高一数学必修4模块训练3

数学必修（4）同步练习参考答案§1.1任意角和弧度制一、CDDCBA二、7.{x|x=k•3600+1800, k∈Z}, {x|x=k•1800+450,k∈Z} ; 8.-345°; 9. ;10.第二或第四象限, 第一或第二象限或终边在y轴的正半轴上三、11.{ α|α=k•3600+1200或α=k•3600+3000, k∈Z } -60° 120°12.由7θ=θ+k•360°，得θ=k•60°（k∈Z）∴θ=60°，120°，180°，240°，300°13.∵l=20－2r,∴S= lr= (20-2r)•r=－r2+10r=-(r-5)2+25∴当半径r=5 cm时，扇形的面积最大为25 cm2,此时，α= = =2(rad)14.A点2分钟转过2θ，且π＜2θ＜π,14分钟后回到原位，∴14θ=2kπ,θ= ，且 <θ< π，∴θ= π或π§1.2.1 任意角的三角函数一、CCDBCD二、7.一、三； 8. 0 ； 9. 或π； 10.二、四三、11.[2kπ, 2kπ,+ ( k∈Z)12.13.∵sinθ= - ，∴角θ终边与单位圆的交点（cosθ，sinθ）=（ ,- ）又∵P(-2, y)是角θ终边上一点, ∴cosθ<0,∴cosθ= - .14.略.§1.2.2同角三角函数的基本关系式一、BCDBBA二、7. ; 8.0; 9. ; 10.三、11.12.原式= － ==sinx+cosx13.左边=tan2θ－sin2θ= －sin2θ=sin2θ• =sin2θ• =sin2θ•tan2θ=右边14.(1)当m=0时, α=kπ, k∈Z ,cosα=±1, tanα=0(2)当|m|=1时, α=kπ+ , k∈Z ,cosα=0, tanα=0不存在(3)当0<|m|<1时,若α在第一或第四象限,则cosα= tanα= ;若α在第二或第三象限,则cosα=- tanα=- .§1.3 三角函数的诱导公式一、BBCCBC二、7. ; 8.1 ; 9.1 ; 10.三、11. 112. f(θ)= = =cosθ-1∴f( )=cos -1=-13.∵cos(α+β)=1, ∴α+β=2kπ, k∈Z. ∴cos(2α+β)= cos(α+α+β)= cos(π+α)=- cosα= - .14. 由已知条件得：sinα= sinβ①, cos α=- cosβ②，两式推出sinα= ，因为α∈(- , )，所以α= 或- ；回代②，注意到β∈(0,π)，均解出β= ，于是存在α= ，β= 或α=- ，β= ，使两等式同时成立。

安庆一中高一数学试题（必修4模块检测）命题教师 吴显上一 .选择题：本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．0tan 600的值是（ ） A．-．2.若α、β的终边关于y 轴对称，则下列等式正确的是( )A.sin α=sin βB.cos α=cos βC.tan α=tan βD.tan α·tan β=13. 下列命题正确的是（ ）A 若→a ·→b =→a ·→c ，则→b =→c B 若|||b -=+，则→a ·→b =0 C 若→a //→b ，→b //→c ，则→a //→c D 若→a 与→b 是单位向量，则→a ·→b =1 4．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）5．已知O 是在四边形ABCD 所在平面内的一点，且22OA OC OB OD +=+，则四边形ABCD 是（ ）A ．矩形 B.平行四边形 C. 梯形 D. 菱形xＡ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．6．在锐角△ABC 中，设.cos cos ,sin sin B A y B A x ⋅=⋅=则x,y 的大小关系为（ ） （A ）y x ≤（B ）y x >（C ）y x <（D ）y x ≥7．在下列四个函数中，在区间），（20π上为增函数，且以π为最小正周期的偶函数是（ ） A ．y=tanx; B ．y=sin|x| C ．y=cos2x; D ．y=|sinx|;8. 计算下列几个式子，① 35tan 25tan 335tan 25tan ++, ②2(sin35︒cos25︒+sin55︒cos65︒), ③15tan 115tan 1-+ , ④6tan16tan2ππ-，结果为3的是（ ）A.①②B. ①③C. ①②③D. ①②③④ 8．把函数y=cos （3x+4π）的图象适当变换可以得到y=sin （-3x ）的图象。

2-3-4平面向量共线的坐标表示一、选择题1．已知向量a ＝(x,5)，b ＝(5，x )，两向量方向相反，则x ＝( ) A ．－5 B ．5 C ．－1 D ．1 [答案] A2．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．9 D ．－9 [答案] D3．(2011～2012·重庆高一检测)已知向量a ＝(x,2)，b ＝(1，x )，若a ∥b ，则x ＝( )A. 2 B ．－ 2 C ．±2 D ．2 [答案] C4．(2011～2012·北京西城高三第一学期期末)已知点A (－1,1)，点B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB →∥a ，则实数y 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 [答案] C[解析] AB →＝(3，y －1)，又AB →∥a ， 所以(y －1)－2×3＝0，解得y ＝7.5．若点M (3，－2)，点N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则点P 的坐标为( )A ．(－8,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D ．(8，－1)[答案] B[解析] 设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)，MN →＝(－8,1)， ∵MP →＝12MN →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝12×(－8)，y ＋2＝12×1，解得x ＝－1，y ＝－32.6．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．2 [答案] D[解析] a ＋b ＝(3,1＋x )，4b －2a ＝(6,4x －2)， 由于a ＋b 与4b －2a 平行， 则3(4x －2)－6(1＋x )＝0，解得x ＝2.7．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,1)，若a ＋2b 与3a ＋λb 平行，则λ的值等于( )A ．－6B ．6C ．2D ．－2 [答案] B[解析] a ＋2b ＝(5,5)，3a ＋λb ＝(3＋2λ，9＋λ)， 由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0， ∴λ＝6.8．(09·北京文)已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向 [答案] D[解析] c ＝(k,0)＋(0,1)＝(k,1)， d ＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，c ∥d ⇒k ×(－1)－1×1＝0，∴k ＝－1. ∴c ＝(－1,1)与d 反向，∴选D.9．已知点A 、B 的坐标分别为(2，－2)、(4,3)，向量p 的坐标为(2k －1,7)，且p ∥AB →，则k 的值为( )A ．－910 B.910 C ．－1910 D.1910[答案] D[解析] 由A (2，－2)，B (4,3)得，AB →＝(2,5)， 而p ＝(2k －1,7)，由平行的条件x 1y 2－x 2y 1＝0得， 2×7－(2k －1)×5＝0，∴k ＝1910，选D.10．(2011～2012·湖南长沙)已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．垂心C ．内心D ．重心 [答案] D[解析] 设AB →＋AC →＝AD →，则可知四边形BACD 是平行四边形，而AP →＝λAD →表明A 、P 、D 三点共线．又D 在BC 的中线所在直线上，于是点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心．