专题04 实际问题与一元二次方程（2）——销售利润（提高版）【专题导入】1.某市农科园绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地，上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在该州收购了2000千克香菇存放入冷库中，准备冷藏一段时间后一次性出售．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售，设存放x天后出售．（1）填表（不需化简）【答案】（1）设存放x天后出售，则香菇的出售单价为（10+0.5x）元，可出售的香菇重量为（2000-6x）．故答案为：2000-6x；10+0.5x．（2）依题意，得：（10+0.5x）（2000-6x）-340x-10×2000=22500，整理，得：3x2-600x+22500=0，解得：x1=50，x2=150（不合题意，舍去）．答：需将这批香菇存放50天后出售．【方法点睛】在应用题中，题目难度往往与阅读量成正比，解题关键在于把所需要的量用代数式表示出来，再根据实际关系联立起来.如利润问题常见的：当对于题干过长的题目，首先要明确求的是什么，需要什么条件公式才能得到结果，把每个条件细分出来用代数式表示（或具体的数），最后汇总得到方程.一、基础型【例1】南京某特产专卖店的销售某种特产，其进价为每千克45元，若按每千克65元出售，则平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低4元，平均每天的销售量增加40千克，若专卖店销售这种特产想要平均每天获利2 240元，且销量尽可能大，则每千克特产应定价多少元？方法1：设每千克特产降价x元，由题意，每千克利润为_________元，销售量为_______千克；方法2：设每千克特产降价后定为x元，由题意，每千克利润为_________元，销售量为_______千克.选择一种方法进行解答.【答案】方法1：设每千克特产降价x元．根据题意，每千克利润为（65-x-45），销售量为（100+x×40），4×40）=2240．得（65-x-45）（100+x4解得x1=4，x2=6．销量尽可能大，只能取x=6，65-6=59（元），答：每千克特产应定价59元．方法2：设每千克特产降价后定价为x元，根据题意，×40）千克，每千克利润为（x-45）元，销售量为（100+65−x4得（x-45）（100+65−x×40）=2240，4解得x1=59，x2=61．销量尽可能大，只能取x=59，答：每千克特产应定价59元．同步练习1.“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，重庆市某葡萄种植基地2017年种植“阳光玫瑰”100亩，到2019年“阳光玫瑰”的种植面积达到196亩．（1）求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率；（2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为12元/千克，若使销售“阳光玫瑰”每天获利1750元，则售价应降低多少元？【答案】（1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为x，依题意，得：100（1+x）2=196，解得：x1=0.4=40%，x2=-2.4（不合题意，舍去）．答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为40%．（2）设售价应降低y元，则每天可售出（200+50y）千克，依题意，得：（20-12-y）（200+50y）=1750，整理，得：y2-4y+3=0，解得：y1=1，y2=3．∵要尽量减少库存，∴y=3．答：售价应降低3元．二、图表类【例2】某商店代销一种智能学习机，促销广告显示“如果购买不超过40台学习机，则每台售价800元，如果超出40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元”该学习机的进货价与进货数量关系如图所示：（1）当x＞40时，用含x的代数式表示每台学习机的售价；（2）当该商店一次性购进并销售学习机60台，每台学习机可以获利多少元；（3）若该商店在一次销售中获利4800元，则该商店可能购进并销售学习机多少台．【答案】（1）由题意得：当x＞40时，每台学习机的售价为（单位：元）：800-5（x-40）=-5x+1000；（2）设图中直线解析式为：y=kx+b，把（0，700）和（50，600）代入得：{50k +b =600，b =700，解得：{k =−2，b =700，直线解析式为：y =-2x +700.当x =60时，进价为：y =-2×60+700=580，售价为：800-5×（60-40）=700， 则每台学习机可以获利：700-580=120（元）.（3）当x ＞40时，每台学习机的利润是：（-5x +1000）-（-2x +700）=-3x +300， 则x （-3x +300）=4800， 解得：x 1=80，x 2=20（舍）.当x ≤40时，每台学习机的利润是：800-（-2x +700）=2x +100， 则x （2x +100）=4800，解得：x 1=30，x 2=-80（舍）.答：则该商店可能购进并销售学习机80台或30台．同步练习2.在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y （千克）与该天的售价x （元/千克）满足如表所示的一次函数关系．