全国重点名校高考数学复习优质100专题汇编 数列中的不等关系

数列中的不等关系一、基础知识：1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点2、如何判断数列的单调性：（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于n 的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。

由于n N *Î ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为()0,+¥ 的函数，得到函数的单调性后再结合n N *Î得到数列的单调性（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列）3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的{}{},n n a b 是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知识来进行处理。

比如：含n 的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前n 项和n S 也可看做数列{}12:,,,n n S S S S L 等等。

4、对于某数列的前n 项和{}12:,,,n n S S S S L ，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观点解决。

也可以考虑相邻项比较。

在相邻项比较的过程中可发现：1n n n a S S -=-，所以{}n S 的增减由所加项n a 的符号确定。

进而把问题转化成为判断n a 的符号问题二、典型例题例1：已知数列{}1,1n a a =，前n 项和n S 满足()130n n nS n S +-+=（1）求{}n a 的通项公式（2）设2n n n n c a l æö=-ç÷èø，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数l 的取值范围解：（1）()11330n n n n S n nS n S S n+++-+=Þ=12121121411n n n n n n S S S S n n S S S S n n ----++\××××=×××-L L ()()()()12121326n n n n n n nS S ++++\==×111S a ==Q ()()216n n n nS ++\=2n \³时，()()()()()112111662n n n n n n n n n n n a S S -++-++=-=-=当1n =时，11a =符合上式()12n n n a +\=（2）思路：由（1）可得：221nn c n l æö=-ç÷+èø，由已知{}n c 为单调递减数列可得1n n c c +<对n N *"Î均成立，所以代入{}n c 通项公式得到关于,n l 的不等式4221n n l >-++，即只需max 4221n n l æö>-ç÷++èø，构造函数或者数列求出4221n n æö-ç÷++èø的最大值即可解：()2222112n nn n n n n c n n a n l l l æöç÷æöæö=-=-=-ç÷ç÷ç÷++èøç÷èøç÷èø{}n c Q 是递减数列n N *\"Î，1n nc c +<即+1222221n n n n l l æöæö-<-ç÷ç÷++èøèø424222121n n n n l l l Þ-<-Þ>-++++\ 只需max4221n n l æö>-ç÷++èø① 构造函数：设()()42121f x x x x =-³++则()()()()()()()()()222'22222222414242212121x x x fx x x x x x x +-+-=-+==++++++(()()22221x x x x -+=-++所以()f x在(单调递增，在)¥单调递减()()111,233f f ==n N *\Î时，()()()max 1123f n f f ===即max 421213n n æö-=ç÷++èø13l \>②构造数列：设数列{}n t 的通项公式4221n t n n =-++()14242462221121n n t t n n n n n n n n-æö\-=---=-+³ç÷+++++èø()()()()()()()()4162212421212n n n n n n n n n n n n n +-++++-==++++2n \>时，10n n t t --<，即1n n t t -<当2n =时，21t t =所以{}n t 的最大项为2113t t ==13l \>例2：已知等差数列{}n a 中，359,17a a ==，记数列1n a ìüíýîþ的前n 项和为n S ，若()2110n n mS S m Z +-£Î，对任意的n N *Î恒成立，则整数m 的最小值是（）A.5B.4C.3D.2思路：若2110n n m S S +-£恒成立，()21max 10n n m S S +-£，要找n S ，则需先确定n a 的通项公式得到1n a ：53453a a d -==-，所以()3443n a a n d n =+-=-，发现1143n a n =-无法直接求和，21n n S S +-很难变为简单的表达式，所以考虑将{}21n n S S +-视为一个数列，通过相邻项比较寻找其单调性：()()()()2312123211n n n n n n n n S S S S S S S S ++++++---=---()()()2322111111104870898543898543n n n n a a a n n n n n n ++--=+-=+-=<++-++-，进而{}21n n S S +-单调递减，()213132max 1445n n S S S S a a +-=-=+=，所以142810459m m ³Þ³，从而4m =答案：B例3：已知数列{}{},n n a b满足()12nb n a a a n N *×××=ÎL ，若{}na 为等比数列，且1322,6a b b ==+（1）求,n n a b （2）设()11n n nc n N a b *=-Î，记数列{}n c 的前n 项和为n S ① 求nS ② 求正整数k ，使得对于n N *"Î，均有k n S S ³解：（1）3263b b b +=Þ=612312a a a a a \=×38a \=23142a q q a \==Þ=或2q =-（舍）112n nn a a q -\==12122nb nn a a a +++\=×××=L L ()()122221n n n b n b n n +\=Þ=+（2）①()11111112121nnn n n c a b n n n n æöæöæö=-=-=--ç÷ç÷ç÷++èøèøèø21111111112222231nn S n n éùæöæöæö\=+++--+-++-êúç÷ç÷ç÷+èøèøèøêúëûL L 111221*********nn n n éùæö-êúç÷èøêúæöëû=-+=-ç÷++èø-② 思路：实质是求n S 取到最大值的项，考虑分析n S 的单调性，从解析式上很难通过函数的单调性判断，从而考虑相邻项比较。

