第七章 参数估计

练习1： 某农场进行小麦产量的抽样调查，该农场小麦播 种面积为10 000亩，采用不重复的简单随机抽样从中 选100亩作为样本，进行实割实测，得到样本的平均亩 产量为400千克，样本标准差为12千克。则：
n N 100 10000 ( 2 ) 若以概率 95.45%(t 2) 保证，该农场 10000 亩小麦的平均 亩产量的可能范围为： X x ± x 400 ±2 × 1 .19 397 .62 ～ 40 2.38( 千克 ) (3) 若以概率 99.73%(t 3) 保证，该农场 10000 亩小麦的平均 亩产量的可能范围为： X 400 ±3 × 1 .19 396 .43 ～ 40 3.57( 千克 )
x x x x
例题应用 [例7-4] 从某市高中生中按不重复抽样方法随机抽取
25名调查每周收看电视的时间，分组资料见下表：
每周看电视时间(小时) 2 以下 2—4 4—6 6—8 8—10 合计 学生人数(人) 2 6 8 8 1 25
要求：（1）计算抽样平均误差和抽样允许误差 （2）估计该市全体高中生每周平均看电视时间 的置信区间（给定的显著性水平为0.05）
（二）抽样估计的置信度与精确度 **
2.抽样估计的精确度：用置信区间的大小即抽样极
限/允许误差来表示
3.抽样估计的置信度与精确度的矛盾关系
在样本容量和其他条件一定的情况下， 若希望抽样估计有较高的可靠度，则必须扩大置信区 间，即必须降低估计的精确度 若希望抽样估计有较高的精确度，即置信区间范围缩 小，则必须降低估计的把握度 即：抽样估计要求的把握度越高，则抽样允许误差越 大，精确度越低；反之则相反 **思考：在抽样调查中，如何同时提高抽样估计的精 确度和把握度？
x Z / 2
根据区间估计的定义，在给定的显著性水平

n
， x Z / 2
/ n
~ N (0,1)
下，总体均值
在
（

n
），即 x x x x

n
/2
其中， 误差
n
( x)
即抽样平均误差 ， Z

即抽样允许
x
1.总体方差已知时总体均值的区间估计
（ x t / 2
S n 1 n S n 1 n
， x t / 2
）
= (x x , x x ) =（5-0.859，5+0.859） =（4.14，5.86） 即我们可以以95%的把握保证该市高中生每周平 均看电视时间在4.14到5.86小时之间。
（二）总体比例的区间估计
p(1 p) n 80% (1 80%) 2.83% 200
p Z / 2 ( p) 1.645 2.83% 4.655% 抽样极限误差为：
所以，该批产品的一等品比例的置信区间为：
80% 4.655 % P 80% 4.655 %
即这批产品的一等品率在75.35% 到84.66% 之间。
区间估计的应用
（一）总体均值的区间估计
1.总体方差已知时 2 X ~ N ( 当 ，
x1 , x2 ,, xn )时，来自该总体的简单随机样本
的样本均值服从数学期望为 、方差 2 为的正态分布，将样本均值统计 量 x 标准化，得到 Z 统计量
Z
1-
x
的置信度下的置信区间为：

