第9章重点解析

【学霸笔记】三年级上册数学同步重难点讲练第9章数学广角-集合第1课时集合用直观图解决重叠问题：解决重叠问题，可以从已知条件入手进行分析，画出集合图；借助集合图进行思考，为了不重复计算，应从它们的和中减去重叠部分，也可以先用其中一部分减去重叠部分，再加上另一部分。

例如：下面是希望小学三年级参加跳远、跑步的学生的名单。

参加跳远的有：李冬王艳刘君陈明刘静参加跑步的有：宋文王艳刘君王晓陈晓明张奇(1)请按名单把参加跳远、跑步的学生填在相应的圈里。

(2)参加跑步的有( 6 )人，参加跳远的有( 5 )人。

(3)参加跳远和跑步的一共有( 9 )人。

例1.把同样长的纸条平均分成3份或4份（如图所示），那么所求长度为（）厘米．A．5.5B．6C．6.75D．7【分析】第一个图可知：每根6厘米平均分成3份或者平均分成4份；观察第二个图发现：多出的部分是整根直条平均分成4份后，其中的1份又平均分成了2份，先用6厘米除以4，再除以2，就是多出的部分，再加上6厘米即可．【解答】解：6÷4÷2+6＝0.75+6＝6.75（厘米）答：所求长度为6.75厘米．故选：C．【点评】解决本题注意观察图，找出图中平均分的份数，再根据除法的意义求解．例2.现有若干个圆环，它们的外直径是6厘米，环宽1厘米，将它们（如图）紧扣在一起，拉紧测量其长度，则2个圆环拉紧后的长度是10厘米，8个圆环拉紧后的长度是34厘米．【分析】根据题干可知：1个圆环的长度是6厘米，2个环扣在一起时，总长度是两个环的长度和减去中间重叠部分的2个环宽，即2×1＝2厘米；8个环扣在一起时，总长度是8个环的长度和减去7个中间重叠部分，由此求解．【解答】解：1×2＝2（厘米）6+6﹣2＝10（厘米）6×8﹣2×7＝48﹣14＝34（厘米）答：2个圆环拉紧后的长度是10厘米，8个圆环拉紧后的长度是34厘米．故答案为：10，34．【点评】解决本题关键是明确重叠部分的数量＝环的个数﹣1．例3.等底等高的两个三角形一定能重合起来．×．（判断对错）【分析】根据三角形的面积S＝ah可知：只要是三角形的底和高相等，则它们的面积相等，据此即可得解．【解答】解：等底等高的两个三角形不一定形状完全相同；三角形的面积等于底×高÷2，所以等底等高的两个三角形面积一定相等；所以本题说法错误；故答案为：×．【点评】此题考查等底等高的两个三角形的面积相等．例4.有两张完全相同的长方形纸板，纸板长12厘米，宽5厘米，小红将这两张纸板重叠放在桌子上（如图）．你能求出拼成的这个图形的周长吗？【分析】周长比原来减少了4条宽的长度，即比原来减少了重叠部分的边长为5厘米的正方形的周长，然后根据正方形和长方形的周长公式解答即可．【解答】解：（5+12）×2×2﹣5×4＝68﹣20＝48（厘米）答：这个图形的周长是48厘米．【点评】本题关键是理解重叠部分的正方形的周长减少了的周长，本题也可以利用“割补法”通过变形求出图形的周长．一．选择题（共10小题）1．下面图形的面积是（）cm2A．12B．11C．102．如图，一个长方形和一个正方形重叠在一起，则∠1（）∠2．A．大于B．小于C．等于3．两个长5厘米、宽2厘米的长方形重叠成下方的图形．它的周长是（）A．49厘米B．20厘米C．24厘米D．18厘米4．如图，已知正方形和三角形有一部分重叠，三角形乙比三角形甲面积大7平方厘米，则x＝（）厘米．A．7B．8C．9D．105．如图，两个正方形的面积分别为16，9，两阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则（a﹣b）等于（）A．7B．6C．5D．46．如图所示，这条细线拉直后长约（）厘米．A．4B．5C．6D．87．每两段绳子打1个结（如图），像这样用10段绳子连起来围成一个圈，一共要打（）结．A．9个B．10个C．11个8．如图，正方形花池中玫瑰花占地，三角形花池中菊花占地，玫瑰花种植面积与菊花种植面积的比是（）A．4：3B．3：2C．2：3D．3：49．把5张同样长的纸连接成一张长纸条，接头处都重叠1厘米时，全长正好是40厘米，每张纸条的长是（）厘米．A．8B．8.8C．9D．9.610．两个同样大的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上（如图）．绕中心点旋转其中一个正方形，两个正方形重叠部分的面积是（）平方厘米A．2B．3C．4D．无法计算二．填空题（共8小题）11．已知A+B＝27，B+C＝32，A+C＝29，那么A+B+C＝12．如图，两个同样的铁环连在一起长28厘米，每个铁环长16厘米，8个这样的铁环依次连在一起长厘米，n个铁环连在一起长厘米．13．如图（图中单位；厘米），大长方形中的阴影部分是一个正方形，大长方形的周长是厘米．14．两个三角形重叠在一起，重叠部分面积占大三角形A的，占小三角形B的，则三角形A与三角形B的面积比为．如果三角形B的面积是24平方厘米，那么三角形A的面积是平方厘米．15．把两根长都是25厘米的铁条焊接为一根，焊接头（如图）长是5厘米，焊接后的铁条长厘米．16．右面方格图中，图1是边长2厘米的正方形，用两个这样的正方形叠放成图2，用三个这样的正方形叠放成图3，用四个这样的正方形叠放成图4．像这样，用八个这样的正方形叠放成的图形的面积是平方厘米．17．如图，将一个直角三角形沿着一条直角边水平移动后，AB＝8，BC＝5，ED＝3，那么阴影部分（即四边形DEGF）的面积．18．两个平行四边形A、B重叠在一起，重叠部分的面积是A的，是B的．已知A的面积比B的面积少12平方厘米，那么A的面积是平方厘米，B的面积是平方厘米．三．判断题（共3小题）19．有两根长都是100厘米的木条，钉成一根长180厘米的木条，中间钉在一起的重叠部分长是20厘米．（判断对错）20．用10张同样长的纸条粘成一条长61厘米的纸条（每个接头处都重叠1厘米），那么每张纸条长7厘米．（判断对错）21．用10张同样长的纸条接成一条长31厘米的纸带，如果每个接头都重叠1厘米，那么每张纸条长4.1厘米．．（判断对错）四．应用题（共7小题）22．思思用一根3米长的竹竿测量一个水池中水的深度，没有触到底．他把两根3米长的竹竿连接起来再测量，已知重叠部分是1米，竹竿触底后顶端刚好和水面持平．池中水深多少米？23．将3根长短相同的木棒粘在一起，粘好后如图．这3根木棒粘在一起有多长呢？（可以分段求出粘好后木棒的长度哟!）24．一个长方形与一个正方形部分重合（如图），求没有重合的阴影部分面积相差多少？（单位：厘米）25．有两块各长100厘米的木板，钉成一块木板，中间钉在一起的重叠部分是20厘米，钉成的木板长多少厘米？26．两块50厘米长的木板拼在一起，重叠部分长4厘米，现在两块木板的总长度是多少？它们的总长比1米长还是比1米短？27．把3根长16分米的绳子连接成一根长绳．（1）每两根之间接头处长2分米，结成后的长绳长多少分米？（2）结成后的长绳长42分米，每个接头处长多少分米？28．长方形和正方形有一部分重合（如图），两个图形中阴影部分的面积相差多少平方厘米？