2020年中考数学1轮复习试题分类汇编(word版,含答案)：勾股定理

2020初中数学中考一轮复习能力达标训练：二次函数1（附答案）1．抛物线y=2(x+4)2-3的对称轴是 ( )A ．直线x=4B ．直线x=－4C ．直线x=3D ．直线x=－32．二次函数2y x mx =-+，对称轴为直线3x =，若关于x 的一元二次方程20x mx t -+-=（t 为实数）在27x <<的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）． A ．7t >- B ．78t -<< C ．89t <≤ D ．79t -<≤ 3．将抛物线 y = 22x -+1 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位，所得的抛物线为（ ）A ．y =﹣2（x ﹣1）2﹣2B ．y =﹣2（x +1）2﹣2C ．y =﹣2（x ﹣1）2+4D ．y =﹣2（x +1）2+4 4．若y=（m ﹣2）22mx - 是关于x 的二次函数，则常数m 的值为（ ） A ．0 B ．2C ．﹣2D ．﹣1或﹣2 5．如图，是抛物线()2y ax bx c a 0=++≠图象的一部分，已知抛物线的对称轴是x 2=，与x 轴的一个交点是()1,0-，有下列结论：①abc 0>；②4a 2b c 0-+<；③4a b 0+=；④抛物线与x 轴的另一个交点是()5,0；⑤点()13,y -，()26,y 都在抛物线上，则有12y y =．其中正确的是( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．二次函数221y kx x =-+的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是（ ） A ．1k < B ．1k <且0k ≠ C ．1k ≤ D ．1k ≤且0k ≠ 7．已知函数y=（m 2+m ）2x +mx+4为二次函数，则m 的取值范围是（ ）8．正方形的边长为3，如果边长增加x ，那么面积增加y ，则y 与x 之间的函数表达式是( )A ．y ＝3xB ．y ＝(3＋x)2C ．y ＝9＋6xD ．y ＝x 2＋6x9．如图，四边形ABCD 中，90BAD ACB ∠=∠=o ，AB AD =，4AC BC =，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（ ）A ．2225y x =B ．2425y x =C ．225y x =D ．245y x = 10．二次函数y=x 2-2x-1的顶点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知直线y 2x 1=-与抛物线2y 5x k =+交点的横坐标为2，则k =________，交点坐标为________．12．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y ＝3x 2－2x ＋2上运动．过点A 作AC ⊥x轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连结BD ，则对角线BD 的最小值为_______．13．在二次函数y=x 2 +bx+c 中，若系数b 和c 可在1，2，3，4，5，6中取值，则其中与x 轴有交点的抛物线的个数是_________________.14．在平面直角坐标系中，点M 是直线3y =与x 轴之间的一个动点，且点M 是抛物线215y x bx c =++的顶点，则方程2125x bx c ++=的解的个数是________．15．将二次函数2281y x x =--化成2()y a x h k =-+的形式是________．16．二次函数2y ax bx c =++中，若a :b:c 1:4:3=，且该函数的最小值是3-，则解17．如果函数()2113m y m x x +=-+是关于x 的二次函数，则m= ________. 18．将函数2y x =-所在的坐标系先向左平移2个单位再向下平移3个单位，则函数在新坐标系中的函数关系式是________．19．如图是二次函数图象的一部分，则该函数图象在y 轴左侧与x 轴的交点坐标是______.20．已知二次函数2y x bx 3=-++，当x 2=时，y 3=．则这个二次函数的表达式是________．21．已知直线y =2x -2与抛物线2y mx mx n =++交于点A （1，0）和点B ，且m ＜n ． （1）当m =2-时，直接写出该抛物线顶点的坐标.（2）求点B 的坐标（用含m 的代数式表示）.（3）设抛物线顶点为C ，记△ABC 的面积为S . ①1-1m 3≤≤，求线段AB 长度的取值范围； ②当1058s =时，求对应的抛物线的函数表达式22．如图，一小球从斜坡O 点抛出，球的抛出路线可以用二次函数24y x x =-+刻画，斜坡可以用一次函数12y x =刻画，小球的落点是A ．()1求点A 的坐标；()2连结抛物线的最高点P 与点O 、A 得POA V ，求POA V 的面积．23．阅读理解：若x 1，x 2是关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x 1，x 2和系数a ，b ，c 有如下关系：x 1+x 2=﹣b a ，x 1•x 2=c a ，我们把它们称为一元二次方程的根与系数关系定理．问题解决：请你参考根与系数关系定理，解答下列问题：（1）若关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为 ．（2）求方程2x 2﹣3x=5的两根之和，两根之积．24．已知二次函数的图象的顶点坐标为(3,-2),且与y 轴交于（0,52）. (1)求函数的解析式;(2)若点(p,m)和点(q,n)都在该抛物线上,若p>q>5,判断m 和n 的大小.25．某厂按用户的月需求量x (件)完成一种产品的生产，其中x ＞0．每件的售价为18万元，每件的成本为y (万元)，y 与x 的关系式为b y a x=+（a ，b 为常数）．经市场调研发现，月需求量x 与月份n (n 为整数，112n ≤≤)的关系式为21372x n n =-+，且得到了下表中的数据．月份n(月)1 2 成本y(万元/件)11 12（1）请直接写出a ，b 的值；（2）设第n 个月的利润为W （万元），请求出W 与n 的函数关系式，并求出这一年的12个月中，哪个月份的利润为84万元？（3）在这一年的前8个月中，哪个月的利润最大？最大利润是多少？26．已知抛物线y=3ax 2+2bx+c ，（1）若a=3k ，b=5k ，c=k+1，试说明此类函数图象都具有的性质；（2）若a=13， c=2+b 且抛物线在﹣2≤x≤2区间上的最小值是﹣3，求b 的值； （3）若a+b+c=1，是否存在实数x ，使得相应的y 的值为1，请说明理由．27．如图，直线y=x+3与两坐标轴交于A ，B 两点，抛物线y=﹣x 2+bx+c 过A 、B 两点，且交x 轴的正半轴于点C ．（2）求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点P ，使得△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．28．如图，已知抛物线21322y x x n =--（n ＞0）与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴交于点C 。

