第七章 参数估计

真值只有一个，一个特定的区间“总是包含”或 “绝对不包含”该真值。但是，用概率可以知道在 多次抽样得到的区间中大概有多少个区间包含了参 数的真值。 如果大家还是不能理解，那你们最好这样回答有关 区间估计的结果：该班同学平均成绩的置信区间是 75-85分，置信度为95%。
评价估计量的标准
无偏性(unbiasedness)
估计量与估计值
估计量与估计值
(estimator & estimated value)
1. 估计量：用于估计总体参数的随机变量
– 如样本均值，样本比例, 样本方差等 – 例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量
ˆ 2. 参数用 表示，估计量用 表示
3. 估计值：估计参数时计算出来的统计量的 具体数值
x z
2
s 7.77 39.5 1.645 n 36 39.5 2.13 37.37,41.63
投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁
总体均值的区间估计2
(正态总体、２未知、小样本)
总体均值的区间估计
(小样本)
1. 假定条件
– 总体服从正态分布,但方差(２) 未知 – 小样本 (n < 30)
• 实际上，第二个调查隐瞒了置信度（等价 于隐瞒了样本量）。如果第二个调查仅仅 调查了50个人，有35个人反对该观点。根 据公式可以算出，第二个调查的置信区间 的置信度仅有11%。
例2 零售店选址
• 张先生是台湾某集团的企划部经理，在今 年的规划中，集团准备在某地新建一新的 零售商店。张先生目前正在做这方面的准 备工作。其中有一项便是进行市场调查。 在众多信息中，经过该地行人数量是要考 虑的一个很重要的方面。张先生委托他人 进行了两个星期的观察，得到每天经过该 地人数如下：
学习目标
1. 2. 3. 4. 5. 6. 估计量与估计值的概念 点估计与区间估计的区别 评价估计量优良性的标准 一个总体参数的区间估计方法 两个总体参数的区间估计方法 样本量的确定方法
7.1 参数估计的一般问题
7.1.1 估计量与估计值
7.1.2 点估计与区间估计 7.1.3 评价估计量的标准
第 7 章 参数估计
例1 一个描述性例子
• 一个有10000个人回答的调查显示，反对大 学恋爱实名制观点的人的比例为70%（有 7000人反对），可以算出总体中反对该观 点 的 比 例 的 95% 置 信 区 间 为 （ 0.691 ， 0.709）； • 另一个调查声称有70%的比例同意该种观点， 还说总体中同意该观点的置信区间也是 （0.691，0.709）。到底相信谁呢？
– 如果样本均值 x =80，则80就是的估计值
点估计与区间估计
点估计(point estimate)
1. 用样本的估计量的某个取值直接作为总体参 数的估计值
例如：用样本均值直接作为总体均值的估计；用 两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计
2. 无法给出估计值接近总体参数程度的信息
--虽然在重复抽样条件下，点估计的均值可望等 于总体真值，但由于样本是随机的，抽出一个具 体的样本得到的估计值很可能不同于总体真值
总体方差的区间估计
总体方差的区间估计
1. 估计一个总体的方差或标准差 2. 假设总体服从正态分布 3. 总体方差 2 的点估计量为s2,且
n 1s 2
2
4. 总体方差在1- 置信水平下的置信区间为
~ 2 n 1
n 1s 2 2 n 1s 2 2 2 2 n 1 1 2 n 1
置信水平(confidence level)
1. 将构造置信区间的步骤重复很多次，置信 区间包含总体参数真值的次数所占的比例 称为置信水平 2. 表示为 (1 - 为是总体参数未在区间内的比例 3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% 相应的 为0.01，0.05，0.10
25袋食品的重量
112.5
102.6 100.0 116.6 136.8
101.0
107.5 123.5 95.4 102.8
103.0
95.0 102.0 97.8 101.5
102.0
108.8 101.6 108.6 98.4
100.5
115.6 102.2 105.0 93.3
总体均值的区间估计
总体方差的区间估计
(图示)
总体方差的 1 的置信区间
21 2
自由度为n-1的2
2 2
2
总体方差的区间估计
(例题分析)
【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某 天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如 下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95% 的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间
总体均值的区间估计
(例题分析)
【 例 】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对食品 质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋 重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了 25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从 正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量 的置信区间，置信水平为95%
标准正态分布
标准正态分布
t (df = 13)
t 分布
t (df = 5)
z
x
t 分布与标准正态分布的比较
不同自由度的t分布
t
总体均值的区间估计
(例题分析)
【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批 灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(单位：h)如 下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间
置信区间 (confidence interval)
1. 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为 置信区间 2. 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正 的总体参数，所以给它取名为置信区间 3. 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区 间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包 含总体参数的真值
总体均值的区间估计
(大样本)
1. 假定条件
– – 总体服从正态分布,且方差(２) 已知 如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)
2. 使用正态分布统计量 z x z ~ N (0,1) n 3. 总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为 s x z 2 或 x z 2 ( 未知) n n
• 无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于 被估计的总体参数
ˆ P( )
无偏 有偏
A
B

