高中数学第三章概率3.3.1几何概型新人教版必修3

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研一研·问题探究、课堂(kètáng)更高 效
3.3.1
问题 3 下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指 针指向 B 区域时，甲获胜，否则乙获胜．你认为甲获胜的概 率分别是多少？
本 课 时 栏 目 开 关
答 以转盘(1)为游戏工具时，甲获胜的概率为12；以转盘(2) 为游戏工具时，甲获胜的概率为35.
机取出 1 升水，那么这 1 升水中含有病毒的概率是多少？你
是怎样计算的？
本 课
答 概率为15,由于病毒在 5 升水中的哪个位置的可能性都有,1
时 栏
升水中含有病毒的概率为 1 升水的体积除以 5 升水的体积.
目
开 问题 4 根据上述 3 个问题中求概率的方法，你能归纳出求几
关
何概型中事件 A 发生的概率的计算公式吗？
时 栏
连接，求弦长超过半径的概率．
目
开 关
解 (1)不是几何概型，因为它不具有等可能性；
(2)是几何概型，因为它具有无限性与等可能性．
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探究点二 几何概型的概率公式
3.3.1
导引 对于具有几何意义的随机事件，或可以化归为几何问题
的随机事件，一般都有几何概型的特性，那么，对于属于几
3．有一杯 1 升的水，其中含有 1 个细菌，用一个小杯从这杯
本
水中取出 0.1 升，则小杯水中含有这个细菌的概率为__0_._1__．
课
时 栏
解析 “取出 0.1 升水中含有这个细菌”这一事件记为 A，
目
开 关
则 P(A)＝01.1＝0.1.
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3. 在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
问题情境 例1
取一根长为3米的彩带，拉直后在任意位置 剪断，那么剪得两段的长度都不小于1米的概率 是多少?
1 3
练习1：
3
5
（2）取一根长为4m的绳子，拉直后在任 意位置剪断，那么剪得的两端绳子的长都 不小于1m的概率有多大？ 1
2 （3）某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机, 想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分 钟的概率. 1
相__等 __的__
（2）试验的概率是如何求得的？ 借助几何图形的长度比值分析事件A发生
的概率
1. 几何概型的定义：
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与A的位置和 形状无关，则称这样的概率模型为几何概率模型,简 称为几何概型.
2. 几何概型的特点:
（1）无限性 （2）等可型与古典概型的区别和联系；
无限个的
有限个的
每一个样本点都是等可能发生的. 将古典概型中的有限性推广到无限性， 而保留等可能性，就得到几何概型．
2. 解决几何概型的方法：
找准几何度量
作业：小题巧练83-86
Good bye……
懂得如何避开问题的人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在 永远是家，走出去看到的才是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观 财富买不来好观念，好观念能换来亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵 人与人之间的差别，主要差在两耳之间的那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路 时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选 有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种 一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑制，会变成生活的必需品， 随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作 定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失 永远不会失去自己！这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断 是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！学一分退让 宜；增一分享受，减一分福泽。念头端正，福星临，念头不正，善人行善，从乐入乐，从明入明；行恶，从苦入苦，骨宜刚，气宜柔，志宜大，胆宜小，心宜虚 慧宜增，福宜惜，虑不远，忧亦近。人之所以痛苦，在于追求错误的东西。你目前拥有的，都将随着你的而成为他人的。那为何不现在就给真正需要的人呢？如 往，凡做事应有余步。我们最值得自豪的不在于从不跌倒，而在于每次跌倒之后都爬得起来。见己不是，万善之门。见人不是，诸恶之根。为了向别人、向世界 努力拼搏，而一旦你真的取得了成绩，才会明白：人无须向别人证明什么，只要你能超越自己。没有哪种教育能及得上逆境。如果你想成功，那么请记住：遗产 第一、学习第二、礼貌第三、刻苦第四、精明第五。任何的限制，都是从自己的内心开始的。失败只是暂时停止成功，假如我不能，我就一定要；假如我要，我 无论你如何为他人着想，烦你的人眼里，你就是居心叵测；不管你怎样据理力争，不懂你的人心里，你就是胡搅蛮缠。最后你会发现，有些事不是你做错了，而 人；有些人不是不理解你，而是根本不想懂你。不管怎样，生活还是要继续向前走去。有的时候伤害和失败不见得是一件坏事，它会让你变得更好，孤单和失落 每件事到最后一定会变成一件好事，只要你能够走到最后。工资是发给日常工作的人，高薪是发给承担责任的人，奖金是发给做出成绩的人，股权是分给能干忠 誉是颁给有理想抱负的人，辞退信将送给没结果还耍个性的人，这里一定有个你。内心想成为什么样的人，就会努力成为这样的人，做你想做的那种人。与其指 谁，不如指望自己能够吸引那样的人；与其指望每次失落的时候会有正能量出现温暖自己，不如指望自己变成一个正能量满满的人；与其担心未来，不如现在好 虹绚烂多姿，是在与狂风暴雨争斗之后；枫叶似火燃烧，是在与秋叶的寒霜争斗之后；雄鹰的展翅高飞，是在与坠崖的危险争斗之后。他们保持着奋斗的姿态， 们的成功。有能力的人影响别人，没能力的人受人影响；不是某人使自己烦恼不安，而是自己拿某人的言行来烦恼自己；树一个目标，一步步前行，做好自己就 不需鼓掌，也在飞翔；小草，没人心疼，也在成长；野花，没人欣赏，也在芬芳；做事不需人人都理解，只需尽心尽力；做人不需人人都喜欢，只需坦坦荡荡。 为力，拼搏到感动自己；吃过的苦，受过的累，会照亮未来的路；没有年少轻狂，只有胜者为王。真正成功的人生，不在于成就的大小，而在于你是否努力地去 喊出自己的声音，走出属于自己的道路。选一个方向，定一个时间；剩下的只管努力与坚持，时间会给我们最后的答案。许多人企求着生活的完美结局，殊不知 结局，而在于追求的过程。慢慢的才知道：坚持未必就是胜利，放弃未必就是认输，。给自己一个迂回的空间，学会思索，学会等待，学会调整。人生没有假设 全部。背不动的，放下了；伤不起的，看淡了；想不通的，不想了；恨不过的，抚平了。在比夜更深的地方，一定有比夜更黑的眼睛。一切伟大的行动和思想， 不足道的开始。从来不跌倒不算光彩，每次跌倒后能再站起来，才是最大的荣耀。这个世界到处充满着不公平，我们能做的不仅仅是接受，还要试着做一些反抗 苦、最卑贱、最为命运所屈辱的人，只要还抱有希望，便无所怨惧。有些人，因为陪你走的时间长了，你便淡然了，其实是他们给你撑起了生命的天空；有些人 就忘了吧，残缺是一种大美。照自己的意思去理解自己，不要小看自己，被别人的意见引入歧途。没人能让我输，除非我不想赢！花开不是为了花落，而是为了 烂。随随便便浪费的时间，再也不能赢回来。不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。当你决定 情，全世界都会为你让路。只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。别想一下造出大海，必须先由小河川开始。��

