二、二次函数（命题人：华师附中郭键）1. （人教A 版第27页A 组第6题）解析式、待定系数法2若 f x ]=x bx c ，且 f 1V-0，f 3产0，求 f -1 的值._o变式1:若二次函数f x 二ax bx c 的图像的顶点坐标为 2,-1，与y 轴的交点坐标为 （0,11），贝yA . a=1,b--4,c--11B . a=3,b=12,c = 11C . a =3,b = -6,c =11D . a = 3, b =-12, c = 11变式 2:若 f x = -x :: j ：b 2 x 3,^ [b,c]的图像 x=1 对称，则 c= 变式3:若二次函数f x = ax 2 bx c 的图像与 x 轴有两个不同的交点 A x 1,0、B X 2,0，且xj • X 22二26，试问该二次函数的图像由9单位得到？2. （北师大版第52页例2）图像特征将函数f x 二-3x 2 -6X V 配方，确定其对称轴, 或最小值，并画出它的图像.4ac -b 2 D .4a变式2:函数f x = x 2 px q 对任意的x 均有 f 1 x 二 f 1 — x ，那么 f 0、f -1、f 1的大小关系是A . f 1 < f -1 < f 0 变式3:已知函数f x = ax 2 bx c 的图像如右图所示, 请至少写出三个与系数 a 、b 、c 有关的正确命题 3. （人教A 版第43页B 组第1题）单调性_ 2 2变式1 :已知二次函数2f x 二 ax bx c ,如果f X 1二f X 2 （其中x^ - x 2 ）,则2f x =-3 x-1的图像向上平移几个顶点坐标，求出它的单调区间及最大值bA .2aC . f 1 f 0 :: f -1D . f -1 :: f 0 ：： f 1O 一已知函数f x = x -2x, g x = x -2xx ［2,4］.（1）求f X , g x的单调区间；（2）求f x , g x的最小值.变式1:已知函数f x = x2 4ax 2在区间-：：,6内单调递减，则a的取值范围是A. a _3B. a^3C. a ：：：—3 D . a 二一3变式2:已知函数f x =x^ a -1 x 5在区间（2 ,1）上为增函数，那么f 2的取值范围是_________ .・kx在［2,4］上是单调函数，求实数k的取值范围.变式3:已知函数f X = -x24. （人教A版第43页B组第1题）最值2 2已知函数f X 二x -2x, g x 二 x -2x x ［2,4］.（1）求f X , g x的单调区间；（2）求f x , g x的最小值.c 2变式1:已知函数f X =x-2x • 3在区间［0,m］上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是A. 1, ：：B.〔0,21C. 1,21D. - ,2变式2:若函数y =3j-X2+4的最大值为M，最小值为m,贝y M + m的值等于__________________ .变式3:已知函数f x = 4x2 -4ax a^2a 2在区间［0,2］上的最小值为3,求a的值.5. （人教A版第43页A组第6题）奇偶性已知函数f X是定义在R上的奇函数，当X > 0时，f x］=x 1 X .画出函数f X的图像，并求出函数的解析式.变式1:若函数f x =mTx2，m2-1x，1是偶函数，则在区间一兀',0丨上f x是A •增函数B •减函数C.常数 D •可能是增函数，也可能是常数变式2：若函数f x = ax2 bx 3b a「1岂x空2 a是偶函数，则点a,b的坐标是变式3：设a为实数，函数f (x) = x2• | x - a | • 1, x • R •(I) 讨论f (x)的奇偶性；(II)求f (x)的最小值.6. (北师大版第64页A组第9题)图像变换厂 2x +4x+3,-3ExcO 已知f(x)=<—3x+3, 0 兰xc1・—x2 +6x —5,1 兰x 乞6(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；⑶求函数的最大值和最小值.变式1:指出函数y = —X2+2X+3的单调区间.变式2：已知函数f (x) x2-2ax b |(x R).给下列命题：①f (x)必是偶函数；②当f (0) = f(2)时，f (x)的图像必关于直线x=1对称；③若a2- b - 0，则f (x)在区间［a,+s )上是增函数；④ f (x)有最大值|a2 -b| .其中正确的序号是__________ .