(全国通用版)2019高考数学二轮复习 12+4分项练9 直线与圆 文

12＋4分项练2 不等式与推理证明1．(2018·合肥模拟)已知非零实数a ，b 满足a |a |>b |b |，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a 3>b 3B ．a 2>b 2C.1a <1bD ．12log |a |<12log |b |答案 A解析 利用排除法：当a ＝－1，b ＝－2时，a 2>b 2与12log |a |<12log |b |都不成立，可排除选项B ，D ；当a ＝1，b ＝－2时，1a <1b不成立，可排除选项C.2．如下图是元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )答案 A解析 该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A ，故选A. 3．(2018·漳州质检)已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5≥0，3x ＋2y －10≤0，x －y ≤0，则x －2y 的最大值为( )A ．6B ．2C ．－1D ．－2 答案 C解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5≥0，3x ＋2y －10≤0，x －y ≤0表示的平面区域，如图阴影部分所示(包含边界)，平移直线z ＝x －2y ，由图可知，目标函数z ＝x －2y 过点A 时取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5＝0，x －y ＝0，解得A (1,1)，此时z ＝x －2y 取得最大值1－2＝－1，故选C.4．(2018·北京师范大学附中模拟)已知a >0，b >0，并且1a ，12，1b 成等差数列，则a ＋9b 的最小值为( )A ．16B ．9C ．5D ．4 答案 A解析 ∵1a ，12，1b 成等差数列，∴1a ＋1b＝1.∴a ＋9b ＝(a ＋9b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝10＋a b ＋9b a≥10＋2a b ·9b a ＝16，当且仅当a b ＝9b a 且1a ＋1b ＝1，即a ＝4，b ＝43时等号成立． 5．(2018·华大新高考联盟模拟)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，y ≥x ，x ≥0，则x 2＋y 2的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2B ．[0,2] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D.[]0，2答案 B解析 画出可行域如图阴影部分所示(含边界)，x 2＋y 2的几何意义是阴影内的点到原点的距离的平方，显然O 点为最小值点，而A (1,1)为最大值点，故x 2＋y 2的取值范围是[0,2]．6．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )A ．7B ．5C ．4D ．1 答案 B解析 绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，联立直线方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝－x ＋m ，可得交点坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋13，2m －13， 由目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值， 所以m ＋13－2m －13＝－1，解得m ＝5.7．有三支股票A ，B ，C,28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票，在不持有A 股票的人中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍．在持有A 股票的人中，只持有A 股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票．则只持有B 股票的股民人数是( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4答案 A解析 设只持有A 股票的人数为X (如图所示)，则持有A 股票还持有其它股票的人数为X －1(图中d ＋e ＋f 的和)，因为只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票，则只持有了B 或C 股票的人数和为X (图中b ＋c 部分)．假设只同时持有了B 和C 股票的人数为a (如图所示)，那么X ＋X －1＋X ＋a ＝28，即3X ＋a ＝29，则X 的取值可能是9,8,7,6,5,4,3,2,1.与之对应的a 值为2,5,8,11,14,17,20,23,26.因为没持有A 股票的股民中，持有B 股票的人数为持有C 股票人数的2倍，得b ＋a ＝2(c ＋a )，即X －a ＝3c ，故当X ＝8，a ＝5时满足题意，故c ＝1，b ＝7，故只持有B 股票的股民人数是7，故选A. 8．(2018·哈尔滨师范大学附属中学模拟)设点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，x －5y －1≤0，3x ＋y －3≤0，且x ∈Z ，y ∈Z ，则这样的点共有( )A ．12个B ．11个C ．10个D ．9个 答案 A解析 画出⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，x －5y －1≤0，3x ＋y －3≤0表示的可行域(含边界)，由图可知，满足x ∈Z ，y ∈Z 的(x ，y )有(－4，－1)，(－3,0)，(－2,1)，(－2,0)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，共12个．9.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C.2aba ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D解析 由AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝a ＋b2，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b2－b ＝a －b2，则FC 2＝OC 2＋OF 2＝(a －b )24＋(a ＋b )24＝a 2＋b22，再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时取等号．故选D.10．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤4，x －2y ≤2，如果目标函数z ＝x ＋ay 的最大值为163，则实数a 的值为( )A ．3 B.143C ．3或143D ．3或－113答案 D解析 先画出线性约束条件所表示的可行域(含边界)，当a ＝0时不满足题意，故a ≠0. 目标函数化为y ＝－1a x ＋1a z ，当a >0时，－1a<0，(1)当－12≤－1a <0，即a ≥2时，最优解为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43， z ＝43＋43a ＝163，a ＝3，满足a ≥2；(2)当－1a <－12，即0<a <2时，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不满足0<a <2，舍去； 当a <0时，－1a>0，(3)当0<－1a <12，即a <－2时，最优解为C (－2，－2)，z ＝－2－2a ＝163，a ＝－113，满足a <－2；(4)当－1a ≥12，即－2≤a <0时，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不满足－2≤a <0，舍去． 