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】由图意可知，先求出3个正方形的面积，再去掉重叠部分2个1×1的面积，就是图形的面积．据此解答．【解答】解：2×2×3﹣1×1×2＝12﹣2＝10（平方厘米）答：图形的面积是10平方厘米．故选：C．【点评】解决此题的关键在于看懂图意：去掉重叠部分2个1×1的面积．2．【分析】根据长方形和正方形的特点可知：∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，所以∠1＝∠2，解答即可．【解答】解：如图：因为∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，所以∠1＝∠2故选：C．【点评】此题考查了简单图形的重叠问题，解决本题的关键在于明白∠1、∠2和∠3分别组成一个直角．3．【分析】根据图得出：此图的周长就是边长为5厘米的正方形的周长，由此利用正方形的周长公式C＝4a进行解答．【解答】解：5×4＝20（厘米）答：这个图形的周长是20厘米．故选：B．【点评】关键是利用平移的方法得出：此图的周长就是边长为5厘米的正方形的周长．4．【分析】由“三角形乙比三角形甲面积大7平方厘米”，可得：三角形ABE的面积比正方形ABCD的面积大7平方厘米，由此可得三角形ABE的面积等于正方形的面积加上7平方厘米，求得三角形ABE 的面积后，再利用三角形的面积公式求出BE的长后即可求得CE，即X的长．【解答】解：三角形乙的面积比三角形甲的面积大7平方厘米，根据图形可得：三角形ABE的面积比正方形ABCD的面积大7平方厘米，所以三角形ABE的面积为：7×7+7＝49+7＝56（平方厘米），又因为AB＝7厘米，所以BE的长度是：56×2÷7＝16（厘米），所以CE的长度为：16﹣7＝9（厘米），即X＝9厘米．答：X的长度是9厘米．故选：C．【点评】此题考查了三角形和正方形面积公式的灵活应用，这里根据题干得出三角形ABE与正方形的面积之差是7平方厘米是解决问题的关键．5．【分析】设重叠部分面积为c，（a﹣b）可理解为（a+c）﹣（b+c），即两个正方形面积的差．【解答】解：设重叠部分面积为c，a﹣b＝（a+c）﹣（b+c）＝16﹣9＝7，故选：A．【点评】本题考查了等积变换，将阴影部分的面积之差转换成整个图形的面积之差是解题的关键．6．【分析】因为如果拉直后，应该比现在的长多出2个（5﹣4）厘米，原来重叠后的长是（6﹣2）厘米，进而求出拉直后的长度．【解答】解：6﹣2+（5﹣4）×2＝4+2＝6（厘米）；答：这条细线拉直后长约6厘米；故选：C．【点评】明确重叠的线的长度是2个（5﹣4）厘米，是解答此题的关键．7．【分析】用8段绳子连起来围成一个圈，有8个间隔，由于是环形排列，每两段绳子打1个结，根据在封闭图形上植树问题的知识可得：间隔数就等于打结的个数，据此解答．【解答】解：因为圆圈是封闭图形有10段就有10个结，因此一共要打10结．故选：B．【点评】本题要考虑实际情况，属于在封闭图形上的植树问题，知识点是：栽树的棵数＝间隔数；知识链接（沿直线上栽）：栽树的棵数＝间隔数﹣1（两端都不栽），植树的棵数＝间隔数+1（两端都栽），植树的棵数＝间隔数（只栽一端）．8．【分析】把正方形的面积看作单位“1”，正方形花池中玫瑰花占地，即假山占正方形面积的，玫瑰花种植面积是假山面积的：＝3倍；三角形花池中菊花占地，即假山占三角形花池面积的，菊花种植面积是假山面积的2倍；由此即可求出玫瑰花种植面积与菊花种植面积的比．【解答】解：把正方形面积看作单位“1”，正方形花池中玫瑰花占地，即假山占正方形面积的，玫瑰花种植面积是假山面积：＝3倍；三角形花池中菊花占地，即假山占三角形花池面积的，菊花种植面积是假山面积的2倍；所以玫瑰花种植面积与菊花种植面积的比是3：2；故选：B．【点评】此题较难，应注意转化，求出玫瑰花种植面积是假山面积：＝3倍，菊花种植面积是假山面积的2倍，是解答此题的关键；用到的知识点：比的意义．9．【分析】因为每个接头都重叠1厘米，5个纸条有4个接头，也就是重叠了4厘米，然后加上重叠后的长度40厘米，就可得到5个纸条的长度和，再除以张数5，得到每张纸条的长度．【解答】解：[40+1×（5﹣1）]÷5，＝[40+4]÷5，＝44÷5，＝8.8（厘米）；答：每张纸条8.8厘米．故选：B．【点评】题解答的关键是弄清5张纸条有4个接头，不要误算成5个接头．10．【分析】正方形关于中心对称，所以首先通过旋转，可得阴影部分面积等于一个正方形面积的，然后根据正方形的面积公式，求出正方形的面积，进而求出阴影部分的面积即可．【解答】解：阴影部分面积等于一个正方形面积的，所以阴影部分的面积＝4×4×＝4（平方厘米）答：两个正方形重叠部分的面积是4平方厘米．故选：C．【点评】考查重叠问题，正方形的性质；把阴影部分进行合理转移是解决本题的难点．二．填空题（共8小题）11．【分析】A+B＝27，B+C＝32，A+C＝29，把这三个算式加起来就是A+B+C的2倍，即用27、32、29的和再除以2即可求出A+B+C的和．【解答】解：A+B＝27，B+C＝32，A+C＝29把这三个算式相加可得：A+B+B+C+A+C＝27+32+29（A+B+C）×2＝88那么A+B+C＝88÷2＝44．故答案为：44．【点评】解决本题注意观察算式的特点，找出A+B+C和的2倍，从而解决问题．12．【分析】根据题意，先求出两个铁环连在一起，重叠的部分的长度，再求出8个铁环连在一起，重叠的部分的长度，最后求出8个这样的铁环依此连在一起的长度．【解答】解：两个铁环连在一起重叠的部分的长度是：16×2﹣28＝32﹣28＝4（厘米），8个铁环连在一起，重叠的部分的长度是：4×（8﹣1）＝4×7＝28（厘米），8个这样的铁环依此连在一起的长度：16×8﹣28＝128﹣28＝100（厘米）；n个铁环连在一起，重叠的部分的长度是：4×（n﹣1）＝4n﹣4（厘米），n个铁环连在一起长：16n﹣（4n﹣4）＝16n﹣4n+4＝12n+4（厘米），答：8个这样的铁环依此连在一起长100厘米，n个铁环连在一起长（12n+4）厘米．故答案为：100，（12n+4）．【点评】解答此题的关键是，如何求出重叠部分的长度，再用总长度减去重叠部分的长度就是要求的答案．13．【分析】此题可设正方形的边长为x厘米，则长方形的长为（19+12﹣x）厘米，因为正方形的边长等于长方形的宽，由长方形周长公式可得大长方形的周长是：[（19+12﹣x）+x]×2，据此解答．【解答】解：设正方形的边长为x厘米，则长方形的长为（19+12﹣x）厘米，因为正方形的边长等于长方形的宽，因此大长方形的周长是：[（19+12﹣x）+x]×2＝31×2＝62（厘米）；答：大长方形的周长是62厘米．故答案为：62．【点评】此题也可这样理解：（19+12）就是长方形的长和宽的和，由长方形周长公式即可求得大长方形的周长，列式为：（19+12）×2．14．【分析】根据“重叠部分面积占大三角形A的，占小三角形B的，”可得关系式：A的面积×＝B的面积×，依此可求三角形A与三角形B的面积比，进一步求出三角形A的面积．