结构程序框图.【考查方式】由循环语句、条件语句执行程序，直至结束. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题分析】1765210S ⨯⨯⨯＝＝，故选C. 5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则1q >“”是{}n a “”为递增数列的（ ） A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【测量目标】充分、必要条件，等比数列的性质. 【考查方式】结合数列的性质考查充分、必要条件. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题分析】当101a q <>，时，数列{}n a 递减；当10a <，数列{}n a 递增时，01q <<，故选D.6.若,x y 满足20200x y kx y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≥，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）A.2B.-2C.12 D.12- 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出约束条件和目标函数在此区域的最小值，求未知参数. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题分析】可行域如图所示，当0k >时，知z y x ＝－无最小值，当0k <时，目标函数线过可行域内A 点时z 有最小值．联立020y kx y =⎧⎨-+=⎩解得2,0A k ⎛⎫⎪⎝⎭，故min 2=0+=4z k 即1=2k -，故选D.zxm13第6题图7.在空间直角坐标系O xyz -中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）A.123S S S ==B.12S S =且 31S S ≠C.13S S =且 32S S ≠D.23S S =且 13S S ≠【测量目标】空间直角坐标系，投影.【考查方式】给出三棱锥中各点的坐标，求其在坐标平面的投影面积. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题分析】设顶点D 在三个坐标平面xOy 、yOz 、zOx 上的正投影分别为D 1、D 2、D 3，则11AD BD ＝2AB ＝，∴11S 22=22=⨯⨯，221=22OCD S S =⨯=△，331=22OAD S S =⨯=△,故选D.8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.满足条件的最多有多少学生（ ）A.2B.3C.4D.5 【测量目标】排列组合数的应用.【考查方式】利用排列与组合，求出其中的不同选法. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】假设A 、B 两位学生的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的学生比另一个学生“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此，没有任意两位学生数学成绩是相同的．因为数学成绩只有3种，因而学生数量最大为3，即 3位学生的成绩分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件，故选B. 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数21i 1i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.【测量目标】复数代数形式的四则运算. 【考查方式】复数的乘、除运算，直接计算出结果. 【难易程度】容易 【参考答案】1-【试题解析】()()()22221i 1i 2i =11i 1i 1i 2⎡⎤++⎛⎫⎛⎫==-⎢⎥ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 10.已知向量a 、b 满足1=a ，()2,1=b ，且()0λλ+=∈R a b ，则λ=________.【测量目标】向量的线性运算. 【考查方式】已知向量和向量的模，及两向量之间的关系，求λ的值.【难易程度】容易【试题解析】0λ ＋a b =，λ∴=－a b，||||λ∴===b a 11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.【测量目标】双曲线的简单几何性质. 【考查方式】利用双曲线简单的几何性质，求经过一点，与已知曲线有相同渐近线的双曲线. 【难易程度】容易【参考答案】22=1312x y - 2y x ±＝ 【试题解析】设双曲线C 的方程为224y x λ-=，将(2，2)代入得2222=3=4λ--，∴双曲线C 的方程为22=1312x y -.令22=04y x -得渐近线方程为2y x ±＝. 12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.【测量目标】等差数列性质.【考查方式】考查等差数列的等差中项. 【难易程度】容易 【参考答案】8【试题解析】789830a a a a > ＋＋＝，710890a a a a <＋＝＋，8900a a ∴><，，∴n ＝8时，数列{}n a 的前n 项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 【测量目标】乘法原理，排列数的应用. 【考查方式】根据题目的要求，利用分步乘法计数原理与排列与组合，求出其中的不同摆法. 【难易程度】容易 【参考答案】36【试题解析】321323A A A =623=36⨯⨯.14. 设函数()sin()f x A x ωϕ=+，（A ωϕ，，是常数，0,0>>ωA ）.若)(x f 在区间ππ[,]62上具有单调性，且π2ππ236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则)(x f 的最小正周期为________. 【测量目标】二次函数的图象与周期性.【考查方式】结合二次函数的图象与单调性，求最小正周期T. 【难易程度】中等 【参考答案】π【试题解析】结合图像得π2πππ+2326=422T +-，即πT ＝.zxm33第14题图 三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC △中，π,83B AB ∠==，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD . （1）求BAD ∠sin ； （2）求AC BD ,的长.zxm10第15题图【测量目标】三角函数的基本关系式，正弦定理、余弦定理.【考查方式】考查了三角函数的两角和差公式，及给出三角形的边、关于边与角的正弦余弦的等式，求出未知量. 【难易程度】中等【试题分析】（1）在ADC △中，因为1cos 7ADC ∠=，所以sin ADC ∠=. 