解三角形讲义

解三角形

一、正余弦定理

[知识要点]

对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题。

一、知识要点

1、正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin。

例题1，30,2,oAba求C

2，60,3,oAab求C

3，45,2,oAab求C

正弦定理的推广应用

例题：

1．coscosaAbB，则三角形ABC是.三角形

2．C的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=2a，则ba=

3.ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知1cos24C

(I)求sinC的值；

(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长．

2、余弦定理：

222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab

a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。

例题：

1，222bcbca，则A=

2,2222bcbca,则A=

3、三角形的面积公式：

S△ABC＝21absinC＝21bcsinA＝21acsinB；

4、其他相关知识：

（1）90,222Ccba则，90,222Ccba则。

（2）因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC，

课堂训练

1.若x是三角形的最小角,则xysin的值域是

A.1,1 B.23,0 C.23,0 D.21,0

2. 在ABC△中，已知2a，3b，60B，那么角A等于

A．135 B．90 C．45 D．30

3.在ABC△中, 已知,30,2,1Bca 则ABCS

A.1 B.21 C.2 D.41

4. 在ABC△中, 已知,3,3,2cba则Ccos

A.65 B.61 C.93 D.63

5. 在ABC△中, 已知,2,4,3cba则CbBccoscos

A.2 B.3 C.4 D.5

6. 在ABC△中，5cos13B，4cos5C,Atan的值为

A.1633 B.5633 C.5633 D.1663

7. 在ABC△中,设1,1,5,4,3,5CBA，则ABC的面积等于

A．51B．01 C．7.5D．5

8. 在ABC中，若4:3:2sin:sin:sinCBA，则ABC是

A.直角三角形 B. 钝角三角形 C.锐三角形 D.等腰直角三角形

9．在ABC中，若2,3,4cba，则ABC边BC的中线AD长为

A．10B．210C．215D．25

10.在△ABC中，有等式：①sinsinaAbB；②sinsinaBbA；③coscosaBbA；④sinsinsinabcABC. 其中恒成立的等式序号为（ ） A.①,④ B.②,③ C.②,④ D.②,④

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.

11. 在△ABC中，若2223acbac，则角B的值为____________.

12.△ABC中，5,6,7,abc则BcaAbcCabcoscoscos___▲________.

13.在ABC中，如果lglglgsinlg2acB，且B为锐角，则三角形的形状是

14. 在△ABC中，45,30CB,则bca____________.

[巩固训练]

1 （06安徽理11文11）如果111ABC的三个内角的余弦值分别等于222ABC的三个内角的正弦值，则（）

A．111ABC和222ABC都是锐角三角形

B．111ABC和222ABC都是钝角三角形

C．111ABC是钝角三角形，222ABC是锐角三角形

D．111ABC是锐角三角形，222ABC是钝角三角形

2 。（06山东理4文6）4．在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，已知,3,13Aab，则c（ ）

（A）1（B）2（C）31（D）3

3．（06四川理11文11）设,,abc分别是ABC的三个内角,,ABC所对的边，则

2abbc是2AB的( )

（A）充要条件 （B）充分而不必要条件

（C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件

4．（全国1理6文8）ABC的内角A、B、C的对边分别为,,abc，若,,abc成等比数列，且2ca，则cosB( )

A．14 B．34 C．24 D．23

5（06北京理12文12）在ABC中，若sin:sin:sin5:7:8ABC，则B的大小是

______________.

6 （06湖北文11） 在ABC中，已知433a，b＝4，A＝30°，则sinB＝.

7.(2008年山东理15)已知abc，，为ABC△的三个内角ABC，，的对边，向量(31)，m，(cossin)AA，n．若mn，且coscossinaBbAcC，则角B

2（本小题满分12分）

在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA-2cosC2c-a=cosBb. （Ⅰ）求sinsinCA的值；

（Ⅱ）若cosB=14，b=2, 求△ABC的面积S.

9（06全国2文17）（１２分）

在2545,10,cos5ABCBACC中，,求

（1）?BC

(2)若点DAB是的中点，求中线CD的长度。

11在ABC中，CBA,,的对边分别是cba,,，已知CbBcAacoscoscos3.

（1）求Acos的值；(2)若332coscos,1CBa，求边c的值．

12．在ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，已知tantan31tantanABAB，7c，三角形面积为332．

⑴求C的大小；

⑵ 求ab的值．

三角函数高考题集锦

1.设向量(4cos,sin),(sin,4cos),(cos,4sin)abc

（1）若a与2bc垂直，求tan()的值；（2）求||bc的最大值;

（3）若tantan16，求证：a∥b.

2.已知向量)2,(sina与)cos,1(b互相垂直，其中(0,)2．

（1）求sin和cos的值；（2）若10sin(),0102，求cos的值．

3.已知函数f(x)=cos(2x+3)+sin2x.

（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期.

（2）设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=31，1()24cf，且C为锐角，求sinA.

4.设函数f(x)=2)0(sinsincos2cossin2xxx在x处取最小值.

(1) 求.的值

(2) 在ABC中,cba,,分别是角A,B,C的对边,已知,2,1ba23)(Af,求角C..

5. 已知函数()sin(),fxAxxR（其中0,0,02A）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2，且图象上一个最低点为2(,2)3M.

（1）求()fx的解析式；（2）当[,]122x，求()fx的值域.

6. 已知函数()sin(),fxx其中0，||2

（1）若coscossinsin0,44求的值；

（2）在（I）的条件下，若函数()fx的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于3，求函数()fx的解析式；并求最小正实数m，使得函数()fx的图像象左平移m个单位所对应的函数是偶函数。

7.设函数22()(sincos)2cos(0)fxxxx的最小正周期为23．

（1）求的最小正周期．

（2）若函数()ygx的图像是由()yfx的图像向右平移2个单位长度得到，求()ygx的单调增区间．

8.在ABC中，,AB为锐角，角,,ABC所对应的边分别为,,abc，且310cos2,sin510AB

（1）求AB的值；（2）若21ab，求,,abc的值。

9..在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且32sinacA