第七章参数估计习题

第七章 参数估计习题

1.从各总体中随机地抽取若干样本单元，测得其值为：

（1）2781 2836 2807 2763 2858；

（2）221 191 202 205 236；

（3）11.05 10.95 11.00 11.02 10.99 10.00 10.99 10.97 11.02 10.98

（4）1061 1065 1092 1017 1021 1138 1143 1094 1270 1028

试用顺序统计量法估计各总体的均值和均方差。

2．已知某种木材的横纹抗压力服从正态分布，今从一批这种木材中，随机地抽取10根样品，测得它们的抗压值（单位：公斤／厘米2）为：

482 493 457 471 510 446 435 418 394 469

试求这批木材均值和均方差的估计值。

3．已知某校一年级学生期末的数学成绩服从正态分布，今从该年级中任意抽取40名学生，他们的数学成绩（单位：分）为：

90.8 83.6 72.2 87.1 64.8 74.7 85.0 88.3

71.2 66.0 88.2 95.8 78.6 67.4 85.6 73.2

94.2 84.8 74.8 86.8 77.7 87.6 66.7 76.4

85.9 71.1 54.7 87.0 97.8 76.8 68.4 83.3

87.4 61.9 64.8 78.6 84.6 65.8 75.6 50.6

试求该年级学生数学成绩的均值和均方差的估计值。

4．设某厂生产一批钉子长度服从正态分布。今从这批钉子中，任意抽取16只，测得它们的长度（单位：厘米）为：

2.14 2.10 2.13 1.25 2.13 2.12 2.13 2.10

2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11

试用矩估计法求这批钉子的均值和方差的估计值

5．已知总体X在〔a，b〕上服从均匀分布

其它01),,(bxaabbaxP

其中a＜b，试用矩估计法求a与b的估计量。

6．一批产品中含有废品，今从中随机抽取85只，发现废品5只。试用极大似然估计废品率。

7．设某种设备的使用寿命服从指数分布，其分布密度为

P{x, λ}＝λe-λx （x＞0，λ＞0）

今从一批该种设备中随机地抽取20台，测得它们的使用寿命值（单位：小时）为：

20 35 39 52 69 105 136 150 280 300

330 450 460 570 630 180 200 230 820 1150

试求参数λ的极大似然估计值。

8．设某种灯泡的使用寿命X～N（μ，σ2），今从一批这种灯泡中，任意抽取10只，测得它们的使用寿命值（单位：小时）为：

1067 919 1196 785 1126 936 918 1156 920 948

试用极大似然法估计这批灯炮使用寿命的均值和方差，并求灯泡使用1300小时以上的概率。 9．设总体X的分布密度为：

0004),(2222xxeaxaxPax

（马克斯韦尔分布）其中a＞0，试对取自总体X的一组样本值x1，x2，…，xn，求a的极大似然估计值。

10．设总体X的期望E（X）方差D（X）都存在，X1，X2，X3是取自总体X的一个样本，试证统计量

（1）ψ1（X1，X2，X3）＝321613121XXX；

（2）ψ2（X1，X2，X3）＝321313131XXX；

（3）ψ3（X1，X2，X3）＝3211254131XXX。

都是总体X期望的无偏估计量，并说明哪个是最有效的估计量。

11．设X1，X2，…，Xn是泊松公布P（λ）的一组样本，试证：样本方差S2是参数λ的无偏估计量，并且对任一常数a（0＜a＜1），统计量2)1(SaXa也是λ的无偏估计量，这里X是样本均值。

12．设X1，X2，…，Xn是取自正态总体N（μ，σ2）的一个样本，试求K值，使统计量

2111)(iiniXXK

为方差σ2的无偏估计量

13．试证（0－1）分布

P（xp，）＝px（1-p）1-x （x=0, 1）

的样本平均值X是总体均值p＝E（X）的无偏估计量。

14．设x1，x2，…，xn是取自正态总体的一组样本值（其中期望μ已知），试用极大似然法求参数σ2的估计值2ˆ。

15．设总体X服从拉普拉斯分布：

P（x，λ）=xe21 ―∞＜x＜＋∞

其中λ＞0，若取得样本值x1，x2，…，xn，求：

（1）期望E（|X|）和E（|X2|）；

（2）参数λ的极大似然估计值ˆ。 16．从正态总体N（40，82）中，任意抽取容量为25的样本，求样本均值X在39到44之间的概率。

17．从正态总体N（80，202）中，任意抽取容量为100的样本，求样本平均值与总体均值之差绝对值大于3的概率。

18．设总体X服从正态分布N（20，82），任意抽取容量为16的样本，试求方差小于19.63的概率。

19．设总体X服从正态分布N（0，0.32），X1，X2，…，X11是取自总体X的一个样本，试求1112}44.1{iiXP

20．设X1，X2，…，X16是取自总体N（15，σ2）的一组样本，测得其样本值的方差s2=4，试求样本平均值与总体均值之差小于1.065的概率。

21．查表计算：F0.025（7，8），F0.05（12，16），F0.01（12，22），F0.975（24，12），F0.95（12，4），F0.99（8，12）的值。

