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二 有限元分析的基本过程

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二有限元分析的基本过程1 单元有限元- 连续体的离散化，将整体结构分割为若干基本单元，每个单元有若干节点。

单元中的基本物理量(结构分析- 位移；热分析- 温度；电磁分析- 电位势，磁通量；流体分析- 流量，等) 用单元节点处的值表示，可以写为：{u} = [P] {ue}其中：{u} - 单元中任意点的物理量值，它是坐标的函数：{u} = {u (x,y,z)}[P] - 形状函数，与单元形状、节点坐标和节点自由度等有关{ue} - 单元节点的物理量值；对于结构位移法可以是位移、转角或其对坐标的导数。

常用的大型分析软件中基本上是位移+转角。

结构分析时一些常用单元的节点自由度(在单元坐标系中)杆元：单元形状为线段，变形形式为拉伸和扭转。

在单元坐标系中：节点自由度为Tx和Rx，其中x 为杆的轴线。

在总体坐标系中：三个位移和三个转角(T1,T2,T3,R1,R2,R3)。

梁元：单元形状为线段，变形形式为拉伸、扭转，以及两个垂直于轴线方向的弯曲在单元坐标系中：节点自由度为Tx,Ty,Tz,Rx,Ry,Rz。

其中x 为梁的轴线，Y,z为梁截面的两个抗弯惯矩主轴方向。

在总体坐标系中：三个位移和三个转角(T1,T2,T3,R1,R2,R3)。

平面单元：三角形或四边形，变形为两个面内位移。

节点自由度为T1,T2。

单元坐标系与总体坐标系一致。

轴对称单元：三角形或四边形，变形为两个面内位移。

节点自由度为T1,T2。

单元坐标系与总体坐标系一致。

板壳元：三角形或四边形，变形包括两个面内位移，法向位移及两个转角(一般缺少绕法线转角)。

在单元坐标系中：三个位移和三个转角(Tx,Ty,Tz,Rx,Ry)在总体坐标系中：三个位移和三个转角(T1,T2,T3,R1,R2,R3)三维实体：四面体～六面体，三个方向的位移，无转角。

节点自由度为三个位移(T1,T2,T3)，单元坐标系与总体坐标系一致。

结构分析时一些特殊单元为了表征结构分析中遇到的一些特殊现象，多数CAE 软件中都引入了一些特殊的单元，例如：弹簧单元- 模拟拉压或弯扭弹簧连接阻尼单元- 模拟阻尼器等结构件质量单元- 用于处理集中质量接触单元- 用于处理接触非线性问题间隙单元- 用于处理接触非线性问题拉索单元- 用于模拟只受拉不受压的线结构各种连接单元- 用于模拟结构件之间的不同连接方式，如铰接、刚性连接等刚体单元- 将结构的某一部分处理为刚体，可减小计算模型的规模等单元形状函数举例(未必是实际使用的单元)：(1) 一维单元a. 杆单元轴向拉伸和扭转：节点位移自由度为Tx，Rx对2 节点单元(线性单元)：Tx = a0 + a1 * xRx = b0 + b1 * x各有2 个未知数，可以由2 个节点的位移值确定；对3 节点单元(二次单元)：Tx = a0 + a1 * x + a2 * x2Rx = b0 + b1 * x + b2 * x2各有3 个未知数，可以由3 个节点的位移值确定；b. 梁单元拉伸和扭转的形状函数与杆的情况相同；对于弯曲变形(以单元坐标系y 向为例)，2 节点单元相应的形状函数为：Ty = c0 + c1*x +c2*x2 + c3*x3由两个节点的Ty,Rz可以确定四个未知数；对于3 节点单元：Ty = c0 + c1*x +c2*x2 + c3*x3 +c4*x4 + c5*x5由3 个节点的Ty,Rz可以确定6 个未知数；(2) 二维单元a. 平面单元(平面问题，轴对称问题) ，以Tx为例三节点三角元：Tx = a0 + a1*x + a2*y三个未知数可以由三个节点的Tx表示；6 节点三角元：Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*x2 + a4*xy + a5*y26 个未知数可以由6 个节点的Tx表示；4 节点四边形元：Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*xy4 个未知数可以由4 个节点的Tx表示；8 节点四边形元：Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*x2 + a4*xy + a5*y2+ a6*(x3 + xy2) + a7*(x2y + y3)8 个未知数可以由8 个节点的Tx表示；上面使用的简单多项式，对于 4 节点或8 节点四边形(特别是使用简单多项式的8 节点单元，三次项缺失较多)，使用效果往往不好。