2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：三角形2（附答案）1．如图，已知AC ＝DB ，AO ＝DO ，CD ＝100 m ，则A ，B 两点间的距离( )A ．大于100 mB ．等于100 mC ．小于100 mD ．无法确定2．如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角的顶点重合于点O ，DC 与OB 交于点E ，若AB OC P ，则CEB ∠的度数为（ ）A ．95oB ．100oC ．105oD ．110o3．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，按如下步作图：①分别以点A ，D 为圆心，以大于12AD 的长为半径在AD 两侧作弧，两弧交于两点M ，N ；②作直线MN 分别交AB ，AC 于点E ，F ；③连接DE ，DF ，若BD ＝6，AE ＝4，CD ＝3，则CF 的长是（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．34．如图，AB 是O e 的弦，半径OC AB ⊥于点D ，且8cm AB =，5cm OC =，则DC 的长是（ ）A ．3cmB ．2.5cmC ．2cmD ．1cm5．如图，正方形ABCD 的边长AB ＝4，分别以点A 、B 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点E ，则BE 的长是（ ）A ．23πB ．πC ．43πD ．83π 6．如图，将一副三角板如图放置，使点A 落在DE 上，若BC ∥DE ，则∠AFC 的度数为（ ）A ．80°B ．85°C ．75°D ．60°7．如图，在Rt ABC ∆中，90B =o ∠，分别以A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，连接MN ，与AC ，BC 分别相交于点D ，点E ，连结AE ，当5AB =，9BC =时，ABE ∆的周长是( )A ．19B ．14C ．4D ．138．等腰三角形的两边分别为4和9，则这个三角形的周长是（ ）A ．17B ．20C ．22D ．17或229．下列说法正确的是( )A ．面积相等的两个三角形是全等三角形B ．全等三角形是指形状相同的两个三角形C ．全等三角形的周长和面积分别相等D ．所有的等腰直角三角形都是全等三角形10．在Rt △ABC 中，若AC 3，BC 13AB ＝4，则下列结论中正确的是( ) A ．∠C ＝90°B ．∠B ＝90°C ．△ABC 是锐角三角形D ．△ABC 是钝角三角形11．如图，在Rt ABC ∆中，90,30,6C ABC AB ∠=∠==o o ．点D 在AB 边上，点E 在BC 边上（不与点B ，C 重合），且DA DE =，则AD 的取值范围是______．12．如图，三角形纸片ABC 中，∠C =90°，AC =CB =4，D 是CB 的中点，折叠三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ．则AF 的长是___________．13．在ABC ∆中，50A ∠=o ，30B ∠=o ，点D 在边AB 上，连接CD ，若AC=AD ，则BCD ∠的大小是____．14．如图，已知MON=30°，OA=4，在OM 、ON 上分别找一点B 、C ，使AB+BC 最小，则最小值为___________.15．如图，在□ABCD 中，∠ABC 和∠BCD 的平分线交边AD 于点E ，且BE=12，CE=5，则点AB 与CD 之间的距离是____16．在同一平面内，将一副直角三角板ABC 和EDF 如图放置(∠C ＝60°，∠F ＝45°)，其中直角顶点D 是BC 的中点，点A 在DE 上，则∠CGF ＝_____°．17．如图，正方形AOCB 的顶点C ，A 分别在x 轴，y 轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线．若BC ＝6，BD ＝5，则点D 的坐标是_____．18．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线.求证：AD ⊥BC .（填空）证明：AD Q 是BC 边上的中线BD ∴=_____（中线的定义）在ABD ∆和ACD ∆中_______________________AB BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩Q （已知）（公共边）____________∴≅( )ADB ∴∠=_____（全等三角形的对应角相等）12ADB BDC ∴∠=∠=__________º（平角的定义） AD BC ∴⊥（垂直的定义）19．如图，已知CE ⊥AB ，垂足为点E ，DF ⊥AB ，垂足为点F ，AF =BE ，AC =BD ，则下列结论：①Rt △AEC ≌Rt △BFD ；②∠C +∠B =90°；③AC ∥BD ；④∠A =∠D ．其中正确的结论为____．（填序号）20．如图，∠AOC ＝90°，P 为射线OC 上任意一点（点P 不与点O 重合），分别以AO ，AP 为边在∠AOC 的内部作两个等边△AOE 和△APQ ，连接QE 并延长交OP 于点F ，则∠OEF 的度数是_____．21．观察猜想（1）如图①，在Rt ABC △中，90BAC ︒∠=，3AB AC ==，点D 与点A 重合，点E 在边BC 上，连接DE ，将线段DE 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DF ，连接BF ，BE 与BF 的位置关系是________，BE BF +=________；探究证明（2）在（1）中，如果将点D 沿射线AB 方向移动，使1AD =，其余条件不变，如图②判断BE 与BF 的位置关系，并求BE BF +的值，请写出你的理由或计算过程;拓展延伸（3）如图③，在ABC △中，AB AC =，BAC α∠=，点D 在BA 的延长线上，BD n =，连接DE ，将线段DE 绕点D 顺时针旋转，旋转角EDF α∠=，连接BF ，则BE BF +的值是多少？请用含有n ，α的式子直接写出结论.22．在“学本课堂”的实践中，王老师经常让学生以“问题”为中心进行自主、合作、探究学习.（课堂提问）王老师在课堂中提出这样的问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，那么BC和AB有怎样的数量关系？（互动生成）经小组合作交流后，各小组派代表发言.（1）小华代表第3小组发言：AB=2BC．请你补全小华的证明过程.证明：把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC．∴∠ACD=∠ACB=90°，∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°，即：点B、C、D共线.（请在下面补全小华的证明过程）（2）受到第3小组“翻折”的启发，小明代表第2小组发言：如图2，在△ABC中，如果把条件“∠ACB=90°”改为“∠ACB=135°”，保持“∠BAC=30°”不变，若BC=1，求AB 的长.（能力迁移）我们发现，翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面问题.