高中数学 第四讲《数学归纳法证明不等式》教案(1) 新人教版选修4-5

第四讲：数学归纳法证明不等式

数学归纳法证明不等式是高中选修的重点内容之一，包含数学归纳法的定义和数学归纳法证明基本步骤，用数学归纳法证明不等式。数学归纳法是高考考查的重点内容之一，在数列推理能力的考查中占有重要的地位。

本讲主要复习数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤、用数学归纳法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。

在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：

（1）在从n=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；

（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；

（3）活用起点的位置；

（4）有的试题需要先作等价变换。

例题精讲

例1、用数学归纳法证明

nnnnn212111211214131211

分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法定义，证明基本步骤

证明：

1当n=1时，左边=1-21=21，右边=111=21，所以等式成立。

2假设当n=k时，等式成立，

即kkkkk212111211214131211。

那么，当n=k+1时，

221121211214131211kkkk

221121212111kkkkk)22111(1212131214131211kkkkkk)1(21121213121kkkkk

这就是说，当n=k+1时等式也成立。

综上所述，等式对任何自然数n都成立。

点评：

数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P（n）．（1）证明当n取第一个值n0时，结论正确，即验证P（n0）正确；（2）假设n=k（k∈N且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P（k）正确推出P（k+1）正确，根据（1），（2），就可以判定命题P（n）对于从n0开始的所有自然数n都正确．

要证明的等式左边共2n项，而右边共n项。f(k)与f(k+1)相比较，左边增加两项，右边增加一项，并且二者右边的首项也不一样，因此在证明中采取了将11k与221k合并的变形方式，这是在分析了f(k)与f(k+1)的差异和联系之后找到的方法。

练习：

1.用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证( )

A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4

解析：由题意知n≥3，∴应验证n=3.答案：C

2.用数学归纳法证明412n+3n+2能被13整除，其中n∈N

证明：

(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除

(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，

42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3

=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)

∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除

∴当n=k+1时也成立.

由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除.

例2、求证：*1115,(2,)1236nnNnnn．

分析：该命题意图：本题主要考查应用数学归纳法证明不等式的方法和一般步骤。

用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．

证明：

（1）当n=2时，右边=1111534566，不等式成立．

（2）假设当*(2,)nkkkN时命题成立，即

11151236kkk．

则当1nk时， 111111(1)1(1)2331323(1)1111111()123313233151111()6313233151111()633333315115(3).63316kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

所以则当1nk时，不等式也成立．

由（1），（2）可知，原不等式对一切*2,nnN均成立．

点评：本题在由nk到1nk时的推证过程中，

（1）一定要注意分析清楚命题的结构特征，即由nk到1nk时不等式左端项数的增减情况；

（2）应用了放缩技巧：

111111113.313233333333331kkkkkkkk

例3、已知，*1111,23nSnNn，

用数学归纳法证明：*21(2,)2nnSnnN．

证明：

（1）当n=2时，22111132111234122S，∴命题成立．

（2）假设当*(2,)nkkkN时命题成立，即

2111112322kkkS．

则当1nk时，

112111111123221222kkkkkS 111111111111122122222221111211.22222kkkkkkkkkkkkk

所以则当1nk时，不等式也成立．

由（1），（2）可知，原不等式对一切*2,nnN均成立．

点评：本题在由nk到1nk时的推证过程中，

（1）不等式左端增加了2k项，而不是只增加了“112k”这一项，否则证题思路必然受阻；

（2）应用了放缩技巧：

11111111111112.2122222222kkkkkkkk

练习：

1、证明不等式：

分析

1、数学归纳法的基本步骤：

设P(n)是关于自然数n的命题，若

1°P(n0)成立(奠基)

2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.

2、用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标．

证明：（1）当n=1时，不等式成立．

（2）假设n=k时，不等式成立，即

那么，

这就是说，n=k+1时，不等式也成立．

根据（1）（2）可知不等式对n∈N+都成立．

2.求证：用数学归纳法证明 2*22()nnnN．

证明：

（1） 当n=1时， 12221，不等式成立；

当n=2时， 22222，不等式成立；

当n=3时， 32223，不等式成立．

（2）假设当*(3,)nkkkN时不等式成立，即 222kk．

则当1nk时，

1222222(22)222(1)23kkkkkk，

∵3k，∴223(3)(1)0kkkk，（*）

从而122222(1)23(1)kkkkk，

∴1222(1)kk．

即当1nk时，不等式也成立．

由（1），（2）可知，222nn对一切*nN都成立．

点评： 因为在（*）处，当3k时才成立，故起点只证n=1还不够，因此我们需注意命题的递推关系式中起点位置的推移．

3．求证：23mem，其中1m，且mN．

分析：此题是2004年广东高考数学试卷第21题的适当变形，有两种证法

证法一：用数学归纳法证明．

（1）当m=2时，44232e，不等式成立．

（2）假设*(2,)mkkkN时，有23kek， 则 2(1)22236kkeeekek，

∵2k，∴63(1)330kkk，即63(1)kk．

从而2(1)63(1)kekk，

即1mk时，亦有23mem．

由（1）和（2）知，对1,mmN都成立．

证法二：作差、放缩，然后利用二项展开式和放缩法证明．

220122223(11)332(21)123(1211)21230mmmmmemmCCCmmmmmmmmmm

∴当1m，且mN时，23mem．

例4、（2005年江西省高考理科数学第21题第（1）小题，本小题满分12分）

已知数列{}na ,:的各项都是正数且满足.),4(,21,110Nnaaaannn

证明;,21Nnaann

求数列}{na的通项公式an.

分析：近年来高考对于数学归纳法的考查，加强了数列推理能力的考查。对数列进行了考查，和数学归纳法一起，成为压轴题。

解：（1）方法一 用数学归纳法证明：

1°当n=1时，,23)4(21,10010aaaa ∴210aa，命题正确.

2°假设n=k时有.21kkaa

则111111,(4)(4)22kkkkkknkaaaaaa时

11111112()()()()(4).22kkkkkkkkkkaaaaaaaaaa

而1110,40,0.kkkkkkaaaaaa 又2111(4)[4(2)]2.22kkkkaaaa

∴1kn时命题正确.

由1°、2°知，对一切n∈N时有.21nnaa

方法二：用数学归纳法证明：

1°当n=1时，,23)4(21,10010aaaa∴2010aa；

2°假设n=k时有21kkaa成立，

令)4(21)(xxxf，)(xf在[0，2]上单调递增，

所以由假设有：),2()()(1fafafkk

即),24(221)4(21)4(2111kkkkaaaa

也即当n=k+1时 21kkaa成立，

所以对一切2,1kkaaNn有．

（2）下面来求数列的通项：],4)2([21)4(2121nnnnaaaa

所以 21)2()2(2nnaa

2,nnba令 则

21222221222121111111()()()222222nnnnnnnbbbbb

又bn=－1，所以211(),2nnb

21122()2nnnab即．

点评：

本题问给出的两种方法均是用数学归纳法证明，所不同的是：方法一采用了作差比较法；方法二利用了函数的单调性．