高三数学复习专题目录专题一、数列与不等式数列（1）数列（2）专题二、三角函数三角函数（1）三角函数（2）专题三、立体几何立体几何（1）立体几何（2）专题一、数列与不等式一.基础知识梳理数列：1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.3.了解递推公式是给出数列的一种方法，能据递推公式写出前几项，同时求出通项公式.4,理解等差、等比数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项公式，并能解决简单实际问题.5.体会等差数列、等比数列与一次函数，指数函数，二次函数的关系.不等式：（必修部分）1.一元二次不等式^2+^ + c>0（cz>0）与相应的函数y = ax2+bx+c（a>0\相应的方程ax2+bx +c = 0（«〉。

）之间的关系2.一元二次不等式恒成立情况小结：J G >0 [a<0 ax2 + bx + c>0（a/0）恒成立 o。

，ax2 +bx + c <0（a/0）恒成立o。

3.二元一次不等式表示的平面区域：直线I: ax + by + c = 0把直角坐标平面分成了三个部分：（1）直线/上的点（x, y）的坐标满足ax +by+ c = 0（2）直线Z一侧的平面区域内的点（x, y）^^ax + by + oO（3）直线Z另一侧的平面区域内的点（x,y）满足ox + /<y + c<0所以，只需要在直线Z的某一侧的平面区域内，任取一特殊点（将，光），从ax0+by0+c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域。

4.线性规划：如果两个变量x,y满足一组一次不等式，求这两个变量的一个线性函数的最大值或最小值，称这个线性函数为目标函数，称一次不等式组为约束条件，像这样的问题叫作二元线性规划问题.其中，满足约束条件的解（x,y）称为可行解，由所有可行解组成的集合称为可行域，使目标函数取得最大值和最小值的可行解称为这个问题的最优解.5.基本不等式：⑴如果"eR,那么/+〃 2 2沥，（当且仅当“=。