【解答】解：A的面积×＝B的面积×，A的面积：B的面积＝：＝3：2；24×＝36（平方厘米）；答：三角形A与三角形B的面积比为3：2；三角形A的面积是36平方厘米．故答案为：3：2；36．【点评】本题关键是以重叠部分的面积作为中间量，根据分数乘除法的意义列式解答即可．15．【分析】把两根长度都是25厘米的铁条焊接起来，根据加法的意义，两根铁条全长是25+25厘米，又焊接头长是5厘米，由于接头处是两根铁条重叠在一起的，则要减去一个重叠长度，所以焊接好后的铁条长25+25﹣5厘米．【解答】解：25+25﹣5＝50﹣5＝45（厘米）答：焊接后的铁条长45厘米．故答案为：45．【点评】完成本题要注意接头处是两根铁条重叠在一起的．16．【分析】图1是1个这样的正方形，其面积是4平方厘米、图2是2个这样的正方形叠放成，其面积是7平方厘米、图3是3个这样的正方形叠放成，其面积是10平方厘米、图4是4个这样的正方形叠放成，其面积是13平方厘米……4、7、10、13……是从首项为4公差为3的等差递增数列．4＝3×1+1、7＝3×2+1、10＝3×3+1、13＝3×4+1……第n 个图由n 个这样的正方形叠放成，其面积是（3n +1）平方厘米．【解答】解：由分析可知，由n 个这样的正方形叠放成的面积是（3n +1）平方厘米．3×8+1＝24+1＝25（平方厘米）答：用八个这样的正方形叠放成的图形的面积是25平方厘米．故答案为：25．【点评】解答此题的关键是根据图形的充数、用这样正方形的个数、叠放而成的面积之间找出规律，这也是难点．然后再根据规律解答．17．【分析】首先由平移的性质可得：S △ABC ＝S △ECF ，AB ＝CE ＝8，继而可得S四边形EDGF ＝S 梯形ABCD ，然后可求得四边形EDGF 的面积．【解答】解：由平移的性质可得：S △ABC ＝S △ECF ，AB ＝CE ＝8，所以：CD ＝CE ﹣DE ＝8﹣3＝5，所以：S 四边形EDGF ＝S 梯形ABCD ，即：（5+8）×5÷2＝13×5÷2＝32.5故答案为：32.5【点评】本题主要考查了平移的性质和梯形的面积公式，本题中找出S四边形EDGF ＝S梯形ABCD是解题关键．18．【分析】把重叠部分的面积看作单位“1”，根据题意，平行四边形A的面积是重叠部分的面积的1÷＝3倍，同理，平行四边形B的面积是重叠部分的面积的5倍，由于A的面积比B的面积少12平方厘米，根据除法的意义可求重叠部分的面积，进一步得到A的面积和B的面积．【解答】解：12÷（1÷﹣1÷）＝12÷（5﹣3）＝12÷2＝6（平方厘米）6÷＝18（平方厘米）6÷＝30（平方厘米）答：A的面积是18平方厘米，B的面积是30平方厘米．故答案为：18，30．【点评】解答此题的关键是把阴影部分的面积看作单位“1”，相应地表示出平行四边形A和B的面积，进而解决问题．三．判断题（共3小题）19．【分析】如果两根木条首尾相接，则一共的长度为100×2＝200厘米，因为有重叠部分，长度变成180厘米，则重叠部分为200﹣180＝20厘米，据此即可解答．【解答】解：100×2﹣180＝200﹣180＝20（厘米）答：中间钉在一起的重叠部分是20厘米．故答案为：√．【点评】此题主要考查重叠问题，关键是明白重叠部分是两块木条原长度和与现长度和的差．20．【分析】10张纸条粘接在一起共有9处重叠，所以每张纸条长（61+9）÷10＝7（厘米）；由此解答．【解答】解：（61+9）÷10＝70÷10＝7（厘米），每张纸条长7厘米，原题说法正确．故答案为：√．【点评】明确10张纸条粘接在一起共有9处重叠，是解答此题的关键．21．【分析】因为每个接头都重叠1厘米，10个纸条有9个接头，也就是重叠了9厘米，然后加上重叠后的长度31厘米，就可得到10个纸条的长度和，再除以张数10，得到每张纸条的长度．【解答】解：[31+1×（10﹣1）]÷10，＝[31+9]÷10，＝40÷10，＝4（厘米）；故答案为：×．【点评】此题解答的关键是弄清10张纸条有9个接头，不要误算成10个接头．四．应用题（共7小题）22．【分析】如图所示，两根竹竿原来的长度和是3+3＝6米，已知重叠部分是1米，即重叠后减少了1米，所以池中水深6﹣1＝5米．【解答】解：3+3﹣1＝5（米）答：池中水深5米．【点评】本题考查了重叠问题，关键是明确重叠部分的长度与总长度之间的关系．23．【分析】用5厘米乘3，求出3根木棒的总长度，再减去重叠的2个5毫米即可．【解答】解：5厘米＝50毫米50×3﹣2×5＝150﹣10＝140（毫米）答：这3根木棒粘在一起140毫米．【点评】解答本题关键是明确接在一起重叠了2个5毫米．24．【分析】因重合的部分面积相等，所以两块没有重合的阴影部分的面积差就是大长方形的面积与小正方形面积的差．【解答】解：9×6﹣5×5＝54﹣25＝29（平方厘米）答：没有重合的阴影部分面积相差29平方厘米．【点评】本题的关键是让学生理解两块没有重合的阴影部分的面积差就是大长方形的面积与小正方形面积的差．25．【分析】根据题意可知，用两块木板的长度相加﹣重叠部分的长度＝钉成的木板长度，据此列式解答．【解答】解：100+100﹣20＝200﹣20＝180（厘米）答：钉成的木板长180厘米．【点评】本题关键是理解重叠部分减少的是一个20厘米，而不是两个20厘米．26．【分析】因为中间重合部分是4厘米，两块50厘米长的木板拼在一起，原来的总长度是50+50＝100厘米，然后减去重叠部分的4厘米，就是现在这两块木板的总长度，然后转化单位，再比较长短即可．【解答】解：50+50﹣4＝100﹣4＝96（厘米）1米＝100厘米100＞96答：现在两块木板的总长度是96厘米，它们的总长比1米短．【点评】解答此类问题，关键是理解重叠部分的长度、总长度、现在的长度之间的关系．27．【分析】（1）先用16分米乘3求出3根绳子的全长；每两根之间接头处长2分米，那么3根绳子之间有2个接头，就是接头的总长度是2个2分米，再用乘法求出接头的总长度，然后用3根绳子的总长度减去接头的总长度，即可求出结成后的长绳长多少分米；（2）用三根绳子的总长度减去结成后的长度，得出减少的长度，也就是2个接头的总长度，再除以2，即可求出每个接头处长多少分米．【解答】解：（1）16×3＝48（分米）48﹣2×2＝48﹣4＝44（分米）答：结成后的长绳长44分米．（2）（48﹣42）÷2＝6÷2＝3（分米）答：每个接头处长3分米．【点评】解决本题关键是根据植树问题的思考方法，得出3根绳子有2个接头，再根据乘除法的意义进行求解．28．【分析】因重合的部分是公共部分，面积相等，所以两块没有重合的阴影部分的面积差就是大长方形的面积与小正方形面积的差．然后根据长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，代入数据解答即可．【解答】解：2×3﹣2×2＝6﹣4＝2（平方厘米）答：两个图形中阴影部分的面积相差2平方厘米．【点评】本题的关键是让学生理解两块没有重合的阴影部分的面积差就是大长方形的面积与小正方形的面积的差．。