22．设有A、B两位化验员，独立地对某种聚合物的含氯量用同样的方法各做25次测定，其测定的方差s2依次为：0.542，0.607，试求两个测定数据总体方差比2221/小于1.77的概率。

23．从某厂生产的一批钢球中，任意抽取6个，测得其直径（单位：毫米）为：

14.70 15.21 14.90 14.91 15.32 15.31

如果这批钢球的直径服从正态分布，并且已知其方差为0.25，试求直径均值对应于置信概率0.95的置信区间。

24．对方差σ2为已知的正态总体，需要抽取容量n为多大的样本，方能使总体均值μ的置信概率为1－α的置信区间的长度不大于L。

25．测量铅的比重16次，得x＝2.705，s＝0.029，如果16次测量所得数据是正态总体的一组样本值，试求铜的比重均值以置信概率为95％的置信区间。

26．从一批零件中任意抽取9个，测得其长度（单位：毫米）

21.1 21.3 21.4 21.5 21.3 21.7 21.4 21.3 21.6

假如这些数据是正态总体的一组样本值，试求零件长度方差σ2对应于置信概率为0.95的置信区间。

27．某军械厂进行炮口速度试验，随机地取某种炮弹9发，发射后算得其样本均方差s＝11（米/秒），若炮口速度服从正态分布，试求炮口速度的方差σ2对应于置信概率为90％的置信区间。

28．设总体X～N（μ1，22），任意取容量为10的样本，算得其样本平均值x＝3.25，总体Y～N（μ2，32），任意取容量为16的样本，算得其样本平均值y＝2.85，若所取两组样本独立，试求其期望之差μ1－μ2对应于置信概率为0.95的置信区间。

29．用两台机床生产同一型号的滚珠，从第一台机床生产的滚珠任意抽取8个；从第二台机床生产的滚珠中任意抽取9个，测得它们的直径（单位：毫米）为：

第一台：15.0 14.8 15.2 15.4 14.9 15.1 15.2 14.8

第二台：15.2 15.0 14.8 15.1 15.0 14.6 14.8 15.1 14.5 若两台机床生产的滚珠直径分别服从正态分布，并且两总体的方差2221，试求两台机床生产的滚珠直径均值之差μ1－μ2对应于置信概为0.95的置信区间。

30．某农场在20块大小相同、肥力均匀的试验田中种植花生，其中有10块试验田加施了钾肥，另外10块加施磷肥，结果亩产量（单位：100斤）为：

施钾肥：6.2 5.7 6.5 6.0 6.3 5.8 5.7 6.0 6.0 5.8

施磷肥：5.6 5.9 5.6 5.7 5.8 6.7 6.0 5.5 5.7 5.5

若花生产量服从正态分布，并且两个总体的方差相等，试求两总体期望之差μ1－μ2对应于置信概率0.95的置信区间。

31．从甲、乙两个蓄电池厂生产的产品中分别抽取10个产品，测得它们的电容量（单位：安培小时）为：

甲厂：146 141 138 142 140 143 138 137 142 137

乙厂：141 143 139 139 140 141 138 140 142 131

若蓄电池的电容量服从正态分布，求两个工厂生产的蓄电池的电容量方差之比，对应于置信概率0.95的置信区间。

DX＝E（X－C）2－（EX－C）2

32. 设总体X服从参数为N和p的二项分布，nXXX,,,21为取自X的样本，试求参数N和p的矩估计量与极大似然估计量.

33. 设总体X具有概率密度为其它,0,,1);()11(1cxxcxf其中参数10，c为已知常数，且0c.从中抽取一个样本nxxx,,,21，求的矩估计.

34. 总体X具有概率密度othersxxxf003)(32,nXXX,,,21为一样本,未知参数0,求的矩估计量.

35. 设总体X具有概率密度为

0,0,0,);(1xxexxfx

其中0是未知参数，0是已知常数，试根据来自总体X的简单随机样本),,,(21nXXX，求的极大似然估计.

36. 设总体X服从几何分布

,10,,2,1,)1()(1pkppkXPk

试利用样本nxxx,,,21求参数p的极大似然估计. 37. 设总体22,),,(~NX为未知参数, nXXX,,,21为一样本,求参数3的极大似然估计量.

38. 设nXXX,,,21是来自参数为的泊松分布的样本,试证对任意常数k,统计量2)1(SkXk是的无偏估计量.

39. 设总体),(~2NX,nXXX,,,21为一样本,niiiXXc1212)(,求参数c,使2为2的无偏估计.

40. 设总体),(~2NX,已知,为未知参数, nXXX,,,21为一样本,niiXc1||, 求参数c,使为的无偏估计.

41. 设ˆ是参数的无偏估计量,且有0)ˆ(D,试证22)ˆ(ˆ不是2的无偏估计量.