江苏省泰兴市第一高级中学2015届高三物理下学期阶段练习一

2015—2016学年度第二学期期中考试高二物理（选修）一．单项选择题（每题3分，共30分）1．关于布朗运动，下列说法正确的是（）A．布朗运动是无规则的，反映了大量液体分子的运动也是无规则的B．微粒做布朗运动，充分说明了微粒内部分子是不停地做无规则运动C．布朗运动是由于悬浮微粒受周边其它微粒撞击的不平衡性引起的D．悬浮微粒越大，在相同时间内撞击它的分子数越多，布朗运动越剧烈2．如图所示，纵坐标表示两个分间引力、斥力的大小，横坐标表示两个分子的距离，图中两条曲线分别表示两分子间引力、斥力的大小随分子间距离的变化关系，e为两曲线的交点，则下列说法正确的是（）A． ab为斥力曲线，cd为引力曲线，e点横坐标的数量级为10﹣10mB． ab为引力曲线，cd为斥力曲线，e点横坐标的数量级为10﹣10mC．若两个分子间距离大于e点的横坐标，则分子间作用力表现为斥力D．若两个分子间距离越来越大，则分子势能亦越大3．如图所示，曲线M、N分别表示晶体和非晶体在一定压强下的熔化过程，图中横轴表示时间t，纵轴表示温度T．从图中可以确定的是（填选项前的字母）（）A．晶体和非晶体均存在固定的熔点T0B．曲线M的bc段表示固液共存状态C．曲线M的ab段、曲线N的ef段均表示固态D．曲线M的cd段、曲线N的fg段均表示液态4．如图所示，用导热的固定隔板把一容器隔成容积相等的甲、乙两部分，甲、乙中分别有质量相等的氮气和氧气．在达到平衡时，它们的温度必相等，若分子势能可忽略，则甲、乙中（）A．气体的压强相等 B．气体分子的平均动能相等C．气体的内能相等 D．气体分子的平均速率相等5．下列现象中，不是由于液体的表面张力而引起的是（）A．小昆虫能在水面上自由走动B ． 融化的蜡烛从燃烧的蜡烛上流下来，冷却后呈球形C ． 小孩吹出肥皂泡D ． 树叶能飘浮在水面上6. 装有炮弹的大炮总质量为M ，炮弹的质量为m ，炮筒水平放置，炮弹水平射出时相对炮口的速度为v 0，则炮车后退的速度大小为( )A ．m M v 0B ．mv 0M ＋m C ．mv 0M －mD ．v 0 7． 关于热量、功和内能三个物理量，下列说法中正确的是（ ）A ． 热量、功和内能三者的物理意义相同，只是说法不同B ． 热量、功都可以作为物体内能变化的量度C ． 热量、功和内能的单位不同D ． 功由过程决定，而热量和内能由物体的状态决定8．一定质量理想气体处于平衡状态Ⅰ，现使其温度降低而压强升高，达到平衡状态Ⅱ，则以下判断正确的是（ ）A ． 状态Ⅰ时气体的密度比状态Ⅱ时的大B ． 状态Ⅰ时各个分子的动能比状态Ⅱ时的大C ． 状态Ⅰ时分子的平均距离比状态Ⅱ时的大D ． 状态Ⅰ时单个分子对器壁平均撞击力比状态Ⅱ时小9． 有关氢原子光谱的下列说法中不正确．．．的是 A ．氢原子的发射光谱是连续谱B ．氢原子光谱说明氢原子只发出特定频率的光C ．氢原子光谱说明氢原子能级是分立的D ．氢原子光谱的频率与氢原子能级的能量差有关10．1995年科学家“制成”了反氢原子，它是由一个反质子和一个围绕它运动的正电子组成．反质子和质子有相同的质量，带有等量异种电荷．反氢原子和氢原子有相同的能级分布，氢原子能级如图所示，则下列说法中正确的是A ．反氢原子光谱与氢原子光谱不相同B．基态反氢原子的电离能是13.6eVC．基态反氢原子能吸收11eV的光子发生跃迁D．在反氢原子谱线中，从n=2能级跃迁到基态辐射光子的波长最长二．多项选择题（每题4分，选不全的得2分，有错选的不得分，共20分）11．若已知阿伏加德罗常数、物质的摩尔质量和摩尔体积，则可以计算出（）A．固体物质分子的大小和质量B．液体物质分子的大小和质量C．气体分子的大小和质量D．气体分子的质量和分子间的平均距离12．如图所示，在两个固体薄片上涂上一层很薄的石蜡，然后用烧热的钢针尖接触薄片，接触点周围的石蜡被熔化，乙片上熔化了的石蜡呈圆形，则（）A．甲片一定是晶体 B．乙片一定是非晶体C．甲片不一定是晶体 D．乙片不一定是非晶体13．卢瑟福在研究粒子轰击金箔的实验中，根据实验现象提出原子的核式结构。