实际使用的是"等参数单元"，通过曲线坐标变换，将任意三角形或四边形变换为等参数坐标系中的正三角形或正方形。

然后用“内插函数” 来构造形状函数。

(2) 二维单元(续)b. 弯曲单元(板、壳问题)平面内的变形与平面问题相同，主要考虑法向弯曲变形- Tz，每个节点有三个弯曲自由度：Tz, Rx, Ry (法向位移和两个转角)。

三节点三角元：Tz = a0 + a1*x + a2*y + a3*x2 + a4*xy + a5*y2+ a6*x3 + a7*(x2y + xy2) + a8*y39 个未知数可以由三个节点的Tz, Rx, Ry表示。

这是一个不完整的三次多项式，实际使用的是完整的三次多项式，然后添加约束条件消除多出来的一个未知数。

4 节点四边形元：Tz = a0 + a1*x + a2*y + a3*x2 + a4*xy + a5*y2+ a6*x3 + a7*x2y + a8*xy2 + a9*y3 + 2 个四次项12 个未知数可以由四个节点的Tz, Rx, Ry表示。

这是一个不完整的四次多项式，效果较差，实际使用的是"等参数单元"。

同样可以构造"高阶" 单元(6 节点三角元、8 节点四边形单元)。

(3) 三维实体单元每个节点三个自由度：Tx,Ty,Tz，一般情况，单元坐标系x,y,z与总体坐标系X,Y,Z 相同。

a. 四面体单元(以Tx为例)4 节点单元：Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*z四个未知数由四个节点的Tx确定。

10 节点单元(增加6 个边的中点)：Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*z + a4*x2 + a5*y2 +a6*z2 + a7*xy + a8*yz + a9*zx10个未知数由10 个节点的Tx确定。

b. 六面体单元(以Tx为例)8 节点单元(直观的例子，实际用"等参数单元")：Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*z + a4*x2 + a5*y2 +a6*z2 + a7*(xy + yz + zx)8 个未知数由8 个节点的Tx确定。

20 节点六面体单元：使用完整的三次多项式，共20 个未知数，由20 个节点的Tx确定。

实际中使用的是"等参数单元"。

理论上，计算结果应该随着网格的细化而收敛到精确值。

但实践发现，单元的形状函数对其计算结果和收敛性有较大影响。

经数学界研究发现，单元的构造必须满足相容性(协调性) 和完备性要求，才能保证计算结果的收敛性。

(1) 单元的完备性要求：对一般的多项式形式的单元形状函数，必须是与所解决问题的"应变-位移" 关系式中的最高阶导数相同阶数的完整多项式。

与"应变-位移" 关系式中的最高阶导数相同阶数的多项式，在"应变-位移" 关系式中微分后得到常应变项。

因此，如果该多项式不完整，就会丢失某些常应变项，导致结果不准确。

这一条可以归结为：位移函数必须包含全部刚体位移和常应变项。

(2) 单元的相容性(协调性) 要求：单元的位移函数必须包含所解决问题的"应变-位移" 关系式中的最高阶导数低一阶的连续性。

即，在相邻单元的边界上，该导数必须连续。

如一般弹性问题(平面问题、轴对称问题和三维弹性问题)，其“应变-位移” 关系式中只包括位移对坐标的一阶导数，只要求在单元边界上位移连续。

因此其位移形状函数只要包含坐标的一次多项式即可(Tx = a0 + a1*x + a2*y +a3*z ...)。

对板弯曲问题，"应变-位移" 关系式包含位移对坐标的二次导数，在单元边界上需要位移和转角都连续，因而板弯曲单元的节点自由度至少需要三个自由度：Tz,Rx,Ry。

这也造成了难以构造简单而又满意的板弯曲单元。

在满足相容性(协调性) 要求的情况下，随着网格的细化，结果是单调收敛的。

如果只满足完备性，而不满足相容性(如板弯曲问题)，解有时也能收敛，但一般不是单调收敛。

2 单元特性的推导(略)3 单元组集将所有单元的应变能求和，得到整个结构的应变能：U = S Ue = 1/2 {u}T [K] {u}其中{u} 是整个结构所有节点的总体位移自由度按顺序排列所成,称为结构位移矢量；[K] 是将各单元的刚度矩阵对应相同总体自由度的元素叠加后得到。

考虑两个杆单元的情况(下页图)，各单元的节点位移矢量和单元刚度矩阵用总体自由度序号表示如下：在计算整个结构的应变能时，将两个单元刚度矩阵中具有相同下标的元素进行求和，例如K4,4 ~ K4,6、K5,4 ~ K5,6、K6,4 ~ K6,6，从而得到整个结构的刚度矩阵。

如果单元中作用有外力，可以根据静力等效原理把它们分配到单元的节点上：然后可以求出节点外力在节点位移上所做的功：V = [F] {u}其中[F] 为所有节点的外力矢量(每个节点三个分量)，{u} 为所有节点的位移矢量(每个节点三个分量)。