第十一章:诉讼代表人
例题:某县农资公司卖假种子,致使某乡1000多 农民受损,农民欲起诉县农资公司.按照代表人 诉讼的规定,农民应当推选代表人参加诉讼.以 下对于该代表人说法正确的是:( ) A 可以由全体当事人推选,推选不出由法院提出 人选来协商 B 全体当事人可以推选乡政府作为代表人 C 如果有当事人不愿意推选代表人,可以另行起 诉 D 未经当事人同意,代表人在法庭上不能根据情 况变更诉讼请求
第十四章:证据
答案:本证:ACD 反证:B 注意B和C的区别 .E 是反驳,F也不是证 据
第十四章:证据
三:关于证明责任: 1.本质:风险分配 2.分配依据法律规定,同一事实的证明责 任在一个案件中不会转移 3. 是一种拟制而非事实 4. 证明责任分配:《证据规定》第五条到 第七条 5.证明责任倒置:《证据规定》第四条
第十四章:证据
例2:甲诉乙合同违约之诉中,乙有一项证据因客观原因 没有提出,乙也没有申请延长举证期限.在举证期限届满 后,乙方又发现了一项新的证据:问: 1 该新的证据应当何时提出? 2 对因为客观原因未能在举证期限内提出的证据可否作为 新的证据提出? 3 如果案件进入二审,二审未开庭前,乙又发现了新证据, 其应当在何时提供该证据? 4 二审不开庭审理,乙可不可以提出该新的证据,什么时 候提出? 5 二审结束后,甲发现新的证据提出再审,则该新证据能 否在再审开庭时提出?
重点提示:
第14章:民事诉讼证据 14章:民事诉讼证据
证据的概念,分类:法律上分类与理论上分类.书 证,物证,当事人陈述各自有什么特点. 证明对象:免予证明的事实有哪些.小简答. 证明责任:相对比较复杂.证明责任基本的含义: 风险负担. 证明责任分配:总体:谁主张,谁举证. 举证期限含义等.关于举证期限,要把《证据规定》 的具体细节好好看了.很容易出选择题. 证据保全:注意与财产保全不同的是,证据保全不 影响案件的管辖.财产保全有的案件可以是财产所 在地人民法院管辖.

