解三角形完整讲义

正余弦定理知识要点:1、正弦定理：或变形:2、余弦定理：或3、解斜三角形的常规思维方法是：（1 ）已知两角和一边（如A、B C）,由A+B+C = n求C,由正弦定理求a、b；（2）已知两边和夹角（如a、b、c）,应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = n求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A）,应用正弦定理求B,由A+B+C = n求C, 再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a、b、c,应余弦定理求A、B,再由A+B+C = n求角C。

4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式•5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。

6、已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S = 1/2 * absinC7、三角学中的射影定理：在△ ABC中，，… &两内角与其正弦值：在△ ABC中,,…【例题】在锐角三角形ABC中，有（B ）A. cosA>sinB 且cosB>sinAB. cosA<sinB且cosB<sinAC. cosA>sinB 且cosB<sinAD. cosA<sinB且cosB>sinA9、三角形内切圆的半径：，特别地,正弦定理专题：公式的直接应用1、已知中，，，，那么角等于（）A. B. C. D.2、在厶AB（中, a=, b =, B= 45°贝U A 等于（C ）A. 30 °B. 60 °C. 60 或120 ° D 30 或1503、的内角的对边分别为，若，则等于（）A. B. 2 C. D.4、已知△ AB（中,,,则a等于（B ）A. B. C. D.5、在△ AB（中, = 10 , B=60° ,C=4则等于（B ）A. B. C. D.6、已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则等于.（）7、△ AB（中,,,,则最短边的边长等于（A ）A . B. C . D .& △ AB（中,,的平分线把三角形面积分成两部分，则（ C ）A .B .C .D .9、在△ AB（中，证明：。

解三角形【高考会这样考】1考查正、余弦定理的推导过程.2•考查利用正、余弦定理判断三角形的形状. 3•考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法.4. 考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题.基础梳理a b c1. 正弦定理： = = 、=2R,其中R 是三角形外接圆的半径•由正弦定理可以变sin A sin B sin C形为:(1) a : b : c = sin A ： sin B: sin C;(2) a = 2R sin_ A ， b = 2R sin_ 旦 c = 2R sin_ C ；a b c(3) sin A = 2R sin B= 2R sin C = 2R 等形式，以解决不同的三角形问题.圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R, r .5•用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.2•余弦定理:a 2 =b 2 +c 2 — 2bc cos_ A, b 2 = a 2+ c 2— 2ac cos_ B, c 2 = a 2+ b 2— 2ab cos_C. 余弦定理可以变形为: cos A = 2,22b +c — a 2bc ， cos B = 2,22a + c —b 2accos C = 222a +b — c3•面积公式:1 1& ABC = q ab sin C = ^bc sinA 1r abc 1 ,A = g ac sin B=；4R = 2(a + b + c )r (R 是三角形外接6•实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角 (如图⑴)•(2)方位角(4) 坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.考向探究题型一正弦余弦定理运用【例题1】在厶ABC 中，已知a= ,3 ,b= ,2 ,B=45 ° ,求A 、C 和c.【例题2】在厶ABC 中，a 、b 、c 分别是角A , B, C 的对边，且空B =- L cosC 2a c (1) 求角B 的大小；(2) 若b= J3 , a+c=4,求厶ABC 的面积.【例题3】 (14分)△ ABC 中,角A , B, C 的对边分别为a , b , c ,且b 2+c 2-a 2+bc=0. (1)求角A 的大小；(2) 若a= .. 3，求be 的最大值;指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为a (如图(2)). ⑶ 方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°,西偏东60°等.(3) 求asin(3° C)的值.b e【变式】1. △ ABC的内角A、B C 的对边分别为a、b、e,若e= •、2 , b=、. 6 , B=120° ,则a= .2. ( ABC中, a=8,B=60 ° ,C=75 ° ,求b;(2) △ ABC中，B=30° ,b=4,e=8,求C A、a.3. 在厶ABC中，A=60°，AB=5 BC=7,则厶ABC的面积为.4. 已知△ ABC中，三个内角A，B, C的对边分别为a,b,e,若厶ABC的面积为S,且2S=( a+b)2-e2，求tanC 的值.5. 在厶ABC中，角A、B C所对的边分别为a、b、e.若(3 b-e) cosA=acosC，贝U eosA=6. 在厶ABC中,角A B、C的对边分别为a、b、。