二、填空题11．(2011·北京高考)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________. [答案] 1[解析] a －2b ＝(3，3)．因为a －2b 与c 共线， 所以k 3＝33，解得k ＝1.12．已知向量a ＝(3,4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan α等于( )A.34 B ．－34 C.43 D ．－43 [答案] A[解析] ∵a ∥b ，∴3cos α－4sin α＝0. ∴4sin α＝3cos α.∴tan α＝34.13．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________.[答案] 2[解析] λa ＋b ＝(λ＋2,2λ＋3)，∵(λa ＋b )∥c ，∴－7(λ＋2)＝－4(2λ＋3)． ∴λ＝2.14．若三点P (1,1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线，则x 等于________． [答案] 3[解析] PA →＝(1，－5)，PB →＝(x －1，－10)，因为PA →与PB →共线，所以1×(－10)－(－5)(x －1)＝0，解得x ＝3.三、解答题15．已知向量AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，当BC →∥DA →时，求实数x ，y 应满足的关系．[解析] 由题意，得DA →＝－AD →＝－(AB →＋BC →＋CD →)＝－[(6,1)＋(x ，y )＋(－2，－3)]＝(－x －4，－y ＋2)，BC →＝(x ，y )．又∵BC →∥DA →，∴x (－y ＋2)－y (－x －4)＝0.解得x ＋2y ＝0， 即x ，y 应满足的关系为x ＋2y ＝0.16．平面内给定三个向量：a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 和n ； (3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .[分析] 根据向量的坐标运算法则及两个向量平行的充要条件，建立方程组求解．[解析] (1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．(2)∵a ＝m b ＋n c ，m ，n ∈R ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.∴m ＝59，n ＝89.(3)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)． 又∵(a ＋k c )∥(2b －a )， ∴(3＋4k )×2－(－5)×(2＋k )＝0. ∴k ＝－1613.17．已知点P 1(2，－1)，点P 2(－1,3)，点P 在线段P 1P 2上，且|P 1P →|＝23|PP 2→|.求点P 的坐标． [解析] 设点P 的坐标为(x ，y )，由于点P 在线段P 1P 2上，则有P 1P →＝23PP 2→，又P 1P →＝(x －2，y ＋1)，PP 2→＝(－1－x,3－y )， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝23(－1－x )，y ＋1＝23(3－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝35，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35.18．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →.(1)求E ，F 的坐标；(2)判断EF →与AB →是否共线． [解析] (1)设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， 依题意得AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)． 由AE →＝13AC →可知(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝23y 1＝23，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－13y 1＝23，∴E (－13，23)．由BF →＝13BC →可知x 2－3，y 2＋1)＝13(－2,3)．∴⎩⎨⎧x 2－3＝－23y 2＋1＝1，解得⎩⎨⎧x 2＝73，y 2＝0.∴F (73，0)，即E 点的坐标为(－13，23)，F 点的坐标为(73，0)．(2)由(1)可知EF →＝OF →－OE →＝(73，0)－(－13，23)＝(83，－23)，(O 为坐标原点)，又AB →＝(4，－1)，∴EF →＝23(4，－1)＝23AB →，即EF →与AB →共线．。

1-3-2诱导公式五、六一、选择题1．已知sin(α＋π4)＝13，则cos(π4－α)的值为( )A.223B ．－223C.13 D ．－13[答案] C[解析] cos(π4－α)＝cos[π2－(π4＋α)]．＝sin(α＋π4)＝13.2．已知cos(3π2＋α)＝－35，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)( )A.45 B ．－45C ．±45D.35[答案] B[解析] ∵cos(3π2＋α)＝－35，∴sin α＝－35，∴cos(－3π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－45.3．已知sin α＝513，则cos(π2＋α)等于( )A.513 B.1213 C ．－513D ．－1213[答案] C[解析] cos(π2＋α)＝－sin α＝－513.4．若sin(3π＋α)＝－12，则cos(7π2－α)等于( )A ．－12B.12C.32 D ．－32[答案] A[解析] 由已知，得sin α＝12，则cos(7π2－α)＝－sin α＝－12.5．已知sin10°＝k ，则cos620°等于( ) A ．k B ．－k C ．±k D.1－k 2 [答案] B[解析] cos620°＝cos(360°＋260°) ＝cos260°＝cos(180°＋80°)＝－cos80° ＝－cos(90°－10°)＝－sin10°＝－k .6．已知sin(α＋π2)＝13，α∈(－π2，0)，则tan α等于( )A ．－2 2B ．2 2C ．－24D.24 [答案] A[解析] sin(α＋π2)＝cos α＝13，又α∈(－π2，0)，所以sin α＝－1－cos 2α＝－223，则tan α＝sin αcos α＝－2 2. 7．若sin α＋cos αsin α－cos α2，sin(α－5π)·sin(3π2－α)等于( )A.34 B.310C ．±310D ．－310[答案] B[解析] sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝2，解得tan α＝3，则原式＝(－sin α)(－cos α)＝sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝332＋1＝310.8．若f (cos x )＝cos3x ，那么f (sin30°)的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D.32 [答案] C[解析] f (sin30°)＝f (cos60°)＝cos180°＝－1，故选C.9．A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，下列关系式中不成立的是( ) ①cos(A ＋B )＝cos C ②cos B ＋C 2＝sin A 2③tan(A ＋B )＝－tan C ④sin(2A ＋B ＋C )＝sin A A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③ [答案] C[解析] ∵cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，∴①错，排除B 、D ；cos B ＋C 2＝cos π－A 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝sin A2，∴②正确，排除A ，∴选C.10．