知识是人类进步的阶梯第九章方差分析【思考与练习】一、思考题1. 方差分析de根本思想及其应用条件是什么？2. 在完全随机设计方差分析中SS、、SS且间、SS且内各表示什么含义？3. 什么是交互效应？请举例说明.4. 重复测量资料具有何种特点？5. 为什么总de方差分析de结果为拒绝原假设时,假设想进一步了解两两之间de差别需要进行多重比拟？二、最正确选择题1. 方差分析de根本思想为A. 组问均方大丁组内均方B. 误差均方必然小丁组问均方C. 总变异及其自由度按设计可以分解成几种不同来源D. 组内方差显著大丁组问方差时,该因素对所考察指标de影响显著E. 组问方差显著大丁组内方差时,该因素对所考察指标de影响显著2. 同一两样本均数比拟de资料,方差分析de结果与f检验de结果卜A.理论上不同*完全等价AF PC.完全等价F = F /D不同,,检验de结果更可靠wE.不同,方差分析de结果更可靠3. 完全随机设计de方差分析中,以下式子正确de选项是A.SS皇=$羽十5&时B., A£S t= US.E +A£f a_ +-1c. ss成巧> SS成内+JD,担Sjj闻> MS皿,E一％ <54. 总de方差分析结果有P<0.05,那么结论应为A. 各样本均数全相等B. 各总体均数全相等C. 各样本均数不全相等D. 各总体均数全不相等E. 至少有两个总体均数不等5. 对有k个处理组,b个随机区组de资料进行双因素方差分析, 其误差de自由度为A. kb - k - bB. kb - k - b -1C. kb -k - b -2D. kb - k - b 1E. kb -k - b 26. 2 2析因设计资料de方差分析中,总变异可分解为A. MS 总=MS B+MS AB. MS 总=MS B+MS误差C. S&、= SS B SS吴差D. SS = S$ SS SS吴差E. SS、=SS +S& +SS A B +SS吴差7. 观察6只狗服药后不同时间点〔2小时、4小时、8小时和24小时〕血药浓度de 变化,本试验应选用de统计分析方法是A. 析因设计de方差分析B. 随机区组设计de方差分析C. 完全随机设计de方差分析D. 重复测量设计de方差分析E. 两阶段交义设计de方差分析8. 某研究者在4种不同温度下分别独立地重复10次试验,共测得某定量指标de 数据40个,假设采用完全随机设计方差分析进行统计处理,其组问自由度是A. 39B. 36C. 26D. 9E. 39. 采用单因素方差分析比拟五个总体均数得P < 0.05 ,假设需进一步了解其中一个对照组和其它四个试验组总体均数有无差异,可选用de检验方法是A. Z检验B. t检验C. DunnettT 检验D. SNK -q 检验E. Levene 检验三、综合分析题1. 某医生研究不同方案治疗缺铁性贫血de 效果,将36名缺铁性贫血患者随机等分为3组,分别给予一般疗法、一般疗法+药物A低剂量,一般疗法+药物A高剂量三种处理,测量一个月后患者红细胞de升高数〔102/L〕,结果如表9-1所示.问三种治疗方案有无差异？表9-1三种方案治疗一个月后缺铁性贫血患者红细胞de升高数〔102/L〕编亏一般疗法一般疗法+A1 一般疗法+A21 0.81 1.32 2.352 0.75 1.41 2.503 0.74 1.35 2.434 0.86 1.38 2.365 0.82 1.40 2.446 0.87 1.33 2.46 7 0.75 1.43 2.408 0.74 1.38 2.439 0.72 1.40 2.21 10 0.82 1.40 2.45 110.80 1.34 2.38 120.751.462.402. 在药物敏感试验中,欲比拟三种弥散法de 抑菌效果,每种方法均采用三种药 物,观察其抑菌效果,以抑菌环de 直径为观察指标,结果如表 9-2所示,试比拟三种方法de 抑菌效果.表9-2 三种药物在不同弥散法下de 抑菌效果 (mm) 药物 -挖洞27.524.3 20.0 黄艮27.6 24.6 21.0 26.9 25.0 20.627.327.7 20.820.9 24.6 19.1 炒21.2 24.7 19.3 20.5 23.9 18.721.324.818.527.422.0 29.6 青霉素27.6 21.7 30.2 26.9 21.8 29.526.722.330.43. 某试验研究饮食疗法和药物疗法降低高胆固醇血症患者胆固醇de 效果有无差 别,随机选取14名高胆固醇血症患者,随机等分为两组,分别采用饮食疗法和 药物疗法治疗一个疗程,测量试验前后患者血胆固醇含量,结果如表 9-3所示,请问两种疗法降胆固醇效果有无差异.表9-3不同治疗方法下胆固醇变化情况 (mmol/L)4 6.94 6.64 7.31 6.835 9.17 8.42 6.81 6.736 7.61 7.22 8.16 7.657 6.60 6.65 6.98 6.524. 为研究某中学初一年级、初二年级和初三年级学生周日锻炼时间情况,从这三个年级中各随机抽取20名学生,调查得到学生周日锻炼时间如下表9-4所示问这三个年级学生周日锻炼时间是否不同？表9-4初中不同年级学生de锻炼时间〔分〕三年级37.856 59.164 48.77870.793 36.650 51.05786.928 38.511 47.60958.785 48.945 48.42873.923 29.367 42.81461.435 41.988 52.30364.130 69.419 54.32767.169 33.109 35.59149.099 38.872 55.01362.728 53.401 36.08452.534 62.814 21.30745.230 38.454 46.41940.400 32.802 41.83644.399 37.683 37.48133.091 48.944 35.78163.469 48.869 31.35441.704 41.920 45.19062.268 46.859 40.92458.209 65.067 38.87763.319 38.403 27.259经数据分析结果见下表：表9-5 三个年级之间de t检验结果组别t P一年级和二年级2.85 0.0071一年级和三年级4.09 0.0002二年级和三年级1.12 0.2710问：(1)该资料采用de是何种统计分析方法？(2) 所使用de统计分析方法是否正确？为什么？(3) 假设不正确,可以采用何种正确de统计分析方法.请作分析?【习题解析】一、思考题1. 方差分析de根本思想是把全部观察值de总变异按设计和需要分解成两个或多个组成局部,然后将各局部de变异与随机误差进行比拟, 来判断总体均数问de差别是否具有统计学意义.应用条件：各样本是相互独立de随机样本,且服从正态分布,各样本方差齐性.2. S&是各观测值与总均值之差de平方和, 即总离均差平方和,表示总变异de大小；SS且间表示组问变异,指各处理组均值大小de不同,是由处理因素和随机误差造成de；SS且内表示组内变异,指同一处理组内部各观察值之间de变异,是由随机误差造成de.3. 交互效应是指某一因素de效应随另一因素不同水平■de变化而变化,称这两个因素之间存在交互效应.例如：某实验研究A、B两种药物在不同剂量情况下对某病de治疗效果,药物A 在不同剂量时,B药de效应不同,或者药物B在不同剂量时,A药de效应不同,那么A、B两药问存在交互效应.4. 重复测量资料中de处理因素在受试者问是随机分配de,受试者内de因素即时间因素是固定de,不能随机分配；重复测量资料各受试者内de数据彼此不独立, 具有相关性,后一个时间点de数据可能受到前面数据de影响, 而且时间点离得越近de数据相关性越高.5. 方差分析中备择假设是多个总体均数不等或不全相等,拒绝原假设只说明多个总体均数总de 来说差异有统计学意义,并不能说明任意两总体均数之间均有差别.因此,假设希望进一步了解两两问de差异,需进行多重比拟.二、最正确选择题1. C2. C3. A4. E5. D6. E7. D8. E9. C三、综合分析题1.