[探索研究] 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系．如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有a sin A c =，sin b B c =，又sin 1c C c==, 则a b c c sin A sinB sinC === ，从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C== 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =, 则sin sin abA B =， 同理可得sin sin cbC B =， 从而sin sin a bA B =sin cC =思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题．（证法二）：过点A 作j AC ⊥， 由向量的加法可得 AB AC CB =+则 ()j AB j AC CB ⋅=⋅+ ∴j AB j AC j CB ⋅=⋅+⋅ ()()00cos 900cos 90-=+-j AB A j CB C ∴sin sin =c A a C ，即sin sin =a c A C 同理，过点C 作⊥j BC ，可得 sin sin =b c B C ，从而 a b c sin A sinB sinC== 类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a b c sin A sinB sinC== [理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；（2）a b c sin A sinB sinC ==等价于sin sin a b A B =，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=．一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形．（1）定理的表示形式： sin sin a b A B =sin c C==()0sin sin sin a b c k k A B C ++=>++；或sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =(0)k > c b a C B A (图1．1-2) c b a C B A (图1．1-3) c ba C BAj（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c ．由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题．如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 ()()c c c a b a b a a b b a b a b a b =⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅22222从而 2222cos c a b ab C =+-同理可证2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+- 于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+-，2222cos c a b ab C =+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc ，222cos 2+-=a c b B ac ，222cos 2+-=b a c C ba [理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角．思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若∆ABC 中，C=090，则cos 0=C ，这时222=+c a b由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．[例题分析]例1．在∆ABC 中，已知23=a ，62=+c ，060=B ，求b 及A⑴解：∵2222cos =+-b a c ac B=22(23)(62)223(62)++-⋅⋅+cos 045=212(62)43(31)++-+=8∴2 2.=b求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：⑵解法一：∵cos 222222(22)(62)(23)1,22222(62)+-++-===⨯⨯+b c a A bc ∴060.=Ac ba C B A (图1．1-5)解法二：∵sin 023sin sin45,22==⋅a A B b 又∵62+＞2.4 1.4 3.8,+= 23＜21.8 3.6,⨯=∴a ＜c ，即00＜A ＜090, ∴060.=A评述：解法二应注意确定A 的取值范围．例2．在∆ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解）解：由余弦定理的推论得： cos 2222+-=b c a A bc 22287.8161.7134.6287.8161.7+-=⨯⨯0.5543,≈05620'≈A ； cos 2222+-=c a b B ca 222134.6161.787.82134.6161.7+-=⨯⨯ 0.8398,≈03253'≈B ；0000180()180(56203253)''=-+≈-+C A B 课题: §1．1．3解三角形的进一步讨论例1．在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 分析：先由sin sin b A B a =可进一步求出B ；则0180()C A B =-+ 从而sin a C c A= 1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解． 2．当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sin a b A >，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解；（3）若sin a b A <，则无解．（以上解答过程详见课本第910页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且 sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解．[随堂练习1]（1）在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况．（2）在∆ABC 中，若1a =，12c =，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个． （3）在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，045B ∠=，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围．（答案：（1）有两解；（2）0；（3）222x <<）例2．在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断∆ABC 的类型．分析：由余弦定理可知222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆） 解：222753>+，即222a b c >+，∴ABC 是钝角三角形∆．[随堂练习2]（1）在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，判断∆ABC 的类型．（2）已知∆ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断∆ABC 的类型．（答案：（1）ABC 是钝角三角形∆；（2）∆ABC 是等腰或直角三角形）例3．在∆ABC 中，060A =，1b =，面积为32，求sin sin sin a b c A B C++++的值 分析：可利用三角形面积定理111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===以及正弦定理 sin sin abA B =sin cC ==sin sin sin a b c A B C++++ 解：由13sin 22S bc A ==得2c =， 则2222cos a b c bc A =+-=3，即3a =，从而sin sin sin a b c A B C ++++2sin a A == Ⅲ.课堂练习（1）在∆ABC 中，若55a =，16b =，且此三角形的面积2203S =，求角C（2）在∆ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且三角形的面积2224a b c S +-=，求角C（答案：（1）060或0120；（2）045）Ⅳ.课时小结（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用．Ⅴ.课后作业（1）在∆ABC 中，已知4b =，10c =，030B =，试判断此三角形的解的情况．（2）设x 、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x 的取值范围．（3）在∆ABC 中，060A =，1a =，2b c +=，判断∆ABC 的形状．（4）三角形的两边分别为3cm ，5cm,它们所夹的角的余弦为方程25760x x --=的根， 求这个三角形的面积．●板书设计●授后记课题: §1.2.1解三角形应用举例(1)●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫．其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题．对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力●重点:实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 ●难点:根据题意建立数学模型，画出示意图●教学过程Ⅰ.课题导入1、[复习旧知]复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、[设置情境]请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施．如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性．