绪论、插值、曲线拟合

y y=f(x)
(x2, y2)
实际曲 线
理论函数：y=f(x)
y=p(x)
近似直线
插值函数：y=p1(x)
(x1, y1)
x 图6.2 线性插值示意图
直线方程：
p 1 (x ) A 1 (x )y 1 A 2 (x )y 2 （插值多项式）
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特点： A1(x1)=1，A1(x2)=0 A2(x1)=0，A2(x2)=1
§3 插值法与曲线拟合
3.1 实验数据统计处理
平行试验数据处理，误差分析。
3.2 插值法（Lagrange插值法）
根据实验测定的离散数据，求未测的某点数据。
3.3 曲线拟合（最小二乘法）
根据实验测定的离散数据，拟合曲线，分析数 据规律，求函数表达式。
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X.Z.Lin
10
当 xxj时 当 xxj时
ij
（2）插值多项式
n
pn(x) Aj(x)yj
j1
称为f(x) 的插值函数。最常用的插值函数是 多…?项式
f(x)
g(x) f(x)
x1
x2
x3
x
x4
x5
另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已
知样点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。这类
方法称为曲线（数据）拟合法，将在下一节介绍。
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X.Z.Lin
xnx1
xnx1
查Q值表得出标准值Q0.90；
返回（1）
可疑值判断
重算
Q≥Q0.90 Q < Q0.90

n
( xi ) ( xi x0 )(xi x1 )( xi xi 1 )(xi xi1 )( xi xn )
' n1
Ln( x)
n1 ( x) yi ' i 0 ( x xi )n 1 ( xi )
n
特例：n=1时，根据式（2-9）和（2-10）得出
如果选简单函数 ( x) 作为 y f ( x) 的近似表达式，并要 求满足以下条件：
( xi ) yi ,
i 0,1,..., n
(2 1)
这样的函数近似问题就称为插值问题。 （2-1）式称为插值条件，满足插值条件（2-1）的近 似函数 ( x) 称为插值函数，而 f ( x) 称为被插值函数， 互异点 x0 , x1, , xn 称为插值节点（简称节点），而 x 称 为插值点，区间[a, b]称为插值区间。
插值多项式 Pn ( x) 只是 y f ( x) 的近似值，其误差叫做 插值多项式的余项或截断误差，记作：
Rn ( x) f ( x) Pn ( x)
（2-5）
记 I 为包含 x0 , x1, , xn 的最小闭区间，I 为包含于 I 中的最大开区间，又记：
n1 ( x) ( x xi )
证明: 当 x为某个节点时定理显然成立。
设 x 异于所有的节点，构造辅助函数：
f ( x) Pn ( x) (t ) f (t ) P n (t ) n1 (t ) n1 ( x)
显然， ( x) ( x0 ) ( x1 ) L ( xn ) 0 xn 根据罗尔定理：在n＋2个点 x, x0 , x1 ,L ,之间存在n＋1 (0 ) (1 ) L ( n ) 0 个 0 , 使得 n , 1 ,L , 在这n＋1个点之间存在n个点，使得 n 个点处 0 在这n个点之间存在n－1个点，使得 0 依次类推，在这些点之间存在一点 ，使得 ( n 1) ( ) 0 即： f ( n 1) ( ) P ( n 1) ( ) f ( x) pn ( x) ( n 1) ( ) 0 n n 1 n 1 ( x)

python插值曲线拟合Python提供了多种插值和曲线拟合的方法，可以根据不同的需求选择合适的方法。

下面我将从多个角度介绍几种常用的方法。

1. 插值方法：插值是通过已知数据点之间的插值，得到介于这些数据点之间的其他数据点的方法。

Python中常用的插值方法有线性插值、多项式插值和样条插值。

线性插值，使用两个已知数据点之间的直线来估计其他数据点的值。

在Python中，可以使用`numpy`库中的`interp`函数来进行线性插值。

多项式插值，通过已知数据点拟合出一个多项式函数，再利用该函数来估计其他数据点的值。

在Python中，可以使用`numpy`库中的`polyfit`函数来进行多项式插值。

样条插值，通过已知数据点拟合出一条光滑曲线，再利用该曲线来估计其他数据点的值。

在Python中，可以使用`scipy`库中的`interp1d`函数来进行样条插值。

2. 曲线拟合方法：曲线拟合是通过已知数据点拟合出一条曲线，使得该曲线能够较好地表示数据的趋势。

Python中常用的曲线拟合方法有最小二乘法和非线性最小二乘法。

最小二乘法，通过最小化实际观测值和拟合曲线之间的误差平方和，来确定拟合曲线的参数。

在Python中，可以使用`numpy`库中的`polyfit`函数来进行最小二乘法拟合。

非线性最小二乘法，当拟合曲线不是线性函数时，可以使用非线性最小二乘法来确定拟合曲线的参数。

在Python中，可以使用`scipy`库中的`curve_fit`函数来进行非线性最小二乘法拟合。

除了以上介绍的方法，还有其他一些高级的插值和曲线拟合方法，如样条插值的变种方法、局部加权回归等。

根据实际需求，可以选择合适的方法进行插值和曲线拟合。

总结起来，Python提供了丰富的插值和曲线拟合方法，包括线性插值、多项式插值、样条插值、最小二乘法和非线性最小二乘法等。

根据数据的性质和需求，选择合适的方法可以得到较好的插值和拟合效果。

第二章 代数插值与曲线拟合2.1代数插值2.1.1引例2.1.2 插值问题的数学描述设未知函数y = f ( x )在[a ，b ]区间上的n + 1个互异点处的函数值为y i = f ( x i )（i = 0, 1,…,n ），相当于给定了一个数表然后根据给出的数表构造一个简单的函数P ( x )作为未知函数f ( x )的近似函数，使P ( x )满足P ( x i ) = f ( x i )i = 0, 1,…, n（2.1）P ( x )称为f ( x )的一个插值函数，f ( x )称为被插值函数，点x i （i = 0, 1,…, n ）称为插值节点，区间[a ，b ]称为插值区间，式（2.1）称为插值条件，R ( x ) = f ( x ) - P ( x )称为插值余项。

通常满足同一插值条件的插值函数有很多类型，如多项式类型，三角函数类型等，但最常用的类型是多项式或分段多项式类型，因为这样的插值函数计算简单，具有良好的分析性质。

当插值函数是多项式时称为代数插值或者多项式插值。

一个代数插值函数可写为R a xa P P k mkk ∈==∑=0k m (x) (x)（2.2）若它满足插值条件（2.1），则有线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nmn m n nmm mm y x a x a x a a y x a x a x a a y x a x a x a a22101121211000202010 （2.3）其中，m a a a ,,,10 为变元。

只有当m = n 时，方程组（2.3）才可能有唯一解，因此对于n + 1个插值节点，一般选取n 次多项式作为插值函数。

此时方程组（2.3）中，m = n ，且系数行列式为范德蒙行列式∏≤<≤-==ni j j innn nnnx xx x x x x x x x x D 0212110200)(111因为插值节点互异，所以D ≠0，方程组（2.3）有唯一解，因此定理2.1成立。