专题6.14：数列中不等关系问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：（1）已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=， 则872a a +的最小值为 54（2）数列{}n a 满足111,1(1)n n n a a a a +>-=-，()n N +∈，且 122012111a a a +++L =2，则201314a a -的最小值为___________. 27-解：111,1(1)n n n a a a a +>-=-可得111111---=+n n n a a a ，故由122012111a a a +++L =2，可化为2111120131=---a a ，则112013232a a a --=可转化为单元函数求最值问题【解】由递推关系得111111n n n a a a +-=--，累乘得1201311211a a -=--， 则120131321011a a a -=>--，得1312a <<， 所以()12013111111111741446322462a a a a a a a ⎡⎤--=+-=---+≥-⎢⎥--⎣⎦，当且仅当154a =时，等号成立． 变式1：等比数列{}n a 中，1512a =，公比12q =-，定义123n n a a a a ∏=L ，则 123,,∏∏∏L 中最大项是_______．变式2：设首项不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式21222ma nS a n n≥+对任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为______15解析：a 1＝0时，不等式恒成立，当a 1≠0时，λ≤a 2n a 21＋S2n n 2a 21，将a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n n －1d 2代入上式，并化简得：λ≤54⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1d a 1＋652＋15∴λ≤15，∴λmax ＝15. 探究2：（1）等比数列{}n a 的公比1q >，第17项的平方等于第24项，使得不等式1212111n na a a a a a +++>+++L L 恒成立的正整数n 的取值范围是__________（2）若*n c a n n N n=+∈（），且3n a a ≥，则实数c 的取值范围是_________．变式1：设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，*13,n n n a S n N +=+∈. （1）设3nn n b S =-，求数列{}n b 的通项公式； （2）若*1,n n a a n N +≥∈，求a 的取值范围．变式2：已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：a 1 = 1， ()11131n n n n n na S S a a λ+++=+⋅+（*n ∈N ）． （1）若λ = 0，求数列{a n }的通项公式；（2）若112n n a a +<对一切*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．拓展：（2014上海卷）已知数列{}n a 满足1113,,13n n n a a a n a *+∈=N ≤≤．（1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++L ，若1133n n n S S S +≤≤，n *∈N ，求q 的取值范围；（3）若12,,,k a a a L 成等差数列，且121000k a a a +++=L ，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a L 的公差． 解：（1）由条件得263x ≤≤且933xx ≤≤，解得36x ≤≤． 所以x 的取值范围是[3， 6]．（2）由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0n a >，所以113n n S S +≤又+1133n n n a a a ≤≤，所以133q ≤≤． 当1q =时，n S n =，11n S n +=+，由13n n +≤得13n n S S +≤ 成立． 当1q ≠时，13n n S S +≤即111311n nq q q q+--≤⋅--． ①若13q <≤，则()32n q q -≥由*,,n q q n ≥∈N 得()32q q -≥，所以12q <≤②若113q ≤<，则()32n q q -≤．由*,,n q q n ≤∈N 得()32q q -≤，所以113q ≤<综上，q 的取值范围为1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（3）设数列12,,,k a a a L 的公差为d ．由1133n n n a a a +≤≤，且11a =，得()()1111+311,1,2,, 1.3n d nd n d n k +-≤≤+-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L 即()()232,1,2,, 1.212,n d n k n d ⎧-≥-⎪=-⎨+≥-⎪⎩L 当1n =时，223d -≤≤，当2,1n k =-L 时，由22,2123n n -->+-得2,21d n -≥+ 所以22.213d k -≥≥-- 所以()()111210002221k k k k ka d k k ---=+≥+-，即2200010000k k -+≤，得1999k ≤． 所以k 的最大值为1999，1999k =时，12,,,k a a a L 的公差为11999-． 【考点】建立不等关系、解不等式、等差数列、等比数列、恒成立问题、分类讨论 探究3：（1）等差数列{}n a 与等比数列{}n b 中，1133130,0,a b a b a a =>=>≠且，则2255a b a b ____；____ (大小关系)变式：已知公差不为零的正项等差数列{a n }的前n 项和为n S ，正项等比数列{b n }的前n 项的和为n T ，若15530203015205,,a b a b S S T T ==--则_____（用不等号连接）（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*n N ∈总有1(01n n S qa q q =+>≠，，*m k N ∈，，)m k ≠且． ① 求数列的{}n a 通项公式n a ； ② 试比较m k S +与221()2m k S S +的大小；③当1q >时，试比较2m k S +与2211m k S S +的大小． 拓展1：已知等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d >，前n 项和为n S ，设m ，n ，p ∈N *，且2m n p +=（1）求证：22n m p S S S +≥；（2）求证：2p n m S S S ≤⋅；（3）若10051S =,求证：2009112009i iS =>∑拓展2：首项为1a 的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,q 为非零常数,已知对任意正整数,n m ,m n m m n S S q S +=+总成立.（2）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若不等的正整数,,m k h 成等差数列，试比较m h m ha a ⋅与2kk a 的大小； （3）若不等的正整数,,m k h 成等比数列，试比较11m h m h a a ⋅与2k ka 的大小. （1）证:因为对任意正整数,n m ，m n m m n S S q S +=+总成立, 令1n m ==，得211S S qS =+,则21a qa =令1m =，得11n n S S qS +=+ (1) , 从而211n n S S qS ++=+ (2), (2)－(1)得：21n n a qa ++=,(1)n ≥综上得1n n a qa +=(1)n ≥,所以数列{}n a 是等比数列（2）正整数,,m k h 成等差数列，则2m h k +=,所以22221()22m h m h k +>+=, 则22222111mhmm mh hhk mh m hm h a a a qa q a q --+--⋅==① 当1q =时，221m h k km h ka a a a ⋅== ② 当1q >时，2222222122111()m h km h m hk kkk k km h k a a a qa q a q a +----⋅=>==③ 当01q <<时，2222222122111()mhkm h m hk kkk k km h k a a a qa q a q a +----⋅=<==（3）正整数,,m k h 成等比数列，则2m h k ⋅=,则112m h k+>=, 所以111111111121121111()()()m h m h mhm h m hm h mha a a a q a qa qq q +--+--⋅===，2221()k k k a a q q=① 当1a q =,即11a q=时，112mh k mh k a a a ⋅=22k k q a == ② 当1a q >,即11a q>时，111122211()()mh m h k mh a a a a q q q q +⋅=>2k k a =③ 当1a q <,即11a q<时，111122211()()mh m h k mh a a a a q q q q +⋅=<2k k a = 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。

第55专题训练 数列中的不等关系一、基础知识:1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关,而要求的数列中的最值项,要依靠数列的单调性,所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点2、如何判断数列的单调性:(1)函数角度:从通项公式入手,将其视为关于n 的函数,然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。

由于n N *∈ ,所以如果需要用到导数,首先要构造一个与通项公式形式相同,但定义域为()0,+∞ 的函数,得到函数的单调性后再结合n N *∈得到数列的单调性(2)相邻项比较:在通项公式不便于直接分析单调性时,可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性,通常的手段就是作差(与0比较,从而转化为判断符号问题)或作商(与1比较,但要求是正项数列)3、用数列的眼光去看待有特征的一列数:在解数列题目时,不要狭隘的认为只有题目中的{}{},n n a b 是数列,实质上只要是有规律的一排数,都可以视为数列,都可以运用数列的知识来进行处理。

比如:含n 的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前n 项和n S 也可看做数列{}12:,,,n n S S S S 等等。

