高等数学（上）期中考试试题及答案
班级 学号 姓名 得分
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．设当0x →时，2(1cos )sin x x -是ln(1)n
x +的高阶无穷小，而ln(1)n
x +又是(1)
x
x e -的高阶无穷小，则正整数n =( )
(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1
2．若21
lim(
)01
x x ax b x →∞+--=+，则,a b 分别为( ). (A) 1,1 (B) 1,1- (C) 1,1- (D) 1,0 3．考虑下列5个函数： ①x
e ； ②2
x e ； ③2
x e
-； ④arctan x ； ⑤2
arctan x ．
上述函数中，当x →∞时，极限存在的是 ( )
(A) ②③⑤ (B) ①④ (C) ③⑤ (D) ①②③⑤
4．设)(u f 二阶可导，)1
(x
f y =，则22
d d y x =( ) （A ）)1(x
f '' (B)
23
1121
()()f f x x x x
'''+ (C) 431121()()f f x x x x '''+ (D)431121()()f f x x x x
'''-
5．设2
211()f x x x x
+=+，则1()f x x '+=( )
(A) 22x x + (B) 322x x
- (C) 3
13x x - (D) 2222x x -
6．设()f x 在点0x =处可导，且(0)0f =，则0x =点是函数()
()f x x x
ϕ=的( ).
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷间断点 (D) 振荡间断点 7．设2
()()
lim
1()
x a
f x f a x a →-=--，则()f x 在点x a =处( ) (A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)一定不取得极值 (D)不一定取得极值
8．设32
()1f x x x x =--+，则在区间11[,]33
-上
(A) 函数()f x 单调减少且其图形是凹的 (B) 函数()f x 单调减少且其图形是凸的 (C) 函数()f x 单调增加且其图形是凹的 (D) 函数()f x 单调增加且其图形是凸的 9．设函数()f x 与()g x 均在[,]a b 上可导，且()0g x >，()()()()0f x g x f x g x ''-<，则当(,)x a b ∈时有不等式 ( )
(A) ()()()()f x g b f b g x < (B) ()()()()f x g x f a g a < (C) ()()()()f x g a f a g x < (D) ()()()()f x g x f b g b < 10．设函数()f x 在点0x 处可导，则000
()()
lim
h f x h f x h h
→--+=( )
(A) 0()f x ' (B) 02()f x ' (C) 0()f x '- (D) 02()f x '-
二、填空题(每小题3分,共21分)
11．设3
sin 0()0
x x x f x x a
x -⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a = .
12．设()(1)(2)()f x x x x x n =--⋅⋅⋅-，n 为正整数，则(0)f '= . 13．函数4
3
()38f x x x =-在闭区间[1,1]-上的最小值为 ．
14．若曲线1x
k y x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
具有水平渐近线3y =，则常数k = ．
15．设 1
242-=x x y ，则1n >时()
n y = .
16．抛物线2
4y x x =-在其顶点处的曲率为 .
17．设k 是正整数，且极限 2007
lim (1)k k
n n n n →∞-- 的值是非零常数，则 k ＝ ．
三、计算题(每小题5分,共40分)
18．求 011lim ln(1)x x x →⎛
⎫
-
⎪+⎝
⎭.
19. 设
0lim x
x x x c x c →∞→+⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
，求常数c 的值． 20．设2
2ln 2x
x
y x x =+++，求y '. 21．设0x
y
xy e e -+=，求0
x y =''
．
22．设33
cos sin x a t y a t
⎧=⎨=⎩, 求22d d y x . 23．设2sin 0()00
x
x f x x
x ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩
, 求()f x '.
24
．求曲线4)y x =
-的凹凸区间与拐点．
25．求内接于半径为R 的球的正圆锥体的最大体积．
四、证明题(共9分)
26．设函数(),f x ()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导且存在相等的最大值，又
()()f a g a =，()()f b g b =．证明：（1）存在(,)a b η∈，使得()()f g ηη=； （2）存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=．
参 考 答 案
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．B 2．B 3．C 4．C 5．A 6．A 7．A 8．B 9．C 10．D