然后，根据最小势能原理，真实位移应该使总势能取极小值：总势能为：P = U - V = 1/2 {u}T [K] {u} - [F] {u}对{u} 取极值，即总势能对{u} 的一次导数为零：由此得到：[K] {u} - {F} = 0或[K] {u} = {F}这就是待求解的有限元代数方程。

由于将复杂的微分方程转换为有限个数的代数方程，从而使问题的求解变得容易。

不过，现在还不能马上求解，因为数学上已经证明，没有约束的结构的刚度矩阵是一个奇异矩阵(行列式为零)，从物理上来说，即存在刚体运动，及时很小的外力也能够造成无穷大的位移。

为了求解，必须对结构施加足够的约束以消除所有可能的刚体运动。

常用的约束条件有：指定节点位移(通常是零)；弹性约束(弹性地基)等。

缺乏足够的约束常常是求解失败的主要原因之一。

在约束自由度上会产生约束反力，对于结构而言，约束反力也是一种外力，以{R} 表示约束反力，整个结构的方程可以写成：[K] {u} = {F} + {R}其中反力{R} 仅在约束自由度上不为零。

对整个结构的位移自由度重新排序，将已知位移自由度放到最后，分别以下标f 和r 代表未知和已知的自由度，则有：展开后分解为两个方程：[Kff] {uf} = {Ff}[Krf] {uf} + [Krr] {ur} = {Fr} + {R}第一个方程用来求解未知的位移自由度，第二个方程改写为：{R} = {Fr} - [Krf] {uf} - [Krr] {ur}用来计算约束反力。

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有限元分析-动力学分析PPT课件

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目录
• 引言 • 有限元分析基础 • 动力学分析基础 • 有限元分析在动力学中的应用 • 案例分析 • 结论与展望
01 引言
目的和背景
01
介绍有限元分析在动力学分析中 的应用和重要性。
02
阐述本课件的目标和内容，帮助 读者了解有限元分析在动力学分 析中的基本概念、方法和应用。
随着工程复杂性和精确度要求的提高，有限元分析在动力学分析中的 应用将更加重要和必要。
02
未来需要进一步研究有限元分析算法的改进和优化，以提高计算效率 和精度。
03
未来需要加强有限元分析与其他数值计算方法的结合，如有限差分、 有限体积等，以实现更复杂的动力学模拟和分析。
04
未来需要加强有限元分析在多物理场耦合和多尺度模拟中的应用，以 更好地解决工程实际问题。
有限元分析的优点和局限性
• 精确性：对于某些问题，可以得到相当精确的结 果。
有限元分析的优点和局限性
数值误差
由于离散化的近似性，结果存在一定的数值误 差。
计算成本
对于大规模问题，计算成本可能较高。
对模型简化的依赖
结果的准确性很大程度上依赖于模型的简化程度。
03 动力学分析基础
动力学简介
动力学是研究物体运 动过程中力与运动关 系的科学。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
ห้องสมุดไป่ตู้
求解等。
02 有限元分析基础
有限元方法概述
01
有限元方法是一种数值分析方法，通过将复杂的物理系统离散化为有 限个简单元（或称为元素）的组合，来模拟和分析系统的行为。
02
它广泛应用于工程领域，如结构分析、流体动力学、热传 导等领域。
有限元的分析过程(第三章)22

有限元的分析过程(第三章)22

0 0 0 L 1 1 0 L
c ( x [ x , x ])
n i i i 0 L
2-1
0 L 1 2 3
其中 ( x [ x , x ]) 为所采用的基底函数，它定义在全域 [ x , x ]上， c , c , c ...
i 0 L
为展开的系数。 第二种是基于子域 [ x , x ] 上的分段展开形式，若采用线性函数,有
上式中的
为节点位移，
为节点力，可以看出，图2-9
分别就单元①、②、③写出了各自的节点力，如对于节点2，即写出了单元①中节 点力 ，又给出了单元②中节点2的节点力 可以看出，在单元组装后，实
3有限元分析的基本流程：
际上只需要合成后的节点力； 因此，今后只需要对各个单元的刚度系数按对应节点位移的位置进行组装，
【典型例题】2.1(1) 一个一维函数的两种展开方式的比较
设有一个一维函数 f ( x), x [ x , x ] ，分析它的展开与逼近形式。
0 L
解答：首先考虑基于全域的展开形式，如采用傅立叶级数展开，则有:
f ( x) c ( x [ x , x ]) c ( x [ x , x ]) ...
4有限元分析的特点：
有限元分析的最大特点就是标准化和规范化，这种特点使
得大规模分析和计算成为可能，当采用了现代化的计算机以及 所编制的软件作为实现平台时，则复杂工程问题的大规模分析 就变为了现实。 实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元，这就需 要我们构建起各种各样的具有代表性的单元，一旦有了这些单 元，就好像建筑施工中有了一些标准的预制构件(如梁、楼板
综合分段函数描述的优势和问题，只要采用功能完善 的软件以及能够进行高速处理的计算机，就可以完全发挥 “化繁为简”策略的优势，有限元分析的概念就在于此。
有限元分析经典课件