n
， xZ

/2
n
）= (x x , x x ) ）= （30.02，
=（ 30.2 0.1764 30.38）
30.2 0.1764
，
即我们可以以95%的概率保证该厂零件平均长度在 30.02厘米到30.38厘米之间
2.总体方差未知时总体均值的区间估计
S 代替，但新的统 **总体方差 2 未知，可以以样本方差 n －1 t 计量不服从标准正态分布，而是服从自由度为 的 分布
2
t / 2 (n 1) =0.05时，临界值
4.33 0.416 25
t 0.025= (25 1)
抽样平均误差 ( x) Sn1
n
抽样允许误差 x t / 2
S n 1 2.0639 0.416 0.859 n
解题过程（二）
（2）总体均值置信度为95%的置信区间为：
也即所估计的区间包含总体参数真实值的可能性大小， 一般以1- 表示。其中 表示显著性水平，即某一小 概率事件发生的临界水平 置信度通常采用三个标准： （1）显著性水平=0.05，即1- =0.95 （2）显著性水平=0.01，即1- =0.99 （3）显著性水平=0.001，即1- =0.999
第七章
参数估计
7.1 点估计
7.2 区间估计
一、点估计
（一）概念
1.点估计 设总体随机变量的分布函数已知，但它的一个或多 个参数未知，若从总体中抽取一组样本观察值，以该 组数据来估计总体参数，就称为参数的点估计
例如，在全部产品中，抽取100件进行仔细检 查，得到平均重量 x=1002 克，合格率 p=98% ， 我们直接推断全部产品的平均重量 X=1002 克， 合格率P=98%。
2
t / 2 (n 1) ，可查t 分布表确定临界值 **给定置信度1－
从而总体均值的置信区间为：
（ x t
其中，
S n 1 n ( x)
S n1
/2
n
S n1 ， x t / 2 n
）
即为抽样平均误差
即为抽样允许误差
t / 2
S n 1 n
x
上式也可表示为：
例题分析
[例7-4] 某厂对一批产成品按不重复抽样方法随机抽选 200件进行质量检测，其中一等品160件，试以90%的概 率估计一等品率的范围 已知：p 160 80 % ，1- =90%， n =200
200
查表知： Z / 2 =1.645 计算得样本比例的抽样平均误差为：
( p)
解题过程（一） 已知： n =25，
样本均值 样本方差
x
=0.05
1 2 3 6 5 8 7 8 9 1 5(小时 ) 25
=4.33 （1）查 t 分布表知 2.063 9，因此，
(1- 5)2 2 (3 - 5) 2 6 (5 - 5) 2 8 (7 - 5) 2 8 (9 - 5)2 1 s 25 - 1
一、点估计
（一）概念
2.矩估计 矩估计法是用样本的矩去估计总体的矩，从而获得总 体有关参数的估计量的方法。矩是指以期望值为基础 定义的数字特征，如数学期望、方差、协方差等
由于区间估计所表示的是一个可能的范围，而不是一 个绝对可靠的范围。就是说，推断全及指标在这个范 围内只有一定的把握程度。用数学的语言讲，就是有 一定的概率。
解：点估计法是用样本指标直接作为总体指标的代表 值，所以，全部电子元件的平均耐用时间即为4 340小 时；总体合格率为98%
7.2 区间估计
（一）区间估计的概念
根据样本统计量以一定的可靠程度去估计总体参数 值所在的范围或区间，是抽样估计的主要方法
（二）抽样估计的置信度与精确度 1.置信度：表示区间估计的可靠程度或把握程度，
一、点估计
（二）矩估计法的评价
优点：
一、 计算简便直观，一般不考虑抽样误差和可靠程
度 二、适用于对估计准确与可靠程度要求不高的情况 局限性： 一、它要求总体矩存在 二、不能充分利用估计时已掌握的有关总体分布的 信息
（三）应用例题
[例7-1] 某厂对所生产的电子元件抽取5%进行抽样调 查，计算出样本的平均耐用时间为4 340小时，样本合 格率为98%。根据矩估计法原理，估计该厂所生产的电 子元件的平均耐用时间和合格率。
解题过程
（1）抽样平均误差
( x)
n 0.45 25 0.09
Z / 2 =1.96，所以， 查标准正态分布表可知在 =0.05时，
抽样允许误差 Z 1.96 0.09 0.1764 /2 x n （2）总体均值的置信区间为： （
x Z / 2
(1 ) x
2
(1
n
)
12
2
(1
100
) 1 .19 ( 千克 )
练习2： 某机械厂日产某种产品8 000件，现采用纯随机不 重复抽样方式(按重复抽样公式计算)，从中抽取400件 进行观察，其中有380件为一级品，试以概率95.45%的 可靠程度推断全部产品的一级品率及一级品数量的范 围。则：抽样一级品率：
**在大样本下，样本比例的分布趋近于均值为 P 差为 P (1 P )
n
、方
的正态分布。因此，给定置信度1-
，查正态分布
表得 Z / 2
，则样本比例的抽样极限误差为：
p Z / 2 ( p)
所以，总体比例的置信度为1-
的置信区间为：
p p P p p
p 380 400 ´ 100% 95%
p
P (1 P )
n

95%( 1 95%)
400
1.09%
在概率 95.45%的保证下，全及一级品 率： P p ± p ～ 95% ±2 ´ 1.19% 92.82% × 97.18%
例题应用
[例7-3] 某厂生产的零件长度服从正态分布，从该 厂生产的零件中随机抽取25件，测得它们的平均长度 为30.2厘米。已知总体标准差 =0.45厘米 要求：（1）计算抽样平均误差和抽样允许误差 =0.05） （2）估计零件平均长度的可能范围（
0.452 )， x =30.2， 来自百度文库 =25， 已知： X ~ N ( ， 1- =0.95