19.9(1)勾股定理

教学目标知识目标:掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理;并能用勾股定理解决简单的问题。

能力目标:经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学发现过程,发展合情合理的推理能力,体会“数形结合”和“特殊到一般”的思想方法。

情感目标:简单介绍古代在研究勾股定理方面取得的伟大成就。

在探索问题的过程中,培养学生的合作交流意识和探索精神。

2学情分析八年级的学生对几何证明推理有了初步的认识和理解,本节课是学生学习了三角形的有关概念及二次根式知识后,研究如何探索直角三角形三边关系的一课。

勾股定理是几何中的几个重要定理之一,它揭示了直角三角形中三边之间的数量关系,是解直角三角形的主要根据之一,将数与形紧密地联系在一起,在数学的发展和现实世界中有着广泛作用。

3重点难点教学重点:探索和验证勾股定理。

教学难点:1.在方格中通过计算面积探索勾股定理。

2.用拼图的方法验证勾股定理。

4教学过程4.1 第一学时4.1.1教学活动活动1【导入】观察图形，得出新知(一)观察图形,得出新知观察黑板上的直角三角形让人学生判断那条边最长,并说出理由,通过这一环节,得出:定理1:在直角三角形中,斜边大于直角边。

活动2【活动】创设情境，引入思考(二)创设情境,引入思考数学智慧树课件展示,引入学生讨论图中的基本元素1、看一看,算一算:红色正方形面积为( )平方单位,用边长AC表示为( );蓝色正方形面积为( )平方单位,用边长BC表示为( );绿色正方形面积为( )平方单位,用边长AB表示为( )。

得出: 在这个直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方活动3【导入】活动操作，验证定理要求如下:1、将你准备好的四个全等的直角三角形(设直角三角形的两条直角边分别为a,b,斜边c)拿出来,用这四个直角三角形拼成一个正方形.2、思考:用含a,b,c的代数式表示所拼出正方形的面积。

学生活动操作,拼图展示:并通过如下图形推出活动4【讲授】运用定理，快速解答1:在Rt△ABC中,已知∠C=90°,(1) 已知a=1, b=2,则c为( )(2) 已知a=3,c=5, 则b为( )(3) 已知b=1,c=2, 则a为( )活动5【讲授】例题讲解，运用新知例题1.在RT△ABC中,已知∠B=90°,BC =3,AC=x+3,AB=x+2 求AB的长度。

"青朱出入图"，这是一幅多么神奇的图啊！甚至不用去标 注任何文字，只要相应地涂上颜色，也能把蕴含于勾股定 理，清晰地展示在世人面前。
问题1 求下列直角三角形中未知边的长。
x 5
12
⑴
17 8
x
⑵
问题2
1.若直角三角形的两边长为3和4，则第三边为5.
（×）
2.若a、b、c为Rt△ABC的三边,则a2+b2=c2.
勾股定理
第一个证明这一定理的是公元前6世纪的希腊毕达 格拉斯学派。毕达格拉斯认为，物理世界的核心是 数学。将物理学与数学相合，证明是最富有成果的 结合。甚至到现在，如果一项科学理论能够从数学 上加以证明，人们才会认为这项科学理论是真正可 靠的。
在方格纸上任意画一个顶点都在格点上的
直角三角形；并分别以这个三角形的三边向三 角形外作正方形，仿照上面方法计算以斜边为 一边的正方形的面积，你又发现了什么？
a bc
c a
b
你会利用此图证明吗？
比较:
a bc
a b
a
bc

a b
几十年前，有些科学家从天文望远镜中看到火星上有些地区的 颜色有些季节性的变化，又看到火星上有运河模样的线条，于 是就猜想火星上有高度智慧的生物存在。怎样跟他们联系呢？ 用文字和语言他们都不一定能懂。有人就想到，中国、希腊、 埃及处在地球的不同地区，但是他们都很早并且独立的发现了 勾股定理。科学家们由此推想，如果火星上有具有智慧的生物 的话，他们也许最早知道勾股定理。火星是否有高度智慧生物？ 现在已被否定，可是人类并没有打消与地球以外生物取得联系 的努力,我国著名数学家华罗庚认为，无论是在哪个星球上，数 学都是一切有智慧生物的共同语言。如果人类要与其他星球上 的高级生物交流信息，最好是让宇宙飞船送去几个数学图形。 其中，华罗庚特别推荐了这幅'青朱出入图"。我们深信，如果外 星人真的见到了这幅图，一定很快就会明自：地球上生活着具 有高度智慧和文明的友邻,两千年前发现的勾股定理，现在在探 索宇宙奥秘的过程中仍然可以发挥作用。

19.9勾股定理上海市洪山中学郑志跃一、教学目标：1.体验勾股定理的探索过程，由特例猜想勾股定理，再由特例验证勾股定理．2.初步掌握勾股定理，能用勾股定理解决基本的有关证明或计算问题。