由几何概型的求概率公式得 P（A）=（60-50）/60=1/6
即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6.
2.已知地铁列车每10min一班,在车站停 1min.求乘客到达站台立即乘上车的概率.
练一练:
3.在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮 藏着石油.假如在海域中任意一点钻探,钻到油层面 的概率是多少? 4.如右下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄 豆,分别计算它落到阴影部分的概率.
是
.
3.(会面问题)甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在 某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时 间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人 能会面的概率。
解： 以 X , Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，
于是 0 ≤ X ≤5, 0 ≤ Y ≤5. y
即 点 M 落在图中的阴影部
分.所有的点构成一个正方 形，即有无穷多个结果. 由于每人在任一时刻到达 都是等可能的，所以落在正 方形内各点是等可能的.
5
4
3
.M(X,Y)
2
1
0 1 234 5x
二人会面的条件是：| X Y | 1,
记“两人会面”为事件A
y
y=x+1
5
P(A) 阴影部分的面积 4 正方形的面积 3
2
5
2
1 2
基本事件:
射中靶面直径为122cm的大 圆内的任意一点.
这两个问题能否用古典概型的方法来求
解吗? 怎么办呢?
对于问题1.
记“剪得两段绳长都不小于10cm”为事件A.
把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段 上时,事件A发生.由于中间一段的长度等于绳 长的1/3.

＝πR2，S 三角形＝12×(
3R)2×sin
60°＝3
4
3 3R2，∴p＝S三 S角 圆形＝
4 3R2 πR2
＝34π3.故选 D．
8
此类几何概型问题，关键是构造出随机事件对应的几何图 形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型的 概率计算公式，从而求得随机事件的概率．
2．在长方形 ABCD 中，AB＝2，BC＝1，O 为 AB 中点，
【解题探究】把握住几何概型的特点：几何概型的两个特 点，一是无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无 限的；二是等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等 的．
【答案】(1)12
3 (2)4
【解析】(1)由－－x12≤＋x2≤x≥3，0， 得 0≤x≤2，因此所求的概 率为3－2－－01＝12.
所求概率为 P(A)＝ΩA的的面面积积 ＝24－12×122＋4224－22×12＝550766.5＝11105123. 【规律方法】有关会面问题利用数形结合转化成面积问题 的几何概型，难点是把两个时间分别用x，y表示，构成平面内 的点(x，y)，从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的面 积问题，转化成面积型几何概型问题．
在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到点 O 的距离不大于
1 的概率是( )
A．π4
B．1－π4
C．π8
D．1－π8
【答案】A
【解析】已知如图所示．长方形面积为 2，以 O 为圆心，1 为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为π2，因此取到的点
π 到 O 的距离不大于 1 的概率 p＝22＝π4.
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)在几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何 区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相 等．( ) (2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体 图形．( ) (3) 与 面 积 有 关 的 几 何 概 型 的 概 率 与 几 何 图 形 的 形 状 有 关．( ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) 【答案】(1)√ (2)√ (3)× (4)√