三角函数的图像

三角函数的图象

一、知识回顾

（一）熟悉.三角函数图象的特征：

y＝tanx

y＝cotx

（二）三角函数图象的作法：

1.几何法（利用三角函数线）

2. 描点法：五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.

3. 利用图象变换作三角函数图象．

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等，重点掌握函数y＝Asin（ωx＋φ）+B的作法．

函数y＝Asin（ωx＋φ）的物理意义： 振幅|A|，周期2||T，频率1||2fT，相位;x初相（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号）， y=cosxy=sinx-11-11ooyxyx

（1）振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象.

（2）周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx替换x)由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1||倍，得到y＝sinω x的图象.

（3）相位变换或叫做左右平移．(用x＋φ替换x)由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象.

（4）上下平移（用y+(-b)替换y）由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象.

注意：由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）+B（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。

二、基本训练

1、为了得到函数)63sin(xy的图象，只需把函数xy3sin的图象 （ ）

A、向左平移6 B、向左平移18 C、向右平移6 D、向右平移18

2、函数|2|sin2)(xxf的部分图象是 （ ）

3、函数)cos(sincos2xxxy的图象一个对称中心的坐标是 （ ）

A、)0,83( B、)1,83( C、)1,8( D、)1,8(

4、（00）函数y=-xcosx的部分图象是

O O O O

x x x x y y y y

2 2 2 2

A D C B

5、已知函数axxxf1cos4sin4)(2，当]32,4[x时)(xf＝0恒有解，则a的范围是＿＿＿＿＿＿。

6、方程)3sin(||lgxx有＿＿＿个实数根。

三、例题分析

例1、已知函数)32sin(2xy。

（1）求它的振幅、周期和初相；

（2）用五点法作出它的图象；

（3）说明)32sin(2xy的图象可由xysin的图象经过怎样的变换而得到？

例2、把函数xxysincos3的图象向左平移)0(mm个单位，所得的图象关于y轴对称，求m的最小值。

例3、如图为)sin(xAy

(0,0,||)2A的图象的一段，求其解析式。

例4、受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；缺货后落潮时返回海洋。某港口水的深度y（米）是时间t（240t，单位：时）的函数，记作)(tfy，下面是该港口在某季节每天水深的数据：

t（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24

y（米） 3 3

3 65 O x y

经长期观察，)(tfy曲线可以近似地看做函数ktAysin的图象。

(1) 根据以上数据，求出函数)(tfy的近似表达式；

(2) 一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为米。如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)

(3)

例5.（00） 已知函数

（I）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（II）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

四、作业

同步练习

三角函数的图象

1、若函数)sin(3)(xxf对任意实数x，都有)4()4(xfxf，则)4(f等于

A、0 B、3 C、－3 D、3或－3

2、把函数)32cos(3xy的图象向右平移)0(mm个单位，设所得图象的解析式为)(xfy，则当)(xfy是偶函数时，m的值可以是

A、3 B、6 C、4 D、12

3、函数)20,0,)(sin(Rxxy的部分图象如图，则

A．4,2 B．6,3

C．4,4 D．45,4

4、函数),2,0)(sin(RxxAy的部分图象如图所示，则函数表达式为）

（A）)48sin(4xy （B）)48sin(4xy

（C）)48sin(4xy （D）)48sin(4xy

5、函数)62sin(3xy与y轴距离最近的对称轴是＿＿＿＿＿＿.

6、将函数)(sin)(Rxxxfy的图象向右平移4个单位后，再作关于x轴的对称变换，得到函数xy2sin21的图象，则)(xf可以是＿＿＿＿＿＿＿。

7、给出下列命题：①存在实数，使1cossin；②存在实数，使23cossin；③)225sin(xy是偶函数；④8x是函数)452sin(xy的一条对称轴方程；⑤若、是第一象限角，且，则tantan。其中正确命题的序号是＿＿＿＿＿＿＿。（注：把你认为正确命题的序号都填上）

8、函数2,0|,sin|2sin)(xxxxf的图象与直线ky有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是__________。

9、设函数f (x)的图象与直线x =a，x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积，已知函数y＝sinnx在[0，n]上的面积为n2（n∈N* ），（i）y＝sin3x在[0,32]上的面积为 ；（ii）y＝sin（3x－π）＋1在[3，34]上的面积为 .

10、已知函数)cos(sinsin2)(xxxxf。

（1）求它的振幅、周期和初相； （2）用五点法作出它的图象；

（3）说明)cos(sinsin2)(xxxxf的图象可由xysin的图象经过怎样的变换而得到？

11、若函数)(xfy的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后将所得图象先向左平移2 个单位，再向下平移1个单位，得到的曲线与xycos21的图象相同，求)(xfy的表达式。

12、函数)2||,0,0)(sin(AxAy在)32,0(x内只取到一个最大值和一个最小值，且当12x时，函数的最大值为3，当127x时，函数的最小值为－3，试求此函数的解析式。

13、设函数()sin()(0,||)2fxx，给出以下四个论断：

①它的图象关于直线12x对称；②它的图象关于点)0,3(对称；

③它的周期是； ④它在区间]0,6[上是增函数。

以其中的两个论断作为条件，余下的两个论断作为结论，写出你认为正确的两个命题，并对其中

一个命题加以证明。

参考答案：

基本练习：1、B 2、C 3、B 4、D 5、[-4, 5] 6、6

例题分析：例1（1）振幅2，周期，初相3；（2）略；（3）把xysin的图象上所有的点左移3个单位，得到)3sin(xy的图象，再把)3sin(xy的图象上的点的横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），得到)32sin(xy的图象，最后把)32sin(xy图象上点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到)32sin(2xy的图象 例2、65 例3、3sin(2)3yx

例4(1) 3sin10(024)6ytt；(2) 该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口至多停留16小时

作业：1—4、DBCA

5、直线6x 6、()2cosfxx 7、③④ 8、13k 9、32

10、振幅2，周期，初相3；（2）略；（3）把xysin的图象上所有的点右移4个单位，得到sin()4yx的图象，再把sin()4yx的图象上的点的横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），得到sin(2)4yx的图象，然后最把sin(2)4yx图象上点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到2sin(2)4yx的图象，最后把2sin(2)4yx的图象向上平移1个单位，即可得到2sin(2)14yx的图象，即)cos(sinsin2)(xxxxf的图象