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等差数列的性质与公式等差数列是数列中相邻两项之间的差值保持恒定的数列。
在数学中，等差数列是一种常见的数学模型，具有许多重要的性质和应用。
本文将介绍等差数列的性质与公式，并探讨其在代数、几何等领域中的应用。
一、等差数列的定义等差数列可以用下列形式表示：a，a + d，a + 2d，a + 3d，...其中，a是首项，d是公差。
首项代表数列中的第一个数，公差代表相邻两项之间的差值。
二、等差数列的性质1. 通项公式等差数列的第n项可以用通项公式表示：an = a + (n-1)d其中，an代表等差数列的第n项，a是首项，d是公差。
2. 求和公式等差数列的前n项和可以用求和公式表示：Sn = (n/2)(a + an)其中，Sn代表等差数列的前n项和，a是首项，an是第n项，n代表项数。
3. 公差与项数的关系对于等差数列，项数与公差的关系可以表示为：n = (an - a)/d + 1其中，n代表项数，a是首项，an是第n项，d是公差。
4. 等差中项等差数列中的中项可以表示为：a + (n-1)(d/2)其中，a是首项，n代表项数，d是公差。
5. 等差数列的性质等差数列具有以下性质：(1) 等差数列的任意三项成等差数列；(2) 等差数列对任意项数取整后仍为等差数列；(3) 等差数列的倒序也为等差数列；(4) 等差数列的前n项和等于后n项和。
三、等差数列的应用等差数列在数学中具有广泛的应用，特别是在代数和几何领域中。
1. 代数应用(1) 等差数列可用于解决各种代数问题，如数列的推导、求和等问题。
(2) 等差数列可用于建立各种代数方程，进而解决实际问题。
2. 几何应用(1) 等差数列可用于几何问题，如等差中项问题、等差数列构成的图形问题等。
(2) 等差数列可用于建立几何方程，求解各种几何问题。
3. 统计应用(1) 等差数列可用于统计学中的各种模型建立与应用。
(2) 等差数列可用于数理统计、经济学等领域的数据分析。
等差数列的性质等差数列是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。
在数学中，等差数列具有许多重要的性质和特点。
本文将从等差数列的定义、通项公式、前n项和以及应用等方面进行论述，以帮助读者全面了解等差数列的性质。
一、等差数列的定义等差数列是指在数列中，任意两个相邻的项之间的差保持不变。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，那么数列的通项可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d，其中n为项数。
二、通项公式等差数列的通项公式是指通过数列的首项和公差，可以求得任意一项的数值。
对于等差数列来说，通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d。
三、前n项和等差数列的前n项和是指数列中前n个项的和。
使用等差数列的前n项和可以快速计算出数列的和。
对于等差数列来说，前n项和的公式可以表示为：Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ)，其中Sₙ表示前n项和。
四、等差数列的性质1. 共线性：等差数列的图像上的点都在一条直线上，这是等差数列的一个重要特点。
2. 等差性：数列中相邻两项之差保持不变，即每一项与它的前一项之差等于公差d。
这个性质使得等差数列的计算更加简便。
3. 对称性：等差数列以其中间的项为对称轴，对称轴两边的元素之和相等。
4. 递推性：等差数列的每一项可以通过前一项的值加上公差得到。
五、等差数列的应用等差数列广泛应用于数学和实际生活中。
以下是一些常见的等差数列应用场景：1. 增长和衰减问题：等差数列可以应用于描述某一变量的增长或衰减过程，如财富的积累、人口的增长等。
2. 等距离问题：等差数列可以应用于描绘等距离问题，比如车辆在匀速行驶时的位置变化、航空飞行中的高度变化等。
3. 资金管理问题：等差数列可以应用于资金管理问题中，如每月存入固定金额的储蓄计划、还款计划等。
4. 数字排列问题：等差数列可以应用于数字排列问题中，如排队的位置、打印机打印的顺序等。
总结：等差数列作为一种常见的数列形式，在数学和实际生活中都发挥着重要作用。
等差数列的性质和应用等差数列是数学中常见的一种数列，它具有一些独特的性质和广泛的应用。
本文将探讨等差数列的性质、相关公式以及它在实际生活中的应用。
一、等差数列的定义和性质等差数列是指数列中的相邻两项之差保持不变。
具体来说，对于一个数列a1, a2, a3, ..., an，如果它满足 a2 - a1 = a3 - a2 = ... = an - an-1 = d，其中d是常数，那么这个数列就是等差数列。
其中，d被称为等差数列的公差。
等差数列的性质如下：1. 常数差：等差数列的相邻两项之差是一个常数，即公差。
2. 通项公式：等差数列可以用一个通项公式来表示。