综上，实数a 的值为3或－113，故选D. 11．(2018·湖南省长郡中学模拟)如图，在△OMN 中，A ，B 分别是OM ，ON 的中点，若OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，且点P 落在四边形ABNM 内(含边界)，则y ＋1x ＋y ＋2的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，34 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23 答案 C解析 由题意，当P 在线段AB 上时，x ＋y ＝1，当P 点在线段MN 上时，x ＋y ＝2，∴当P 在四边形ABNM 内(含边界)时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ＋y ≤2，x ≥0，y ≥0，(*)又y ＋1x ＋y ＋2＝1x ＋1y ＋1＋1，作出不等式组(*)表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)．y ＋1x ＋1表示可行域内点(x ，y )与Q (－1，－1)连线的斜率，由图形知k QF ＝0－(－1)2－(－1)＝13，k QC ＝2－(－1)0－(－1)＝3， 即13≤y ＋1x ＋1≤3，∴13≤x ＋1y ＋1≤3，14≤1x ＋1y ＋1＋1≤34， 故选C.12．(2018·天津市河东区模拟)已知正实数a ，b ，c 满足a 2－ab ＋4b 2－c ＝0，当cab取最小值时，a ＋b －c 的最大值为( )A ．2 B.34 C.38 D.14答案 C解析 正实数a ，b ，c 满足a 2－ab ＋4b 2－c ＝0，可得c ＝a 2－ab ＋4b 2，c ab ＝a 2－ab ＋4b 2ab ＝a b ＋4b a－1≥2a b ·4ba－1＝3. 当且仅当a ＝2b 时取得等号，则当a ＝2b 时，c ab取得最小值，且c ＝6b 2， ∴a ＋b －c ＝2b ＋b －6b 2＝－6b 2＋3b＝－6⎝ ⎛⎭⎪⎫b －142＋38，∴当b ＝14时，a ＋b －c 有最大值38.13．(2018·南平模拟)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，2x －y ≤2，y ≥0，且z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)的最大值为4，则1m ＋1n的最小值为________． 答案 2解析 作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)．由可行域知可行域内的点(x ，y )均满足x ≥0，y ≥0.所以要使z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)最大，只需x 最大，y 最大即可，即在点A 处取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2x －2，解得A (2,2)．所以有2m ＋2n ＝4，即m ＋n ＝2.1m ＋1n ＝12(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m n ＋n m ＋1≥12×(2＋2)＝2. 当且仅当m ＝n ＝1时，1m ＋1n取得最小值2.14．(2018·湘潭模拟)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3≤0，2x －2y －1≤0，x －a ≥0，若x －yx ＋y的最大值为2，则z ＝x －y 的最小值为________． 答案 －158解析 令X ＝x ＋y ，Y ＝x －y ，则x ＝X ＋Y2，y ＝X －Y2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3≤0，2x －2y －1≤0，x －a ≥0等价于⎩⎪⎨⎪⎧3X ＋Y －6≤0，2Y －1≤0，X ＋Y －2a ≥0，作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，则x －y x ＋y ＝YX表示可行域内一点(X ，Y )与原点的连线的斜率， 由图象可知，当X ＝2a －12，Y ＝12时，Y X 取得最大值，则12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －12，解得a ＝38，联立⎩⎪⎨⎪⎧3X ＋Y －6＝0，X ＋Y －34＝0，解得Y ＝－158，所以z 的最小值为－158.15．中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为a 2＋b 2＝c 2(a ，b ，c ∈N *)，我们把a ，b ，c 叫做勾股数．下列给出几组勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41，以此类推，可猜测第五组勾股数的三个数依次是________． 答案 11,60,61解析 由前四组勾股数可得第五组的第一个数为11，第二，三个数为相邻的两个整数，可设为x ，x ＋1， 所以(x ＋1)2＝112＋x 2，所以x ＝60， 所以第五组勾股数的三个数依次是11,60,61.16．(2018·漳州质检)分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB 的长度为a ，在线段AB 上取两个点C ，D ，使得AC ＝DB ＝14AB ，以CD 为一边在线段AB 的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD ，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF 做相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n 个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为S n ，现给出有关数列{S n }的四个命题： ①数列{S n }是等比数列； ②数列{S n }是递增数列；③存在最小的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有S n >2 018； ④存在最大的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有S n <2 018. 其中真命题是________．(请写出所有真命题的序号) 答案 ②④解析 由题意，得图1中的线段为a ，S 1＝a ，图2中的正六边形的边长为a2，S 2＝S 1＋a2×4＝S 1＋2a ，图3中的最小正六边形的边长为a4，S 3＝S 2＋a4×4＝S 2＋a ，图4中的最小正六边形的边长为a8，S 4＝S 3＋a 8×4＝S 3＋a2，由此类推，S n －S n －1＝a2n －3(n ≥2)，即{S n }为递增数列，但不是等比数列， 即①错误，②正确；因为S n ＝S 1＋(S 2－S 1)＋(S 3－S 2)＋…＋(S n －S n －1) ＝a ＋2a ＋a ＋a 2＋…＋a 2n －3＝a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12＝a ＋4a ⎝⎛⎭⎪⎫1－12n －1<5a ，n ≥2，又S 1＝a <5a ，所以存在最大的正数a ＝2 0185，使得对任意的正整数n ，都有S n <2 018， 即④正确，③错误．。