【答案】（1）设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b ， 将（22.6，34.8）、（24，32）代入y =kx +b ，{22.6k +b =34.8，24k +b =32，解得：{k =−2，b =80.∴y 与x 之间的函数关系式为y =-2x +80． 当x =23.6时，y =-2x +80=32.8．答：当天该水果的销售量为32.8千克． （2）根据题意得：（x -20）（-2x +80）=150， 解得：x 1=35，x 2=25． ∵20≤x ≤32，∴x =25．答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．【专题过关】1.随着经济水平的不断提升，越来越多的人选择到电影院去观看电影，体验视觉盛宴，并且更多的人通过淘票票，猫眼等网上平台购票，快捷且享受更多优惠，电影票价格也越来越便宜．2018年从网上平台购买5张电影票的费用比在现场购买3张电影票的费用少10元，从网上平台购买4张电影票的费用和现场购买张电影票的费用共为190元．（1）请问2018年在网上平台购票和现场购票的每张电影票的价格各为多少元？（2）2019年“元旦”当天，万达影视城的“华谊兄弟影院”按照2018年在网上平台购票和现场购票的电影票的价格进行销售，当天网上和现场售出电影票总票数为600张．“元旦”假期刚过，观影人数出现下降，于是该影院决定将1月2日的现场购票的价格下调，网上购票价格保持不变，结果发现现场购票每张电影票的价格每降价0.5元，则当天总票数比“元旦”当天总票数增加4张，经统计，1月2日的总票数中有35通过网上平台售出，其余均由电影院现场售出，且当天票房总收益为19787.2元，请问该电影院在1月2日当天现场购票每张电影票的价格下调了多少元？【答案】（1）设现场购买每张电影票为x元，网上购买每张电影票为y元．依题意列二元一次方程组{3x−5y=10，2x+4y=190，经检验解得{x=45，y=25.答：2018年在网上平台购票和现场购票的每张电影票的价格分别为25元和45元.（2）设1月2日该电影院影票现场售价下调m元，那么会多卖出4m0.5张电影票．依题意列一元二次方程：25×(600+4m0.5)×35+(45−m)×(1−35)（600+4m0.5）=19787.2.整理得：16m2-120m-64=0解得m1＝答：1月2日当天现场购票每张电影票的价格下调了8元．【专题提高】2.在网络阅读成为主流的同时，进实体书店看书买书也成为一种新的时尚，重庆杨家坪某书店打算购进一批网络畅销书籍进行销售．该书店用12000元购进甲种书籍，用14400元购进乙种书籍，且购进甲乙两种书籍数量相同，甲的进价每本比乙少2元．（1）求甲乙两种书籍进价分别每本多少元？（2）随着抖音等网络视频软件的推广，这个书店很快成为网红书店，人流量越来越大．甲种书籍按每15元很快销售一空，书店决定再次购进甲种书籍进行销售．由于纸张成本增加，甲种书籍第二次比第一次进价每本增加20%，第二次购进甲种书籍总量在第一次购进甲种书籍总量的基础上増加了a%（a＞0），为了让利于读者，第二次销售单价在第一次的基础上减少了2a15％，结果第二次全部售完甲种书籍的利润达到3600元．求a的值．【答案】（1）设甲种书籍的进价为x元，乙种书籍的进价为（x+2）元，根据题意得，12 000x =14 400x+2，解得：x=10，经检验：x=10是原方程的根，∴x+2=12.答：甲种书籍的进价为10元，乙种书籍的进价为12元；（2）根据题意得，[15（1-2a15%）-10（1+20%）]×12 00010（1+a%）=3 600，解得：a=0或a=50，∵a＞0，∴a=50．。
一元二次方程与实际问题一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，其中a≠0，x是未知数，a、b、c是已知的实数常数。
它在数学中被广泛应用，尤其在解决实际问题时，具有重要的意义。
一元二次方程与实际问题的关联在于它可以描述许多物理、经济、工程和自然科学现象。
下面将介绍一些常见的实际问题，并用一元二次方程解决它们。
1. 自由落体问题：考虑一个物体从高度h自由落下，并以初速度为0的条件下落。
重力以加速度g=9.8m/s²的恒定速度使物体加速下落。
通过运用运动学公式，可以将物体的下落时间t与下落距离h之间的关系表示为：h=gt²/2。
整理得到ht²-2h=0，这是一个一元二次方程。
通过求解该方程，可以得到物体下落的时间和下落的距离。
2. 抛物线轨迹问题：许多物理和运动问题都涉及抛物线轨迹。
例如，一个抛射物体的运动轨迹可以用一元二次方程来描述。
给定抛射角度θ和初速度v，可以得到抛射物体的运动轨迹方程y=x*tanθ - (g*x²) /(2v²*cos²θ)。
这是一个一元二次方程，其中x表示水平方向的距离，y表示竖直方向的高度。
通过解这个方程，可以计算出物体在不同时间和位置的高度。
3. 经济成本问题：一元二次方程也可以用于经济领域的成本分析。
例如，考虑一个企业的总成本函数C(x)=ax²+bx+c，其中x表示生产的数量，a、b、c是已知的实数常数。
通过求解C'(x)=0，即求解一阶导数为零的方程，可以找到企业的最低成本点。
这个点对应的x值就是企业的最优生产数量。
以上只是一些例子，实际应用一元二次方程的问题非常广泛。
通过将实际问题转化为数学模型，应用一元二次方程的解法，可以更好地理解和解决各种现实问题。