泰兴市第一高级中学2015 年秋学期阶段练习一高一物理第 I部分选择题 (共 40 分)一、单项选择题（本小题共10 小题；每小题 4 分，共 20 分。

在每小题给出的四个选项中，．．．．．．．．．．．．．只有一个选项符合题目要求）．．．．．．．．．．．．1、请你判断伽利略探究物体下落规律的过程是下列的哪一个A. 猜想—问题—数学推理—实验验证—合理外推—得出结论B. 问题—猜想—实验验证—数学推理—合理外推—得出结论C.问题—猜想—数学推理—实验验证—合理外推—得出结论D.猜想—问题—实验验证—数学推理—合理外推—得出结论2、测得某短跑运动员在100m 跑步比赛中 5s 末的速度为10.4m/s，10s 末到达终点的速度是 10.2m/s，此运动员在这100m 中的平均速度为（）A 、10.4mB 、 10.3m C、 10.2m D、 10m/s3、一物体从 A 点静止开始做匀加速直线运动，先后经过 B 点和 C 点，已知它经过 B 点的速度为 v，经过 C 点的速度为 2v ，则 AB 段和 BC 段位移之比为（）A 、1:4B、1：3C、1：2D、1：14、一辆汽车沿平直公路行驶，开始以 15m/s的速度行驶了全程的 1/3 ，接着以速度 v 行驶其余的 2/3 的路程，已知全程的平均速度为18m/s，则 v 等于（）A 、18m/sB 、 36m/s C、 20m/s D、 25m/s5、物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第 4 s 内与第2 s 内的位移之差是 12 m，则可知 ()A. 第 1 s 内的位移为 6 mB. 第 2 s 末的速度为 8 m/sC. 物体运动的加速度为 2 m/s2D. 物体在第 5 s 内的平均速度为 27 m/s二、不定项选择题 (本题共 4 小题；每小题 5 分，共 20 分。

在每小题给出的四个选项中至少．．．．．．．．．．．．．．有一个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选不全的得 3 分，有选错或不答的得0．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．分。

2015江苏高考物理试卷及答案2015年普通高等学校招生统一考试江苏卷物理试题一、单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分。

每小题只有一个选项符合题意。

1.一电器中的变压器可视为理想变压器，它将220V交变电流改为110V。

已知变压器原线圈匝数为800，则副线圈匝数为（B）400.2.静电现象在自然界中普遍存在，我国早在西汉末年已有对静电现象的记载，《春秋纬·考异邮》中有“玳瑁吸衤若”之说，但下列不属于静电现象的是（C）小线圈接近通电线圈过程中，小线圈中产生电流。

3.过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51pegb”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。

该行星绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的1/20.该中心恒星与太阳的质量之比约为（D）10.4.如图所示，用天平测量匀强磁场的磁感应强度。