解：此题采用完全随机设计de方差分析表9-6 二种万荣治疗个月后缺铁性贫血患者红细胞de升高数: (102/L)一般疗法一般疗法+A1 一般疗法+A2 合计0.81 1.32 2.350.75 1.41 2.500.74 1.35 2.430.86 1.38 2.360.82 1.40 2.440.87 1.33 2.46X 0.75 1.43 2.400.74 1.38 2.430.72 1.40 2.210.82 1.40 2.450.80 1.34 2.380.75 1.46 2.40n i 12 12 12 36 (n)'X i 9.43 16.60 28.81 54.84( ' X )X i 0.7858 1.3833 2.4008'X i27.4385 22.9828 69.2281 299.6494(、X ) (1) 方差分析1)建立检验假设,确定检验水准H.：即三种方案治疗后缺铁性贫血患者红细胞升高数相同Hi :九、匕、气不全相同,即三种方案治疗后缺铁性贫血患者红细胞升高数不全相同:=0.052)计算检验统计量C =('X)2/N = (54.84)2/36=83.5396-- . —2 _ 2 _SS、= ' (X -X) 八X -C =99.6494-83.5396=16.1098v总=N -1 =36-1=3 5SS且间=' ng -X)2= \' X j)2,n i -C一.2 一一 2 __ __ 2,9.43 16.60 28.81、=(-------- ---------- ----------- )-83.5396 =16.002212 12 12v 组间=k —1 =3—1 = 2S 两内=S&、一S 寄间=16.1098—16.0022= 0.1076v 组内=N —k=33-MS 绢间 SS 祯/v 绢间 F — • = 2452.7216MS 组内SS 且内/v 组内 方差分析结果见表9-7表9-7完全随机资料de 方差分析表3〕确定P 值,作出统计推断查F 界值表〔附表4〕得P<0.01,按a =0.05水准,拒绝H 0 ,接受H 1 ,差异有 统计学意义,可以认为三种不同方案治疗后患者红细胞升高数de 总体均数不全相 同. ⑵ 用Dunnett-t 法进行多重比拟 1〕建立检验假设,确定检验水准H0：任一实验组与对照组de 总体均数相同 H 1 :任一实验组与对照组de 总体均数不同-=0.052〕计算检验统计量MS e =0.0033 n 〔 = n 2 = n 3=12 「「 1 1 1 1S i= \MSe(n T 、「"0033(12 12)=0.02表9-8 多个样本均数de Dunnett-t 检验计算表将表9-8中t D 取绝对值,并以计算 MS e 时de 自由度 *=33和实验组数 a=k-1=2〔不含对照组〕查Dunnett-t 界值表得P 值,列丁表中.按a =0.05水准, 一般疗法+A1与一般疗法相比,疗效差异有统计学意义,可以认为一般疗法+A1与一般疗法治疗缺铁性贫血疗效不同. 同理,可以认为一般疗法+A2与一般疗法治疗缺铁性贫血疗效不同SPSS操作数据录入：翻开SPSS Data Editor® 口,点击Variable View标签,定义要输入de变量, group表示组另U 〔1为一般疗法,2为一般疗法+药物A低剂量,3为一般疗法+ 药物A高剂量〕,x表示患者红细胞de升高数〔102/L〕；再点击Data View标签,录入数据〔见图9-1,图9-2〕.图9-1 Variable View窗口内定义要输入de变量group和x图9-2 Data View窗口内录入数据分析:Analyze Compare Means one-Way ANOV ADependent List 框：xFactor 框：groupPost Hoc—> Equal Variances Assumed:【♦Dunnett: Control Category : firstContinuEOption... r Statistics：I/ Homogeneity of Variances testContinueOK输出结果Test of Homogeneity of Variances(102/L)红细胞升高数(102/L)Multiple Comparisons2 Dependent Variable:红细胞升局数(10 /L)- 一一 _ aa Dunnett t-tests treat one group as a control, and compare all other groups against it.2. 解：此题采用析因设计de方差分析.表9-9 九种不同处理情况下抑菌环de直径(mm)纸片弥散法a〔挖洞弥散a2 钢圈弥散a3稣地青霉素青霉素青霉素合计b1 b2b3 b1 b2b3 b1 b2b327.5 20.9 27.4X 24.3 24.6 22.0 20.0 19.1 29.627.6 21.2 27.6 24.6 24.7 21.7 21.0 19.3 30.226.920.5 26.9 25.0 23.9 21.8 20.6 18.7 29.527.3 21.3 26.7 27.7 24.8 22.3 20.8 18.5 30.4n i 4 44 4 4 4 4 4 4 36 "X i 109.3 83.9 108.6101.698.087.882.4 75.6 119.7866.9n A1212 12n B1212 12、XA301.8 287.4 277.7、XB293.3 257.5316.1(1)建立检验假设,确定检验水准 因素AH o :三种弥散方法抑菌环直径de 总体均数相等H i :三种弥散方法抑菌环直径de 总体均数不全相等 因素B Ho :三种药物抑菌环直径de 总体均数相等 H 1 :三种药物抑菌环直径de 总体均数不全相等 AB 交互作用Ho :不同药物对三种弥散方法de 抑菌效果无影响 H i :不同药物对三种弥散方法de 抑菌效果有影响 :=0.05 (2)计算检验统计量C =(' X)2/N =(866.9)2/36 = 20875.4336 S&、=' X 2 -C =21322.83-20875.4336=447.3964=N —1=36—1 =35283.92 119.72 -+ +川+ )-20875.4336=436.6339 4 4v 处理=k 一1 = 82 -rr -2287土 玄7二)—20875.4336 = 24.50721212% = A de 水平■数-1=22 ：109.383.9S —"C=(二2 SS A 八(' XAf.'nA-CT 30!812MS A=竺=24507= 12.2536 '••A22Q3 32257 52316 12SS B (' X B)2n B—C =(. —— ― )- 20875.4336 = 145.4289 12 12 12v B = B de 水平■数-1 =2SS 145.4289MS B = * =72.7145'.•BS&B = S$里- S& - S& = 266.6978AB ='.•处理 一'3 一" =4SS AB 266.6978MS AB =」B = ------- = 66.6745 '•ABSS 吴差=SS 、-S$M 理= 10.7625.误差=N —k =36-9 =27SS 吴差 10.76250.398627MS 误差FBF ABM S AMS 1 2. 253 0. 39860. 74 1 6=些=*^=182.4247MS 误差 0.3986MSAB66.6745167.2717MS 吴差0.3986方差分析结果见表9-10变异来源 SS VMS FP总变异 447.3964 35处理436.6339 8A 24.5072 2 12.2536 30.7416 <0.05B 145.4289 2 72.7145 182.4247 <0.05 AB266.6978 4 66.6745167.2717<0.05误差10.7625270.3986表9-10析因设计资料de 方差分析表根据V,查F界值表〔附表4〕得相应P值.交互作用de F=167.2717, P<0.05, 按a =0.05水准,拒绝H0,接受H1 ,差异有统计学意义,可以认为弥散方法和药物抑菌效果两者之间存在交互作用. 