4、对于某数列的前n 项和{}12:,,,n n S S S S ,在判断其单调性时可以考虑从解析式出发,用函数的观点解决。

也可以考虑相邻项比较。

在相邻项比较的过程中可发现:1n n n a S S -=-,所以{}n S 的增减由所加项n a 的符号确定。

进而把问题转化成为判断n a 的符号问题二、典型例题例1:已知数列{}1,1n a a =,前n 项和n S 满足()130n n nS n S +-+= (1)求{}n a 的通项公式 (2)设2n n n n c a λ⎛⎫=-⎪⎝⎭,若数列{}n c 是单调递减数列,求实数λ的取值范围 解:(1)()11330n n n n S n nS n S S n+++-+=⇒=12121121411n n nn n n S S S S n n S S S S n n----++∴⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅- ()()()()12121326n n n n n n nS S ++++∴==⋅ 111S a == ()()216n n n nS ++∴=2n ∴≥时,()()()()()112111662n n n n n n n n n n n a S S -++-++=-=-=当1n =时,11a =符合上式()12n n n a +∴=(2)思路:由(1)可得:221nn c n λ⎛⎫=-⎪+⎝⎭,由已知{}n c 为单调递减数列可得1n n c c +<对n N *∀∈均成立,所以代入{}n c 通项公式得到关于,n λ的不等式4221n n λ>-++,即只需max4221n n λ⎛⎫>-⎪++⎝⎭,构造函数或者数列求出4221n n ⎛⎫- ⎪++⎝⎭的最大值即可 解:()2222112n nn n n n n c n n a n λλλ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪⎪ ⎪++⎝⎭ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭{}n c 是递减数列 n N *∴∀∈,1n n c c +<即+1222221n n n n λλ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭424222121n n n n λλλ⇒-<-⇒>-++++ ∴ 只需max4221n n λ⎛⎫>- ⎪++⎝⎭ ① 构造函数:设()()42121f x x x x =-≥++则()()()()()()()()()222'22222222414242212121x x x fx x x x x x x +-+-=-+==++++++(()()22221x x x x -+=-++所以()f x在(单调递增,在)∞单调递减()()111,233f f == n N *∴∈时,()()()max 1123f n f f ===即max421213n n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭ 13λ∴> ② 构造数列:设数列{}n t 的通项公式4221n t n n =-++ ()14242462221121n n t t n n n n n n n n-⎛⎫∴-=---=-+≥ ⎪+++++⎝⎭ ()()()()()()()()4162212421212n n n n n n nn n n n n n +-++++-==++++2n ∴>时,10n n t t --<,即1n n t t -<当2n =时,21t t =所以{}n t 的最大项为2113t t ==13λ∴>例2:已知等差数列{}n a 中,359,17a a ==,记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,若()2110n n mS S m Z +-≤∈,对任意的n N *∈恒成立,则整数m 的最小值是( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 思路:若2110n n m S S +-≤恒成立,()21max 10n n m S S +-≤,要找n S ,则需先确定n a 的通项公式得到1na :53453a a d -==-,所以()3443n a a n d n =+-=-,发现1143n a n =-无法直接求和,21n n S S +-很难变为简单的表达式,所以考虑将{}21n n S S +-视为一个数列,通过相邻项比较寻找其单调性:()()()()2312123211n n n n n n n n S S S S S S S S ++++++---=---()()()2322111111104870898543898543n n n n a a a n n n n n n ++--=+-=+-=<++-++-,进而{}21n n S S +-单调递减,()213132max 1445n n S S S S a a +-=-=+=,所以142810459m m ≥⇒≥,从而4m = 答案:B例3:已知数列{}{},n n a b 满足(()12nb n a a a n N *⋅⋅⋅=∈,若{}na 为等比数列,且1322,6a b b ==+(1)求,n n a b (2)设()11n n nc n N a b *=-∈,记数列{}n c 的前n 项和为n S ① 求n S② 求正整数k,使得对于n N *∀∈,均有k n S S ≥ 解:(1)3263b b b +=⇒=612312a a a a a ∴=⋅38a∴= 23142a q q a ∴==⇒=或2q =-(舍) 112n n n a a q -∴== 12122nb nn a a a +++∴=⋅⋅⋅=()()122221n n n b n b n n +∴=⇒=+(2)① ()11111112121nnn n n c a b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭2111111*********1nn S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++--+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 111221*********nn n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+=- ⎪++⎝⎭-② 思路:实质是求n S 取到最大值的项,考虑分析n S 的单调性,从解析式上很难通过函数的单调性判断,从而考虑相邻项比较。

数列中的不等关系一．知识梳理数列和不等式是高中数学的重点内容，也是高考的两大热点。

在综合复习阶段，既要分别复习好这两部分基本知识，又要注意它们的交汇点和相互渗透。

数列与不等式的交汇点常见有下列几种情形：1．数列与比较大小。

这里需要熟练掌握数列（等差，等比）的单调性和作差（商）比较。

2．数列与解不等式。

这里需要熟练掌握等差、等比数列的公式、性质和不等式（组）的解法。

3．数列与不等式证明。

这里需要熟练掌握等差（比）数列的公式、性质、数列通项、前n 项和求法及不等式证明的常用方法。

二、 训练反馈：1.已知{a n }是递增数列，且对任意n ∈N 都有a n =n 2+λn 恒成立，则实数的取值范围是（ ）A (-,+∞) B (0, +∞) C (−2, +∞) D(−3, +∞)272.在数列{a n }中，若2a n =a n-1+a n+1 (n ∈N,n≥2 ),则下列各不等式中一定成立的是 （ ）A a 2a 4≤a 32B a 2a 4<a 32C a 2a 4≥a 32D a 2a 4>a 323. 已知数列{a n }的通项公式是a n =，其中a,b 均为正常数，那么a n 与a n+1的1+n nb a 大小关系是（ ）12+x A a n > a n+1 B a n < a n+1 C a n = a n+1 D 与n 的取值无关4．在等差数列{a n }中，a 10<0,a 11>0,且a 11>|a 10|。