③变式3:设函数f(x)=x|x|，bx c,给出下列4个命题:①当c=0时，y = f(x)是奇函数;②当b=0, c>0时，方程f(x) =0只有一个实根;③y = f (x)的图象关于点(0, c)对称；④方程f(x) =0至多有两个实根.上述命题中正确的序号为____________________ .7. (北师大版第54页A组第6题)值域求二次函数f(x)=-2X2・6X在下列定义域上的值域:(1)定义域为・ Z0空x乞3?；(2)定义域为［-2,11.变式1：函数f (x)二-2x2 6x：；：「2 ：：：x 2的值域是B. -20,4变式2：函数y=cos2x+sinx的值域是____________ .变式3:已知二次函数f(x) = ax 2+ bx (a、b为常数，且a工0),满足条件f (1 + x) = f (1 —x),且方程f (x) = x有等根.(1)求f (x)的解析式；⑵是否存在实数m、n (m < n),使f (x)的定义域和值域分别为［m,n］和［3m,3n］，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由.8. (北师大版第54页B组第5题)恒成立问题当a,b,c具有什么关系时，二次函数 f x A ax2• bx c的函数值恒大于零？恒小于零?变式1:已知函数f (x) = lg (a x 2+ 2x + 1).(I) 若函数f (x)的定义域为R,求实数a的取值范围；(II) 若函数f (x)的值域为R,求实数a的取值范围.变式2:已知函数f (x) = x2• ax • 3-a，若x 1-2,21时，有f (x) _2恒成立，求a的取值范围.变式3:若f (x) = x 2+ bx + c,不论〉、：为何实数，恒有f (sin : ) > 0, f (2 + cos：) < 0.⑴求证：b + c = —1;(II) 求证：c> 3;(III) 若函数f (sin :)的最大值为8，求b、c的值.9 (北师大版第54页B组第1题)根与系数关系右图是二次函数 f x =ax bx c的图像，它与x轴交于点x-i,0和X2,0 ，试确定a, b,c以及X1X2,音+X2的符号. y变式1：二次函数y =ax2 - b与一次函数y = ax • b(a . b)在同一个直角坐标系的图像为变式2:直线y 二mx - 3与抛物线G : y = x2 5mx - 4m, C2：y = x2 (2m - 1) x m2 - 3,2 __C3: y = x - 3mx -2m -3中至少有一条相交，则m的取值范围是.变式3:对于函数f (x),若存在X o • R，使f (x o) = x o成立，则称x o为f (x)的不动点.如果函数f(x) = ax 2+ bx + 1 (a > 0)有两个相异的不动点x i、x?.1⑴若X1 < 1 < X2，且f(X)的图象关于直线x = m对称，求证m > -；(II)若I X1 | < 2且I X1- X2 | = 2，求b的取值范围.10.（北师大版第52页例3）应用绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料•根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶•在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方安：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？变式1：在抛物线f x - -x2• ax与x轴所围成图形的内接矩形（一边在x轴上）中（如图），求周长最长的内接矩形两边之比，其中a是正实数.变式2:某民营企业生产A, B两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图一；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二（注：利润和投资单位：万元）（1）分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；yA Dx O B C(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A, B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少元(精确到1万元)？