解析 答案
(2)(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的 圆的方程为__x_2＋__y_2_－__2_x_＝__0_.
解析 答案
热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距 离法和判别式法. (1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则d<r⇔直线与 圆相交，d＝r⇔直线与圆相切，d>r⇔直线与圆相离. (2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋ B2≠0)，方程组Axx－＋aB2y＋＋Cy－＝b0，2＝r2 消去 y，得到关于 x 的一元二次方程， 其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线 与圆相交⇔Δ>0.
解析 答案
(2)圆x2＋y2－2x－4y＋3＝0的圆心到直线x－ay＋1＝0的距离为2，则a
等于
A.－1
√B.0
C.1
D.2
解析 因为(x－1)2＋y－22＝2，
|1－2a＋1| 所以 1＋a2 ＝2，所以 a＝0.
解析 答案
热点二 圆的方程及应用
1.圆的标准方程 当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别 地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2. 2.圆的一般方程
√B.有最小值 3＋2 2，无最大值
C.有最大值 3＋2 2，无最小值
D.有最小值 3－2 2，最大值 3＋2 2 押题依据 直线与圆的位置关系是高考命题的热点，本题与基本不等 式结合考查，灵活新颖，加之直线与圆的位置关系本身承载着不等关 系，因此此类题在高考中出现的可能性很大.

12＋4标准练21．复数z1＝3＋2i,z1＋z2＝1＋i，则复数z1·z2等于（）A．－4－7i B．－2－iC．1＋i D．14＋5i答案A解析根据题意可得,z2＝1＋i－3－2i＝－2－i,所以z1·z2＝(3＋2i)·（－2－i）＝－4－7i.2．集合A＝｛x｜x〈a｝，B＝{x｜log3x〈1｝,若A∪B＝{x|x<3｝，则a的取值范围是（) A．［0,3] B．(0，3] C．(－∞，3］ D．（－∞，3）答案B解析根据题意可得B＝{x|log3x<1｝＝｛x｜0〈x〈3｝,因为A∪B＝{x｜x<3｝,所以0〈a≤3.3。

如图所示，已知AB，CD是圆O中两条互相垂直的直径，两个小圆与圆O以及AB，CD均相切，则往圆O内投掷一个点,该点落在阴影部分的概率为（）A．12－8错误!B．3－2错误!C．8－5错误!D．6－4错误!答案D解析设小圆半径为r，则圆O的半径为r＋错误!r，由几何概型的公式得，往圆O内投掷一个点，该点落在阴影部分的概率为错误!＝6－4错误!。