通项公式的一般形式是an = a1 + (n - 1)d，其中an是数列的第n项，a1是数列的首项，d是公差。
3. 项数和求和公式：等差数列前n项和的求和公式是Sn = (n/2)(a1+ an)，其中Sn是前n项和。
4. 对称性：等差数列中的任意两个项，以中间项为对称轴，其差相等。
二、几个经典的等差数列应用等差数列在数学中有着广泛的应用，下面列举几个经典的应用。
1. 数学题中的应用：等差数列经常出现在数学题目中，尤其是在初中和高中的代数题和数列题中。
通过理解等差数列的性质和公式，可以帮助我们解答相关的问题。
例如：已知等差数列前6项的和为45，首项为2，公差为3，求这个数列的第10项。
我们可以使用等差数列的前n项和求和公式来解决这个问题，将数值代入公式计算即可。
2. 经济学中的应用：等差数列在经济学中的应用比较常见，特别是在描述递增或递减的趋势时。
例如，某公司在过去几年里的年度营业额呈等差数列递增，通过观察前几年的营业额，我们可以推测未来几年的营业额，并作出相应的经营策略。
3. 物理学中的应用：等差数列在物理学中也有一定的应用。
例如，在描述速度随时间变化的问题时，如果速度每单位时间都以相同的增量或减量发生变化，那么我们可以将这个问题建模成等差数列，从而利用等差数列的性质进行求解。
等差数列的概念与性质等差数列是数学中常见且重要的数列之一。
它是由一系列数字按照相同公差递增或递减而形成的。
本文将介绍等差数列的概念、性质及其在数学和实际生活中的应用。
一、概念等差数列指的是一个数列，其每一项与前一项之差都相等。
公差（d）是其中相邻两项之差。
如果一个等差数列的首项为a₁，公差为d，则数列的通项公式可表示为：aₙ = a₁ + (n-1) * d其中，aₙ为第n项。
二、性质1. 公差与项数的关系：对于等差数列，任意相邻两项之差都等于公差。
所以，如果已知等差数列的首项和末项，以及项数，则可以求得公差的值。
公差（d）可以表示为：d = (aₙ - a₁) / (n - 1)2. 求和公式：等差数列的前n项和可以通过求和公式来计算。
对于一个等差数列的前n项和（Sₙ），其计算公式为：Sₙ = (n/2) * (a₁ + aₙ)3. 通项公式的推导：根据等差数列的性质，可以通过推导得出通项公式。
首先，我们知道第n项与首项之间的差距是(n-1)倍的公差，即aₙ = a₁ + (n-1) * d。
经过整理后，可以得到通项公式。
三、应用等差数列在数学和实际生活中有广泛的应用。
1. 数学中的应用：等差数列是数学中重要的概念，并在其他数学领域中得到应用。
例如，在数列和级数中，等差数列的求和公式能够准确计算出前n项的和。
此外，在微积分中，等差数列和等差级数的概念与计算也起到重要的作用。
2. 实际生活中的应用：等差数列在实际生活中的应用较为广泛。
例如，通过分析连续几年的销售数据，可以判断某个产品的销售趋势是否呈现等差数列的规律。
通过识别这样的规律，商家可以对产品定价、库存管理等方面做出更准确的决策。
此外，等差数列还可以应用于金融领域，例如利率的计算、投资回报预测等。
总结：等差数列是数学中的重要概念，其性质包括公差与项数的关系、求和公式以及通项公式的推导。
在数学中，等差数列的应用涉及到数列与级数、微积分等方面。
等差数列的性质及应用等差数列是指数列中相邻项之间的差值保持不变的数列。
它是数学中常见且重要的数列类型之一，在数学及其他领域都有着广泛的应用。
本文将探讨等差数列的性质及其在实际问题中的应用。
一、等差数列的定义与性质1. 定义：等差数列可以定义为一个数列，其中每一项与它的前一项之差等于一个常数d，称为等差数列的公差。
2. 通项公式：假设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项可以表示为an = a₁ + (n-1)d。
3. 求和公式：假设等差数列的首项为a₁，末项为an，项数为n，则等差数列的和可以表示为Sn = (a₁ + an) * n / 2。
二、等差数列的应用1. 数学问题中的应用：等差数列在数学问题中经常出现。
例如，找出等差数列中的特定项、求等差数列的和等都可以通过等差数列的性质与公式进行解决。
2. 自然科学中的应用：等差数列在自然科学中也有着广泛的应用。
例如，物理学中的匀速直线运动、化学中的反应速率等都可以建立在等差数列的基础上，通过分析数值变化的规律来求解实际问题。
3. 经济学与金融学中的应用：等差数列在经济学与金融学中也有着重要的应用。
例如，研究某种商品价格的变化、计算贷款利息等都可以运用等差数列的概念。
三、实际问题中的等差数列应用举例1. 降雨量分析：假设某地区每年的降雨量以等差数列的形式增长，首年降雨量为100毫米，公差为10毫米。
求第5年的降雨量。
解答：根据等差数列的通项公式，第5年的降雨量可以表示为a₅ = a₁ + (5-1)d = 100 + 4*10 = 140毫米。
2. 平均成绩计算：某学生连续4次数学考试的成绩构成等差数列，首次考试得了80分，公差为4分。
求这4次考试的平均分。