3.经历观察、归纳、猜想、探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．二、教学重点、难点1.探索和验证勾股定理．2.在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理．三、教学流程这节课，我们来继续研究直角三角形．观察下图，并回答问题：（1）观察图1．正方形A中含有_________个小方格，即A的面积是_________个单位面积；正方形B中含有_________个小方格，即B的面积是_________个单位面积；正方形C中含有_________个小方格，即C的面积是_________A，B，C的面积为什么会有这种关系呢？我们接着观察这三个图，你能发现什么？三个正方形的边长分别是以直角三角形的三边为边长得到的．那么，（3）的结论即C的面积=A的面积+B的面积与三角形有什么关系？这个关系说明什么？大家可以讨论、交流．［生］C是斜边上的正方形，所以C的面积是斜边的平方；A，B是两直角边上的正方形，所以A，B的面积分别是这两条直角边的平方．根据A，B，C的面积关系，我们不难发现：斜边的平方就等于两直角边的平方和．但是，我们也不难发现上面3个图中的直角三角形是等腰直角三角形？如果不是等腰直角三角形，而是一般的直角三角形，会不会也有这种三边关系呢？2．做一做（1）观察图4，图5，并填写下表：A的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）图4图5你是怎样得到上面结果的？与同伴交流．（2）三个正方形A，B，C的面积之间的关系？（让学生先独立思考，然后填写上面的表格．最后以小组为单位充分交流各自的想法，特别是在计算斜边上的正方形的面积即正方形C的求法）A的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）4 16 9 255 4 9 13我们先来观察图4，不难看出A，B分别含有16个小方格，9个小方格，所以A、B的面积分别为16个单位面积，9个单位面积，但斜边上的正方形C的面积的计算较为复杂，我们可用以下几种方法求得：第一种方法：将正方形C 分割成4个直角边长分别为3、4全等的直角三角形和中间的一个小方格，利用计算三角形面积的公式可得正方形C 的面积为4×（21×3×4）+1=24+1=25个单位面积．第二种方法：直接数正方形C 中含有多少个小方格，但需要适当的拼凑，在第一种方法中，我们将正方形分割成5部分，直角三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ和一个小方格，其中直角三角形Ⅰ、Ⅲ可拼凑成一个长和宽分别为3和4的长方形，含有12个小方格，同理Ⅱ、Ⅳ也可拼凑成12个小方格，所以正方形C 中共有12+12+1=25个小方格即C 的面积为25个单位面积．第三种方法：可将直角三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ沿正方形C 的边外翻，就得到一个边长为7个单位长度的正方形，这时正方形C 的面积就为（49－1）÷2+1=25个单位面积．图5与图4同理．我们从上表不难发现16+9=25，4+9=13即C 的面积=A 的面积+B 的面积． 正方形A ，B ，C 的面积分别是直角三角形两条直角边的平方和斜边的平方，根据三个正方形的面积关系，我们不难发现，在这个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．由图5我们也可得出同样的结论．在直角三角形中，两条直角边长度的平方和等于斜边的平方．这是由前面几个特例猜想出来的，是否合理呢？我们不妨作几个直角三角形检验一下．例如，作一个分别以5厘米、12厘米为直角边的直角三角形，然后测量斜边的长度，通过计算看一下直角三角形三边的规律还成立吗？1．作一个直角∠MCN ；2．以C 为圆心，分别以5厘米、12厘米为半径画弧交CM 、CN 于点A ，B ； 3．连结AB ．用刻度尺量出斜边AB 的长度（强调注意测量的误差）为13厘米．经检验斜边AB 2=132=169，两直角边平方和AC 2+BC 2=52+122=25+144=169．即两直角边的平方和等于斜边的平方．通过特例猜想、检验，我们不难发现，直角三角形的三边的规律是成立的，这就是我们将要介绍的重点内容——勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．读一读：古代人就对勾股定理有过深入的研究，几大文明古国都有相应的勾股定理的记载．我国是最早发现勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角．如果勾（即直角三角形中较短的直角边）等于3，股（即直角三角形中较长的直角边）等于4，那么弦（即直角三角形中的斜边）等于5，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式．因此，我们也把勾股定理称为商高定理，而把商高称为“勾股先师”．在西方，把勾股定理又称为“毕达哥拉斯”定理．相传二千多年，希腊著名数学家毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此他们还举行了一次空前规模的庆祝活动，宰杀了一百头牲畜．但因此也引发了数学的第一次危机——边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或分数来表示．关于勾股定理的记载还有很多，同学们如果有兴趣，可查阅有关这方面的资料。

2 运用“勾股定理”应注意什么问题？
3、你还有什么疑惑或没有弄懂的地方？
1
1
美丽的勾股树
再 见
3
C
4 B
例题分析
例２．已知:如图,等边△ABC的边长是 6 .
(1)求高AD的长; (2)求S△ABC .
6
A
? 3
B
D
C
……
小 结：
1这节课你学到了什么知识？
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边 为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角 边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)
图甲 图乙 4 9 A的面积 4 16 B的面积 C的面积 8 25
SA+SB=SC c
Aa
C
A a
B b
图乙
c C
b B
图甲 图甲 图乙 4 9 A的面积 4 16 B的面积 C的面积 8 25 SA+SB=SC
2.观察图乙，小方格 的边长为1. ⑵正方形A、B、C的 面积有什么关系？
SA+SB=SC C a b c c b 图甲 B SA+SB=SC
方法 小结
(4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.
(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;
(2)可用勾股定理建立方程.
已知直角三角形的两条直角边分别是6厘 米和8 厘米,求斜边上的高.
2.如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米 和4 厘米,那么 这个三角形的周长是多少厘米?
A 3 C A 4 B
图乙
A
a
C
3.猜想a、b、c 之间的关系？
2 a
2 +b
2 =c