故选D。

4．若双曲线C:错误!－错误!＝1(a〉0，b〉0）的焦点到渐近线的距离等于其实轴长，则双曲线C的离心率为（）A。

错误! B。

错误! C.错误! D．2错误!答案C解析由题意可知b＝2a，即b2＝4a2，所以c2－a2＝4a2，解得e＝错误!.5．将函数f(x)＝2sin错误!的图象向右平移φ(φ〉0)个单位长度，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的错误!（纵坐标不变），所得图象关于直线x＝错误!对称，则φ的最小值为( ）A。

错误! B.错误!C.错误!D。

错误!答案C解析函数f(x）＝2sin错误!的图象向右平移φ(φ>0）个单位长度,得到y＝2sin错误!，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的错误!（纵坐标不变)，得到y＝2sin错误!，所得图象关于直线x＝π4对称,即sin错误!＝±1，则2φ－错误!＝kπ＋错误!，φ＝错误!＋错误!，k∈Z,由φ〉0,取k＝－1，得φ的最小值为错误!，故选C.6．如图所示的程序框图，输出y的最大值是( ）A．3 B．0 C．15 D．8答案C解析当x＝－3时，y＝3;当x＝－2时,y＝0;当x＝－1时，y＝－1；当x＝0时，y＝0；当x＝1时,y＝3；当x＝2时,y＝8；当x＝3时，y＝15,x＝4，结束，所以y的最大值为15。