tan110°＝k ，则sin70°的值为( ) A ．－k1＋k 2B.k 1＋k2C.1＋k 2kD ．－1＋k 2k[答案] A[解析] 解法一：∵k <0，sin70°>0，∴排除C 、B ， 又|sin70°|<1，∴排除D ，选A.解法二：k ＝tan110°＝－tan70°，∴tan70°＝－k >0，∴cos70°＝－1k sin70°代入sin 270°＋cos 270°＝1中得，sin 270°＝k 2k 2＋1，∵k <0，sin70°>0， ∴sin70°＝－k 1＋k2.二、填空题11．已知sin(π2＋α)＝34，则sin(π2－α)＝________.[答案] 34[解析] ∵sin(π2α)＝cos α＝34，∴sin(π2－α)＝cos α＝34.12．化简cos (52π－α)cos (－α)sin (32π＋α)cos (212π－α)＝________.[答案] －1 [解析] 原式＝cos[2π＋(π2－α)]cos αsin[π＋(π2＋α)]cos[10π＋(π2－α)]＝cos (π2－α)cos α－sin (2＋α)cos (2－α)＝sin αcos α－cos αsin α＝－1.13．若cos(π6 －α)＝a ，则sin(2π3－α)＝________.[答案] a[解析] ∵cos(π6－α)＝cos(2π3－α－π2)＝cos[π2－(2π3－α)]＝sin(2π3－α)，∴sin(2π3－α)＝a .14．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________．[答案] 912[解析] ∵sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1，(1≤x ≤44，x ∈N )∴原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝912.三、解答题15．(2011～2012·宜春高一检测)化简： cos (2π－α)sin (3π＋α)cos (3π2－α)cos (－π2＋α)cos (α－3π)sin (－π－α).[解析] 原式＝cos α(－sin α)(－sin α)sin α(－cos α)sin α＝－1.16．若sin(180°＋α)＝－1010，0°<α<90°.求sin (－α)＋sin (－90°－α)cos (540°－α)＋cos (－270°－α)的值． [解析] 由sin(180°＋α)＝－1010，α∈(0°，90°)，得sin α＝1010，cos α＝31010，∴原式＝－sin α－sin (90°＋α)cos (360°＋180°－α)＋cos (270°＋α)＝－sin α－cos α－cos α＋sin α ＝－1010－31010－31010＋1010＝2.17．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求sin (－α－3π2)sin (3π2－α)tan 3αcos (π2－α)cos (π2＋α)的值．[解析] 由已知得sin α＝－35.∵α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45.∴原式＝cos α·(－cos α)·(sin αcos α)3sin α·(－sin α)＝sin αcos α＝34.18．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0. [证明] ∵sin(α＋β)＝1， ∴α＋β＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴α＝2k π＋π2－β，k ∈Z .∴tan(2α＋β)＋tan β＝tan[2(2k π＋π2－β)＋β]＋tan β＝tan(4k π＋π－4k π＋π－β)＋tan β ＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0. 即tan(2α＋β)＋tan β＝0.。

高一数学必修4模块训练4一.选择题：1、化简8cos 228cos 12+-+的结果是（C ）（A ）（sin4 （B ） （C ）（cos4 （D ）2、已知tan α，tan β是方程x 2+33x+4=0的两根，且－2π<α<2π，－2π<β<2π，则 α+β等于（ B ）（A ）3π （B ）－32π （C ）3π或－32π （D ）－3π或－32π 3、函数y=sin(2x+25π)的图象的一条对称轴的方程是( A ) （A ）x=－2π （B ）x=－4π （C ）x=8π （D ）x=45π 4、已知sin αcos α=83，且4π＜α＜2π，则cos α－sin α的值是 （ A ） (A)－21 (B)21 (C)－41 (D) 41 5、下列命题①函数y=sin2x 的单调增区间是[ππππk k ++45,43]，（k ∈Z ） ②函数y=tanx 在它的定义域内是增函数③函数y=|cos2x|的周期是π④函数y=sin(x +25π)是偶函数 其中正确的是 （ D ）(A)①② (B)②③ (C)①③ (D)①④ 6、已知|a |=5，|b |=4，a 与b 的夹角为60°，则|a －2b |的值是（ B ） （A ）9 （B ）7 （C ）129 （D ）107、若a =（3，5cosx ），b =（2sinx ，cosx ），则a ·b 的范围是（ B ）（A ）[－6，+∞] （B ）[－6，534] （C ）[6，+∞] （D ）[0，534] 8、若△ABC 是边长为1的等边三角形,向量=c ，=a ，=b ，有下列命题①a ·b =1 ②a +b 与a －b 垂直 ③a 与b 夹角为60° ④a +b =c其中正确命题的个数是 （ B ）(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个二.填空题：9、函数y=Asin(ωx+φ)( A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)，在同一个周期内，当x=3π时， y 有最大值2,当x=0时,y 有最小值－2,则这个函数的解析式为____________。

济南外国语学校-第二学期 高一数学必修4模块结业考试一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的，把正确答案的代号填在括号内.） 1．0120sin 等于（ ）A ．23±B ．23C ．23-D ．21 2．若点P 在3π的终边上，且|OP|=2，则点P 的坐标（ ） A ．)3,1( B ．)1,3(-C ．)3,1(--D ．)3,1(-3．R x x y ∈+=),2cos(π是.A 奇函数.B 偶函数 .C 非奇非偶函数 .D 有无奇偶性不确定4．已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（ ） A .43- B .34- C .43 D .345.已知 0tan cos <⋅θθ，那么角θ是.A 第一或第二象限角 .B 第二或第三象限角 .C 第三或第四象限角.D 第一或第四象限角6、若sinx=1,则x=（ ） A 、2πB 、)(2Z k k ∈+ππC 、)(22Z k k ∈+ππD 、)(22Z k k ∈-ππ7．设向量)155sin ,25(cos ),25sin ,25(cos oooob a ==→→, 则→→∙b a 的值为（ ） A ．2 B.1 C.22 D.218、下列关系式：（1）=⋅0 （2）c b a ⋅⋅)(=)(c b a ⋅⋅ （3）⋅=⋅ （4）=⋅其中正确的个数是( ) .A 4.B 3.C 2.D 19.函数)2)(sin(2)(πϕϕω<+=x x f 的图像如图所示，那么（ ）.A 6,1110πϕω==.B 6,1110πϕω-==.C 6,2πϕω==.D 12,2πϕω==10. 已知AB =（5，-3），C （-1，3），CD =2AB ，则点D 的坐标为 （A ）（11，9） （B ）（4，0） （C ）（9，3） （D ）（9，-3）11．把函数y =c os x 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移4π个单位，则所得图形对应的函数解析式为（ ） A.)421cos(π+=x y B. )42cos(π+=x yC. )821cos(π+=x y D. x y 2sin -=12．己知12,e e 是夹角为60的两个单位向量，2121e e m e e +=+=，若⊥，则m 为：（ ）（A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，把最简单结果填在题后的横线上.）13．若23cos -=α，且α的终边过点)2,(x P ，则α是第_____象限角。