则在S n 中最大的负数为（ ）A s 17B s 18C s 19Ds 205．在等比数列{a n }中，设前n 项和为S n ，则x=S n 2+S 2n 2,y=S n (S 2n +S 3n )的大小关系是（ ）A x > yB x = yC x < yD 不确定三、典型例题：例1．已知点A n (n,a n )为函数F 1: y=上的点，点B n (n,b n )为函数F 2:y=x 上的点,12+x 其中n ∈N +，设c n = a n -b n (n ∈N),试比较c n 与c n+1的大小例2．设正项等比数列{a n }，公比q>1，且a 172=a 24（1）求a 10的值（2）求使a 1+a 2+…+a n >+ +…+成立的n 的取值范围11a 21a na 1 例3．数列{x n }由下列条件确定：x 1= a>0,x n+1=,n ∈N ⎪⎭⎫⎝⎛+n n x a x 21（1）证明：对n ≥2，总有x n ≥a （2）证明：对n ≥2，总有x n ≥x n+1数列中的不等关系 巩固与练习1．已知a>0,b>0,a 、b 的等差中项是½，且,α = a+,β = b+，则α+β的最小值是a 1b1（ ）A 3B 4C 5D 62．已知为{a n }等差数列，{b n }为等比数列，其公比q≠1,且bi>0(i=1,2,…,n)，若a 1=b 1,a 11=b 11，则（ ）A a 6=b 6B a 6>b 6C a 6<b 6D a 6>b 6或 a 6<b 63．有四个命题：①一个等差数列{a n }中,若存在a k+1>a k >0(k ∈N),则对任意自然数n>k,都有a n >0;②一个等比数列{a n }中,若存在a k <0,则对于任意n ∈N 都有a n <0;③一个等差数列{a n }中, 若存在a k <0,a k+1<0(k ∈N),则对于任意n ∈N 都有a n <0;④一个等比数列{a n }中,若存在自然数k,使a k •a k+1<0,则对于任意n ∈N 都有a n •a n+1<0,其中正确的命题的序号是4.已知数列{a n }的通项为a n ,前前n 项和为S n ,且a n 是S n 与2的等差中项;数列{b n }中b 1=1,,点P(b n ,b n+1)在直线x–y+2 = 0上(1)求数列{a n },{b n }的通项公式a n ,b n (2)设{b n }的前项和为B n ,试比较++…+与2的大小11B 21B nB 1(3)设T n =++…,若T n <c (c ∈Z),求c 的最小值11b a 22b a nnb a 5.数列{a n }是由正数组成的等比数列,S n 是它的前项和 求证:<lgS n+12lg lg 2++n n S S参考答案：训练反馈：1.D 2.A 3.B 4.C 5.B 典型例题：例1解：由题意得：a n = b n=1∴c n =a n -b―∵函数0，+∞）上单调减()f x =()f x =∴c n >c n+1评注：此题也可用作差、作商比较c n 与c n+1例2．解：(1) ∵a 172=a 24•a 10且a 172=a 24∴a 10=1(2) ∵等比数列{a n }的公比为q∴数列{}是公比为的等比数列n a 1q1又∵a 1+a 2+…+a n >+ +…+11a 21a na 1∴437216T =>2121111[1()](1)1(1)(1)111n n n q q q qa q a q a q -->⇒->---∴∴1211n qa -⋅>19211n qqa a -⋅>⋅ ∴1192n q n ->⇒> 例3．解：（1）证明：由x 1= a>0及x n+1=可知x n >0⎪⎭⎫⎝⎛+n n x a x 21∴x n+1=≥=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n x a x 21nn x ax ⋅a ∴当n ≥2，x n ≥成立a （2）证明：n ≥2，x n ≥>0，x n+1=a ⎪⎭⎫⎝⎛+n n x a x 21 ∴x n+1- x n =- x n =≤0⎪⎭⎫⎝⎛+n n x a x 21x x nn a 221-⋅∴n ≥2时，x n ≥x n+1成立巩固与练习：1.C 2.B 3.①②④4.(1)a n =2n ,b n =2n-1(2)(3)2221211111111112231122(1)12nn n nB BB n+++=+++<++++⨯⨯=-<- 记1212nn na a aT b bb=+++ 则T 1=1/2, n ≥2时 ,231113212222n nn T +-=+= ∴2111111121()3222222n n n n n T T -+-=++++-⇒<∴又1,32n T ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭437216T => ∴ 满足条件T n <c 的最小整数c=35．分析：即证：S n •S n+2<S n+12按q=1和q ≠1分类讨论，证明。