所以sin sin()BAD ADC B ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC B ADC B =∠-∠117272=-⨯14=. （2）在ABD △中，由正弦定理得8sin 3sin AB BAD BD ADB ⋅∠===∠， 在ABC △中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅22185285492=+-⨯⨯⨯=， 所以7AC =.16. （本小题13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率；（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率；（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）. 【测量目标】独立事件的概率、互斥事件的概率及数学期望.【考查方式】由互斥事件与独立事件的概率,设出基本事件，并求出概率.【难易程度】中等 【试题分析】（1）根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.（2）设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”.则C = AB AB ，,A B 独立根据投篮统计数据，32(),()55P A P B ==. ()()()P C P AB P AB =+33225555=⨯+⨯1325=所以在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325. （3）EX x =.17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.zxm34第17题图（1）【测量目标】线线平行的判定，线面角的计算、空间直角坐标系.【考查方式】由线面平行推出线线平行，利用线面垂直、线线垂直这个条件，作出有关辅助线，建立空间直角坐标系求解. 【难易程度】中等 【试题分析】（1）在正方形中，因为B 是AM 的中点，所以AB ∥DE .又因为AB ⊄平面PDE ， 所以AB ∥平面PDE ，因为AB ⊂平面ABF ，且ABF PDE FG 平面平面=，所以AB ∥FG .（2）因为PA ⊥底面ABCDE ,所以PA AB ⊥，PA AE ⊥.如图建立空间直角坐标系Axyz ，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ,(2,1,0)C ,(0,0,2)P ,(0,1,1)F ,BC(1,1,0)=.设平面ABF 的法向量为(,,)x y z =n ，则AB AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ，即00x y z =⎧⎨+=⎩. 令1,z =，则1y =-.所以(0,1,1)=-n ，设直线BC 与平面ABF 所成角为α,则1sin cos ,2BC BC BCα⋅=== n n n .设点H 的坐标为(,,).u v w因为点H 在棱PC 上，所以可设(01)PH PC λλ=<<，即(,,2)(2,1,2)u v w λ-=-，所以2,,22u v w λλλ===-.因为n 是平面ABF 的法向量，所以0AH ⋅=n ，即(0,1,1)(2,,22)0λλλ-⋅-=.解得23λ=，所以点H 的坐标为422(,,).333所以2PH ==.zxm12第17题图（2）18.（本小题13分）已知函数π()cos sin ,[0,]2f x x x x x =-∈.(1)求证：()f x ≤0；(2)若sin x a b x <<在π(0,)2上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值. 【测量目标】导数的几何意义，利用导数判断参数的范围.【考查方式】直接利用导数的几何意义，证明函数.第(2)问是求解未知参量的最值，函数求导，由函数值变化判断单调区间，进而求解最值. 【难易程度】较难【试题分析】(1)由()cos sin f x x x x =-得'()cos sin cos sin f x x x x x x x =--=-.因为在区间π(0,)2上'()sin 0f x x x =-<，所以()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()(0)0f x f =≤. (2)当0x >时，“sin x a x >”等价于“sin 0x ax ->”，“sin xb x<”等价于“sin 0x bx -<”.令()g x sin x cx =-，则'()cos g x x c =-.当0c ≤时，()0g x >对任意π(0,)2x ∈恒成立.当1c ≥时，因为对任意π(0,)2x ∈，'()g x cos 0x c =-<，所以()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.从而()g x (0)0g <=对任意π(0,)2x ∈恒成立.当01c <<时，存在唯一的0π(0,)2x ∈，使得'0()g x 0cos x c =-0=. ()g x 与'()g x 在区间π(0,)2上的情况如下：因为()g x 在区间[]00,x 上是增函数，所以0()(0)0g x g >=.进一步，“()0g x >对任意π(0,)2x ∈恒成立”当且仅当ππ()1022g =-≥，即20πc <≤.综上所述，当且仅当2πc ≤时，()0g x >对任意π(0,)2x ∈恒成立；当且仅当1c ≥时，()<0g x 对任意π(0,)2x ∈恒成立.所以，若sin x a b x <<对任意π(0,)2x ∈恒成立，则a 最大值为2π，b 的最小值为1. 19.（本小题14分） 已知椭圆2224C xy +=：，（1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB与圆222xy +=的位置关系，并证明你的结论.【测量目标】椭圆的简单几何性质、曲线交点坐标求法,直线与曲线的位置关系.【考查方式】根据给出的椭圆方程找出离心率，然后利用椭圆方程与直线的关系及两线垂直，求出直线与圆的位置关系. 【难易程度】较难【试题分析】（1）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=.所以224,2a b ==，从而2222c a b =-=.因此2,a c ==故椭圆C 的离心率c e a ==. （2） 直线AB 与圆222x y +=相切.证明如下：设点A ,B 的坐标分别为00(,)x y ，(,2)t ，其中00x ≠.因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅= ，即0020tx y +=，解得002y t x =-. 当0x t =时，202t y =，代入椭圆C的方程，得t =， 故直线AB的方程为x =圆心O 到直线AB的距离d =此时直线AB 与圆222x y +=相切.当0x t ≠时，直线AB 的方程为0022()y y x t x t--=--， 即0000(2)()20y x x t y x ty ---+-=，圆心O 到直线AB的距离d =.又220024x y +=，002y t x =-,故d === 此时直线AB 与圆222x y +=相切.20.