解答：根据等差数列的求和公式，这4次考试的总分为S₄ = (80 +a₄) * 4 / 2，其中a₄为最后一次考试的成绩。
平均分可以表示为S₄ / 4，即(80 + a₄) * 2。
由此可得，平均分为(80 + a₄) * 2 / 4。
等差数列性质总结1.等差数列的定义式：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列+-112(2,n N )n n n a a a n +⇔=+≥∈212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列 等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，．7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。
等差数列与等比数列的性质1. 等差数列的性质等差数列是指数列中相邻元素之间的差值保持不变的数列。
它具有以下几个重要的性质。
1.1 公差对于等差数列a₁, a₂, a₃, ..., an，相邻两项之间的差值称为公差，用d表示。
即d = a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = ... = an - a(n-1)。
等差数列的公差决定了其增长或减小的速度。
当公差为正数时，数列递增；当公差为负数时，数列递减。
1.2 通项公式等差数列的通项公式可用来表示其任意一项。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为an，则通项公式为an = a₁ + (n - 1)d。
利用通项公式，可以快速计算等差数列中任意一项的值。
1.3 前n项和等差数列的前n项和表示为Sn，可用来求等差数列前n项的和。
求解前n项和的公式为Sn = (n/2)(a₁ + an) = (n/2)(2a₁ + (n - 1)d)。
利用前n项和公式，可以快速计算等差数列前n项的和。
1.4 等差数列的性质等差数列具有以下一些重要的性质：- 等差数列的中项为首项与末项的算术平均数。
- 等差数列的前n项和与后n项和相等。
- 若两个数列的差构成一个等差数列，那么两个数列分别也是等差数列。
2. 等比数列的性质等比数列是指数列中相邻元素之间的比值保持不变的数列。
它具有以下几个重要的性质。
2.1 公比对于等比数列a₁, a₂, a₃, ..., an，相邻两项之间的比值称为公比，用r表示。
即r = a₂/a₁ = a₃/a₂ = ... = an/a(n-1)。
等比数列的公比决定了其增长或减小的速度。
当公比大于1时，数列递增；当公比大于0且小于1时，数列递减。
2.2 通项公式等比数列的通项公式可用来表示其任意一项。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为an，则通项公式为an = a₁ * r^(n-1)。
利用通项公式，可以计算等比数列中任意一项的值。
2.3 前n项和等比数列的前n项和表示为Sn，可用来求等比数列前n项的和。
中学数学学问点等差数列的定义及性质中学数学学问点等差数列的定义及性质一般地，假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特殊地，当s+t=2p 时,高一，有as+at=2ap；（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）从其次项起先起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即对等差数列定义的理解：①假如一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项起先是等差数列．②求公差d时，因为d是这个数列的`后一项与前一项的差，故有还有③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d0时，数列为递增数列；当d0时，数列为递减数列；④ 是证明或推断一个数列是否为等差数列的依据；⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：(1)学会运用函数与方程思想解题；(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中随意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．。
高考等差数列知识点在高考数学考试中，等差数列是一个经常出现的重要知识点。
掌握等差数列可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，同时也是解决实际问题的一种有效工具。
本文将介绍等差数列的基本概念、性质以及应用，帮助读者更好地掌握和理解高考涉及的等差数列知识点。
一、等差数列的定义和性质等差数列是一种特殊的数列，它的每一项与前一项之差都相等。
