03级高等数学下学期期中试题.

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03级高等数学下学期期中试题

一、单选择（每小题4分，共16分）

1．将数坐标下的二次积分I = dfd)sin,cos(0sin242化为直角坐标下的二次积分，

则 I = [ ]

（A）dyyxfxxdx),(1012 (B) dyyxfxxdx),(11012

（C）dxyxfyyydy),(2012 (D) dxyxfyydydxyxfydy),(0212),(0012

解：积分区域D =

sin20,24)4,(xx

= 211,10),(xyxxyx

= 21,20,10,0),(2yyyxyxyyxyx

故选D。

2．将直角坐标的三次积分

I = 10),(),,(111012222xyxdZDzyxfyxdyxxdxxy2211xyx

=10,22)4,(x

化为柱面坐标下的三次积分，则I = [ ]

（A）dZZfddxx),4sin,cos(001222

（B）dZfZdZdxx),4sin,cos(00122

（C）dZZfdd),sin,cos(10102 感谢朱卫明同学帮我编辑这份word文稿！！！

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（D）dZfdZdxx),sin,cos(010122

解：积分区域1,11,10),,(2222ZyxxyxxZyx

=1,10,22),,(2ZxxZ

=10,0,20,22),,(ZZxxxZ

故选B

3．设∑为曲面x2+y2+z2=a2 (z≤0)取上侧，则当f(x,y,z)为下述哪个函数时，曲面积分0),,(dzdyzyxf,

f(x,y,z) = [ ]

(A)exsinZ (B)x3y2Z (C)xy2cos(1+Z2) (D)x4+y2

解：∑在向yaz平面内投影时要分成前后两个部分：∑前、∑后，它们在yoz平面内的投影区域相同，都是yz,(如图)，关于Z轴对称，因此dzdyzyxf),,(

=DyzDyzdydzzyzyafdydzzyzyaf),,(),,(222222

若被积函数是关于x的偶函数，则上式=0，选项D符合要求。

4.下列结论正确的是：

（A）若1,11limnnUnUnUn则发散

(B)若1212)(nnnUU收敛，则1nUn收敛

(C)若Un+1=cosUn(n=1,2,…)则1nUn收敛

(D)若1,11limnnUnUnUn则收敛

解：若,11limUnUnn则11limUnUnn，故从某一项起|Un|↗，因而0limUnn

所以1nUn发散，因此A为正确选项。

对于B，可举反例1)1(nn, 感谢朱卫明同学帮我编辑这份word文稿！！！

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对于C，因为U3=cosU3, [-1，1]，所以1≥U3≥cosU3，

于是cosUn≥cos1>0, n=3，4，… 故0limUnn，因而1nUn发散

对于D，可举反例1)1(nn。

二、填空题（每小题4分，共20分）

1.若eZ –(1+i)I = 0，则Im(z)=

解：（1+i）i = ei(ln(1+i)= )24(2lnkxiie=2ln24ike=)22(ln24kike

故：Z=)22(ln24kik，因而，Im(Z) = lnkkn,22Z。

2．设L |Z| = 2取逆时针方向，则LZZdZ)1(2=

解：在L所围区域内，)1(12ZZ有两个孤立奇点，Z=0 和Z=1

分别以这两个点为圆心，41为半径作两个小圆，L1，L2，取道时计方向，

由复合闭路定理得12222)1()1()1(LLLZZdZZZdZZZdZ

由高阶导数公式得：iZiZZdZZL2)11(!12)1(012，

由Cauchy积分公式得：iziZZdZZL2)1.(2)1(122。

故原式=022xii

3.旋转抛物面Z=x2+y2，在0≤Z≤1那部分曲面的面各S =

解：曲面22yxz(0≤z≤1,x≥0,y≥0)在xoy平面内的投影区域D为：10,20)4(

由对称性可知dddxdyyxdASD222410102444144

)155(601)241(6)41(410142322d。

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4．若向量)0()(,)(22yxyxyyxayxA为某函数u(x,y)的梯度，则a = .

解：由题设可知22)(,)(yxyuyxayxuyx，

于是的点处连续在0)(2,)()2()2(33yxyxyuyxyaaxauyxxy，因为Uxy=Uyx

故a=2.