下列各选项所示的载流线圈匝数相同，边长MN相等，将它们分别挂在天平的右臂下方。

线圈中通有大小相同的电流，天平处于平衡状态。

若磁场发生微小变化，天平最容易失去平衡的是（D）。

5.如图所示，某“闯关游戏”的笔直通道上每隔8m设有一个关卡，各关卡同步放行和关闭，放行和关闭的时间分别为5s和2s。

关卡刚放行时，一同学立即在关卡1处以加速度2m/s2由静止加速到2m/s，然后匀速向前，则最先挡住他前进的关卡是（C）关卡4.二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共计16分。

每小题有多个选项符合题意。

全部选对的得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的得分。

6.一人乘电梯上楼，在竖直上升过程中加速度a随时间t 变化的图线如图所示，以竖直向上为a的正方向，则人对地板的压力（D）t=8.5s时最小。

7.一带正电的小球向右水平抛入范围足够大的匀强电场，电场方向向下。

不计空气阻力，则小球（B）做曲线运动。

8.在两个相同的负电荷和一个正电荷附近，电场线的分布如图所示。

泰兴市第一高级中学2015年春学期阶段练习一高 三 数 学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．． 1.设集合{}1,A a =，{}B a =，若B A ⊆，则实数a 的值为_____． 2.复数1z i =+，且)(1R a zai∈-是纯虚数，则实数a 的值为______. 3.下表是抽测某校初二女生身高情况所得的部分资料(身高单位：cm,测量时精确到1cm).已知身高在151cm 以下(含151cm)的被测女生共3人．则所有被测女生总数为 .4.已知某算法的伪代码如图所示，则可算得(1)(e)f f -+的值为 ．5.已知函数()sin()f x x ωϕ=+的图象如图所示，则()x f 的单调递减区间为 ．6. x 、y 中至少有一个小于0是x +y <0的_____________条件. (充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)7.设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 .8.已知函数()f x 的导数()f x '＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取到极大值，则实数a 的取值范围是 ．9.等比数列各项均为正数，且它的任何一项都等于它的后面两项的和，则公比q 为____.10. 已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________．11.在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>交于,A B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB =+，则r = ． 12.若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q分组 [145.5，148.5） [148.5，151.5） [151.5，154.5） [154.5，157.5） [157.5，160.5） [160.5，163.5） [163.5，166.5） [166.5，169.5]频率 0.02 0.04 0.08 0.12 0.30 0.20 0.18 0.06 第4题Read xIf 0x > Then()ln f x x ← Else()2x f x ← End If Print ()f x13xyO第5题· 1-1关于原点对称．则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则此函数的“友好点对”有________对．13.已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________． 14. 设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，1sin(2)22C π-=，且222a b c +<. （1）求角C 的大小； （2）求a bc+的取值范围．16. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ⊥PB ，BP ＝BC ，E 为PC 的中点．（1）求证：AP ∥平面BDE ； （2）求证：BE ⊥平面PAC ．PBCDEA(第16题图)17.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，椭圆C 的上、下顶点分别为A 1，A 2，左、右顶点分别为B 1，B 2,左、右焦点分别为F 1，F 2．原点到直线A 2B 2的距离为255． （1）求椭圆C 的方程；（2）P 是椭圆上异于A 1，A 2的任一点,直线PA 1，PA 2，分别交x 轴于点N ，M ,若直线OT 与过点M ，N 的圆G 相切，切点为T .证明：线段OT 的长为定值,并求出该定值.18.