ˆ
有效性(efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计
量，有更小标准差的估计量更有效
ˆ P( )
ˆ1 的抽样分布
B A
ˆ2 的抽样分布
ˆ

一致性(consistency)
一致性：随着样本量的增大，估计量的 值越来越接近被估计的总体参数
35
42 53 28 49 39
39
46 45 39 38 45
27
43 54 36 34 48
36
31 47 44 48 45
44
33 24 40 50 32
总体均值的区间估计(例题分析)
解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根据样本数 据计算得： 39.5 ，s 7.77 x 总体均值在1- 置信水平下的置信区间为
ˆ P( )
较大的样本量
B A
较小的样本量

ˆ
7.2 一个总体参数的区间估计
7.2.1 总体均值的区间估计
7.2.2 总体比例的区间估计 7.2.3 总体方差的区间估计
一个总体参数的区间估计
符号表示 均值 总体参数

样本统计量
x p
s
2
比例
方差

2
总体均值的区间估计1
(正态总体、２已知，或非正态总体、大 样本)
16灯泡使用寿命的数据
1510 1450 1480 1460 1520 1480 1490 1460 1480 1510 1530 1470 1500 1520 1510 1470
总体均值的区间估计(例题分析)
解：已知Ｘ~N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2=2.131 根据样本数据计算得：x 1490 ， s 24.77 总体均值在1-置信水平下的置信区间为
x t
2
s 24.77 1490 2.131 n 16 1490 13.2 1476.8,1503.2
该种灯泡平均使用寿命的置信区间为 1476.8h～ 1503.2h
总体比例的区间估计
Hale Waihona Puke Baidu
总体比例的区间估计
1. 假定条件
– – 总体服从二项分布 可以由正态分布来近似
解：已知 n=100，p＝65% , 1- = 95%， z/2=1.96
p z
2
p (1 p ) n
65% 1.96
65%(1 65%) 100
65% 9.35% 55.65%,74.35%
该城市下岗职工中女性比例的置信 区间为55.65%~74.35%
• 544，468，399，759，526，212，256， 456，553，259，469，366，197，178 如果设立商店要求行人数最低为520的话，这 个地点是否合适？ （经计算，样本均值403，标准差168.46）
第 7 章 参数估计
7.1 参数估计的一般问题
7.2 一个总体参数的区间估计 7.3 两个总体参数的区间估计 7.4 样本量的确定
(例题分析)
解：已知Ｘ~N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96 x 。根据样本数据计算得： 105.36 由于是正态总体，且方差已知。总体均值 在1-置信 水平下的置信区间为 10 x z 2 105.36 1.96 n 25 105.36 3.92
2.
使用正态分布统计量 z p z ~ N (0,1) (1 ) n 3. 总体比例在1-置信水平下的置信区间为
p z 2
p(1 - p) n
总体比例的区间估计
(例题分析)
【例】某城市想 要估计下岗职工 中女性所占的比 例，随机地抽取 了 100 名 下 岗 职 工，其中65人为 女性职工。试以 95%的置信水平 估计该城市下岗 职工中女性比例 的置信区间
2. 使用 t 分布统计量
t x n
3. 总体均值 在1-置信水平下的置信区间为 s x t 2 n
s
~ t (n 1)
t 分布
t 分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比 正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之 为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐 趋于正态分布
-- 一个点估计量的可靠性是由它的抽样标准误差
来衡量的，这表明一个具体的点估计值无法给出 估计的可靠性的度量
区间估计(interval estimate)
1. 在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间 范围，该区间由样本统计量加减估计误差而得到 2. 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总 体参数的接近程度给出一个概率度量
比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95% 置信区间
样本统计量 (点估计)
置信下限
置信上限
区间估计的图示
x z 2 x
- 2.58x -1.65 x
x

+1.65x +2.58x
x
-1.96 x
+1.96x
90%的样本 95% 的样本 99% 的样本
– 我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的 区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真 值的区间中的一个 总体参数以一定的概率落在这一区间的表述是错误的
–
置信区间 (95%的置信区间)
点估计值

重复构造出的20个置信区间
我们用95%的置信水平得到某班学生考试成绩的置 信区间为75-85分，如何理解？ 错误的理解：75-85区间以95%的概率包含全班同 学平均成绩的真值；或以95%的概率保证全班同学 平均成绩的真值落在75-85分之间。 正确的理解：如果做了多次抽样（如100次），大 概有95次找到的区间包含真值，有5次找到的区间 不包括真值。
101.44,109.28
该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g
总体均值的区间估计
(例题分析)
【例】一家保险公司收集到由36个投保人组成的随 机样本，得到每个投保人的年龄(单位：周岁)数据如 下表。试建立投保人年龄90%的置信区间
36个投保人年龄的数据
23
36 42 34 39 34