高考数学复习专题基本不等式全国名校高考数学复优质学案、专题汇编（附详解）高考数学复专题：基本不等式一、基本不等式1.基本不等式：对于任意非负实数 $a$ 和 $b$，有 $a+b \geq 2\sqrt{ab}$，等号成立当且仅当 $a=b$。

2.算术平均数与几何平均数：设 $a>0$，$b>0$，则$a$ 和 $b$ 的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3.利用基本不等式求最值问题：1）如果积 $xy$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$。

2）如果和 $x+y$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$xy$ 有最大值 $\frac{P}{4}$。

4.常用结论：1）$a+b \geq 2ab$（$a$，$b$ 为任意实数）。

2）$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b} \geq 2(a+b)$（$a$，$b$ 为同号实数）。

3）$ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \leq (\frac{a+b}{2})^2$（$a$，$b$ 为任意实数）。

4）$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq\frac{3}{2}$（$a$，$b$，$c$ 为正实数）。

5）$2(a+b) \geq \sqrt{2}(a+b)$（$a$，$b$ 为任意实数）。

6）$\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{a+b}{2}$（$a$，$b$ 为任意实数）。

7）$a^2+b^2 \geq ab$（$a>0$，$b>0$）。

二、基本不等式在实际中的应用1.问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等。

题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解。

2.经常建立的函数模型有正（反）比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 $y=ax+b$（$a>0$，$b>0$）等。