由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量()P t （单位：吨）与上市时间t （单位：月）的关系大致如图（1）所示的折线ABCDE 表示，销售价格()Q t （单位：元／千克）与上市时间t （单位：月）的大致关系如图（2）所示的抛物线段GHR 表示（H 为顶点）．（1）请分别写出()P t ,()Q t 关于t 的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份？（2）图（1）中由四条线段所在直线．．．．围成的平面区域为M ，动点(,)P x y 在M 内（包括边界），求5z x y =-的最大值；(3) 由（2），将动点(,)P x y 所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算（如1233x y ≤-≤类比为2313x y≤≤），试列出(,)P x y 所满足的条件，并求出相应的最大值．（图1） （图2）MxyT GPONA 1 A 2B 1B 2F 1F 219. 已知函数()()()f x x x a x b =--，点(,()),(,())A s f s B t f t ．（1）若0,3a b ==，函数()f x 在(,3)t t +上既能取到极大值，又能取到极小值，求t 的取值范围； （2） 当0a =时，()ln 10f x x x ++≥对任意的1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，求b 的取值范围； （3）若0a b <<，函数()f x 在x s =和x t =处取得极值，且23a b +<，O 是坐标原点， 证明：直线OA 与直线OB 不可能垂直.20.在数列{}n a 中，11a =，且对任意的k ∈*N ，21221,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q ．（1）若k q = 2（k ∈*N ），求13521k a a a a -++++；（2）若对任意的k ∈*N ，k a 2,12+k a ,22+k a 成等差数列，其公差为k d ，设11k k b q =-． ① 求证：{}k b 成等差数列，并指出其公差； ②若1d =2，试求数列{}k d 的前k 项的和k D ．数学附加题（春第一阶段练习）1.设a ＞0，b ＞0，若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b 把圆C ：x 2＋y 2＝1变换为椭圆E ：x 24＋y 23＝1．（1）求a ，b 的值；（2）求矩阵A 的逆矩阵A －1．2.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x 轴的正半轴重合.若直线l 的极坐标方程为23)4sin(=-πθρ.(1)把直线l 的极坐标方程化为直角坐标系方程;(2)已知P 为椭圆1916:22=+y x C 上一点,求P 到直线l 的距离的最大值.班 级_________ 姓 名_________ 考试号_________3.如图，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝PA ＝1，AD ＝3，E 是PB 的中点． （1）求证：AE ⊥平面PBC ； （2）求二面角B －PC －D 的余弦值．4.设等差数列{}n a 的首项为1，公差d （*d ∈N ），m 为数列{}n a 中的项．（1）若d =3，试判断()1mx x+的展开式中是否含有常数项？并说明理由；（2）证明：存在无穷多个d ，使得对每一个m ，()1mx x+的展开式中均不含常数项．PABC DE高三数学春阶段一参考答案1. 02. 13. 504.325. ()8781,Z 333k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦6. 必要不充分7.4327 8. (－1,0) 9. 512- 10. x ±2y ＝0 11. 10 12. 213. 2 14. [－1，1]15. 解：（1）（法一）因为222a b c +<，由余弦定理得，222cos 02a b c C ab+-=<，所以∠C 为钝角． ………………………2分因为1sin(2)22C π-=，32222C πππ<-<，所以5226C ππ-=，解得23C π∠=.6分（法二）因为222a b c +<，由余弦定理得，222cos 02a b c C ab+-=<，所以∠C 为钝角.2分所以22C ππ<<，又cos 2sin(22C C π=--)，所以1cos 22C =-，解得423C π=，即23C π∠=． …………………6分 （2）（法一）由（1）得，,033B A A ππ∠=-∠ <<，根据正弦定理得，sin sin()sin sin 3sin sin A A a b A B c C Cπ+-++== ………………8分 2312[sin (cos sin )]sin()22333A A A A π=+-=+， ……………11分因为2333A πππ<+<，所以3sin()123A π<+≤，从而a b c +的的取值范围是23(1,]3． ……………………………14分 （法二）由（1）得，23C π∠=，根据余弦定理得，2222222cos 3c a b ab a b ab π=+-=++ …………………………8分22223()()()()24a b a b ab a b a b +=+-≥+-=+，所以2423(),33a b a b c c ++≤ ≤， ………………………………………11分 又,a b a b c c ++> >1，从而a b c +的的取值范围是23(1,]3． ……………14分 16. 