全国名校高中数学优质(附详解)专题极值

第14节 极值与最值

考点1 极值与最值

1．函数的极值

函数()fx在点0x附近有定义，如果对0x附近的所有点都有0()()fxfx，则称0()fx是函数的一个极大值，记作0()yfx极大值．如果对0x附近的所有点都有0()()fxfx，则称0()fx是函数的一个极小值，记作0()yfx极小值．极大值与极小值统称为极值，称0x为极值点．

求函数的极值的三个基本步骤 ①求导数()fx；②求方程()0fx的所有实数根；③检验()fx在方程()0fx的根左右的符号，如果是左正右负（左负右正）（注意数形结合分析），则()fx在这个根处取得极大（小）值．

2．最值的判断法则

函数()yfx最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数()fx最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．

间隔最值定理 导函数为21212()()()()fxaxbxcaxxxxmxxn

（1）当0a时，最大值是1()fx与()fn中的最大者；最小值是2()fx与()fm中的最小者．

（2）当0a时，最大值是2()fx与()fm中的最大者；最小值是1()fx与()fn中的最小者．

一般地，设()yfx是定义在[]mn，上的函数，()yfx在()mn，内有导数，求函数()yfx在[]mn，上的最大值与最小值可分为两步进行：

（1）求()yfx在()mn，内的极值（极大值或极小值）；

（2）将()yfx的各极值与()fm和()fn比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

考点一 极值与最值

【例1】（2020•平邑县期中）已知函数)(xf的定义域为R且导函数为)(xf，如图是函数)(xfxy的图

象，则下列说法正确的是（ ）

A．函数)(xf的减区间是)02(，，)2(， B．函数)(xf的减区间是)2(，，)2(，

高中数学专题--- 最值或取值范围问题

基本方法：

最值或取值范围问题解题策略一般有以下几种：

（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质求解.

（2）代数法：在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：

①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数（自变量）的取值范围；

②利用已知参数（自变量）的范围，求新参数（新自变量）的范围，解这类问题的核心是在两个参数（自变量）之间建立等量关系；

③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数（自变量）的取值范围；

④利用基本不等式求出参数（自变量）的取值范围；

⑤利用函数的值域的求法，如导数法等，确定参数（自变量）的取值范围．

最值或取值范围问题，是解析几何中的一类常见问题，解决这类问题的关键是构造含参数（自变量）的不等式，通过解不等式求出其范围，韦达定理、曲线与方程的关系等在构造不等式中起着重要作用.

一、典型例题

1. 已知抛物线2yx和C：2211xy，过抛物线上的一点000,1Pxyy，作C的两条切线，与y轴分别相交于A，B两点.求ABP面积的最小值.

2. 已知椭圆:C2214yx，过点0,3M的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B. 设P为椭圆上一点，且OAOBOP（O为坐标原点）.求当3AB时，实数的取值xyPOCBA范围.

二、课堂练习

1. 已知椭圆C：2214xy，过点4,0M的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且MAMB，求的取值范围.

2. 已知A，B为椭圆：22142xy的左，右顶点，若点000,0Pxyy为直线4x上的任意一点，PA，PB交椭圆于C，D两点，求四边形ACBD面积的最大值.

三、课后作业

1. 已知椭圆22:143xyC，过点1,02作直线l与椭圆C交于点,EF(异于椭圆C的左、右顶点)，线段EF的中点为M.点A是椭圆C的右顶点.求直线MA的斜率k的取值范围.

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第1节 圆的方程

【基础知识】

1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．

2．圆的标准方程

(1) 若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：222()()xaybr．

(2) 方程222()()xaybr表示圆心为C(a,b),半径为r的圆．

3．圆的一般方程

(1)任意一个圆的方程都可化为：220xyDxEyF.这个方程就叫做圆的一般方程．

(2) 对方程：220xyDxEyF.

①若2240DEF，则方程表示以(2D，)2E为圆心,FED42122为半径的圆；

②若0422FED，则方程只表示一个点(2D，)2E；

③若0422FED，则方程不表示任何图形．

4.点00()Axy，与⊙C的位置关系

(1)|AC|

(2)|AC|＝r⇔点A在圆上⇔22200()()xaybr－＋－；

(3)|AC|>r⇔点A在圆外⇔22200()()xaybr－＋－.

【规律技巧】

1.求圆的方程，采用待定系数法：

①若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程． 全国名校高考数学一轮复习优质专题汇编（附详解）

②若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径，可选择圆的一般方程．

2.在求圆的方程时，常用到圆的以下几何性质：

①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；

②圆心在任一弦的垂直平分线上．

【典例讲解】

【例1】 (1)经过点P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程为________．

(2)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )

A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2

B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2

C．(x－1)2＋(y－1)2＝2

D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析

1. 函数在上的最小值为_____________________.

【答案】-6

【解析】；令得：

列表如下：

-1

(-1,0)

0

(0,1)

1

(1,2)

2

0

+

0

-

0

+

8

-6

增函数

-5

减函数

-6

增函数

3

所以由上表可知：函数的最小值为-6．

【考点】函数的最值及导数的应用.

2. 已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象与x轴有三个不同交点（0，0），（x1，0），（x2，0），且f（x）在x=1，x=2时取得极值，则x1•x2的值为 ．

【答案】6.

【解析】因为的图像过，所以，即；

因为f（x）在x=1，x=2时取得极值，所以的两根为1，2，则，即；

则，所以.

【考点】三次函数的零点、函数的极值.

3. 设函数f(x)＝＋ln x，则( )

A．x＝为f(x)的极大值点 B．x＝为f(x)的极小值点

C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点

【答案】D

【解析】因为，所以当时，，当x>2时，，故知x＝2为f(x)的极小值点．故选Ｄ．

【考点】函数的极值．

4. 已知函数在与处都取得极值．

（1）求函数的解析式；

（2）求函数在区间[-2，2]的最大值与最小值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由已知函数在与处都取得极值，得到，求出得到：关于a,b的两个方程，联立解方程组可得到a,b的值，从而可写出函数的解析式；（2）由（１）已求出的解析式，要求函数在区间[-2，2]的最大值与最小值，只需先求出函数在区间[-2，2]的极大值与极小值，再求出两个端点的函数值，然后比较这四个数值的大小，得其中的最大者就是该函数的最大值，最小者就是该函数的最小值．

试题解析：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b 1分