于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的．今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离．Ⅱ.讲授新课解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解[例题讲解]例1.如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC=︒51，∠ACB=︒75．求A 、B 两点的距离(精确到0.1m) 启发提问1：∆ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答．分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC 的对角，应用正弦定理算出AB 边．解：根据正弦定理，得ACB AB ∠sin = ABCAC ∠sin AB =ABC ACB AC ∠∠sin sin =ABCACB ∠∠sin sin 55 = )7551180sin(75sin 55︒-︒-︒︒ = ︒︒54sin 75sin 55 ≈ 65.7(m) 答:A 、B 两点间的距离为65.7米变式练习：两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km,灯塔A 在观察站C 的北偏东30︒，灯塔B 在观察站C 南偏东60︒，则A 、B 之间的距离为多少？ 老师指导学生画图，建立数学模型．解略：2a km例2.如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法． 分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题．首先需要构造三角形，所以需要确定C 、D 两点．根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC 和BC ，再利用余弦定理可以计算出AB 的距离．解：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD=a ，并且在C 、D 两点分别测得∠BCA=α，∠ ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA =δ，在∆ADC 和∆BDC中，应用正弦定理得AC =)](180sin[)sin(δγβδγ++-︒+a =)sin()sin(δγβδγ+++aBC =)](180sin[sin γβαγ++-︒a =)sin(sin γβαγ++a计算出AC 和BC 后，再在∆ABC 中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离 AB = αcos 222BC AC BC AC ⨯-+分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析．变式训练：若在河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得∠BCA=60︒，∠ACD=30︒，∠CDB=45︒，∠BDA =60︒(略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206)评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式．学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子．Ⅲ.课堂练习 课本第14页练习第1、2题Ⅳ.课时小结解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解Ⅴ.课后作业 课本第22页第1、2、3题●板书设计●授后记课题: §1.2.2解三角形应用举例(2)●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸．采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架．通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法．教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯．作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力●教学重点:结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题●教学难点:能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件●教学过程Ⅰ.课题导入提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题Ⅱ.讲授新课[范例讲解]例1、AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法．分析：求AB 长的关键是先求AE ，在∆ACE 中，如能求出C 点到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由C 点观察A 的仰角，就可以计算出AE 的长．解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上．由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD = a ，测角仪器的高是h ，那么，在∆ACD 中，根据正弦定理可得AC =)sin(sin βαβ-aAB = AE + h = AC αsin + h =)sin(sin sin βαβα-a + h例2、如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5404'︒，在塔底C 处测得A 处的俯角β=501'︒．已知铁塔BC 部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给时间给学生讨论思考）若在∆ABD 中求CD ，则关键需要求出哪条边呢？生：需求出BD 边．师：那如何求BD 边呢？生：可首先求出AB 边，再根据∠BAD=α求得．解:在∆ABC 中, ∠BCA=90︒+β,∠ABC =90︒-α,∠BAC=α- β,∠BAD=α.根据正弦定理, )sin(βα-BC = )90sin(β+︒AB ,所以 AB =)sin()90sin(βαβ-+︒BC =)sin(cos βαβ-BC 解Rt ∆ABD 中,得 BD =ABsin ∠BAD=)sin(sin cos βααβ-BC 将测量数据代入上式,得BD = )1500454sin(0454sin 150cos 3.27'-'''︒︒︒︒ =934sin 0454sin 150cos 3.27'''︒︒︒ ≈177 (m) CD =BD -BC ≈177-27.3=150(m)答:山的高度约为150米.师：有没有别的解法呢？生：若在∆ACD 中求CD ，可先求出AC ．师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC ？生：同理，在∆ABC 中，根据正弦定理求得．（解题过程略）例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上,行驶5km 后到达B 处,测得此山顶在东偏南25︒的方向上,仰角为8︒,求此山的高度CD.师：欲求出CD ，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？生：在∆BCD 中师：在∆BCD 中，已知BD 或BC 都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长？生：BC 边解:在∆ABC 中, ∠A=15︒,∠C= 25︒-15︒=10︒,根据正弦定理,A BC sin = CAB sin , BC =C A AB sin sin =︒︒10sin 15sin 5 ≈ 7.4524(km) CD=BC ⨯tan ∠DBC ≈BC ⨯tan8︒≈1047(m)答:山的高度约为1047米Ⅲ.课堂练习:课本第17页练习第1、2、3题Ⅳ.课时小结:利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．Ⅴ.课后作业1、 课本第23页练习第6、7、8题2、 为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B 的俯角为45︒，则塔AB 的高度为多少m ？答案：20+3320(m) ●板书设计●授后记课题: §1.2.3解三角形应用举例(3)●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题 过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力．除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透．课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三．情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神．●教学重点:能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系●教学难点:灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题●教学过程Ⅰ.课题导入[创设情境]提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题．然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题．Ⅱ.讲授新课[范例讲解]例1.如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B,然后从B 出发,沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile 后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒,距离精确到0.01n mile)学生看图思考并讲述解题思路,教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC 边所对的角∠ABC ，即可用余弦定理算出AC 边，再根据正弦定理算出AC 边和AB 边的夹角∠CAB ．