证：（1）设AC ∩BD ＝O ，连结OE ．因为ABCD 为矩形，所以O 是AC 的中点．因为E 是PC 中点，所以OE ∥AP ． …………………………4分因为AP /平面BDE ，OE 平面BDE ，所以AP ∥平面BDE ． ………………………………6分 （2）因为平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ， 所以BC ⊥平面PAB ． ………………………8分 因为AP 平面PAB ，所以BC ⊥PA ．因为PB ⊥PA ，BC ∩PB ＝B ，BC ，PB 平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC ． …………………12分 因为BE 平面PBC ，所以PA ⊥BE ．因为BP ＝PC ，且E 为PC 中点，所以BE ⊥PC ． 因为PA ∩PC ＝P ，PA ，PC 平面PAC ，所以BE ⊥平面PAC ． ………………………14分 17. 17．（1）因为椭圆C 的离心率e ＝32， 故设a ＝2m ，c ＝3m ，则b ＝m ． 直线A 2B 2方程为 bx －ay －ab ＝0，即mx －2my －2m 2＝0． 所以2m2m 2＋4m 2＝255，解得m ＝1．………………… 4分所以 a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 24＋y 2＝1． ………………… 6分（2）由（1）可知A 1(0，1) A 2(0，－1),设P (x 0，y 0), 直线PA 1：y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0,得x N ＝－x 0y 0－1； 直线PA 2：y ＋1＝y 0＋1x 0x ，令y ＝0,得x M ＝x 0y 0＋1；………………… 8分 解法一:设圆G 的圆心为(12(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)，h ),则r 2＝[12(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)－x 0y 0＋1]2＋h 2＝14(x 0y 0＋1＋x 0y 0－1)2＋h 2．OG 2＝14(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)2＋h 2．OT 2＝OG 2－r 2＝14(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)2＋h 2－14(x 0y 0＋1＋x 0y 0－1)2－h 2＝x 021－y 02．…………… 10分而x 024＋y 02＝1，所以x 02＝4(1－y 02)，所以OT 2＝4，所以OT ＝2,即线段OT 的长度为定值2. ………………… 14分解法二:OM ·ON ＝|(－x 0y 0－1)·x 0y 0＋1|＝x 021－y 02,而x 024＋y 02＝1，所以x 02＝4(1－y 02)，所以OM ·ON ＝4．由切割线定理得OT 2＝OM ·ON ＝4．所以OT ＝2,即线段OT 的长度为定值2. ………………… 14分18.解：(1)503,136,()1169,7912t t t t P t t t t t -+≤≤⎧⎪-<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎪-<≤⎩ ………………… 1分21()(4)6(012)16Q t t t =--+≤≤． …………………2分21()()(1)[(4)6]16P t Q t t t ⋅=---+ （36)t <≤……………… 3分'23(()())[(3)33]16P t Q t t ⋅=---0>在(3,6]t ∈恒成立，所以函数在]6,3(上递增当t =6时，max [()()]P t Q t =34.5．………………… 5分∴6月份销售额最大为34500元 ．………… 6分 (2) ⎩⎨⎧≤-≤≤+≤71115y x y x ，z =x —5y ．令x —5y=A (x +y )+B(x —y )，则⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧-=-=+3251B A B A B A ，………………… 8分 ∴z =x —5y=—2(x +y )+3(x —y )．由10)(222-≤+-≤-y x ,21)(33≤-≤y x ， ∴1911z -≤≤,则(z )max =11 ． ……………… 12分(3)类比到乘法有已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤71115y x xy ,求5y x z =的最大值．由5y x =(xy )A·(y x )B ⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧-=-=+3251B A B A B A ．∴251)(12112≤≤-xy ,343)(13≤≤xy ∴253431211≤≤z ，则(z )max = 25343． ………………… 16分19. 