如图3，点D是△ABC内一点，AD=AC，∠BAD=∠CAD=20°，∠ADB+∠ACB=210°，则AD、DB、BC三者之间的数量关系是.（课后拓展）如图4，在四边形ABCD中，∠BCD=45°，∠BAD=90°，∠ADB=∠CDB=60°，且AC=1，则△ABD的周长为.23．如图，在边长为1的正方形组成的网格图中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列问题：（1）求△ABC的周长；（2）试判断△ABC的形状．24．如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，AE＝CF，DF∥BE，∠B＝∠D，求证：AD＝BC．25．如图，设一个三角形的三边分别是3，1−3m，8.(1)求m 的取值范围；(2)是否存在整数m 使三角形的周长为偶数?若存在，求出三角形的周长；若不存在，说明理由；(3)如图,在(2)的条件下,当AB=8,AC=1−3m,BC=3时,若D 是AB 的中点,连CD,P 是CD 上动点(不与C,D 重合,当P 在线段CD 上运动时,有两个式子):①ABC APC BPD S S S +V V V ;②PA PB AB+，其中有一个的值不变，另一个的值改变。

中考数学直角三角形与勾股定理专题训练一、选择题1. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD 的面积为()A.B.3 C.D.52. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为()A.B.C.D.3. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为()A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点，则点D的个数共有()B，C)，若线段AD长为正整数．．．A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个5.小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间6. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE ⊥AB，垂足为E.若DE=1，则BC的长为()A.2+B.+C.2+D.37. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则()A. x－y2＝3B. 2x－y2＝9C. 3x－y2＝15D. 4x－y2＝218. 已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为()A.32B.332C.32D. 不能确定二、填空题9. 如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB+∠PBA=°(点A，B，P是网格线交点).10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F.过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则CD的长是________．11. 三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD 的长度是 .12. 如图，△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°得到△DEC ，连接BD ，则BD 2的值是 .13. (2019•通辽)腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．14. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，AD ＝5，DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，则△ABE 的面积等于________．15. 在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为________．16. (2019•伊春)一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=︒，10AB =，6AC =，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的△是直角三角形时，则CD的长为__________．点E处，当BDE三、解答题17. 如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.(1)线段DC=;(2)求线段DB的长度.18. 已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2，整式B>0.[尝试] 化简整式A.[发现] A=B2，求整式B.[联想] 由上可知，B2=(n2-1)2+(2n)2，当n>1时，n2-1，2n，B为直角三角形的三边长，如图.填写下表中B的值:直角三角形三边n2-1 2n B勾股数组Ⅰ8勾股数组Ⅱ3519. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF ∥AB交ED的延长线于点F.(1)求证:△BDE≌△CDF;(2)当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长.20. 在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完．．．．．．．．．．．．．成解答过程．．．．．21.如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港．(1)求A，C两港之间的距离(结果保留到0.1 km，参考数据：2≈1.414，3≈1. 732)；(2)确定C港在A港的什么方向．22. 已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】D[解析]如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=90°，∴AC===5.∴sin∠BAC==.故选D.3. 【答案】C[解析]在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A'BD中，∵∠A'DB=90°，A'D=2米，BD2+A'D2=A'B2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD>0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).4. 【答案】C【解析】如解图，当AD⊥BC时，∵AB＝AC，∴D为BC的中点，BD＝CD＝12BC＝4，∴AD＝AB2－BD2＝3；又∵AB＝AC＝5，∴在BD和CD之间一定存在AD＝4的两种情况，∴点D的个数共有3个．5. 【答案】C【解析】由作法过程可知，OA=2，AB=3，∵∠OAB=90°，∴OB=22222313+=+=，∴P点所表示的数就是OA AB13，∵91316<<，<<，∴3134即点P所表示的数介于3和4之间，故选C．6. 