（本小题13分）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}k k k k T P b T P a a a -=++++ 2≤k ≤n ，其中112max{(),}k k T P a a a -+++ 表示1()k T P -和12k a a a +++ 两个数中最大的数.（1） 对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值;（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P c d a b ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小;（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.【测量目标】数学概念的新定义.【考查方式】给出数学概念的新定义，根据新定义，求值比较大小.【难易程度】较难【试题分析】（1）1()257T P =+=，{}21()1max (),24T P T P =++{}1max 7,6=+=8.（2）2()T P {}max ,a b d a c d =++++,2(')T P ={}max ,c d b c a b ++++. 当m =a 时，2(')T P ={}max ,c d b c a b ++++=c d b ++,因为c d b c b d ++++≤，且a c d c b d ++++≤，所以2()T P ≤2(')T P . 当m =d 时，2(')T P {}max ,c d b c a b =++++c a b =++,因为a b d ++≤c a b ++，且a c d c a b ++++≤所以2()T P ≤2(')T P . 所以无论m =a 还是m =d ，2()T P ≤2(')T P 都成立.（3）数对序列P ：（4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的5()T P 值最小， 1()T P =10， 2()T P =26， 3()T P =42， 4()T P =50， 5()T P =52.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合2{|20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，则A B =I （ ）A.{0} B ．{0,1} C ．{0,2} D ．{0,1,2} 【答案】C【解析】∵{}2,0=A ，∴{}{}{}2,02,1,02,0==I I B A .2. 下列函数中，在区间(0,)+∞为增函数的是（ ）A ．1y x =+B ．2(1)y x =-C ．2x y -=D ．0.5log (1)y x =+【答案】A【解析】由初等函数的性质得选项B 在()1,0上递减，选项C 、D 在()+∞,0为减函数，所以排除B 、C 、D.3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨==⎩，（θ为参数）的对称中心（ ）A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上 【答案】B【解析】试题分析：参数方程⎩⎨⎧+=+-=θθsin 2cos 1y x 所表示的曲线为圆心在)2,1(-，半径为1的圆，其对称中心为)2,1(-，逐个代入选项可知，点)2,1(-满足x y 2-=，故选B. 4. 当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．7B ．42C ．210D ．8405.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】试题分析：对等比数列}{n a ，若1>q ，则当0,1a 时数列}{n a 是递减数列；若数列}{n a 是递增数列，则}{n a 满足01<a 且10<<q ，故当“1>q ”是”数列}{n a 为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C.6. 若x 、y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12 D ．12- 【答案】D【解析】可行域如图所示，当0>k 时，知x y z -=无最小值，当0<k 时，目标函数线过可行域内A 点时z 有最小值，联立⎩⎨⎧=+-=020y kx y ，解之得⎪⎭⎫⎝⎛-0,2k A ，420min -=+=k z ，即21-=k .7.在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） A ．123S S S == B ．21S S =且23S S ≠ C ．31S S =且32S S ≠ D ．32S S =且31S S ≠ 【答案】D【解析】设顶点D 在三个坐标面xoy 、yoz 、zox 的正投影分为'1D 、'2D 、'3D ，则211='='BD AD ，2=AB ，∴2222211=⨯⨯⨯=S ，2222122=⨯⨯=='OCD S S ，2222133=⨯⨯=='OAD S S .8.学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲2=-+y x 02=+-y kx A=-x y的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（ ）A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人 【答案】B【解析1】试题分析：用A 、B 、C 分别表示优秀、及格和不及格，依题意，事件A 、B 、C 中都最多只有一个元素，所以只有AC ，BB ，CA 满足条件，故选B.【解析2】假设AB 两个同学的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾.因此，没有任意两个同学数学成绩是相同的.因为数学成绩只有3种，因而同学数量最大为3.即 3位同学成绩分别为（优秀，不合格）、（合格，合格）、（不合格，优秀）时满足条件.二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.二、填空题9. 复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.【答案】1-【解析】()()()122111112222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+i i i i i i . 10.已知向量a r 、b r 满足1a =r，()2,1b =r ，且()0a b R λλ+=∈r r ，则λ=________.【答案】5【解析】∵0=+b a λ，∴b a -=λ，∴515||||===a b λ. 11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.【答案】112322=-y x ；x y 2±= 【解析】设双曲线C 的方程为λ=-224x y ，将()2,2代入λ=-=-324222，∴双曲线方程为112322=-y x .令0422=-x y 得渐近线方程为x y 2±=.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大. 【答案】8【解析】∵038987>=++a a a a ，098107<+=+a a a a ，∴0,098<>a a ，∴8=n 时数列{}n a 前n 和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_____种. 【答案】36【解析】36326132233=⨯⨯=A A A .14.设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 【答案】π【解析】结合图象得26223224ππππ+-+≥T ，即π≥T .三、解答题共6小题，共80分。