阶段性测试题五(第三章基本知能检测)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．(2009·福建)函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( ) A ．－1 B ．－12C.12D ．1[答案] B[解析] f (x )＝sin x cos x ＝12sin2x ，∴f (x )min ＝－12.2．cos67°cos7°＋sin67°sin7°等于( ) A.12B.22C.32D ．1[答案] A[解析] cos67°cos7°＋sin67°sin7° ＝cos(67°－7°)＝cos60°＝12.3．若x ＝π8，则sin 4x －cos 4x 的值为( )A.12B ．－12C ．－22D.22[答案] C[解析] sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )·(sin 2x －cos 2x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ， ∴x ＝π8时，－cos2x ＝－cos π4＝－22.4．若x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan2x 等于( )A.724B ．－724C.247D ．－247[答案] D[解析] ∵x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－34，∴tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×(－34)1－(－34)2＝－321－916＝－247.5．若sin θ＜0，cos2θ＜0，则在(0,2π)内θ的取值范围是( ) A ．π＜θ＜3π2B.5π4＜θ＜7π4C.3π2＜θ＜2π D.π4θ＜3π4[答案] B[解析] ∵cos2θ＜0，得1－2sin 2θ＜0， 即sin θ＞22或sin θ＜－22， 又已知sin θ＜0，∴－1≤sin θ＜－22， 由正弦曲线得满足条件的θ取值为5π4＜θ＜7π4.6．若0＜α＜β＜π4sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则( )A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜1D ．不确定[答案] A[解析] ∵a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4，b ＝2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4， 又0＜α＜β＜π4，∴π4＜α＋π4＜β＋π4＜π2且y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上为增， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＜2sin⎝⎛⎭⎫β＋π4.7．(2009·山东)将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos2xB ．y ＝2cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4)D ．y ＝2sin 2x [答案] B[解析] 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos2x ＝2cos 2x .8．已知△ABC 中tan A ＝cos B －cos C sin C －sin B 成立，则△ABC 为( )A ．等腰三角形B ．等腰三角形或A ＝60°的三角形C ．A ＝60°的三角形D ．任意三角形 [答案] C[解析] sin A cos A ＝－2sinB ＋C 2sinB －C22cos B ＋C 2sinC －B2sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2cos ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A2sin A 2， 2sin A 2·cos A 2·sin A 2＝cos A ·cos A 2，∵cos A 2≠0，∴2sin 2A2＝cos A ，∴2sin 2A 2＝1－2sin 2A 2.∴sin 2A 2＝14，∵0<A <π，∴0<A 2<π2，∴sin A2>0，∴sin A 2＝12，∴A ＝60°.9．函数f (x )＝cos 4x 2＋sin 4x2的最大值是( )A ．0B ．1 C.12D ．2[答案] B[解析] f (x )＝cos 4x 2＋sin 4x2＝⎝⎛⎭⎫cos 2x 2＋sin 2x 22－2cos 2x 2sin 2x2 ＝1－12sin 2x＝1－12·1－cos2x 2＝34＋14cos2x ∴f (x )max ＝34＋14＝1.10．若cot θ－12cot θ＋1＝1，则cos2θ1＋sin2θ的值为( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－12[答案] A[解析] 由cot θ－12cot θ＋11得cot θ＝－2，∴tan θ＝－12，∴cos2θ1＋sin2θ＝cos 2θ－sin 2θ(sin θ＋cos θ)2＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ ＝1－tan θ1＋tan θ＝1＋121－12＝3 11.1＋cos4θ＋sin4θ1－cos4θ＋sin4θ可化简为( )A ．tan2θB ．cot2θC ．tan θD ．cot θ[答案] B[解析] 原式＝2cos 22θ＋2sin2θ·cos2θ2sin 22θ＋2sin2θ·cos2θ ＝2cos2θ(cos2θ＋sin2θ)2sin2θ(sin2θ＋cos2θ)＝cot2θ12．已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数[答案] D[解析] f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ＝2cos 2x sin 2x ＝12sin 22x ＝14－14cos4x . ∴函数f (x )是最小正周期为π2的偶函数．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．tan13°＋tan32°＋tan13°tan32°的值为________． [答案] 1[解析] tan13°＋tan32°＋tan13°tan32°＝tan(13°＋32°)(1－tan13°tan32°)＋tan13°tan32° ＝tan45°(1－tan13°tan32°)＋tan13°tan32° ＝1－tan13°tan32°＋tan13°tan32°＝1.14．sin163°sin223°＋sin253°sin313°＝________. [答案] 12[解析] 原式＝sin(180°－17°)sin(180°＋43°)＋sin(270°－17°)sin(270°＋43°) ＝－sin17°sin43°＋cos17°cos43° ＝cos60°＝12.15．若α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则sin α的值为________． [答案]3＋226[解析] ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3.又∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13>0，∴0<α－π6<π3，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223∴sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6 ＝32sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＋12⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝32×13＋12×223＝3＋226. 