第12讲：不等关系与不等式【学习目标】1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小．【基础知识】基本事实两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b.依据a>b⇔a－b>0. a＝b⇔a－b＝0. a<b⇔a－b<0结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小【考点剖析】考点一：不等式组表示不等关系例1．为了全面贯彻党的教育方针，落实“立德树人”的根本任务，切实改变边远地区孩子上学难的问题，某市政府准备投资1800万元兴办一所中学.经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是___________.【答案】2030, 28581800,0,0,,x yx yx y x y N【详解】设该校有初中班x个，高中班y个，则有：2030, 28581800,0,0,,x yx yx y x y N故答案为：2030, 28581800,0,0,,x yx yx y x y N变式训练1：《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意可列方程组为________.【答案】 91110813x y y x x y【详解】设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，由题意得： 91110813x y y x x y 故答案为： 91110813x y y x x y 变式训练2：A 杯中有浓度为%a 的盐水x 克，B 杯中有浓度为%b 的盐水y 克，其中A 杯中的盐水更咸一些．若将A 、B 两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为___________．【答案】ax by b a x y【详解】由题意，将A 、B 两杯盐水混合再一起后浓度为ax by x y， b a y ax by a x y x y ∵， a b x ax by b x y x y，∵A 杯中的盐水更咸一些，a b ，ax by b a x y，故答案为：ax by b a x y.变式训练3：已知b 克盐水中含有 0a b a 克盐，若给盐水加热，蒸发了 0m m b a 克水后盐水更咸了，请将这一事实表示为一个不等式：______.【答案】a ab m b 【详解】原来盐占盐水的比例为a b ，给盐水加热，蒸发了 0m m b a 克水后，盐占盐水的比例为a b m ，则a a b m b考点二：作差法比较大小（一）例2．比较231x x 与221x x 两个代数式的大小：；【答案】（1）223121x x x x ；【详解】（1） 2222312122110x x x x x x x ∵，因此，223121x x x x ；变式训练1：已知2253M x x ，242N x x ，则M ________N （用>，<，=填）【答案】＞【详解】2253M x x ，242N x x ，222225342131024M N x x x x x x x ，故M N .故答案为： .变式训练2：试比较 15x x 与 23x 的大小.【答案】2(1)(5)(3)x x x 【详解】因为222153656940x x x x x x x ，2(1)(5)(3)x x x 变式训练3：比较3x 与21x x 的大小；【答案】详解见解析；【详解】作差得：323222(1)()(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x （i）当1x 时，32(1)0x x x ，故321x x x ；（ii）当1x 时，32(1)0x x x ，故321x x x ；（iii）当1x 时，32(1)0x x x ，故321x x x .考点三：作差法比较大小（二）例3．证明不等式：（1）设0,0a b ，求证：3322a b ab a b ；（2）设,x y R ，求证：2252(2)x y x y .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】证明：（1）因为3322a b ab a b 3322a b ab a b 3232a ab b a b 2222a a b b b a 222a b a b a b a b ，因为00a b ，，所以 20a b a b ，所以33220a b ab a b ，所以3322a b ab a b ；（2）因为 22522x y x y 22542x y x y 22425x x y y22210x y ，所以 22522x y x y .变式训练1：若221a x ，22b x x ，3c x ，比较a ，b ，c 的大小.【答案】a b c .详解：∵221a x ，22b x x ，3c x ，∴22212a b x x x 222110x x x ，即a b ， 223b c x x x 223333024x x x ，即b c ，综上可得：a b c .变式训练2：已知a，b R ，比较22a b 与245a b 的大小．【答案】22245a b a b .【详解】a ∵，b R ，22245a b a b 222144a ab b 22(1)(2)0a b ，22245a b a b ，当且仅当1a ，2b 时，等号成立，两式相等．变式训练3：已知0a b ，比较22a b b a 与11a b 的大小.【答案】2211a b b a a b【详解】解：222211a b a b b a b a a b b a2211()a b b a222()()a b a b a b.∵0a b ，2()0a b ，∴222()()0a b a b a b ，当且仅当a b 时，取等号，∴2211a b b a a b.考点四：作商法比较大小例4．设 121p a a ，21q a a ，则（）A．p qB．p q C．p qD．p q 【答案】D【详解】 1222110132411p a a a a a，22131024q a a a ，则222121111a a a a a a a q a p 222222111a a a a .故p q ，当且仅当0a 时，取等号，故选：D变式训练1：2211,,()1P a a Q a R a a ，则,P Q 的大小关系为_______．【答案】≥【详解】因为22131024P a a a ，22131024a a a 则0Q 由 222224211111P a a a a a a a a Q所以P Q故答案为：变式训练2：已知0a ，0b，试比较a b 时取等号）【详解】a b2211，当且仅当ab 时等号成立，a b 时取等号）.变式训练3：设0a b ，比较2222a b a b与a b a b 的大小【答案】2222a b a b a b a b【详解】220,0,a b a b a b ∵，22220,0a b a b a b a b，.两数作商 222222a b a b a b a b a b a b a b a b a b22222211a b ab a b a b，2222a b a b a b a b.【过关检测】1、已知,a b R ，则2252a b _______42ab a ．（用“>”或“<”填空）【答案】>【详解】因为225242a b ab a 22(2)(1)1a b a ,又2(2)0a b ≥，2(1)0a ，所以2252420a b ab a ，所以225242a b ab a ，故答案为：>.2、已知0x ，则 221x 与421x x 的大小关系为_______.【答案】 221x 421x x 【详解】因为 221x 421x x 42422211x x x x x ，又0x ，所以20x .所以221x 421x x .故答案为： 221x 421x x .3、设222m a a ， 21n a ，则m ，n 的大小关系是______.【答案】m n .【详解】因为 2222110m n a a a ，所以m n .故答案为：m n .4、已知241Ma a ，122N a ，则M ________N .（填“>”或“<”）【答案】 【详解】22312(1)022M N a a a，∴M N ．故答案为： ．5、已知231M a a ，122N a，则M________N．（填“>”或“<”）【答案】 【详解】22111()0224M N a a a，∴M N ．故答案为： ．6、设x R ，231Mx x ，21N x x ，则M 与N 的大小关系为________.【答案】M N【详解】22311M N x x x x ∵222132222(1)2[(]024x x x x x ，M N故答案为：M N .7、已知a ，b 为实数，则221214a b______2ab a ．（填“＞”、“＜”、“≥”或“≤”）【答案】≥【详解】2222112121042a b ab a a b a ，当且仅当1a ，2b 取等号．故答案为：≥8、设2,1M x N x ，则M 与N 的大小关系是________.【答案】M N【详解】由作差比较法，可得22213(1)1(024M N x x x x x，所以M N .故答案为：M N .9、若 23x a a ， 34y a a ，则x 与y 的大小关系是__________.【答案】x y【详解】22233461260x y a a a a a a a a ，因此，x y .故答案为：x y .10、已知1x ，比较36x x 与26x 的大小.【答案】3266x x x .【详解】解： 32226616161x x x xx x x x ∵1x ，∴ 2610x x ∴3266x x x .11、若0x ，试比较251x 和2331x x 的大小；【答案】答案见解析；【详解】作差得： 22251331232212x x x x x x x ；所以当2x 时，2251331x x x ；当2x 时，2251331x x x ；当02x 时，2251331x x x ；12、设a 、b 为实数，比较22a b 与448a b 的值的大小.【答案】22448a b a b 【详解】由于a 、b 为实数，则 2222224484444220a ba b a a b b a b ，当且仅当22a b时，等号成立.因此，22448a b a b .13、比较221x y 与 21x y 的大小；【答案】 22121x y x y ；【详解】因为 2222211111x y x y x y ，又 2210,10x y ，所以222101x y x y ，所以 22121x y x y ；14、x R ，比较2(1)(1)2x x x 与 2(112x x x 的大小．【答案】 22111122x x x x x x【详解】由22(1)(1)(1212x x x x x x 323233331110222222x x x x x x所以 22111122x x x x x x15、设a ，b 为实数，比较22a b 与1ab a b 的大小．【答案】见解析详解：解：22(1)a b ab a b 221(222222)2a b ab a b22221[(2)(21)(21)]2a b ab a a b b 2221[()(1)(1)]2a b a b 222()0,(1)0,(1)0a b a b ∵，当且仅当1a b 时同时取等号22(1)0a b ab a b ，当且仅当1a b 时取等221a b ab a b 16、已知0a ，0b ，试比较11a b M a b 与11b a N a b的大小．【答案】当a b 时，M N =；当a b ¹时，M N .【详解】11111111a b b a a b a b M N a b a b a a b b Q 211111111a b a b a b a b a b a b a b .因为0a ，0b ，所以 110a b ， 20a b ，得0M N 当a b 时，M N =；当a b ¹时，M N .17、已知,R a b的大小．【详解】a ba ba b2，显然成立， ，当且仅当a b 时取等号.18、若0a b ，0c d ，0e ，试比较 2e a c 与 2e b d 的大小.【答案】22e e a c b d 【详解】 22ee a c b d2222e b d a c a c b d22e a b c d b a c d a c b d ∵0a b ，0c d ，0a b ，0c d ，0b a ，0c d ，0a b c d ， 0b a c d .∵0e ， 0e a b c d b a c d 又 220a c b d ， 220eea cb d ，即 22e ea cb d .19、先后两次购买同一种物品，可采取两种不同的方式，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品所花的钱数一定.甲、乙二人先后两次结伴购买同一种物品，其中甲在两次购物时采用第一种方式，乙在两次购物时采用第二种方式.已知第一次购物时该物品单价为1p ，第二次购物时该物品单价为2p （12p p ）.甲两次购物的平均价格记为1Q ，乙两次购物的平均价格记为2Q .（1）求1Q ，2Q 的表达式（用12p p ，表示）；（2）通过比较1Q ，2Q 的大小，说明哪种购物方式比较划算.【答案】（1）1212121222p p p p Q Q p p，；（2）第二种购物方式比较划算.【详解】解：（1）设甲两次购物时购物量均为m，则两次购物总花费为1p m+2p m，购物总量为2m，平均价格为1212122p m p m p p Q m .设乙两次购物时用去钱数均为n，则两次购物总花费2n，购物总量为12n n p p ，平均价格为122121222p p n Q n n p p p p =综上，1212121222p p p p Q Q p p （2）∵12p p ，∴ 2212121212121212121242022()2()p p p p p p p p p p Q Q p p p p p p 12Q Q 由此可知，第二种购物方式比较划算.20、甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.（1）若两次购买这种物品的价格分别为6元，4元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少；（2）设两次购买这种物品的价格分别为a 元，b 元(0,0)a b ，问甲、乙谁的购物比较经济合算.【答案】（1）5，245；（2）乙的购物比较经济合算.【详解】（1）设甲每次购买这种物品的数量为m ，乙每次购买这种物品所花的钱数为n ，所以甲两次购买这种物品平均价格为，645m m m m ，乙两次购买这种物品平均价格为，224564n n n .（2）设甲每次购买这种物品的数量为m ，乙每次购买这种物品所花的钱数为n ，所以甲两次购买这种物品平均价格为，2am bm a b m m ，乙两次购买这种物品平均价格为22n ab n n a b a b ，22222()42()022()2()2()a b ab a b ab a b ab a b a b a b a b a b ，所以乙的购物比较经济合算.。