这时,如要分析A因素或B因素de单独效应,应固定在A因素de基线水平■来分析B因素de作用,或者固定在B因素de基线水平■来分析A因素de作用.SPSS操作数据录入：翻开SPSS Data Editor® 口,点击Variable View标签,定义要输入de变量,g1表示三种弥散方法〔1为纸片,2为挖洞,3为钢圈〕,g2表示三种药物〔1为黄共,2为大黄,3为宵霉素〕,x表示抑菌效果〔mm〕;点击Data View标签,录入数据〔见图9-3,图9-4〕.图9-3 Variable View窗口内定义要输入de变量g1、g2和x图9-4 Data View窗口内录入数据分析：Analyze General Linear Model UnivariateDependent List 框：xFixed Factor 框：g1、g2OK输出结果Tests of Betw een-Subjects Effects3. 解：此题可采用t检验分析,但最好采用重复测量资料de方差分析. 因重复测量资料de方差分析计算量较大,故此题不给出笔算结果,仅提供SPSS软件分析结果.(1) 建立检验假设,确定检验水准处理因素KH0 :饮食疗法和药物疗法降低胆固醇值de总体均数相同H I :饮食疗法和药物疗法降低胆固醇值de总体均数不相同时间因素IH0：试验前后患者胆固醇值de总体均数相同H I :试验前后患者胆固醇值de总体均数不相同交互作用KIH0：时间对两种方法降低胆固醇de效果无影响H1 :时间对两种方法降低胆固醇de效果有影响:=0.05(2) 计算检验统计量本例是最简单de重复测量设计,时间因素只有两个水平,可以用重复测量de 方差分析进行计算,由丁时间点只有两个水平, 可以不考虑球形对称问题.列出方差分析表见表9-11:表9-11重复测量资料de方差分析表SS V MS F P总变异14.197 27处理0.168 1 0.168 0.153 0.703个体间误差13.196 12 1.100时间0.445 1 0.445 13.921 0.003处理州间0.004 1 0.004 0.122 0.733个体内误差0.384 12 0.032⑶确定P值,作出统计推断时间因素和治疗方法之间de交互作用,F值为0.122, P值为0.733,按口=0.05 水准,不拒绝H.,差异无统计学意义,尚不能认为时间和疗法之间存在交互作用；对丁时间因素,F值为13.921, P值为0.003, P<0.001,按a =0.05水准, 拒绝H0,接受H1 ,差异有统计学意义,可以认为试验前后患者胆固醇de值不同；两种治疗方法de F值为0.153, P值为0.703, P>0.05,按a =0.05水准,不拒绝H0 , 差异无统计学意义,尚不能认为饮食疗法和药物疗法之间具有差异.SPSS操作数据录入：翻开SPSS Data Editor® 口,点击Variable View标签,定义要输入de变量, no表示编号,g 表示分组〔1为饮食疗法,2为药物疗法〕,t1表示实验前患者胆固醇de值〔mmol/L〕 , t2表示实验后患者胆固醇de值〔mmol/L〕；击Data View标签, 录入数据〔见图9-5,图9-6〕.Filt Edit View Data transform Ainalyifr Graphs Utili ti nd&w Melp诊Q|A|风］J tdJd M|通蓟圜剑匿I栏剑< | ►|\ Data View | ♦SPSS Processor is ready图9-5 Variable View窗口内定义要输入de变量no、g、t1和t2图9-6 Data View窗口内录入数据分析:Analyze General Linear Model Repeated MeasuresWithin-Subject Factor name :改为tNumber of Levels :键入 2 Add |Define :Within-Subjects Variables [t] : t1 〜t2Between- Subjects Factor [s] : g Model : • Customr Within-Subjects Model : tr Between-Subjects Model : g Continue函输出结果Mauchly's Test of Sphericity(b)Tests of W ithin-Subjects EffectsTests of Betw een-Subjects EffectsMeasure: MEASURE_14. (1)该资料采用de是两独立样本t检验作两两比拟.(2) 所使用de统计分析方法错误.欲比拟三组均数是否两两不同,用两独立样本t检验作屡次比拟,会增大犯I型错误de概率.(3) 应领先采用完全随机设计方差分析,假设分析结果拒绝H0,那么进一步采用SNK法作三组问de两两比拟.完全随机设计方差分析1)建立检验假设,确定检验水准H.：三个年级锻炼时间de总体均数相等H I :三个年级锻炼时间de总体均数不全相等,即至少有两个总体均数不等:=0.052)计算检验统计量C =('X)2/N = (2887.142) 2/60=138926.4821 22SS 、= *X _X)2 八 X 2 -C =148914.9985-138926.4821=9988.5164v 总=N 』=60—1=59SS 且间=' MX ] -又)2 =、(' XS.n -C911.241838.432)-138926.4821「2431.72312020¥组间=k -1 =3 -1 = 2SS 且内=SS 、- SS 且间=7556.7933v 组内=N -k=57亡MS 组间SS 且间/v 组间…… F = --------- = ---------------- = 9.1711MS 组内SS 且内/v 组内 方差分析结果见表9-12.表9-12方差分析表SS vMSFP总变异 9988.5164 59组间2431.7231 2 1215.86159.17<0.01组内7556.793357132.5753多个样本均数问比拟见表9-13表9-13 SNK 检验计算表q 界值A 与BX A - XB标准误q包含组数--P& XA Ba0.05 0.01(1) (2) (3) (4)=(2)(3) (5) (6) (7) (8) 1与3 14.9519 2.5746 5.8075 3 3.44 4.37 <0.01 1与2 11.3114 2.5746 4.3935 2 2.86 3.82 <0.01 2与33.64052.57461.414022.863.82>0.053〕确定P 值, 作出统计推断方差分析结果P<0.01,按« =0.05水准,拒绝H 0,接受H 1 ,差异有统计学意义,可以认为三个年级锻炼时间de 总体均数不全相等； 多个均数问de 两两比拟 de SNK 检验结果提示：可以认为一年级和二年级、一年级和三年级de 锻炼时间 不同；尚不能认为二年级和三年级de 锻炼时间不同.1137.469220SPSS操作数据录入：翻开SPSS Data Editor® 口,点击Variable View标签,定义要输入de变量, group表示组另U 〔1为一年级,2为二年级,3为三年级〕,x表示锻炼时间〔分〕；再点击Data View标签,录入数据〔见图9-7,图9-8〕.图9-7 Variable View窗口内定义要输入de变量x、g图9-6 Data View窗口内录入数据分析:Analyze — Compare Means^ ONEWAY-ANOVADependent List 框：锻炼时间(x)Factor 框：gPost Hoc 卜Equal Variances Assumed " S-N-KContinueOption... — Statistics： v Homogeneity of Variances testContinue知识是人类进步的阶梯亟输出结果Test of Homogeneity of Variances 锻炼时间ANOVA锻炼时间文档如有冒犯，请站内留言，谢谢！。