12＋4分项练1 集合与常用逻辑用语1．(2018·烟台适应性考试)集合A ＝{x ∈N |log 2x ≤1}，集合B ＝{x ∈Z |x 2≤5}，则A ∩B 等于( ) A ．{2} B ．{1,2} C ．{0,1,2} D ．∅答案 B解析 由题意得A ＝{x ∈N |0<x ≤2}＝{1,2}，B ＝{x ∈Z |－5≤x ≤5}＝{－2，－1,0,1,2}，∴A ∩B ＝{1,2}．2．(2018·三明质检)已知集合A ＝{}x |－1<x <3，B ＝{}x |x 2＋2x －8>0，A ∩B 等于( )A ．∅B ．(－1,2)C ．(2,3)D ．(2,4)答案 C解析 由B 中不等式变形得(x ＋4)(x －2)>0， 解得x <－4或x >2， 即B ＝{x |x <－4或x >2}， 则A ∩B ＝(2,3)．3．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1,0≤x ≤1}，集合B ＝{(x ，y )|y ＝2x ，0≤x ≤10}，则集合A ∩B 等于( ) A ．{1,2} B ．{x |0≤x ≤1} C ．{(1,2)} D ．∅答案 C解析 由题意可得，集合A 表示当0≤x ≤1时线段y ＝x ＋1上的点，集合B 表示当0≤x ≤10时线段y ＝2x 上的点，则A ∩B 表示两条线段的交点，据此可得 A ∩B ＝{(1,2)}．4．(2018·湛江模拟)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π6<π6”是“sin θ<32”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 求解绝对值不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π6<π6，可得0<θ<π3，若sin θ<32，则2k π－4π3<θ<2k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，－4π3<θ<π3，据此可得“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π6<π6”是“sin θ<32”的充分不必要条件． 5．已知集合A ＝{x |y ＝－x 2＋x ＋2，x ∈R }，B ＝{}x | ln x <1，x ∈R ，则A ∩B 等于( )A ．[－1,2]B ．(0,2]C ．[1,2]D ． [1，e]答案 B解析 求解函数y ＝－x 2＋x ＋2的定义域可得A ＝{}x |－1≤x ≤2，求解对数不等式ln x <1，可得B ＝{}x |0<x <e ， 结合交集的定义可得A ∩B ＝{}x |0<x ≤2， 表示为区间形式即(0,2]． 6．下列命题中，假命题是( ) A ．∀x ∈R ，e x>0 B ．∃x 0∈R,02x>x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1 D ．a >1，b >1是ab >1的充分不必要条件 答案 C解析 对于A ，根据指数函数y ＝e x 的性质可知，e x>0总成立，故A 正确； 对于B ，取x 0＝1，则21>12，故B 正确；对于C ，若a ＝b ＝0，则a b无意义，故C 错误，为假命题；对于D ，根据不等式的性质可得当a >1，b >1时，必有ab >1，但反之不成立，故D 正确．7．集合A ＝{x |2x 2－3x ≤0，x ∈Z }，B ＝{x |1≤2x<32，x ∈Z }，集合C 满足A ⊆C ⊆B ，则集合C 的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．8答案 D解析 由题意可得A ＝{0,1}，B ＝{0,1,2,3,4}，集合C ＝A ∪M ，其中M 为集合{2,3,4}的子集，由子集个数公式可得，C 的个数为23＝8. 故选D.8．(2018·山西省榆社中学模拟)设集合A ＝{x |x 2－6x －7<0}，B ＝{x |x ≥a }，现有下面四个命题：p 1：∃a ∈R ，A ∩B ＝∅；p 2：若a ＝0，则A ∪B ＝(－7，＋∞)； p 3：若∁R B ＝(－∞，2)，则a ∈A ；p 4：若a ≤－1，则A ⊆B .其中所有的真命题为( ) A ．p 1，p 4 B ．p 1，p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 2，p 4答案 B解析 由题意可得A ＝()－1，7，则当a ≥7时，A ∩B ＝∅，所以命题p 1正确；当a ＝0时，B ＝[0，＋∞)，则A ∪B ＝(－1，＋∞)， 所以命题p 2错误；若∁R B ＝()－∞，2，则a ＝2∈A ， 所以命题p 3正确；当a ≤－1时，A ⊆B 成立，所以命题p 4正确．9．(2018·株洲模拟)下列各组命题中，满足“‘p ∨q ’为真、‘p ∧q ’为假、‘綈q ’为真”的是( ) A ．p ：y ＝1x在定义域内是减函数；q ：f (x )＝e x ＋e －x为偶函数B ．p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0；q ：x >1是x >2成立的充分不必要条件C ．p ：x ＋9x的最小值是6；q ：直线l ：3x ＋4y ＋6＝0被圆(x －3)2＋y 2＝25截得的弦长为3D ．p ：抛物线y 2＝8x 的焦点坐标是(2,0)；q ：过椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点的最短的弦长是3答案 B解析 A ．y ＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是减函数，则命题p 是假命题，q 是真命题，则綈q 是假命题，不满足条件．B ．判别式Δ＝1－4＝－3<0，则∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0成立，即p 是真命题，x >1是x >2成立的必要不充分条件，即q 是假命题，则“‘p ∨q ’为真、‘p ∧q ’为假、‘綈q ’为真”，故B 正确． C ．当x <0 时，x ＋9x的最小值不是6，则p 是假命题，圆心到直线的距离d ＝||3×3＋632＋42＝155＝3，则弦长l ＝225－9＝8，则q 是假命题，则p ∨q ，p ∧q 为假命题，不满足条件．D ．抛物线y 2＝8x 的焦点坐标是(2,0)，则p 是真命题，椭圆的左焦点为(－1,0)，当x ＝－1 时，y 2＝94，则y ＝±32，则最短的弦长为32×2＝3，即q 是真命题，则綈q 是假命题，不满足条件．10．(2018·衡水金卷调研卷)已知a >0，命题p ：函数f (x )＝lg ()ax 2＋2x ＋3的值域为R ，命题q ：函数g (x )＝x ＋ax在区间(1，＋∞)内单调递增．若(綈p )∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0]B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13D.