第30讲 数列的概念与通项公式

二、数列的递推公式与通项公式、前n项和公式

一、知识点回顾：

1、递推公式定义：如果已知数列na的第1项（或前几项），且任一项na与它的前一项1na（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an=11sssnn 12nn。

在数列｛an｝中，前n 项和Sn 与通项公式an 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。

注意：（1）用1nnnSSa求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n，当1n时，11Sa）；若a1 适合由an的表达式，则an 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。

（2）一般地当已知条件中含有na与nS的混合关系时，常需运用关系式1nnnSSa，先将已知条件转化为只含na或nS的关系式，然后再求解。

3、数列的通项的求法：

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

⑵已知nS（即12()naaafn）求na，用作差法：11,(1),(2)nnnSnaSSn。一般地当已知条件中含有na与nS的混合关系时，常需运用关系式1nnnSSa，先将已知条件转化为只含na或nS的关系式，然后再求解。

⑶已知12()naaafn求na，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)nfnfnanfn。

⑷若1()nnaafn求na用累加法：11221()()()nnnnnaaaaaaa

1a(2)n。

⑸已知1()nnafna求na，用累乘法：121121nnnnnaaaaaaaa(2)n。

⑹已知递推关系求na，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）。特别地有

①形如1nnakab、1nnnakab（,kb为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求na。

无穷数列有穷数列按项数

2221,21(1)2nnaanaanannnnnn常数列:递增数列:按单调性递减数列:摆动数列: 数 列

数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、通项公式，递推公式、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等.

1.数列的有关概念：

（1） 数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.

（2） 从函数的观点看，数列可以看做是一个定义域为正整数集N（或它的有限子集）的函数。当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。由于自变量的值是离散的，所以数列的值是一群孤立的点。

（3） 通项公式：如果数列na的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(nfan.如: 221nan。

（4） 递推公式：如果已知数列na的第一项（或前几项），且任何一项na与它的前一项1na（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1nnafa或),(21nnnaafa，那么这个式子叫做数列na的递推公式. 如数列na中，121nnaa，其中121nnaa是数列na的递推公式.再如:

121,2,aa12(2)nnnaaan。

2．数列的表示方法：

（1） 列举法：如1，3，5，7，9，… （2）图象法：用（n, an）孤立点表示。

（3） 解析法：用通项公式表示。 （4）递推法：用递推公式表示。

3．数列的分类：

按有界性MMM>Mnnnn有界数列:存在正数,总有项a使得a，nN无界数列:对于任何正数，总有项a使得a

4．数列{an}及前n项和之间的关系: 123nnSaaaa 11,(1),(2)nnnSnaSSn

高考文科数列知识点

一．考纲要求

内容4 要求层次

A B C

数列 数列的概念 数列的概念和表示法 √

等差数列、

等比数列 等差数列的概念 √

等比数列的概念 √

等差数列的通项公式与前n项和公式 √

等比数列的通项公式与前n项和公式 √

二．知识点

(一)数列的该概念和表示法、

（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项记作na，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n项（也叫通项）记作na；

数列的一般形式：1a，2a，3a，……，na，……，简记作 na。

（2）通项公式的定义：如果数列}{na的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式

说明：①na表示数列，na表示数列中的第n项，na= fn表示数列的通项公式；

② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。

③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……

（3）数列的函数特征与图象表示：

序号：1 2 3 4 5 6

项 ：4 5 6 7 8 9

上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N（或它的有限子集）的函数()fn当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),fff……，()fn，……．通常用na来代替fn，其图象是一群孤立的点

（4）数列分类：

①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列； ②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列

数列的概念与性质

数列，是指按照一定规律排列的一组数。数列的概念与性质是数学中非常重要的内容之一，对于我们深入了解数学的本质和应用具有重要意义。本文将重点介绍数列的概念以及数列的常见性质。

一、数列的概念

数列是指按照一定的规律排列的一组数，数列中的每一个数称为该数列的项。通常用字母 a，b，c，... 表示数列的项，a₁表示数列的第一项，a₂表示数列的第二项，以此类推。数列可以是有限的，也可以是无限的。

数列的规律可以通过给出递推公式或者直接给出数列的项来表示。递推公式是指通过前一项或前几项计算得到下一项的公式，例如斐波那契数列的规律可以表示为 aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂。直接给出数列的项可以是通过某种规律或者特征得到的，例如等差数列的项可以通过一个常数 d 与前一项的和得到。

二、数列的性质

1. 通项公式：数列中的每一项都可以通过一个公式来表示，该公式称为数列的通项公式。通项公式可以通过数列的规律或者特性来推导得到，能够用通项公式表示的数列称为解析数列。

2. 公差和公比：对于等差数列和等比数列，分别有公差和公比的概念。等差数列是指数列的相邻两项之差都相等，该公差称为等差数列的公差。等比数列是指数列的相邻两项之比都相等，该比值称为等比数列的公比。

3. 首项和末项：数列的第一项称为首项，最后一项称为末项。根据数列的规律，我们可以求得数列的首项和末项。

4. 有界性：数列可以是有界的，也可以是无界的。有界的数列是指数列的项存在上界和下界，即数列的项的取值范围是有限的；无界的数列是指数列的项没有上界或下界，即数列的项的取值范围是无限的。

5. 单调性：数列可以是单调递增的，也可以是单调递减的。单调递增的数列是指数列的项随着项的增加而增加；单调递减的数列是指数列的项随着项的增加而减小。

6. 求和公式：对于一些特殊的数列，我们可以求得其所有项的和。例如等差数列和等比数列都存在求和公式，可以直接计算数列的和。