解：（1）当0,3a b ==时，322()3,'()36f x x x f x x x =-=-，令'()0f x =得0,2x =，根据导数的符号可以得出函数()f x 在0x =处取得极大值，在2x =处取得极小值．函数()f x 在(,3)t t +上既能取到极大值，又能取到极小值， 则只要0t <且32t +>即可，即只要10t -<<即可． 所以t 的取值范围是(1,0)-． ………………… 4分（2）当0a =时，()ln 10f x x x ++≥对任意的1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立， 即2ln 10x bx x -++≥对任意的1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，也即ln 1x b x x x ≤++在对任意的1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立．…………………6分令ln 1()x g x x x x =++，则22221ln 1ln '()1x x xg x x x x--=+-=． 记2()ln m x x x =-，则2121'()2x m x x x x-=-=，则这个函数在其定义域内有唯一的极小值点22x =，…………………8分故也是最小值点，所以212()()ln 0222m x m ≥=->， 从而'()0g x >，所以函数()g x 在1[,)2+∞单调递增．函数min 15()2ln 222g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．故只要52ln 22b ≤-即可．所以b 的取值范围是5(,2ln 2]2-∞- ………………… 10分（3）假设OA OB ⊥，即0OA OB =， 即(,())(,())()()0s f s t f t st f s f t =+=， 故()()()()1s a s b t a t b ----=-，即22()()1st s t a a st s t b b ⎡⎤⎡⎤-++-++=-⎣⎦⎣⎦．由于,s t 是方程'()0f x =的两个根，…………………12分故2(),,033abs t a b st a b +=+=<<．代入上式得2()9ab a b -=．229()()4423612a b a b ab ab ab +=-+=+≥=，…………………14分即23a b +≥，与23a b +<矛盾，所以直线OA 与直线OB 不可能垂直．…………………16分 20. 解：（1）因为k q = 2，所以21214k k a a +-=，故13521,,,,k a a a a -是首项为1，公比为4的等比数列，所以13521141(41)143k kk a a a a --++++==--， ……………………4分（2）①因为k a 2,12+k a ,22+k a 成等差数列，所以212+k a =k a 2+22+k a ， 而21222211,k k k k k k a a a a q q ++++==⋅，所以112k k q q ++=，即111kk kq q q +--=，……7分 得1111111k k k k q q q q +==+---，即111111k k q q +-=--，所以11k k b b +-=， 所以{}k b 成等差数列，且公差为1． ……………………………………9分②因为1d =2，所以，则由223212a a a =⨯=+，解得22a =或21a =-，…………10分 当22a =时，q 1= 2，所以b 1=1，则b k =1+（k —1）= k ，即11k k q =-，得1k k q k +=， 所以221211)k k a k a k +-+=(， 则2222212132112123112)))11)11k k k k k a a a k k a a k a a a k k +-+--+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(⋅(⋅⋅⋅⋅⋅(⋅=(+-，……12分则2212(1)(1)1k k ka k a k k k q k++===++， 所以2121k k k d a a k +=-=+，故(3)2k k k D +=，……………………………14分 当21a =-时，q 1= -1，所以b 1=12-，则b k =12-+（k —1）= k 32-，即1312k k q =--，得12123232k k k q k k --==--，所以2212121)23k k a k a k +--=(-， 则2222212132112123121231)))11)23251k k k k k a a a k k a a k a a a k k +-+----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(⋅(⋅⋅⋅⋅⋅(⋅=(2----，所以2212(21)(21)(23)2123k k ka k a k k k q k +-===----， 则21242k k k d a a k +=-=-，故22k D k =，综上所述，(3)2k k k D +=或22k D k =． …………………………………16分高三数学春阶段一（附加）参考答案1.