2014年高考北京卷数学理试题及答案解析一、选择题1. [2014•北京理卷]1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =I ( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D【答案】C【解析】∵{}2,0=A ，∴{}{}{}2,02,1,02,0==I I B A . 2.[2014•北京理卷]下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.A y = 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+【答案】A【解析】由初等函数的性质得选项B 在()1,0上递减，选项C 、D 在()+∞,0为减函数，所以排除B 、C 、D. 3.[2014•北京理卷]曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上【答案】B【解析】曲线方程消参化为()()12122=-++y x ，其对称中心为()2,1-，验证知其满足x y 2-=.4.[2014•北京理卷]当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D【答案】C【解析】2105671=⨯⨯⨯=S . 5.[2014•北京理卷]设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当01<a 时，1>q 数列{}n a 递减；01<a 时，数列{}n a 递增，10<<q . 理数6.E5[2014•北京理卷]若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -【答案】D【解析】可行域如图所示，当0>k 时，知x y z -=无最小值，当0<k 时，目标函数线过可行域内A 点时z 有最小值，联立⎩⎨⎧=+-=020y kx y ，解之得⎪⎭⎫⎝⎛-0,2k A ，420min -=+=k z ，即21-=k .7.[2014•北京理卷]在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()1,1,2D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠ 【答案】D【解析】设顶点D 在三个坐标面xoy 、yoz 、zox 的正投影分为'1D 、'2D 、'3D ，则211='='BD AD ，2=AB ，∴2222211=⨯⨯⨯=S ，2222122=⨯⨯=='OCD S S ，2222133=⨯⨯=='OAD S S .8.[2014•北京理卷]有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】B【解析】假设AB 两个同学的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾.因此，没有任意两个同学数学成绩是相同的.因为数学成绩只有3种，因而同学数量最大为3.即 3位同学成绩分别为（优秀，不合格）、（合格，合格）、（不合格，优秀）时满足条件. 二、填空题9.[2014•北京理卷]2=-+y x 02=+-y kx A=-x y复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.【答案】1-【解析】()()()122111112222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+i i i i i i . 10.[2014•北京理卷]已知向量a r 、b r 满足1a =r，()2,1b =r ，且()0a b R λλ+=∈r r ，则λ=________.【答案】5【解析】∵0=+λ，∴-=λ，∴515||||===a b λ. 11.[2014•北京理卷]设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________.【答案】 112322=-y x ；x y 2±=【解析】设双曲线C 的方程为λ=-224x y ，将()2,2代入λ=-=-324222，∴双曲线方程为112322=-y x .令0422=-x y 得渐近线方程为x y 2±=. 12.[2014•北京理卷]若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大. 【答案】8【解析】∵038987>=++a a a a ，098107<+=+a a a a ，∴0,098<>a a ，∴8=n 时数列{}n a 前n 和最大. 13.[2014•北京理卷]把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 【答案】36【解析】36326132233=⨯⨯=A A A .14.[2014•北京理卷]设函数)sin()(ϕω+=xxf，0,0>>ωA ，若)(xf在区间]2,6[ππ上具有单调性，且⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππfff，则)(xf的最小正周期为________.【答案】π【解析】结合图象得26223224ππππ+-+≥T，即π≥T.15.[2014•北京理卷]如图，在ABC∆中，8,3==∠ABBπ，点D在BC边上，且71cos,2=∠=ADCCD（1）求BAD∠sin（2）求ACBD,的长解：（I）在ADC∆中，因为17COS ADC∠=，所以43sin7ADC∠=.所以sin sin()BAD ADC B∠=∠-∠sin cos cos sinADC B ADC B=∠-∠=1433237121734=⨯-⨯.（Ⅱ）在ABD∆中，由正弦定理得AA-6π2π32π338sin 143sin 437AB BAD BD ADB ⨯⋅∠===∠， 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅22185285492=+-⨯⨯⨯=, 所以7AC =.16.[2012•北京理卷]李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）.解：(I)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是05.（Ⅱ）设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”。