【答案】A[解析]过点D作DF⊥AC于F，如图所示，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF=1.在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2.在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CD=DF=，∴BC=BD+CD=2+.7. 【答案】B【解析】连接DE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，过E作EG⊥BC，垂足为G.∵AB＝AC，AF⊥BC，BC＝12，∴BF＝FC＝6，又∵E是AC的中点，EG⊥BC，∴EG∥AF，∴CG＝FG＝12CF＝3，∵在Rt△CEG中，tan C＝EG CG，∴EG＝CG×tan C＝3y；∴DG＝BF＋FG－BD＝6＋3－x＝9－x，∵HD是BE的垂直平分线，∴BD＝DE＝x，∵在Rt△EGD中，由勾股定理得，ED2＝DG2＋EG2，∴x2＝(9－x)2＋(3y)2，化简整理得，2x－y2＝9.8. 【答案】B【解析】如解图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于点H，则BH＝32，AH＝AB2－BH2＝332.连接P A，PB，PC，则S△P AB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC，∴12AB·PD＋12BC·PE＋12CA·PF＝12BC·AH，∴PD＋PE＋PF＝AH＝332.二、填空题9. 【答案】45[解析]本题考查三角形的外角，可延长AP交正方形网格于点Q，连接BQ，如图所示，经计算PQ=BQ=，PB=，∴PQ2+BQ2=PB2，即△PBQ为等腰直角三角形，∴∠BPQ=45°，∴∠P AB+∠PBA=∠BPQ=45°，故答案为45.10. 【答案】5【解析】由题意知EF垂直平分AB，∴点D是AB的中点，∵∠ACB＝90°，∴CD为斜边AB的中线，∴CD＝12AB.∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝82＋62＝10，∴CD＝5.11. 【答案】15-5[解析]过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=10×tan60°=10.∵AB∥CF，∴∠BCM=∠ABC=30°，∴BM=BC×sin30°=10=5，CM=BC×cos30°=15.在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=5，∴CD=CM-MD=15-5.12. 【答案】8+4[解析]如图，连接AD，设AC与BD交于点O，由题意得CA=CD，∠ACD=60°，∴△ACD为等边三角形，∴AD=CD，∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°.∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC=CD=2.∵AB=BC，CD=AD，∴BD垂直平分AC，∴BO=AC=，OD=CD·sin60°=，∴BD=，∴BD 2=()2=8+4.13. 【答案】6或25或45【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6；②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴222425BC =+=，∴此时底边长为25；③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则223AD AC CD =-=，∴8BD =，∴45BC = ∴此时底边长为56或54514. 【答案】78 【解析】如解图，过A 作AH ⊥BC ，∵AB ＝15，AC ＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC ＝152＋202＝25，∵AD ＝5，∴DC ＝20－5＝15，∵DE ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴△CDE ∽△CBA ，∴CE CA ＝CD CB ，∴CE ＝1525×20＝12.法一：BC·AH ＝AB·AC ，AH ＝AB·AC BC ＝15×2025＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.法二：DE ＝152－122＝9，由△CDE ∽△CAH 可得，CD CA ＝ED HA ，∴AH ＝9×2015＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.15. 【答案】13 或10 【解析】(1)如解图①所示，当P 点靠近B 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝2，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝13；(2)如解图②所示，当P 点靠近C 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝1，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝10.综上可得：AP 长为13 或10.16. 【答案】3或247【解析】分两种情况：①若90DEB ∠=︒，则90AED C ∠=︒=∠，CD ED =，连接AD ，则Rt Rt ACD EAD △≌△，∴6AE AC ==，1064BE =-=，设CD DE x ==，则8BD x =-，∵Rt BDE △中，222DE BE BD +=，∴2224(8)x x +=-，解得3x =，∴3CD =；②若90BDE ∠=︒，则90CDE DEF C ∠=∠=∠=︒，CD DE =，∴四边形CDEF 是正方形，∴90AFE EDB ∠=∠=︒，AEF B ∠=∠， ∴AEF EBD △∽△，∴AF EF ED BD=， 设CD x =，则EF DF x ==，6AF x =-，8BD x =-， ∴68x x x x -=-，解得247x =，∴247CD =， 综上所述，CD 的长为3或247，故答案为：3或247．三、解答题17. 【答案】解:(1)4(2)∵AC=AD ，∠CAD=60°，∴△CAD 是等边三角形，∴CD=AC=4，∠ACD=60°.过点D 作DE ⊥BC 于E ，∵AC ⊥BC ，∠ACD=60°，∴∠BCD=30°.在Rt △CDE 中，CD=4，∠BCD=30°，∴DE=CD=2，CE=2，∴BE=，在Rt△DEB中，由勾股定理得DB=.18. 【答案】解:[尝试] A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2. [发现] ∵A=B2，B>0，∴B==n2+1.[联想] ∵2n=8，∴n=4，∴B=n2+1=42+1=17.∵n2-1=35，∴B=n2+1=37.∴填表如下:直角三角形三n2-1 2n B边勾股数组Ⅰ8 17勾股数组Ⅱ35 3719. 【答案】解:(1)证明:∵CF∥AB，∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△BDE≌△CDF.