解：在∆ABC 中，∠ABC=180︒- 75︒+ 32︒=137︒，根据余弦定理， AC=ABC BC AB BC AB ∠⨯⨯-+cos 222 =︒⨯⨯⨯-+137cos 0.545.6720.545.6722 ≈113.15根据正弦定理, sin ∠CAB = AC ABC BC ∠sin = 15.113137sin 0.54︒≈0.3255, 所以 ∠CAB =19.0︒, 75︒- ∠CAB =56.0︒答:此船应该沿北偏东56.1︒的方向航行,需要航行113.15n mile例2.在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30m ，至点C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进103m 至D 点，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高．师：请大家根据题意画出方位图．生：上台板演方位图（上图）教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评．解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在∆ACD 中，AC=BC=30， AD=DC=103， ∠ADC =180︒-4θ，∴θ2sin 310=)4180sin(30θ-︒ ． 因为 sin4θ=2sin2θcos2θ ∴ c os2θ=23,得 2θ=30︒∴ θ=15︒， ∴在Rt ∆ADE 中，AE=ADsin60︒=15答：所求角θ为15︒，建筑物高度为15m解法二：（设方程来求解）设DE= x ，AE=h在 Rt ∆ACE 中,(103+ x)2 + h 2=302在 Rt ∆ADE 中,x 2+h 2=(103)2两式相减，得x=53,h=15∴在 Rt ∆ACE 中,tan2θ=x h+310=33∴2θ=30︒,θ=15︒ 答：所求角θ为15︒，建筑物高度为15m解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得∠BAC=θ， ∠CAD=2θ， AC = BC =30m , AD = CD =103m在Rt ∆ACE 中，sin2θ=30x --------- ① 在Rt ∆ADE 中，sin4θ=3104, --------- ②②÷① 得 cos2θ=23,2θ=30︒,θ=15︒，AE=ADsin60︒=15 答：所求角θ为15︒，建筑物高度为15m例3.某巡逻艇在A 处发现北偏东45︒相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量．解：如图，设该巡逻艇沿AB 方向经过x 小时后在B 处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,∠ACB=︒75+︒45=︒120∴(14x) 2= 92+ (10x) 2 -2⨯9⨯10xcos ︒120∴化简得32x 2-30x-27=0，即x=23,或x=-169(舍去)所以BC = 10x =15,AB =14x =21, 又因为sin ∠BAC =AB BC ︒120sin =2115⨯23=1435 ∴∠BAC =3831'︒,或∠BAC =14174'︒（钝角不合题意，舍去），∴3831'︒+︒45=8331'︒答：巡逻艇应该沿北偏东8331'︒方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解Ⅲ.课堂练习 课本第18页练习Ⅳ.课时小结 解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解． Ⅴ.课后作业1、课本第23页练习第9、10、11题2、我舰在敌岛A 南偏西︒50相距12海里的B 处,发现敌舰正由岛沿北偏西︒10的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？（角度用反三角函数表示）●板书设计●授后记课题: §1.2.3解三角形应用举例(4)●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型．另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解．只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点．情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验●教学重点:推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目●教学难点:利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题●教学过程Ⅰ.课题导入[创设情境]师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式．在 ∆ABC 中，边BC 、CA 、AB 上的高分别记为h a 、h b 、h c ，那么它们如何用已知边和角表示？ 生：h a =bsinC=csinB,h b =csinA=asinC,h c =asinB=bsinaA师：根据以前学过的三角形面积公式S=21ah,应用以上求出的高的公式如h a =bsinC 代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=21absinC ，大家能推出其它的几个公式吗？ 生：同理可得，S=21bcsinA, S=21acsinB 师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解Ⅱ.讲授新课[范例讲解] 例1.在∆ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm 2）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5︒;（2）已知B=62.7︒,C=65.8︒,b=3.16cm;（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积．解：（1）应用S=21acsinB ，得 S=21⨯14.8⨯23.5⨯sin148.5︒≈90.9(cm 2) (2)根据正弦定理，B b sin =C c sin c = B C b sin sin S = 21bcsinA = 21b 2BA C sin sin sinA = 180︒-(B + C)= 180︒-(62.7︒+ 65.8︒)=51.5︒ S = 21⨯3.162⨯︒︒︒7.62sin 5.51sin 8.65sin ≈4.0(cm 2) (3)根据余弦定理的推论，得cosB =ca b a c 2222-+=4.417.3823.274.417.38222⨯⨯-+ ≈0.7697 sinB = B 2cos 1-≈27697.01-≈0.6384应用S=21acsinB ，得S ≈21⨯41.4⨯38.7⨯0.6384≈511.4(cm 2) 例 2.如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm 2）？师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解．由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结．解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论， cosB=ca b a c 2222-+ =6812728868127222⨯⨯-+≈0.7532 sinB=≈-27532.010.6578应用S=21acsinB S ≈21⨯68⨯127⨯0.6578≈2840.38(m 2) 答：这个区域的面积是2840.38m 2．例3.在∆ABC 中，求证：（1）;sin sin sin 222222CB A c b a +=+（2）2a +2b +2c =2（bccosA+cacosB+abcosC ） 分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明证明：（1）根据正弦定理，可设 A a sin = B b sin = Cc sin = k 显然 k ≠0，所以左边=C k B k A k c b a 222222222sin sin sin +=+ =CB A 222sin sin sin +=右边（2）根据余弦定理的推论，右边=2(bc bc a c b 2222-++ca ca b a c 2222-++ab abc b a 2222-+) =(b 2+c 2- a 2)+(c 2+a 2-b 2)+(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2+c 2=左边变式练习1：已知在∆ABC 中，∠B=30︒,b=6,c=63,求a 及∆ABC 的面积S提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数．答案：a=6,S=93;a=12,S=183变式练习2：判断满足下列条件的三角形形状，(1)acosA = bcosB, (2)sinC =BA B A cos cos sin sin ++ 提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”师：大家尝试分别用两个定理进行证明． 生1：（余弦定理）得a ⨯bc a c b 2222-+=b ⨯cab ac 2222-+ ∴c 44222)(b a b a -=-=))((2222b a b a -+,∴22222b a c b a +==或∴根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形生2：（正弦定理）得sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B, ∴2A=2B, ∴A=B∴根据边的关系易得是等腰三角形师：根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，谁的正确呢？生：第一位同学的正确．第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出2A 与2B 两个角互补，即2A+2B=180︒，A+B=90︒(2)（解略）直角三角形Ⅲ.课堂练习 课本第21页练习第1、2题Ⅳ.课时小结 利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状．特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用．Ⅴ.课后作业 课本第23页练习第12、14、15题●板书设计●授后记。