如果一个数列满足这个条件，那么我们就称其为等差数列。
等差数列通常用字母a, d来表示，其中a是首项，d是公差。
数列的通项公式可以表示为：an = a + (n-1)d在等差数列中，首项a是指数列的第一项，公差d是相邻两项之间的差值。
等差数列的一个重要性质是，任意两项之和等于首项和末项之和的一半乘以项数。
这一性质在高考中经常被用于求和问题的解答过程中。
二、等差数列的求和在高考数学中，等差数列的求和问题经常被考察。
当给定等差数列的首项、末项和项数时，我们可以利用等差数列的求和公式来求解。
等差数列的求和公式可以表示为：Sn = n/2 * (a + l)其中，Sn表示等差数列的前n项和，a表示首项，l表示末项。
利用等差数列的求和公式，我们可以迅速求得数列的和。
在高考数学中，这种技巧经常用于求解复杂的数学题，其中需要快速计算等差数列的和。
三、等差数列的应用等差数列在实际生活和科学研究中有广泛的应用。
例如，它可以用于描述人口增长、物种数量的变化、财富的积累等。
等差数列还常常用于建模和解决实际问题。
例如，在金融领域中，我们可以利用等差数列的知识来分析贷款的还款计划。
在计算机科学中，等差数列的知识也被应用于算法设计、数据结构等领域。
除了在实际应用中的广泛应用外，等差数列还是高中数学的基础知识，对于理解和学习更高阶数学概念起到了重要的作用。
学好等差数列不仅可以提高数学素养，还可以培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
总结：等差数列是高考数学中的重要基础知识，它常常出现在考试中。
掌握等差数列的定义、性质以及求和公式是必不可少的。
等差数列的性质等差数列是数学中常见的一种数列，它的每个元素与前一个元素之间的差值都相等。
在这篇文章中，我们将讨论等差数列的性质，包括计算方法、公式推导以及应用领域的例子。
一、等差数列的定义等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差相等。
一般地，等差数列可以表示为：an = a1 + (n-1)d其中，an是第n项，a1是首项，d是公差，n为项数。
二、等差数列的性质1. 公差d的计算为了计算等差数列的公差，我们可以利用任意两项之间的差值。
例如，已知某等差数列的第3项与第5项分别为8和16，我们可以计算公差d的值：16 - 8 = 8 = 2d因此，公差d=4。
2. 各项之和的计算等差数列的前n项和可以用以下公式表示：Sn = (n/2)(a1 + an)其中，Sn表示前n项的和。
3. 第n项的计算公式an = a1 + (n-1)d可以用于计算等差数列的第n项。
4. 等差中项的计算等差数列中项指的是位于首项和末项中间的某个项。
我们可以利用以下公式计算中项的值：中项 = (首项 + 末项) / 2三、等差数列的应用举例等差数列在现实生活和数学问题中具有广泛的应用。
以下是一些例子：1. 数字排列游戏在数字排列游戏中，参与者需要根据等差数列的性质来猜测下一个数字是什么。
通过观察前几项的差值，他们可以推测出公差，进而推测出后续的数字。
2. 财务规划在财务规划中，等差数列可以帮助我们计算未来几年的预算。
例如，如果我们知道每年的支出都以固定的增加速度递增，那么我们可以利用等差数列的性质来计算每年的支出情况。
3. 等差数列和等差平均数等差数列的和以及等差平均数在数学中有重要的应用。
通过计算等差数列的和，我们可以得到一段数列的总和；而等差平均数则是将总和除以项数，得到的是数列的平均值。
四、结论等差数列是一种常见的数学概念，具有明确的计算方法和性质。
通过理解和应用等差数列的性质，我们能够更好地解决实际问题并进行数学推导。
第49炼 等差数列性质一、基础知识：1、定义：数列{}n a 若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称{}n a 是等差数列，这个常数称为{}n a 的公差，通常用d 表示2、等差数列的通项公式：()11n a a n d =+-，此通项公式存在以下几种变形：（1）()n m a a n m d =+-，其中m n ≠：已知数列中的某项m a 和公差即可求出通项公式（2）n ma a d n m -=-：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差（3）11na a n d-=+：已知首项，末项，公差即可计算出项数 3、等差中项：如果,,a b c 成等差数列，则b 称为,a c 的等差中项（1）等差中项的性质：若b 为,a c 的等差中项，则有c b b a -=-即2b a c =+ （2）如果{}n a 为等差数列，则2,n n N *∀≥∈，n a 均为11,n n a a -+的等差中项 （3）如果{}n a 为等差数列，则m n p q a a a a m n p q +=+⇔+=+注：①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等。