(2)∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，∴AB=AE+BE=1+2=3.∵AD⊥BC，BD=CD，∴AC=AB=3.20. 【答案】解：如解图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，设BD＝x，则CD＝14－x，根据勾股定理可得：AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2，即152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.(3分)∴AD2＝152－x2＝152－92＝144.(5分)∵AD>0，∴AD＝12.(8分)∴S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84.(10分)21. 【答案】(1)由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．∵AB=BC=10，∴22AB BC102．答：A、C两地之间的距离为14.1 km．(2)由(1)知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，∴C港在A港北偏东15°的方向上．22. 【答案】13证明：(1)∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴CD ＝CE ，AC ＝BC ，∠ECD ＝∠ACB ＝90°，∴∠ECD －∠ACD ＝∠ACB －∠ACD ，即∠ACE ＝∠BCD ，(1分) 在△ACE 与△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧EC ＝DC ∠ACE ＝∠BCD AC ＝BC，(3分)∴△ACE ≌△BCD(SAS )．(4分)(2)∵△ACE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ，∠EAC ＝∠B ＝45°，(6分)∴∠EAD ＝∠EAC ＋∠CAD ＝90°，在Rt △EAD 中，ED 2＝AD 2＋AE 2，∴ED 2＝AD 2＋BD 2，(8分)又ED 2＝EC 2＋CD 2＝2CD 2，∴2CD 2＝AD 2＋DB 2.(10分)。

2020年江西省赣州市于都县中考数学一轮测试：相似、三角函数一.选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）从不同方向看一只茶壶，你认为是俯视效果图的是（）A．B．C．D．2．（3分）如图，某飞机于空中A处探测倒地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α＝30°，飞行高度AC＝1200米，则飞机到目标B的距离AB为（）A．1200米B．2400米C．400米D．1200米3．（3分）如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形内的数字表示该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图是（）A．B．C．D．4．（3分）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（）A．B．C．D．5．（3分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值为（）A．B．C．D．6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为（）A．B．C．D．7．（3分）下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan C等于（）A．B．C．D．二.填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，AE＝3，BD＝4，则AC＝．10．（3分）在等腰△ABC中，∠C＝90°，则tan A＝．11．（3分）如图所示，平地上一棵树高为6米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成60°角时，第二次是当阳光与地面成30°角时，则第二次观察到的影子比第一次长．12．（3分）正方形ABCD的边长为1．如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC延长线上的点D′处，那么tan∠BAD′＝．13．（3分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝14cm，则阴影部分的面积是cm2．14．（3分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，B的坐标是（6，4），那么点B′的坐标是．15．（3分）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧．与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于．16．（3分）如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕点A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB垂直于地面时的影长为AC（假定AC＞AB），影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论：①m＞AC；②m ＝AC；③n＝AB；④影子的长度先增大后减小．其中，正确结论的序号是．（多填或错填的得0分，少填的酌情给分）．三、（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m．（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．18．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°（1）只用直尺和圆规作图，首先在BC上截取BD＝AB，再作BD的中垂线，交AB于E，连接AD，DE．（2）与△BDE相似的三角形有．（直接写出答案）19．（6分）生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°时（α为梯子与地面所成的角），能够使人安全攀爬．现在有一长为6米的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC．（结果保留两个有效数字，sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）20．（8分）如图，小明在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH丄HC．（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于度；（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．21．（8分）如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2．