16．关于函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，有下列命题： ①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos2x 的图像向左平移π24其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题的序号都填上) [答案] ①②③[解析] 化简f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin⎝⎛⎭⎫2x －π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12 ∴f (x )max ＝2，即①正确． T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确． 由2k π≤2x －π12≤2k π＋π，得k π＋π24≤x ≤k π＋13π24③正确．将函数y ＝2cos2x 向左平移π24个单位得y ＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π24≠f (x )，∴④不正确． 三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2006·上海卷)已知α是第一象限的角，且cos α＝513，求sin ⎝⎛α＋π4cos (2α＋4π)的值．[解析] ∵α是第一象限的角，cos α＝513，∴sin α＝1213，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos (2α＋4π)＝22(sin α＋cos α)cos2α＝22(sin α＋cos α)cos 2α－sin 2α＝22cos α－sin α＝22513－1213＝－13214. 18．(本小题满分12分)化简(1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＋2cos α，其中π<α<2π.[解析] 原式＝⎝⎛⎭⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22(1＋cos α)＝2cos α2⎝⎛cos α2＋sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cosα22⎪⎪⎪⎪cos α2∵π<α<2π，∴π2<α2<π，∴上式＝－⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2＝cos 2α2－sin 2α2＝cos α.19．(本小题满分12分)求函数y ＝12cos 2x ＋32sin x ·cos x ＋1，x ∈R 的最大值以及y 取最大值时自变量x 的集合．[解析] ∵y ＝12cos 2x ＋32sin x ·cos x ＋1＝12·1＋cos2x 2＋34sin2x ＋1 ＝14cos2x ＋34sin2x ＋54 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54 ∴当2x ＋π6＝π2＋2k π，即x ＝k π＋π6(k ∈Z )时，y max ＝74.∴函数取最大值时自变量x 和集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π6，k ∈Z . 20．(本小题满分12分)已知△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，当A 为何值时，cos A ＋2cosB ＋C 2取得最大值？求出这个最大值．[解析] 由A ＋B ＋C ＝π，得B ＋C 2＝π2－A2，所以有cos B ＋C 2＝sin A2，所以cos A ＋2cos B ＋C 2＝1－2sin 2A2＋2sin A 2＝－2⎝⎛⎭⎫sinA 2－122＋32.当sin A 2＝12，即A ＝π3cos A ＋2cos B ＋C 2取得最大值32.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin 2(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2，且y ＝f (x )的最大值为2，其图象相邻两对称轴间距离为2，并过点(1,2)．(1)求φ；(2)计算f (1)＋f (2)＋…＋f (2008)＋f (2009)＋f (2010)． [解析] y ＝A sin 2(ωx ＋φ) ＝A 2－A2ωx ＋2φ)． ∵y ＝f (x )的最大值为2，A >0， ∴A 2＋A22，A ＝2. 又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω>0， ∴12⎝⎛⎭⎫2π2ω＝2，ω＝π4. ∴f (x )＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2x ＋2φ.∵y ＝f (x )过(1,2)点，∴cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2φ＝－1. ∴2φ＝2k π＋π2，k ∈Z .∴φ＝k π＋π4，k ∈Z .又∵0<φ<π2，∴φ＝π4.(2)解法一：∵φ＝π4，∴y ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π2＝1＋sin π2x .∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋1＋0＋1＝4. 又∵y ＝f (x )的周期为4，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2008)＋f (2009)＋f (2010) ＝4×502＋f (2009)＋f (2010)＝2008＋f (1)＋f (2)＝2008＋2＋1＝2011. 解法二：∵f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ， ∴f (1)＋f (3)＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋φ＋2sin 2⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋φ＋2cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝2， f (2)＋f (4)＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π2φ＋2sin 2(π＋φ)＝2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝4， 又y ＝f (x )的周期为4,2008＝4×502， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2008)＝4×502＝2008.22．(本小题满分14分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x )，x ∈R .(1)若f (x )＝1－3且x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，求x ；(2)若函数y ＝2sin2x 的图象平移向量c ＝(m ，n )⎝⎛⎭⎫|m |<π2得到函数y ＝f (x )的图象，求实数m 、n 的值．[解析] (1)∵f (x )＝a ·b ＝2cos 2x ＋3sin2x ＝1＋cos2x ＋3sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1，又∵f (x )＝1－3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－32，∴2x ＋π6＝2k π－π3或2x ＋π6＝2k π－2π3，又∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，∴x ＝－π4； (2)f (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋1， y ＝2sin2x 向左平移π12个单位可得y ＝2sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π12，再向上平移1个单位，即得y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋1＝f (x )， ∴c ＝⎝⎛⎭⎫－π12，1，即m ＝－π12，n ＝1.。