设a ＞0，b ＞0，若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b 把圆C ：x 2＋y 2＝1变换为椭圆E ：x 24＋y 23＝1．（1）求a ，b 的值；（2）求矩阵A 的逆矩阵A －1．解（1）：设点P （x ，y ）为圆C ：x 2＋y 2＝1上任意一点，经过矩阵A 变换后对应点为P ′（x ′，y ′）则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax by ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎨⎧x ′＝ax ，y ′＝by ．． ………………2分因为点P ′（x ′，y ′）在椭圆E ：x 24＋y 23＝1上， 所以a 2x 24＋b 2y 23＝1，这个方程即为圆C 方程． ………………6分所以⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝3．，因为a ＞0，b ＞0，所以a ＝2，b ＝3． ………………8分（2）由（1）得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 33． ………………10分2.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x 轴的正半轴重合.若直线l 的极坐标方程为23)4sin(=-πθρ.(1)把直线l 的极坐标方程化为直角坐标系方程;(2)已知P 为椭圆1916:22=+y x C 上一点,求P 到直线l 的距离的最大值. 解：(1)直线l 的极坐标方程sin 324ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则22sin cos 3222ρθρθ-=, 即sin cos 6ρθρθ-=,所以直线l 的直角坐标方程为60x y -+=; ……………4分(2)P 为椭圆221169x y C +=:上一点,设(4cos 3sin )P αα,,其中[02)α∈π,,………6分 则P 到直线l 的距离|4cos 3sin 6||5cos()6|22d αααϕ-+++==,其中4cos 5ϕ=所以当cos()1αϕ+=时,d 的最大值为1122…………………10分3.如图，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝PA ＝1，AD ＝3，E 是PB 的中点． （1）求证：AE ⊥平面PBC ； （2）求二面角B －PC －D 的余弦值．（1）根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，3，0)，P (0，0，1)，E (12，0，12)，→AE ＝(12，0，12)，→BC ＝(0，1，0)，→BP ＝(－1，0，1)．因为→AE ·→BC ＝0，→AE ·→BP ＝0， 所以→AE ⊥→BC ，→AE ⊥→BP ． 所以AE ⊥BC ，AE ⊥BP ．因为BC ，BP 平面PBC ，且BC ∩BP ＝B ，所以AE ⊥平面PBC ． ………………4分 （2）设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·→CD ＝0，n ·→PD ＝0．因为→CD ＝(－1，2，0)，→PD ＝(0，3，－1)，所以－x ＋2y ＝0，3y －z ＝0． 令x ＝2，则y ＝1，z ＝3．所以n ＝(2，1，3)是平面PCD 的一个法向量． ………………8分 因为AE ⊥平面PBC ，所以→AE 是平面PBC 的法向量． 所以cos<→AE ，n >＝→AE ·n |→AE |·|n |＝5714．由此可知，→AE 与n 的夹角的余弦值为5714．根据图形可知，二面角B －PC －D 的余弦值为－5714． ………………10分PAB CDEPABCD Exyz4.设等差数列{}n a 的首项为1，公差d （*d ∈N ），m 为数列{}n a 中的项．（1）若d =3，试判断()1mx x+的展开式中是否含有常数项？并说明理由；（2）证明：存在无穷多个d ，使得对每一个m ，()1mx x+的展开式中均不含常数项．（1）解：因为{}n a 是首项为1，公差为3的等差数列，所以32n a n =-．………1分 假设()1m x x +的展开式中的第r +1项为常数项（r ∈N ）， ()3211C C rm r r m rr r mmT x xx--+==⋅，于是302m r -=.…………3分 设32m n =-()*n ∈N ，则有3322n r -=，即423r n =-，这与r ∈N 矛盾.所以假设不成立，即()1mx x+的展开式中不含常数项. ……………5分（2）证明：由题设知a n =1(1)n d +-，设m =1(1)n d +-，由（1）知，要使对于一切m ，()1mx x+的展开式中均不含常数项，必须有：对于*n ∈N ，满足31(1)2n d r +--=0的r 无自然数解，…………6分即22(1)33d r n =-+∉N .当d =3k ()*k ∈N 时，222(1)2(1)333d r n k n =-+=-+∉N . …………………8分故存在无穷多个d ，满足对每一个m ，()1mx x +的展开式中均不含常数项．……10分。