比如m n p q s +=++，则m n p q s a a a a a +=++不一定成立② 利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项。
例如：478920a a a a +++=，可得478977777420a a a a a a a a a +++=+++==，即可得到75a =，这种做法可称为“多项合一”4、等差数列通项公式与函数的关系：()111n a a n d d n a d =+-=⋅+-，所以该通项公式可看作n a 关于n 的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。
例如：0d >，{}n a 递增；0d <，{}n a 递减。
5、等差数列前n 项和公式：12nn a a S n +=⋅，此公式可有以下变形： （1）由m n p q m n p q a a a a +=+⇔+=+可得：()12p qn a a S n p q n +=⋅+=+，作用：在求等差数列前n 项和时，不一定必须已知1,n a a ，只需已知序数和为1n +的两项即可（2）由通项公式()11n a a n d =+-可得：()()1111122n a a n dn n S n a n d ++--=⋅=+作用：① 这个公式也是计算等差数列前n 项和的主流公式 ② ()21111222n n n d S a n d n a d n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，即n S 是关于项数n 的二次函数()n N *∈，且不含常数项，可记为2n S An Bn =+的形式。
从而可将n S 的变化规律图像化。
（3）当()21n k k N *=-∈时，()12121212k k a a S k --+=⋅- 因为1212k k a a a -+= ()2121k k S k a -∴=- 而k a 是21k S -的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系 当()2n k k N *=∈时()122122kk k k a a S k k a a ++=⋅=+，即偶数项和与中间两项和的联系 6、等差数列前n 项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的符号分析，另一个角度是从前n 项和公式入手分析（1）从项的特点看最值产生的条件，以4个等差数列为例：{}:1,3,5,7,9,11,n a {}:7,5,3,1,1,3,n b --{}:1,3,5,7,9,n c ----- {}:9,7,5,3,1,1n d -----通过观察可得：{}n a 为递增数列，且10a >，所以所有的项均为正数，前n 项和只有最小值，即1a ，同理{}n c 中的项均为负数，所以前n 项和只有最大值，即1c 。
而{}n b 虽然是递减数列，但因为10b >，所以直到51b =-，从而前4项和最大，同理，{}n d 的前5项和最小。
由此可发现规律：对于等差数列，当首项与公差异号时，前n 项和的最值会出现在项的符号分界处。
（2）从2n S An Bn =+的角度：通过配方可得2224n B B S A n A A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，要注意n N *∈，则可通过图像判断出n S 的最值 7、由等差数列生成的新等差数列（1）在等差数列{}n a 中，等间距的抽出一些项所组成的新数列依然为等差数列 例如在{}:1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,n a ，以3为间隔抽出的项1,9,17,25,仍为等差数列。
如何判定等间距：序数成等差数列，则项之间等间距 （2）已知等差数列{}1212221223:,,,,,,,,,,,,n k k k k k k k a a a a a a a a a a ++++，设12k k S a a a =+++，21223221223,,k k k k k k k k k k S S a a a S S a a a ++++-=+++-=+++，则相邻k 项和232,,,k k k k kS S S S S --成等差数列 （3）已知{}{},n n a b 为等差数列，则有： ① {}n a C +为等差数列，其中C 为常数 ② {}n ka 为等差数列，其中k 为常数 ③ {}n n a b +为等差数列①②③可归纳为{}n n a b m λμ++也为等差数列 8、等差数列的判定：设数列n a ，其前n 项和为n S （1）定义（递推公式）：1n n a a d +-=（2）通项公式：n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数） （3）前n 项和公式：2n S An Bn =+注：若2n S An Bn C =++，则{}n a 从第二项开始呈现等差关系（4）对于n N *∀∈，122n n n a a a ++=+，即从第二项开始，每一项都是相邻两项的等差中项二、典型例题：例1：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且94S S =，151,0k a a a =+=，则k =_________ 思路：由94S S =可得：9456789750S S a a a a a a -=++++==，即70a =。