1 B 初中数学解直角三角形综合讲义一、理解概念1.产生的背景：直角三角形中三边和三角的数量关系2 明确概念：解直角三角形阐述概念：在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和2个锐角。

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形定对象：特殊的求解过程定角度：已知元素新事物：求出未知元素举例：在△举例：在△ABC ABC 中，∠中，∠C C 为直角，∠为直角，∠A A ，∠，∠B B ，∠，∠C C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c=287.4c=287.4，，∠B=42B=42°°6′，解这个直角三角形。

解：（1）∠）∠A=90A=90A=90°°- 42- 42°°6′=47=47°°5454′′（2）∵）∵ cosB= cosB=c a, , ∴∴a=c cosB=287.4a=c cosB=287.4××0.74200.7420≈≈213.3 （3）∵）∵ sinB= sinB=cb, , ∴∴b=c sinB=287.4b=c sinB=287.4××0.67040.6704≈≈192.7二、研究概念1.1.条件：条件：直角三角形2.2.构成和本质构成和本质 [ [边边] ] 两条直角边两条直角边 [ [角角] ] 有一个直角有一个直角 [ [角角]] 两锐角互余两锐角互余3.3.特征：特征： [[角角] ] 两锐角互余，∠两锐角互余，∠两锐角互余，∠A+A+A+∠∠B=90B=90°°[边] ] 勾股定理，勾股定理，勾股定理，a a 2+b 2=c2[等式的性质等式的性质] a ] a 2 =c 2—b2b 2=c 2—a2勾股定理逆定理[ [边、角边、角边、角] ] ] 锐角三角函数锐角三角函数 [ [重要线段重要线段重要线段] ] ] 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半[圆] ] 直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点 [ [特殊角特殊角特殊角] 30] 30] 30°角所对的直角边是斜边的一半°角所对的直角边是斜边的一半 45 45°角所对的直角边是斜边的°角所对的直角边是斜边的22倍4.4.下位下位无5.5.应用：应用：三、例题讲解1、在R t R t△△ABC 中，中，AD AD 是斜边BC 上的高，如果BC= a BC= a，∠，∠，∠B=B=α，那么AD 等于等于 （（ ）） （（A 级）级） A A、、 asin 2α B B、、acos 2α C C、、asin αcos α D D、、asin αtan α 对象：对象：对象：R t R t R t△△ABC 中，中，AD AD AD 角度：角度：角度： 三角函数三角函数三角函数分析：分析：R t R t R t△△ABC cosB=BC AB cos α= aAB AB= a AB= a··cos αR t R t△△ABD sin α=ABADAD= sin α·AB AD= asin αcos α2、 正方形ABCD 中，对角线BD 上一点P ，BP∶PD=1∶2，且P 到边的距离为2，则正方形的边长是，则正方形的边长是 ，BD=对象：正方形ABCD 对角线BD 上的点P P 角度：角度：角度： 直角三角形直角三角形 分析：设P 到边的距离为PE PE。