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，1 答案 D解析 由题意，函数f (x )＝lg ()ax 2＋2x ＋3的值域为R ，a >0，故Δ＝4－12a ≥0，解得a ≤13，故0<a ≤13，即p ：0<a ≤13；若a >0，g (x )＝x ＋a x 在区间(1，＋∞)内单调递增，即g ′(x )＝1－a x 2≥0在区间(1，＋∞)内恒成立，即a ≤x2在区间(1，＋∞)内恒成立，解得0<a ≤1，因为(綈p )∧q 是真命题，所以p 为假命题，q 为真命题，即⎩⎪⎨⎪⎧a >13，0<a ≤1，得13<a ≤1，故选D. 11．(2018·河北衡水中学模拟)下列有关命题的说法正确的是( ) A ．命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题为“若xy ＝0，则x ≠0” B ．命题“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题是真命题C ．命题“∃x 0∈R ，使得2x 20－1<0”的否定是“∀x ∈R ，都有2x 2－1<0” D ．命题“若cos x ＝cos y ，则x ＝y ”的逆否命题为真命题 答案 B解析 “若xy ＝0，则x ＝0”的否命题为“若xy ≠0，则x ≠0”，A 错误；“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题是 “若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，B 正确； “∃x 0∈R ，使得2x 20－1<0”的否定是“∀x ∈R ，都有2x 2－1≥0”，C 错误；“若cos x ＝cos y ，则x ＝y ”为假命题，所以其逆否命题也为假命题，D 错误，故选B. 12．(2018·辽宁省辽南协作校模拟)已知D ＝{(x ，y )||x |＋|y |≤1}，给出下列四个命题：p 1：∃(x 0，y 0)∈D ，x 0＋y 0≥0； p 2：∀(x ，y )∈D ，x －y ＋1≤0； p 3：∀(x ，y )∈D ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪y x ＋2≤12；p 4：∃(x 0，y 0)∈D ，x 20＋y 20≥2；其中真命题是( ) A ．p 1，p 2 B ．p 1，p 3 C ．p 3，p 4 D ．p 2，p 4答案 B解析 不等式组|x |＋|y |≤1的可行域如图阴影部分(含边界)所示．对于p 1，A (1,0)点，1＋0＝1≥0，故∃(x 0，y 0)∈D ，x 0＋y 0≥0为真命题；对于p 2，A (1,0)点，1－0＋1＝2>0，故p 2为假命题；对于p 3，yx ＋2表示的意义为点(x ，y )与点(－2,0)连线的斜率，由图可得y x ＋2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，故p 3为真命题；对于p 4，x 2＋y 2表示的意义为点(x ，y )到原点的距离的平方，由图可得x 2＋y 2≤1，故p 4为假命题． 13．若命题“∀x ∈(0，＋∞)，x ＋1x≥m ”是假命题，则实数m 的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 即“∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0<m ”为真命题，所以m >⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x min ＝2，当且仅当x ＝1时，x ＋1x取得最小值2.∴m的取值范围是(2，＋∞)．14．(2018·湖北省咸宁市高三重点高中联考)若“1<x <3”是“lg a ＋lg x <lg a ＋x2”的充分不必要条件，则正数a的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，35解析 由题意知(1,3)是lg a ＋lg x <lga ＋x2的真子集，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，x >0，ax <a ＋x 2，即()2a －1x <a .①当2a －1＝0时，a ＝12，符合题意；②当2a －1<0时，0<a <12，符合题意；③当2a －1>0时，a >12，0<x <a2a －1.由⎩⎪⎨⎪⎧a >12，a 2a －1≥3，得12<a ≤35， 综上所述，正数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，35.15．(2018·上海普陀区调研)设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ∈R， N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ＝⎝⎛⎭⎪⎫1m －1＋1(x －1)＋()|m |－1(x －2)，1≤x ≤2，若N ⊆M ，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－1,0)解析 ∵ M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ∈R ＝(0，＋∞)，N ⊆M ，∴y ＝⎝⎛⎭⎪⎫1m －1＋1(x －1)＋()|m |－1(x －2)在[1,2] 上恒为正，设f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1m －1＋1(x －1)＋()|m |－1(x －2)，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)>0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－|m |>0，1m －1＋1>0，得⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <1，m >1或m <0，即－1<m <0，实数m 的取值范围是(－1,0)．16．已知M 是集合{}1，2，3，…，2k －1(k ∈N *，k ≥2)的非空子集，且当x ∈M 时，有2k －x ∈M .记满足条件的集合M 的个数为f (k )，则f (2)＝________；f (k )＝________. 答案 3 2k－1解析 将1,2，…，2k －1分为k 组，1和2k －1,2和2k －2，……，k －1和k ＋1，k 单独一组，每组中的两个数必须同时属于或同时不属于一个满足条件的集合M ，每组属于或不属于M ，共两种情况，所以M 的可能性有2k，排除一个空集，则可能性为2k－1，即f (k )＝2k－1，f (2)＝3， 故f (2)＝3，f (k )＝2k－1.。