3.1.1 不等关系1. 实数与数轴上的点一一对应，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。

如图，点A 表示的实数为，点B 表示的实数为，则>。

我们再看图，>表示减去所得的差是一个大于0的数即正数。

• •2. 不等关系：在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。

如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。

人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。

在数学中，我们用不等式来表示不等关系。

3. 不等式：用不等号（>、<、≥、≤、≠）表示不等关系的式子，称为不等式。

如：1<5，，均表示不等式。

注：①不等号“＞”、“＜”或“≠”叫做严格不等号，≥或≤叫做非严格不等号（相应的不等式分别叫做严格不等式和非严格不等式）．例如表示“或有一个成立，”因此１≥０或１≤１都是真的。

②不等关系与不等式的区别与联系：不等关系强调的是关系，可用符号“>”、“<”、“≠”、“≥”、“≤”表示，前三者是严格的不等关系，后两者是非严格不等关系；而不等式则是用来表现不等关系的，可用、、、、等式子表示，前三者是严格不等式，后两者是非严格不等式。

③不等式可表示常量与常量之间的不等关系，如1<5；不等式可表示常量与变量之间的不等关系，如；不等式可表示函数与函数之间的不等关系，如； a b a b a b a b a b 012>+x )()(x g x f ≥b a ≥b a >b a =b a >b a <b a ≠b a ≥b a ≤012>+x )()(x g x f ≥558，故D. 也错。

例2：某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。

据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量可能相应减少2000本。

若把提价后杂志的定价设为元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？【解析】设每本杂志价格提高元，则发行量减少万册，杂志社的销售收入为万元．根据题意，得， 化简，得例3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。