解三角形【高考会这样考】1．考查正、余弦定理的推导过程．2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．4.考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题．基础梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．面积公式：S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角A 为钝角或直角图形关系 式 a ＜b sin A a ＝b sin A b sin A ＜a ＜b a ≥b a ＞b a ≤b解的 个数无解 一解 两解 一解 一解 无解5．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 6．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))． (2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图(2))． (3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．考向探究题型一 正弦余弦定理运用【例题1】在△ABC 中，已知a=3,b=2,B=45°,求A 、C 和c. 【例题2】 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-ca b+2.（1）求角B 的大小；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的面积.【例题3】 （14分）△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2-a 2+bc=0. （1）求角A 的大小；（2）若a=3，求bc 的最大值； （3）求cb C a --︒)30sin(的值.【变式】1.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c=2，b=6，B=120°,则a= .2.（1）△ABC 中，a=8,B=60°,C=75°,求b; (2)△ABC 中，B=30°,b=4,c=8,求C 、A 、a.3.在△ABC 中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC 的面积为 .4.已知△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 的面积为S ，且2S=（a+b ）2-c 2，求tanC 的值.5. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若（3b-c ）cosA=acosC ，则cosA= .6. 在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若（a 2+c 2-b 2）tanB=3ac ，则角B 的值为 . 7. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c.已知c=2,C=3π. （1）若△ABC 的面积等于3，求a 、b 的值； （2）若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC 的面积. 题型二 判断三角形形状【例题】在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果（a 2+b 2）sin （A-B ）=（a 2-b 2）sin （A+B ），判断三角形的形状.【变式】 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B 的大小并判断△ABC 的形状. 题型三 测量距离问题 【例题】如图所示，为了测量河对岸A ，B 两点间的距离，在这岸定一基线CD ，现已测出CD ＝a 和∠ACD ＝60°，∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°，∠ADC ＝60°，试求AB 的长．【变式】 如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离． 题型四 测量高度问题【例题】如图，山脚下有一小塔AB ，在塔底B 测得山顶C 的仰角为60°，在山顶C 测得塔顶A 的俯角为45°，已知塔高AB ＝20 m ，求山高CD .【变式】如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得∠BCD ＝α，∠BDC ＝β，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB . 题型五 正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例题】如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°，求BD 的长． 【变式】 如图，在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．巩固训练1.在△ABC 中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC 一定是 三角形.2.在△ABC 中，A=120°,AB=5,BC=7，则CB sin sin 的值为 .3.已知△ABC 的三边长分别为a,b,c,且面积S △ABC =41（b 2+c 2-a 2），则A= .4.在△ABC 中，BC=2，B=3π，若△ABC 的面积为23，则tanC 为 .5.在△ABC 中，a 2-c 2+b 2=ab,则C= .6.△ABC 中，若a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),则C= .7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a=1,b=7,c=3,则B= . 8.某人向正东方向走了x 千米，他右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值是 .9.下列判断中不正确的结论的序号是 . ①△ABC 中，a=7，b=14，A=30°,有两解 ②△ABC 中，a=30,b=25,A=150°，有一解 ③△ABC 中，a=6,b=9，A=45°，有两解 ④△ABC 中，b=9,c=10,B=60°,无解10. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，并且a 2=b(b+c). （1）求证：A=2B ；（2）若a=3b,判断△ABC 的形状. 11. 在△ABC 中，cosB=-135，cosC=54.（1）求sinA 的值；（2）△ABC 的面积S △ABC =233，求BC 的长.12.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，关于x 的方程ax 2-222b c - x-b=0 (a ＞c ＞b)的两根之差的平方等于4，△ABC 的面积S=103，c=7. （1）求角C ； （2）求a ，b 的值. 13. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a+b=5，c=7，且4sin 22B A +-cos2C=27.(1)求角C 的大小； （2）求△ABC 的面积.14．(人教A 版教材习题改编)如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )． A ．50 2 m B ．50 3 m C ．25 2 m D.2522 m15．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为( )． A ．α＞β B ．α＝β C ．α＋β＝90° D ．α＋β＝180° 16．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )． A ．北偏东15° B ．北偏西15° C ．北偏东10° D ．北偏西10°17．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )． A ．5海里 B ．53海里C ．10海里 D ．103海里18．海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是________海里．19.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？ 参考答案例题答案题型一 正弦、余弦定理 【例题1】 解 ∵B=45°＜90°且asinB ＜b ＜a,∴△ABC 有两解.由正弦定理得sinA=b B a sin =245sin 3︒ =23, 则A 为60°或120°.①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°, c=BCb sin sin =︒︒45sin 75sin 2=︒︒+︒45sin )3045sin(2=226+.②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°, c=B C b sin sin =︒︒45sin 15sin 2=︒︒-︒45sin )3045sin(2=226-. 故在△ABC 中，A=60°,C=75°,c=226+或 A=120°,C=15°,c=226-. 【例题2】 解（1）由余弦定理知：cosB=ac b c a 2222-+，cosC=ab c b a 2222-+.将上式代入C B cos cos =-ca b+2得:ac b c a 2222-+·2222cb a ab -+=-c a b +2 整理得:a 2+c 2-b 2=-ac∴cosB=acb c a 2222-+=ac ac2- =-21∵B 为三角形的内角，∴B=32π.（2）将b=13,a+c=4,B=32π代入b 2=a 2+c 2-2accosB,得b 2=(a+c)2-2ac-2accosB ∴b 2=16-2ac ⎪⎭⎫ ⎝⎛-211,∴ac=3.∴S △ABC =21acsinB=433. 【例题3】解（1）∵cosA=bca cb 2222-+=bc bc2-=-21, 又∵A ∈（0°，180°），∴A=120°.（2）由a=3,得b 2+c 2=3-bc,又∵b 2+c 2≥2bc （当且仅当c=b 时取等号），∴3-bc ≥2bc(当且仅当c=b 时取等号）. 即当且仅当c=b=1时，bc 取得最大值为1.（3）由正弦定理得：===CcB b A a sin sin sin 2R, ∴CR B R C A R c b C a sin 2sin 2)30sin(sin 2)30sin(--︒=--︒=C B C A sin sin )30sin(sin --︒ =CC C C sin )60sin()sin 23cos 21(23--︒- C C C C sin 23cos 23)sin 43cos 43--==21【变式】1.22. 解（1）由正弦定理得BbA a sin sin =. ∵B=60°,C=75°,∴A=45°,∴b=︒︒⨯=45sin 60sin 8sin sin A B a =46. (2)由正弦定理得sinC=430sin 8sin ︒=b B c =1. 又∵30°＜C ＜150°,∴C=90°.∴A=180°-(B+C)=60°,a=22b c -=43. 3. 1034. 