有限元分析经典课件

有限元分析经典课件1. 简介有限元分析（Finite Element Analysis, FEA）是一种以数值模拟方法为基础，通过离散化处理求解结构力学问题的工程方法。

本课件将介绍有限元分析的基本原理和常用的应用领域。

2. 有限元分析的基本原理2.1 有限元方法概述有限元方法（Finite Element Method, FEM）是有限元分析的基础理论和计算方法。

本部分将介绍有限元方法的基本概念、基本步骤、离散化处理等内容。

2.2 有限元网格划分有限元网格划分是有限元分析的关键步骤，它将结构离散化为有限个小单元。

本部分将介绍有限元网格划分的方法、常用网格类型以及网格质量评价的方法。

2.3 有限元方程与加载有限元方程是描述结构力学问题的关键方程。

本部分将介绍有限元方程的推导过程，以及加载条件的处理方法。

2.4 有限元解与后处理有限元解是通过有限元分析得到的结构响应结果。

本部分将介绍有限元解的计算方法以及后处理方法，包括位移、应力、应变等结果的计算和可视化展示。

3. 有限元分析的应用案例3.1 结构力学分析结构力学分析是有限元分析的主要应用之一。

本部分将通过实例演示有限元分析在结构力学分析中的具体应用，包括静力学分析、动力学分析等。

3.2 热力学分析热力学分析是有限元分析的另一个重要应用领域。

本部分将通过实例演示有限元分析在热力学分析中的具体应用，包括热传导、热稳定性等问题的分析。

3.3 流体力学分析流体力学分析是有限元分析的扩展应用领域之一。

本部分将通过实例演示有限元分析在流体力学分析中的具体应用，包括流体流动、压力分布等问题的分析。

4. 有限元分析软件的介绍有限元分析软件是进行有限元分析的工具，市场上有多种成熟的有限元分析软件可供选择。

本部分将介绍一些常用的有限元分析软件，包括Ansys、Abacus等。

5. 总结有限元分析作为一种重要的数值模拟方法，已广泛应用于不同领域的工程问题。

本课件从理论原理到实际应用都进行了全面的介绍，相信对有限元分析的学习和应用都有很大帮助。

第二章 有限元分析基本理论

第二章 有限元分析基本理论

第二章 有限元分析基本理论有限元法的基本思路是将一个连续求解区域分割成有限个不重叠且按一定方式相互连接在一起的子域(单元)，利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数。

单元内的场函数通常由未知场函数或其导数在单元各个节点的数值和其插值函数来近似表示。

这样，未知场函数或其导数在各个节点上的数值即成为未知量(自由度)。

根据单元在边界处相互之间的连续性，将各单元的关系式集合成方程组，求出这些未知量，并通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到全求解域上的近似解。

有限元将一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题进行求解。

如果将区域划分成很细的网格，也即单元的尺寸变得越来越小，或随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断被改进。

如果单元是满足收敛要求的，近似解最后可收敛于精确解。

2.1 有限元分析的基本概念和计算步骤首先以求解连续梁为例，引出结构有限元分析的一些基本概念和计算步骤。

如图2-1，连续梁承受集中力矩作用。

将结构离散为三个节点，两个单元。

结构中的节点编号为1、2、32.1.1单元分析在有限元分析过程中，第一步是进行结构离散，并对离散单元进行分析，分析的目的是得到单元节点的力与位移的关系。

单元分析的方法有直接法和能量法，本节采用直接法。

从连续梁中取出一个典型单元e ，左边为节点i ，右边为节点j 。

将节点选择在支承点处，单元两端只产生转角位移e i θ、ej θ，顺时针转动为正。

独立的单元杆端内力为弯矩i m 、j m ，顺时针为正。

记：{}e j i eu ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=θθ为单元e 的节点位移向量；{}ej i em m f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=为单元e 的杆端力向量。

根据结构力学位移法可得如下平衡方程：⎪⎭⎪⎬⎫+=+=e j e e i e e j ej e e i e e i k k m k k m θθθθ22211211 (2-1)式中：ee e e ee i k k i k k 2412212211====，lEIi e =，EI 、l 分别为单元e 的抗弯刚度和长度。