2-2-3向量数乘运算及其几何意义一、选择题1．已知a ，b 是两个非零向量，下列各命题中真命题的个数为( )(1)2a 的方向与a 的方向相同，且2a 的模是a 的模的2倍； (2)－2a 的方向与5a 的方向相反，且－2a 的模是5a 的模的25；(3)－2a 与2a 是一对相反向量； (4)a －b 与－(b －a )是一对相反向量． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] C[解析] (1)真命题．因为2>0，所以2a 与a 的方向相同．又|2a |＝2|a |，所以命题①是真命题．(2)真命题．因为5>0，所以5a 与a 方向相同，且|5a |＝5|a |，而－2<0，所以－2a 与a 的方向相反，|－2a |＝2|a |，所以－2a 与5a 的方向相反，且模是5a 的模的25.故(2)是真命题．(3)真命题．依据相反向量的定义及实数与向量乘积的定义进行判断．(4)假命题．因为a －b 与b －a 是一对相反向量．所以a －b 与－(b －a )是一对相等向量，故(4)是假命题．正确命题个数为3，答案C 。

2．4(a －b )－3(a ＋b )－b 等于( ) A ．a －2b B ．a C ．a －6b D ．a －8b [答案] D[解析] 原式＝4a －4b －3a －3b －b ＝a －8b .3．点C 是线段AB 的中点，AB →＝λAC →，那么λ等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．－2[答案] C[解析] |AB →|＝2|AC →|，且AB →与AC →方向相同，则λ＝2.4．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD ＝2DC ，则AD →＝( )A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －132cD.13b ＋23c [答案] A[解析] 如图，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13c . 5．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，CC ．B ，C ，D D ．A ，C ，D [答案] A[解析] AD →＝AC →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－5a ＋6b )＋(7a －2b ) ＝3a ＋6b ＝3AB →， ∴A ，B ，D 三点共线．6．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA→＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13 C ．－13D ．－23[答案] A[分析] 将AD →、DB →都用从C 点出发的向量表示． [解析] (方法一)：由AD →＝2DB →，可得CD →－CA →＝2(CB →－CD →)⇒CD →＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.故选A.(方法二)：CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23，故选A.7．点P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．△ABC 内部B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上 [答案] B[解析] ∵CB →＝λPA →＋PB →，∴CB →－PB →＝λPA →. ∴CP →＝λPA →.∴P ，A ，C 三点共线．∴点P 一定在AC 边所在的直线上．8．设O 在△ABC 内部，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案] B[解析] 如右图所示，以OA 和OB 为邻边作平行四边形OADB ， 设OD 与AB 交于点E ，则E 分别是OD ，AB 的中点，OA →＋OB →＝OD →＝2OE →，则2OE →＋2OC →＝0，所以OE →＝－OC →.则O ，E ，C 三点共线，所以O 是中线CE 的中点．又△ABC ，△AEC ，△AOC 有公共边AC ，则S △ABC ＝2S △AEC ＝2(2S△AOC)＝4S △AOC .9．在△ABC 中，点D 在CB 的延长线上，且CD →＝4BD →＝rAB →－sAC →，则s ＋r 等于( )A ．0 B.45 C.83 D ．3[答案] C[解析] 如右图所示，由题意，得CD →＝4BD →， ∴CD →＝43CB →.又∵CB →＝AB →－AC →，∴CD →＝43(AB →－AC →)＝43AB →－43AC →.∴r ＝s ＝43.∴s ＋r ＝83.10．已知E 为△ABC 的边BC 的中点，△ABC 所在平面内有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝0，设AP →＝λPE →，则λ的值为( )A ．2B ．1 C.12 D.233[答案] A[解析] ∵PA →＋PB →＋PC →＝0，∴PC →＋PB →＝－PA →.连接PE ，并延长PE 到F ，且使PE ＝EF .又E 为BC 的中点，则四边形PBFC 是平行四边形，则PC →＋PB →＝2PE →，∴2PE →＝－PA →.∴点P 在△ABC 的中线AE 所在的直线上，同理可得点P 也在△ABC 另外两条中线所在的直线上，∴点P 是△ABC 的重心．∴|AP →||PE →|＝2＝λ. 二、填空题11．化简25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )＝________.[答案] 0[解析] 25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )＝25a －25b －23a －43b ＋415＋2615＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25－23＋415a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25－43＋2615b ＝0a ＋0b ＝0＋0＝0. 12．已知x 、y 是实数，向量a ，b 不共线，若(x ＋y －1)a ＋(x －y )b ＝0，则x ＝________，y ＝________.[答案] 12 12[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0x －y ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝12.13．设e 1、e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋m e 2，CB →＝e 1＋3e 2，若A 、B 、C 三点共线，则实数m ＝________.[答案] 6[解析] ∵A 、B 、C 三点共线， ∴AB →与CB →共线，∴存在实数λ，使AB →＝λCB →成立， 即2e 1＋m e 2＝λ(e 1＋3e 2)， 即(2－λ)e 1＋(m －3λ)e 2＝0.∵e 1、e 2是两个不共线的向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝0，m －3λ＝0.∴λ＝2，m ＝6，故m 的值为6.14．如图所示，点E 在△ABC 的边BC 上，且CE ＝3EB ，设AB →＝a ，AC →＝b ，则AE →＝________(用a ，b 表示)．[答案] 34a ＋14b[解析] ∵CE ＝3EB ，∴BE →＝14BC →.又∵BC →＝AC →－AB →， ∴AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋14BC →＝AB →＋14(AC →－AB →)＝34AB →＋14AC →＝34a ＋14b . 