解 依题意得absinC=a 2+b 2-c 2+2ab, 由余弦定理知,a 2+b 2-c 2=2abcosC. 所以,absinC=2ab(1+cosC), 即sinC=2+2cosC,所以2sin2C cos 2C =4cos 22C 化简得：tan 2C=2.从而tanC=2tan 12tan22C C -=-34. 5.336. 3π或32π7. 解 （1）由余弦定理及已知条件，得a 2+b 2-ab=4.又因为△ABC 的面积等于3， 所以21absinC=3，所以ab=4. 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-+,4,422ab ab b a 解得⎩⎨⎧==22b a .（2）由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA, 当cosA=0时，A=2π，B=6π，a=334，b=332. 当cosA ≠0时，得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-+,2,422a b ab b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.334332b ，a所以△ABC 的面积S=21absinC=332. 题型二 判断三角形形状【例题】 解方法一 已知等式可化为a 2［sin （A-B ）-sin （A+B ）］=b 2［-sin （A+B ）-sin(A-B)］ ∴2a 2cosAsinB=2b 2cosBsinA 由正弦定理可知上式可化为：sin 2AcosAsinB=sin 2BcosBsinA ∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0 ∴sin2A=sin2B,由0＜2A,2B ＜2π 得2A=2B 或2A=π-2B, 即A=B 或A=2π-B,∴△ABC 为等腰或直角三角形. 方法二 同方法一可得2a 2cosAsinB=2b 2sinAcosB 由正、余弦定理,可得a 2b bca cb 2222-+= b 2a ac b c a 2222-+∴a 2(b 2+c 2-a 2)=b 2(a 2+c 2-b 2)即(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0 ∴a=b 或a 2+b 2=c 2∴△ABC 为等腰或直角三角形.【变式】 解 方法一 ∵2cos2B-8cosB+5=0, ∴2(2cos 2B-1)-8cosB+5=0. ∴4cos 2B-8cosB+3=0, 即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=21或cosB=23（舍去）.∴cosB=21. ∵0＜B ＜π,∴B=3π.∵a ，b ，c 成等差数列，∴a+c=2b. ∴cosB=acbc a 2222-+=acc a c a 2)2(222+-+=21， 化简得a 2+c 2-2ac=0,解得a=c. 又∵B=3π，∴△ABC 是等边三角形. 方法二 ∵2cos2B-8cosB+5=0， ∴2（2cos 2B-1）-8cosB+5=0. ∴4cos 2B-8cosB+3=0， 即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=21或cosB=23（舍去）. ∴cosB=21,∵0＜B ＜π,∴B=3π,∵a,b,c 成等差数列，∴a+c=2b. 由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin 3π=3. ∴sinA+sin ⎪⎭⎫⎝⎛-A 32π=3， ∴sinA+sin A cos 32π-cos A sin 32π=3. 化简得23sinA+23cosA=3,∴sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA =1. ∴A+6π=2π,∴A=3π, ∴C=3π,∴△ABC 为等边三角形.题型三 测量距离问题【例题】解 在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以AC ＝a .∵∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°∴∠CBD ＝45°在△BCD 中，由正弦定理可得BC ＝a sin 105°sin 45°＝3＋12a .在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝30°，所以利用余弦定理可以求得A ，B 两点之间的距离为AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 30°＝22a . 【变式】解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1 km.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA . 又∵∠ABC ＝15°在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC ，所以AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620(km)，同理，BD ＝32＋620(km)．故B 、D 的距离为32＋620 km.题型四 测量高度问题【例题】解 如图，设CD ＝x m ， 则AE ＝x －20 m ， tan 60°＝CD BD，∴BD ＝CD tan 60°＝x 3＝33x (m)．在△AEC 中，x －20＝33x ， 解得x ＝10(3＋3) m ．故山高CD 为10(3＋3) m. 【变式】解 在△BCD 中，∠CBD ＝π－α－β， 由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD ，所以BC ＝CD sin ∠BDCsin ∠CBD ＝s ·sin βsin α＋β在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s tan θsin βsin α＋β.题型五 正、余弦定理在平面几何中的综合应用 【例题】解 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°. 由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠ABC，sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BCA AB ＝9sin 30°5＝910.∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ， 于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910.同理，在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910，∠ADB ＝45°，由正弦定理：AB sin ∠BDA ＝BDsin ∠BAD，解得BD ＝922.故BD 的长为922.【变式】解 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B，∴AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6巩固训练1. 等腰；2.53；3. 45°；4. 33；5. 60°；6. 45°或135°；7. 65π； 8. 3或23；9. ①③④10.（1）证明 因为a 2=b(b+c)，即a 2=b 2+bc, 所以在△ABC 中，由余弦定理可得,cosB=acb c a 2222-+=ac bc c 22+=a cb 2+=ab a 22=b a 2=BA sin 2sin , 所以sinA=sin2B,故A=2B. （2）解 因为a=3b,所以ba=3, 由a 2=b(b+c)可得c=2b,cosB=ac b c a 2222-+=22223443b b b b -+=23,所以B=30°,A=2B=60°,C=90°. 所以△ABC 为直角三角形.11. 解 (1)由cosB=-135,得sinB=1312, 由cosC=54,得sinC=53.所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=6533. (2)由S △ABC =233,得21×AB×AC×sinA=233. 由(1)知sinA=6533,故AB×AC=65.又AC=CB AB sin sin ⨯=1320AB,故1320AB 2=65,AB=213. 所以BC=CA AB sin sin ⨯=211.12. 解 （1）设x 1、x 2为方程ax 2-222b c -x-b=0的两根，则x 1+x 2=ab c 222-，x 1·x 2=-a b .∴(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=222)(4a b c -+ab4=4. ∴a 2+b 2-c 2=ab. 又cosC=abc b a 2222-+=ab ab 2=21, 又∵C ∈(0°,180°),∴C=60°. (2)S=21absinC=103，∴ab =40 ……① 由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC, 即c 2=(a+b)2-2ab(1+cos60°). ∴72=(a+b)2-2×40×⎪⎭⎫⎝⎛+211.∴a+b=13.又∵a ＞b ……②∴由①②，得a=8,b=5.13. 解 （1）∵A+B+C=180°,由4sin 22B A +-cos2C=27, 得4cos 22C-cos2C=27,∴4·2cos 1C +-(2cos 2C-1)=27,整理,得4cos 2C-4cosC+1=0,解得cosC=21, ∵0°＜C ＜180°,∴C=60°.(2)由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2abcosC, 即7=a 2+b 2-ab,∴7=(a+b)2-3ab ， 由条件a+b=5,得7=25-3ab,ab=6, ∴S △ABC =21absinC=21×6×23=233. 14.解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B ，又∵B ＝30°∴AB ＝AC ·sin ∠ACBsin B ＝50×2212＝502(m)．答案 A15.解析 根据仰角与俯角的定义易知α＝β. 答案 B 16.解析 如图． 答案 B17.解析 如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10(海里)，在Rt △ABC 中，得AB ＝5(海里)，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)． 答案 C18.解析 由正弦定理，知BC sin 60°＝ABsin 180°－60°－75.解得BC ＝56(海里)．答案 5 619.如图，连接A 1B 2由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20， ∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，(8分) 在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船的速度为10220×60＝302(海里/时)．(12分)11。