而11a =，所以{}n a 不是各项为0的常数列，考虑79520a a a =+=，所以9559k a a a a k +=+⇒= 答案：9小炼有话说：关于等差数列钱前n 项和还有这样两个结论：（1）若()m n S S m n =≠，则0m n S +=（本题也可用此结论：94130S S S =⇒=，从而利用奇数项和与中间项的关系可得137130S a ==） （2）若(),m n S n S m m n ==≠，则有()m n S m n +=-+例2：已知数列{}{},n n a b 为等差数列，若11337,21a b a b +=+=，则55a b +=_______ 思路：条件与所求都是“n n a b +”的形式，由{}{},n n a b 为等差数列可得{}n n a b +也为等差数列，所以()33a b +为()()1155,a b a b ++的等差中项，从而可求出55a b +的值 解：{}{},n n a b 为等差数列{}n n a b ∴+也为等差数列 ()()()3311552a b a b a b ∴+=+++ ()()553311235a b a b a b ∴+=+-+=答案：35例3：设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，8374,2S a a ==-，则9a =（ ） A. 6- B. 4- C. 2- D. 2思路一：已知等差数列两个条件即可尝试求通项公式，只需将已知等式写成关于1,a d 的方程，解出1,a d 后即可确定通项公式或者数列中的项解：()8311482842S a a d a d =⇒+=+ 71262a a d =-⇒+=-()11118284210262a d a d a d a d +=+⎧=⎧∴⇒⎨⎨=-+=-⎩⎩ 9726a a d ∴=+=-思路二：本题还可抓住条件间的联系简化运算。
已知7a ，从而联想到8S 可用17,a a 表示，即()27827842a a S a a +=⋅=+，所以等式变为：()27323442a a a a a +=⇒-=，所以可得212a a d -==-。
9726a a d =+=- 答案：A小炼有话说：思路一为传统手段，通常将已知两个等式变形为1,a d 的二元方程，便可求解。
但如果能够观察出条件间的联系，往往能通过巧妙的变形简化计算过程。
在平时的练习中建议大家多尝试思路二的想法，努力找到条件间的联系，灵活利用等差数列性质进行变形。
而思路一可作为“预备队”使用。
例4：在等差数列{}n a 中，12008a =-，其前n 项和为n S ，若121021210S S -=，则2008S 的值等于（ ）A. 2007-B. 2008-C. 2007D. 2008 思路：由121021210S S -=观察到n S n 的特点，所以考虑数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的性质，由等差数列前n 项和特征2n S An Bn =+可得n S An B n =+，从而可判定n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且可得公差1d =，所以()1120091n S S n d n n =+-=-，所以()2009n S n n =-，即20082008S =- 答案：B例5：已知{}{},n n a b 为等差数列，且前n 项和分别为,n n A B ，若71427n n A n B n +=+，则1111a b =_____ 思路：，所求1111a b 可发现分子分母的项序数相同，结合条件所给的是前n 项和的比值。
考虑利用中间项与前n 项和的关系，有：2111211121,21A a B b == ，将项的比值转化为数列和的比值，从而代入21n =即可求值：111121111121214213a a Ab b B === 答案：43小炼有话说：等差数列中的项与以该项为中间项的前n 项和可搭建桥梁：()2121k k S k a -=-，这个桥梁往往可以完成条件中有关数列和与项之间的相互转化。
例6：已知等差数列{}n a 中，1232829303,165a a a a a a ++=++=，则此数列前30项和等于（ ）A. 810B. 900C. 870D. 840 思路：求前30项和，联想到公式(),12p qn a a S n p q n +=⋅+=+，则只需31p q +=。