三、解答题15．判断向量a 与b 是否共线： (1)a ＝－32e ，b ＝2e (e 为非零向量)；(2)a ＝e 1－e 2，b ＝－3e 1＋3e 2(e 1，e 2为非零且不共线的向量)； (3)a ＝e 1－e 2，b ＝e 1＋e 2(e 1，e 2为非零且不共线的向量)． [解析] (1)∵a ＝－34b ，且e ≠0，∴a 与b 共线；(2)∵a ＝－13b ，且e 1，e 2为非零且不共线向量，∴a 与b 共线；(3)∵e 1，e 2为非零且不共线向量，∴不存在实数λ，使a ＝λb ，∴a 与b 不共线．16．如右图所示，△ABC 中，AD →＝23AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →.[分析] 充分利用DE ∥BC 等条件作转化．观察图形→找所表示向量与已知向量的关系→结论 [解析] ∵DE ∥BC ，AD →＝23AB →，∴AE →＝23AC →＝23b ，BC →＝AC →－AB →＝b －a .由△ADE ∽△ABC ，得DE →＝23BC →＝23(b －a )．又AM 是△ABC 底边BC 的中线，DE ∥BC ， ∴DN →＝12DE →＝13(b －a )．AM →＝AB →＋BM →＝a ＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12(a ＋b )． ∵△ADN ∽△ABM ，AD →＝23AB →，∴AN →＝23AM →＝13(a ＋b )．[点评] (1)充分利用平面几何的一些结论，转化为相等向量、相反向量、共线向量及比例关系，建立已知向量与未知向量有直接关系的向量来解决问题．(2)注意几何条件的运用：如DE ∥BC ⇒△ADE ∽△ABC ，△ADN ∽△ABM 等．(3)此类问题直接转化困难时，可建立相关向量的方程求解．17．如右图，平行四边形ABCD 中，AD →＝b ，AB →＝a ，M 为AB 中点，N 为BD 靠近B 的三等分点，求证：M 、N 、C 三点共线．[分析] 证CM →＝λCN →即可．[解析] 在△ABD 中，BD →＝AD →－AB →，因为AB →＝a ，AD →＝b ，所以BD →＝b －a .∵N 点是BD 的三等分点，∴BN →＝13BD →＝13(b －a )．∵BC →＝b ，∴CN →＝BN →－BC →＝13(b －a )－b ＝－13a －23b . ①∵M 为AB 中点，∴MB →＝12，∴CM →＝－MC →＝－(MB →＋BC →)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ＝－12a －b . ② 由①②可得：CM →＝32CN →. 由共线向量定理知：CM →∥CN →，又∵CM →与CN →有公共点C ，∴C 、M 、N 三点共线．[点评] (1)在平面几何中，向量之间的关系一般通过两个指定的向量来表示，向量共线应存在实数λ使两向量能互相表示．(2)向量共线的判断(或证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．18．已知▱ABCD 的边BC 、CD 的中点分别是M 、N ，设AM →＝a ，AN →＝b ，试用a 、b 表示AB →、BC →.[分析] ∵M 、N 分别为▱ABCD 的边BC 、CD 的中点，故以AB →、AD →作为基向量较易表示出AM →、AN →，然后，解方程组即可求出AB →、AD →.[解析] 在▱ABCD 中，M 、N 分别是边BC 、CD 的中点， ∴DN →＝12AB →，BM →＝12BC →. ∴AN →＝AD →＋DN →＝BC →＋12AB →，AM →＝AB →＋12BC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ BC →＋12AB →＝b AB →＋12BC →＝a ， 解得AB →＝43a －23b ，BC →＝43b －23a .。

高一数学必修4模块训练13一.选择题：1.下列命题正确的是A.第一象限角是锐角B.钝角是第二象限角C.终边相同的角一定相等D.不相等的角，它们终边必不相同2.如果1cos()2A π+=-，那么sin()2A π+= A.12 B.12 C.12 D.123.函数2005sin(2004)2y x π=-是 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数4.给出命题（1）零向量的长度为零，方向是任意的.（2）若a ，b 都是单位向量，则a ＝b .（3）向量AB 与向量BA 相等.（4）若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线.以上命题中，正确命题序号是A.（1）B.（2）C.（1）和（3）D.（1）和（4）5.如果点(sin 2P θ，cos2)θ位于第三象限，那么角θ所在象限是A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.若α是第一象限角，则sin cos αα+的值与1的大小关系是A.sin cos 1αα+>B.sin cos 1αα+=C.sin cos 1αα+<D.不能确定7.在△ABC 中，若sin 2cos sin C A B =，则此三角形必是A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形8.如图，在△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确的是A.23BG BE = B.2CG GF = C.12DG AG = D.121332DA FC BC +=二.填空题： 9.设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 .10.已知(3a =，1)，(sin b α=，cos )α，且a ∥b ，则4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+＝ . 三．解答题：11、设平面内的向量(1,7)OA =，(5,1)OB =，(2,1)OM =，点P 是直线OM 上的一个动点，且8PA PB =-，求OP 的坐标及APB ∠的余弦值.12. 设两个非零向量1e 和2e 不共线.(1) 如果AB =1e +2e ，BC =128e +2e ，CD =133e -2e ，求证：A 、B 、D 三点共线；(2) 若||1e =2，||2e =3，1e 与2e 的夹角为60，是否存在实数m ，使得m 1e 2e +与1e -2e 垂直？并说明理由.。

1.3.1.11．函数y ＝sin2x 的单调减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，32π＋2k π(k ∈Z)B.⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋34π(k ∈Z)C ．[π＋2k π，3π＋2k π](k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)[答案] B[解析] 由2k π＋π2≤2x ≤2k π＋32π，k ∈Z 得 y ＝sin2x 的单调减区间是[k π＋π4，k π＋34π](k ∈Z)．2．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R)，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1D ．－2[答案] B[解析] f (a )＝a 3＋sin a ＋1＝2. f (－a )＝－a 3－sin a ＋1＝－f (a )＋2＝0. 3．y ＝sin x －|sin x |的值域是( ) A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[－1,1]D ．[－2,0][答案] D[解析] 当sin x ≥0即2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z 时， y ＝0；当sin x <0，即2k π＋π<x <2k π＋2π，k ∈Z 时，y ＝2sin x ， ∴－2≤y <0.综上，y ∈[－2,0]．4．