5.设L：01222zyxzyx，其线密度μ=1，则L关于Z轴的转动愤量Iz=

解：3432)(32)(22222dsdszyxdsyxIzLLL.

轮换对称线

三、（8分）已知yxyyevux)sin(cos，求解析和数ivuf)8((单独和Z表示)

解：1)cossin(1)sin(cosyyevuyyevuxyyxxx

由xuvuyyx2,，代入上式得：1)cossin(1)sin(cosyyeuuyyeuuxxyxyx

从而得1sincosyeuyeuxyxx

由①得),(coscosyyeydxeuxx

代入②得1sin)(sinyeyyexx

因而1)(y，即cyy)( (C为常数)

故cyyeuxcos, 进而得cxyevxsin

于是)sin(cos)(cxyeicyyezfxx

=)()()sin(cosczieiciyxiyiyezx

四、（8分）计算二重积分dxdyxyxId)2(32，其中D=42),(22yxyyx ①

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解：由于区域D关于y轴对称，故ddxdyx03,ddxdyyxI22。

记;2:122yyxD 4:222yxD

则122222dddxdyyxdxdyyxI

其中932sin038.0sin2031221dddxdxdyyxId

316.02021222dddxdyyxId

故93231612III

五、计算下列曲线积分

1．（7分）dzyzdyyxdxyxIL)()()(，其中L：2122zyxyx从Z轴正向看去逆时针方向。

解：（法一）取∑为L所圈平面，由stokas公式得：

dzdyyzykyxzyxdydxdxdzdzdyI

∑上侧的单位法向量为31,31,31n，

由两类曲面积分之间的关系可得：dAdzdyI31

（法二）设L在xoy面上投影曲线为Г，由z=z-x+y得dz=-dxx+dy，

故))(2()()(dydxxdyyxdxyxI

=dyydxyxI)2()22( Green 公式 Dxydxdy

其中：Dxy:x2+y2≤1

(法三)：L的参数方程为ttztytxsincos2sincost从0到2π 感谢朱卫明同学帮我编辑这份word文稿！！！

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dtttttdttttdtttI)cos)(sincos2(cos)sin(cos)sin()sin(cos02

dtttttt)cos2sin2sincossin3(022

2.(9分) 229yxxdyydxLI，其中L为从点A（0,1）经曲线21yx至点B（0，1），

再从B点经抛物线y = x2+x-1至点C（1,1）的路戏。

解：记,9,92222yxxQyxyP

则0)9()9(2222222yxxQyxpyxyp

作上辅圆2229:yxL顺时针方向，并连接CA。

则CALLLACI，其中CALLQdypdx0

323222)11(.1122DdxdyxdyydxLQdypdxL。

31arctan31013arctan31012xpxdxAC

因则31arctan3132I

六、（10分）计算曲面积分22)1(yxdydxzdxydzdzxdyI，其中Σ是柱面x2+y2=1被平面z=0和x-y+z=2所截出的部分的外侧。

记：Σ1：0122zyx取上侧；Σ2：yxzyx2122取上侧；Σ2上的单位法向量为31,31,31n

于是dydxdxydzdzxdyI)12((22121

其中DxyDxyDxydxdydxdyyxdzyxdxdydxdydz22)2(0221，

高数下期中考试(10-11)试卷及解答

广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 1 页

学院：专业：学号：姓名：

装订线广东工业大学考试试卷 ( )

课程名称: 高等数学（二）期中测验

考试时间: 第周星期 ( 月日) 成绩:

一、填空题（每题3分,共15分）

1．已知{4,3,4}a在向量{2,2,1}b上的投影为=_ ２ ____。

2．曲线tttezteytex2,sin,cos在相应于0t的点处切线与Oz轴

夹角的正弦25sin1cos6 。

3．设10,1:yxD。则Dydyyx)cos(5＝ 32 。

4．已知曲面221zxy平行于平面2210xyz的切平面方程为_____2(1)2(1)10xyz, （其中切点P的坐标为(1,1,1)）

5. 设函数22),(yxyxyxf，则),(yxf在点)1,1(处沿变化率最大方向的方向导数为 2 。

二、单选题：（每题4分,共20分）

1．已知直线072072zyxzyx与平面0453zkyx平行，则k的值为（Ｄ）

（A） 16 (B) 17 (C) 32 (D)34

2. 改变积分次序后2210),(xxxdyyxfdx= （Ｃ）。

(A) xxdxyxfdy21110),( (B) yydxyxfdy21110),(

福建省厦门第一中学2023届高三下学期4月期中考试数学试题

福建省厦门第一中学2023届高三下学期4月期中考试数学试

题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题

．集合{}

4Axx=<

，{}

31Bxx=-<£

，则AB=I

（

）

．

{}

2xx

．

{}31xx-<£

．

{}

21xx-<£D

．

{}

32xx-<<

．若()