（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．（结果保留根号）五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F 落在AD上．（1）求证：△ABF∽△DFE；（2）若sin∠DFE＝，求tan∠EBC的值．23．（9分）如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心O，支架CD与水平面AE垂直，AB＝150厘米，∠BAC＝30°，另一根辅助支架DE＝76厘米，∠CED＝60°．（1）求垂直支架CD的长度；（结果保留根号）（2）求水箱半径OD的长度．（结果保留三个有效数字，参考数据：≈1.414，≈1.73）六、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比例相互唯一确定，因此，边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的关系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°＝．（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是．（3）如图②，已知∠C＝90°，sin A＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．25．（10分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB＝AC＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF（或它们的延长线）分别交BC（或它们的延长线）所在的直线于G，H点，如图（2）．（1）问：始终与△AGC相似的三角形有及；（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图（2）的情形说明理由）；（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形．参考答案与试题解析一.选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）从不同方向看一只茶壶，你认为是俯视效果图的是（）A．B．C．D．【分析】俯视图就是从物体的上面看物体，从而得到的图形；找到从上面看所得到的图形即可．【解答】解：选项A的图形是从茶壶上面看得到的图形．故选：A．2．（3分）如图，某飞机于空中A处探测倒地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α＝30°，飞行高度AC＝1200米，则飞机到目标B的距离AB为（）A．1200米B．2400米C．400米D．1200米【分析】利用所给角的正弦函数即可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝∠α＝30°，AC＝1 200，∴AB＝2AC＝2 400（米）．故选：B．3．（3分）如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形内的数字表示该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据各层小正方体的个数，然后得出三视图中主视图的形状，即可得出答案．【解答】解：综合三视图，这个几何体中，根据各层小正方体的个数可得：主视图有一层三个，另一层2个，即可得出答案．故选：A．4．（3分）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（）A．B．C．D．【分析】作AD⊥BC，可得AD＝BD＝5，利用勾股定理求得AB，再由余弦函数的定义求解可得．【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，则AD＝5，BD＝5，∴AB＝＝＝5，∴cos∠B＝＝＝，故选：B．5．（3分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值为（）A．B．C．D．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．【解答】解：解法1：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴sin A＝，tan B＝和a2+b2＝c2．∵sin A＝，设a＝3x，则c＝5x，结合a2+b2＝c2得b＝4x．∴tan B＝．故选A．解法2：利用同角、互为余角的三角函数关系式求解．∵A、B互为余角，∴cos B＝sin（90°﹣B）＝sin A＝．又∵sin2B+cos2B＝1，∴sin B＝＝，∴tan B＝＝＝．故选：A．6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为（）A．B．C．D．【分析】在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB，而∠B＝∠ACD，即可把求sin ∠ACD转化为求sin B．【解答】解：在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB＝＝＝3．∵∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD．∴sin∠ACD＝sin∠B＝＝，故选：A．7．（3分）下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．A、三角形三边分别是2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故B选项错误；C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故D选项正确．故选：D．8．（3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan C等于（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的中位线定理即可求得BD的长，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△BCD是直角三角形，然后根据正切函数的定义即可求解．【解答】解：连接BD．∵E、F分別是AB、AD的中点．∴BD＝2EF＝4∵BC＝5，CD＝3∴△BCD是直角三角形．∴tan C＝＝故选：B．二.填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，AE＝3，BD＝4，则AC＝9．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，得出CE的长度即可得出AC的长．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵AD＝2，AE＝3，BD＝4，∴，∴CE＝6，∴AC＝AE+EC＝3+6＝9．故答案为：9．10．（3分）在等腰△ABC中，∠C＝90°，则tan A＝1．【分析】根据△ABC是等腰三角形，∠C＝90°，求出∠A＝∠B＝45°，从而求出角A 的正切值．