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos(x 2＋3π2)(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝12的交点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4[答案] C[解析] y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋32π＝sin x2，当x ∈[0,2π]时，y ＝sin x 2∈[0,1]，与y ＝12有两个交点．5．若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[答案] B[解析] ∵A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，∴A ＋B >π2，从而π2>A >π2－B >0，π2>B >π2－A >0.∴y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，∴sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ，sin B >sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ，∴sin A >cos B ，sin B >cos A ，∴点P 在第二象限． 6．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在闭区间( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数B.⎣⎡⎦⎤－34π，π4上是增函数C ．[－π，0]上是增函数 D.⎣⎡⎦⎤－π4，34π上是增函数[答案] B[解析] 增函数的区间符合2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴2k π－34π≤x ≤2k π＋π4，令k ＝0得B 正确．7．已知方程cos 2x ＋4sin x －a ＝0有解，则a 的范围是( )A ．[－2,5]B ．(－∞，5]C ．[－4,4]D ．[0,5][答案] C[解析] 原式可化为：(sin x －2)2＝5－a . ∵－1≤sin x ≤1，∴1≤(sin x －2)2≤9， ∴1≤5－a ≤9，解得a ∈[－4,4]．8．函数y ＝74＋sin x －sin 2x 的最大值是( ) A.74B ．－14C ．2D ．不存在[答案] C[解析] y ＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋2≤2.二、填空题9．f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－sin x ，则当x <0时，f (x )＝________. [答案] －x 2－sin x [解析] ∵x <0，∴－x >0，∴f (－x )＝(－x )2－sin(－x )＝x 2＋sin x ， ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－x 2－sin x .10．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ·cos(π2＋x )是________函数．(奇、偶性)[答案] 偶函数 [解析] f (x )＝sin2x sin x ∵f (－x )＝sin(－2x )·sin(－x ) ＝sin2x ·sin x ＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．11．函数y ＝a ＋b sin x 的最大值是32，最小值为－12，则a ＝________，b ＝________.[答案] 12 ±1[解析]当b >0时，由题意得⎩⎨⎧a ＋b ＝32a －b ＝－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝1.当b <0时，由题意得⎩⎨⎧a －b ＝32a ＋b ＝－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－1.12．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－x ＋π4的单调递减区间为________． [答案] ⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π，3π4＋2k π(k ∈Z)[解析] y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－x ＋π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－x ＋π4的递减区间，即为函数y ′＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的递增区间，令－π2＋2k π≤x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z. 三、解答题13．不求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： (1)sin14°与sin156°； (2)cos115°与cos260°； (3)sin194°与cos160°.[解析] 利用三角函数单调性比较． (1)∵sin156°＝sin(180°－24°)＝sin24°. ∵－90°<14°<24°<90°，∵y ＝sin x 在[－90°，90]上是增函数， ∴sin14°<sin24°，即sin14°<sin156°；(2)cos115°＝cos(90°＋25°)＝－sin25°，cos260°＝cos(180°＋80°)＝－cos80°＝－sin10°， ∵sin10°<sin25°，∴－sin10°>－sin25°， 即cos260°>cos115°；(3)sin194°＝－sin14°，cos160°＝－cos20°＝－sin70°， ∵sin14°<sin70°，∴－sin14°>－sin70°， ∴sin194°>cos160°.14．已知函数f (x )＝log 12⎝⎛⎭⎫12sin2x .(1)求f (x )的定义域、值域和单调区间； (2)判断f (x )的奇偶性．[解析] (1)要使函数有意义，须sin2x >0， ∴2k π<2x <2k π＋π， ∴k π<x <k π＋π2(k ∈Z)，∴f (x )定义域为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，∵0<sin2x ≤1，∴0<12sin2x ≤12，∴log 12⎝⎛⎭⎫12sin2x ≥1，即值域为[1，＋∞)，函数在⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π4(k ∈Z)内单调递减，在⎣⎡⎭⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z)内单调递增．(2)定义域关于原点不对称，故既不是奇函数，也不是偶函数． 15．已知函数f (x )＝3sin(x 2＋π6)＋3(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象； (2)求f (x )的单调递减区间．[解析] (1)列表!(2)T ＝2π12＝4π，由(1)中表格及图象可知在一个周期[－π3，11π3]内，函数在[2π3，8π3]上单调递减，故函数在R 上的单调递减区间为 [4k π＋2π3，4k π＋8π3](k ∈Z)．16．若函数y ＝cos 2x ＋a sin x －12a －32的最大值为1，求a 的值． [解析] y ＝cos 2x ＋a sin x －12a －32＝－sin 2x ＋a sin x －12a －12 ＝－(sin x －a 2)2＋a 24－12a －12， 设sin x ＝t ，∵－1≤sin x ≤1， ∴－1≤t ≤1.∴y ＝－(t －a 2)2＋a 24－12a －12，－1≤t ≤1.(1)当a 2<－1，即a <－2时，t ＝－1时，y 取最大值－32a －32，∴－32a －32＝1，∴a ＝－53>－2(舍去)．(2)当－1≤a2≤1，即－2≤a ≤2时，t ＝a 2时，y 取最大值为a 24－12a －12，∴a 24－12a －12＝1， 解得a ＝1±7，a ＝1＋7>2(舍去)， ∴a ＝1－7.(3)当a 2>1，即a >2时，t ＝1时，y 取最大值a 2－32，∴a 2－32＝1， ∴a ＝5.综上所述，a ＝1－7或a ＝5.。