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一、概念题1．奥肯定律（Okun ’s law ）答：奥肯定律是表示失业率与实际国民收入增长率之间关系的经验统计规律，由美国经济学家奥肯在20世纪60年代初提出。

其主要内容是：失业率每高于自然失业率1个百分点，实际GDP 将低于潜在GDP 2个百分点。

奥肯定律的一个重要结论是：实际GDP 必须保持与潜在GDP 同样快的增长，以防止失业率的上升。

如果政府想让失业率下降，那么，该经济社会的实际GDP 的增长必须快于潜在GDP 的增长。

根据奥肯的研究，在美国，失业率每下降1%，实际国民收入增长2%。

但应该指出的是：①奥肯定律表明了失业率与实际国民收入增长率之间是反方向变动的关系；②两者的数量关系1∶2是一个平均数，在不同的时期，这一比率并不完全相同；③这一规律适用于经济没有实现充分就业时的情况。

在经济实现了充分就业时，这一规律所表示的自然失业率与实际国民收入增长率之间的关系要弱得多，一般估算是1∶0.76。

2．领先指标（leading indicators ）答：领先指标是指一般先于整体经济变动的变量，可以帮助经济学家预测短期经济波动。

由于经济学家对前导指标可靠意见看法的不一致，导致经济学家给出不同的预测，其中就包括短期经济波动情况的预测。

领先指标的大幅度下降预示经济很可能会衰退，大幅度上升预示经济很可能会繁荣。

3．总需求（aggregate demand ）答：总需求是指整个经济社会在任何一个给定的价格水平下对产品和劳务的需求总量。