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠C＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∴tan A＝tan45°＝1，故答案为1．11．（3分）如图所示，平地上一棵树高为6米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成60°角时，第二次是当阳光与地面成30°角时，则第二次观察到的影子比第一次长4米．【分析】利用所给角的正切值分别求出两次影子的长，然后作差即可．【解答】解：第一次观察到的影子长为6×cot60°＝2（米）；第二次观察到的影子长为6×cot30°＝6（米）；所以两次观察到的影子长的差＝62＝4（米），故答案为4米．12．（3分）正方形ABCD的边长为1．如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC延长线上的点D′处，那么tan∠BAD′＝．【分析】根据题意画出图形．根据勾股定理求出BD的长，由旋转的性质求出BD′的长，再运用三角函数的定义解答即可．【解答】解：正方形ABCD的边长为1，则对角线BD＝．∴BD′＝BD＝．∴tan∠BAD’＝＝．13．（3分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝14cm，则阴影部分的面积是cm2．【分析】由于BC∥DE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．【解答】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝14cm，∴AC＝7cm．由题意可知BC∥ED，∴∠AFC＝∠ADE＝45°，∴AC＝CF＝7cm．故S△ACF＝×7×7＝（cm2）．故答案为：．14．（3分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，B的坐标是（6，4），那么点B′的坐标是（3，2）或（﹣3，﹣2）．【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点的坐标．【解答】解：∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，∴两矩形面积的相似比为：1：2，∵B的坐标是（6，4），∴点B′的坐标是：（3，2）或（﹣3，﹣2）．故答案为：（3，2）或（﹣3，﹣2）．15．（3分）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧．与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于．【分析】根据作图可以证明△AOB是等边三角形，则∠AOB＝60°，据此即可求解．【解答】解：连接AB，由图可知：OA＝0B，AO＝AB∴OA＝AB＝OB，即三角形OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴cos∠AOB＝cos60°＝．故答案是：．16．（3分）如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕点A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB垂直于地面时的影长为AC（假定AC＞AB），影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论：①m＞AC；②m ＝AC；③n＝AB；④影子的长度先增大后减小．其中，正确结论的序号是①③④．（多填或错填的得0分，少填的酌情给分）．【分析】点光源固定，当线段AB旋转时，影长将随物高挡住光线的不同位置发生变化．【解答】解：当木杆绕点A按逆时针方向旋转时，如图所示当AB与光线BC垂直时，m 最大，则m＞AC，①成立；①成立，那么②不成立；最小值为AB与底面重合，故n＝AB，故③成立；由上可知，影子的长度先增大后减小，④成立．三、（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m．（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．【分析】（1）根据投影的定义，作出投影即可；（2）根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例；构造比例关系．计算可得DE＝10（m）．【解答】解：（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE 的投影．（2）∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE．∵∠ABC＝∠DEF＝90°∴△ABC∽△DEF．∴，∴∴DE＝10（m）．说明：画图时，不要求学生做文字说明，只要画出两条平行线AC和DF，再连接EF即可．18．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°（1）只用直尺和圆规作图，首先在BC上截取BD＝AB，再作BD的中垂线，交AB于E，连接AD，DE．（2）与△BDE相似的三角形有△ADC、△ABC．（直接写出答案）【分析】（1）先以B为圆心，BA为半径，作弧，再作BD的中垂线即可；（2）根据相似三角形的判定进行判断即可得到答案．【解答】解：（1）如图，以B为圆心，BA为半径，作弧交BC于D，作BD的中垂线交BA于E，连接AD、DE．（2）答案为：△ADC和△ABC．19．（6分）生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°时（α为梯子与地面所成的角），能够使人安全攀爬．现在有一长为6米的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC．（结果保留两个有效数字，sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）【分析】易得α越大，梯子顶端达到最大高度，利用70°正弦值可得最大高度AC．【解答】解：当α＝70°时，梯子顶端达到最大高度，（1分）∵sinα＝，（2分）∴AC＝sin70°×6＝0.94×6＝5.64，（2分）≈5.6（米）．答：人安全攀爬梯子时，梯子的顶端达到的最大高度约5.6米．（1分）四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）20．（8分）如图，小明在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH丄HC．（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于30度；（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．【分析】（1）根据俯角以及坡度的定义即可求解；（2）在直角△PHB中，根据三角函数即可求得PB的长，然后在直角△PBA中利用三角函数即可求解．【解答】解：（1）30；（2）由题意得：∠PBH＝60°，∵∠ABC＝30°，∴∠ABP＝90°，又∠APB＝45°，∴△P AB为等腰直角三角形，在直角△PHB中，PB＝＝＝20．在直角△PBA中，AB＝PB＝20≈34.6米．答：A，B两点间的距离是34.6米．