1i2iz+=

，其中i

为虚数单位，则z

z=（

）

．iB

．

i-C

．1D

．

．在

(2)x-的展开式中，

x的系数为（

）．

．

5-B

．5C

．

10-D

．10

．三星堆古遗址作为“长江文明之源"

，被誉为人类最伟大的考古发现之一.3

号坑发

现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.

玉琮是古人用于

祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地

合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的

外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12cm

，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点

均在球O

上，则球O

的表面积为（

）

．

72πcmB

．

162πcmC

．

216πcmD

．

288πcm

．已知圆

:4Cxy+=，直线

:lykxm=+，当

k变化时，

l截得圆

C弦长的最小值为

试卷第11页，共33页

，则

m=（

）

．

2±B

．

2±C

．

3±D

．

5±

．已知平面向量 OAuuur

，OBuuur

满足2OAOB==uuuruuur

，2OAOB×=-uuuruuur

，点D

满足 2DAOD=uuuruuur

，

为

AOBV的外心，则

OBED×uuuruuur

的值为（

）

．16

3-B

．8

3-C

．8

．16

．设椭圆C

：22

221xy

ab+=(0)ab>>

的左、右焦点分别为

，2F

，直线l

过点

若点

关于l

的对称点P

恰好在椭圆C

上，且2

1121

2FFFPa=×uuuruuuur

，则C

的离心率为（

）

．1

．2

．1

．2

高数下期中复习题

第 1 页共 4 页高等数学II期中复习题

班级姓名

一、选择题

1.函数2224ln(1)xyzxy的定义域为（）

A.222{(,)|01,4}xyxyyx B.{(,)|0,}xyyyx

C. 22{(,)|1,1}xyxyxy D. {(,)|0,11}xyxy

2.函数221ln(1)1zxyxy的定义域为（）

A.22{(,)|1,1}xyxyxy B.{(,)|0,11}xyxy

C. 222{(,)|01,4}xyxyyx D. {(,)|0,}xyyyx

3.设(,)xfxyxyy,则(+,1)fxy（）

A.xy B.2xy

C. 2()xy D. 2xy

4.设22(,)fuvuv,则(,+)fxyxy（）

A.22xy B.2()xyxy

C. 23xyx D. 23xy

5.计算Dd的值，其中D为：22425xy（）

A.23 B. 20

C. 21 D. 22

6.计算Dd的值，其中D为：||3,||2xy（）

A.6 B.4 C. 12 D. 24

第 2 页共 4 页 7.比较积分ln()Dxyd与积分2[ln()]Dxyd的大小，其中D为三角形区域，三个顶点为(1,0),(1,1),(2,0)（）

高三理科数学下学期期中试题

（）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数22i1+i等于（）

A．4i B．4i C．2i D．2i

2．不等式201xx≤的解集是（）

A．(1)(12]，， B．[12]， C．(1)[2)，， D．(12]，

3．设MN，是两个集合，则“MN”是“MN”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

4．已知函数))((Rxxfy,且对任意x都有),()2(xfxf则)(xf的最小正周期为（）

A．4 B．3 C．2 D．1

5．设随机变量服从标准正态分布(01)N，，已知(1.96)0.025，则(||1.96)P=（）

A．0.025 B．0.050 C．0.925 D．0.950

6．函数|4|)(2xxf的图象和函数2()loggxx的图象的交点个数是（）

A．4 B．3 C．2 D．1

7．已知数列213,222222222...32112,...,3217,215nn的前n项和为（）

A.1nn B. 16nn C. 161nn D. 111nn

8．随机抛掷一个材料平均的骰子，所得骰子的点数的期望等于（）

A. 16 B. 3.5 C. 6 D. 1

9．在下列图象所表示的函数中满足在点x＝a处有定义、有极限但不连续的是( )

A. B. C. D.

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