第七章 解三角形一、基础知识在本章中约定用A ，B ，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长，2cb a p ++=为半周长。

1．正弦定理：CcB b A a sin sin sin ===2R （R 为△ABC 外接圆半径）。

推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 21sin 21sin 21B ca A bc C ab ==推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC 中，A+B=θ，解a 满足)sin(sin a ba a -=θ，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。

先证推论1，由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C ab sin 21；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ；再证推论3，由正弦定理BbA a sin sin =，所以)sin()sin(sin sin A a A a --=θθ，即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ，等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]=21-[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)]，等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A)，因为0<θ-A+a ，θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ，所以a=A ，得证。

2．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA bca cb A 2cos 222-+=⇔，下面用余弦定理证明几个常用的结论。

（1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则AD 2=.22pq qp qc p b -++ （1）【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BDcos ADB ∠， 所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠， ② 因为∠ADB+∠ADC=π，所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0， 所以q ×①+p ×②得qc 2+pb 2=(p+q)AD 2+pq(p+q)，即AD 2=.22pq qp qc p b -++ 注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.222222a c b AD -+=（2）海伦公式：因为412=∆ ABC S b 2c 2sin 2A=41b 2c 2(1-cos 2A)=41b 2c 21614)(1222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-c b a c b [(b+c)2-a 2][a 2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c). 这里.2cb a p ++=所以S △ABC =).)()((c p b p a p p ---二、方法与例题1．面积法。

解直角三角形讲义一、直角三角形的基本概念直角三角形是指其中一个角为 90 度的三角形。

在直角三角形中，90 度角所对的边称为斜边，另外两条边称为直角边。

我们通常用字母a 和b 表示两条直角边，用c 表示斜边。

二、勾股定理勾股定理是直角三角形中一个非常重要的定理，它描述了直角三角形三条边之间的数量关系。

勾股定理的内容为：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

即 a²＋ b²＝ c²。

例如，一个直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，那么斜边 c 的长度就可以通过勾股定理计算：3²＋ 4²＝ c²，9 ＋ 16 ＝ c²，25 ＝ c²，所以 c ＝ 5 。

勾股定理的应用非常广泛，可以用于求解直角三角形的边长、判断一个三角形是否为直角三角形等。

三、三角函数在直角三角形中，我们定义了三个重要的三角函数：正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）。

正弦函数：sin A ＝对边／斜边余弦函数：cos A ＝邻边／斜边正切函数：tan A ＝对边／邻边以一个锐角为 30 度的直角三角形为例，假设 30 度角所对的直角边为 1，斜边为 2，那么邻边可以通过勾股定理求出为√3 。

则 sin 30°＝ 1 ／ 2 ，cos 30°＝√3 ／ 2 ，tan 30°＝ 1 ／√3 ＝√3 ／3 。

三角函数在解决与直角三角形相关的问题中起着关键作用，通过已知的边和角的关系，可以求出其他未知的边或角。

四、解直角三角形的基本类型1、已知两条直角边 a 和 b，求斜边 c 和两个锐角的度数。

可以先通过勾股定理求出斜边 c 的长度，然后根据三角函数求出两个锐角的度数。

2、已知一条直角边 a 和斜边 c，求另一条直角边 b 和两个锐角的度数。

先利用勾股定理求出 b 的长度，再用三角函数求出锐角的度数。

3、已知一个锐角 A 和一条直角边 a，求其他边和角。