21．（8分）如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2．（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．（结果保留根号）【分析】（1）取OA的中点A′，OB的中点B′，OC的中点C′，然后顺次连接即可；（2）根据勾股定理列式求出AC、A′C′的长，再根据周长公式列式进行计算即可得解．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求作的三角形；（2）根据勾股定理，AC＝＝2，A′C′＝＝，所以，四边形AA′C′C的周长为：1++2+2＝3+3．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F 落在AD上．（1）求证：△ABF∽△DFE；（2）若sin∠DFE＝，求tan∠EBC的值．【分析】（1）根据矩形的性质可知∠A＝∠D＝∠C＝90°，△BCE沿BE折叠为△BFE，得出∠BFE＝∠C＝90°，再根据三角形的内角和为180°，可知∠AFB+∠ABF＝90°，得出∠ABF＝∠DFE，即可证明△ABF∽△DFE，（2）已知sin∠DFE＝，设DE＝a，EF＝3a，DF＝＝2a，可得出CE ＝EF＝3a，CD＝DE+CE＝4a，AB＝4a，∠EBC＝∠EBF，由（1）中△ABF∽△DFE，可得tan∠EBC＝tan∠EBF＝＝．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，∵△BCE沿BE折叠为△BFE，∴∠BFE＝∠C＝90°，∴∠AFB+∠DFE＝180°﹣∠BFE＝90°，又∵∠AFB+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DFE，∴△ABF∽△DFE，（2）解：在Rt△DEF中，sin∠DFE＝＝，∴设DE＝a，EF＝3a，DF＝＝2a，∵△BCE沿BE折叠为△BFE，∴CE＝EF＝3a，CD＝DE+CE＝4a，AB＝4a，∠EBC＝∠EBF，又由（1）△ABF∽△DFE，∴＝＝＝，∴tan∠EBF＝＝，tan∠EBC＝tan∠EBF＝．23．（9分）如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心O，支架CD与水平面AE垂直，AB＝150厘米，∠BAC＝30°，另一根辅助支架DE＝76厘米，∠CED＝60°．（1）求垂直支架CD的长度；（结果保留根号）（2）求水箱半径OD的长度．（结果保留三个有效数字，参考数据：≈1.414，≈1.73）【分析】（1）首先弄清题意，了解每条线段的长度与线段之间的关系，在△CDE中利用三角函数sin60°＝，求出CD的长．（2）首先设出水箱半径OD的长度为x厘米，表示出CO，AO的长度，根据直角三角形的性质得到CO＝AO，再代入数计算即可得到答案．【解答】解：（1）∵DE＝76厘米，∠CED＝60°，∴sin60°＝＝，∴CD＝38cm．（2）设水箱半径OD的长度为x厘米，则CO＝（38+x）厘米，AO＝（150+x）厘米，∵∠BAC＝30°，∴CO＝AO，38+x＝（150+x），解得：x＝150﹣76＝150﹣131.48≈18.5cm．六、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比例相互唯一确定，因此，边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的关系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°＝1．（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是0＜sadA＜2．（3）如图②，已知∠C＝90°，sin A＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；（3）在AB上取点D，使AD＝AC，过点D作DE⊥AC于E，连接CD，设AD＝AC＝5x，则DE＝3x，AE＝4x．则CE＝x．CD可求出，根据定义可求出答案．【解答】解：（1）根据正对定义，当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，则三角形为等边三角形，则sad60°＝＝1．故答案为：1．（2）当∠A接近0°时，sadA接近0，当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．故答案为：0＜sadA＜2．（3）在AB上取点D，使AD＝AC，过点D作DE⊥AC于E，连接CD，如图．∵在Rt△ADE中，＝sin A＝，设AD＝AC＝5x，则DE＝3x，AE＝4x．∴CE＝x．∴在Rt△CDE中，CD＝＝x．∴sad A＝＝＝．25．（10分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB＝AC＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF（或它们的延长线）分别交BC（或它们的延长线）所在的直线于G，H点，如图（2）．（1）问：始终与△AGC相似的三角形有△HAB及△HGA；（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图（2）的情形说明理由）；（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形．【分析】（1）根据△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，利用相似三角形的判定定理即可得出结论．（2）由△AGC∽△HAB，利用其对应边成比例列出关于x、y的关系式：9：y＝x：9即可．（3）此题要采用分类讨论的思想，当CG＜BC时，当CG＝BC时，当CG＞BC 时分别得出即可．【解答】解：（1）∵△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，∵∠H+∠HAC＝45°，∠HAC+∠CAG＝45°，∴∠H＝∠CAG，∵∠ACG＝∠B＝45°，∴△AGC∽△HAB，∴同理可得出：始终与△AGC相似的三角形有△HAB和△HGA；故答案为：△HAB和△HGA．（2）∵△AGC∽△HAB，∴AC：HB＝GC：AB，即9：y＝x：9，∴y＝，∵AB＝AC＝9，∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝9．答：y关于x的函数关系式为y＝．（3）①当CG＜BC时，∠GAC＝∠H＜∠HAG，∴AG＜GH，∵GH＜AH，∴AG＜CH＜GH，又∵AH＞AG，AH＞GH，此时，△AGH不可能是等腰三角形，②当CG＝BC时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形，此时，GC＝，即x＝，③当CG＞BC时，由（1）△AGC∽△HGA，所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在GA＝AH，若GA＝AH，则AC＝CG，此时x＝9，如图（3），当CG＝BC时，注意：DF才旋转到与BC垂直的位置，此时B，E，G重合，∠AGH＝∠GAH＝45°，所以△AGH为等腰三角形，所以CG＝9，综上所述，当x＝9或x＝或x＝9时，△AGH是等腰三角形．。