变式3：设a为实数，记函数f(x) =a-.. 1 -x2• ... 1 • x • 1 - x的最大值为g(a) (I)求g(a); (n )试求满足g(a)=g』)的所有实数a.a二次函数答案1.(人教A 版第27页A 组第6题)解析式、待定系数法变式2:b 十20十c解：由题意可知1，解得b=0 ,•1，解得c=2 .2 2变式3: 解：由题意可设所求二次函数的解析式为f (x ) = -3(x -1) + k ,展开得f X i=—3x 2・6x-3・k ,亠 c3_k ••• X 1 X 2 =2公低2 ：32 丄 2..226 2(3 —k ) 26 . 4• X 1 ■ X2 h]X 1 • X 2 -2X 1X 2，即 4 ，解得 k .9393所以，该二次函数的图像是由 2f x = -3 x-1的图像向上平移43单位得到的，它的解析，口2 , 4 2 1 5式疋f x = -3 x ~1，即 f x 二-3x 6x -32.(北师大版第52页例2) 图像特征变式1:解：根据题意可知x 1+x 2_ b • jt+x?]4ac— b 2，故选 D .2 2a ， 2 4a变式1: 解：由题意可知4ac -b 24a c =11a =3 I =_1，解得 ^ = -12，故选D .^=11变式2:解：•/ f 1 x ju f 1 -x ,•••抛物线f x = x2px q的对称轴是x = 1 , p ‘1 即p =-2 ,22f x =x -2x q ,••• f 0 =q、f -1 = 3 q、f1=-1q,故有f -1 f 0 f 1，选C.变式3:解：观察函数图像可得：① a>0（开口方向）：②c=1（和y轴的交点）；③ 4a • 2b • 1 = 0（和x 轴的交点）：④ a b ^：： 0 （f 1 ：：•；：■ 0）；b2⑤b -4a 0（判别式）：⑥ 仁:：2（对称轴）.3. （人教A版第43页B 组第1题）单调性O 变式1:解：函数f x =x2 4ax 2图像是开口向上的抛物线，其对称轴是x = -2 a ,由已知函数在区间内单调递减可知区间［.-匚：',6应在直线x =-2a的左侧，• -2a _6，解得a _ -3，故选D.21变式2:解：函数f x =x- a-1 x 5在区间（2 ,1）上为增函数，由于其图像（抛物线）开a _1 1 1 a _ 11口向上，所以其对称轴x 或与直线x 重合或位于直线x 的左侧，即应有2 2 2 2 2 解得a乞2，f 2 =4 - a -1 2 5 _7，即卩f 2 _ 7 .变式3:解：2函数f X = -x kx的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是k•••已知函数在［2, 4］上是单调函数，• 区间［2, 4］应在直线x 的左侧或右侧,2k k即有2或一—4，解得k乞4或k -8 .2 24. （人教A版第43页B组第1题）最值I y 变式1:解：作出函数f x i=x2-2x・3的图像,开口向上，对称轴上x=1，顶点是(1, 2)，和y轴的交点是(0, 3),••• m的取值范围是1 _ m _ 2，故选C.变式2:解：函数有意义，应有-X2• 4 _ 0 ,解得-2乞X乞2 ,2 I 2 t2••• 0 一_X 4 乞4 = o ——X 4 乞2 = 0 < 3 - -X 4 乞6,M=6, m=0，故M + m=6.变式3:解：函数f X的表达式可化为f x =4 x_a? 12_2a .a①当0 2，即0空a乞4时，f X有最小值2 - 2a，依题意应有2 - 2a = 3，解得1 、a ，这个值与0 _a _4相矛盾.2a 2 2②当0，即a :: 0时，f 0 = a…2a ' 2是最小值，依题意应有a…2a ■ 2 = 3，解得a=1「2 ，又••• a c0,「. a=1 — J2为所求.a 2③当-2，即a 4时，f 2 =16-8a a -2a 2是最小值，依题意应有16 -8a ■ a2-2a • 2 = 3，解得a = 5 二、一10，又T a 4 , • a = 5 •10 为所求.综上所述，a = 1 - 2 或a = 5「10 .5. (人教A版第43页A组第6题)奇偶性2 2 2变式1: 解：函数fx=m-1x m -1X1是偶函数=• m -1 = 0 = m= 1 ,当m =1时，f X = 1是常数；当m - -1时，f x二-2X2 1,在区间［一匚?,0 1上f X是增函数，故选D.1变式2：解：根据题意可知应有a-1 + 2a = 0且b = 0, 即卩a=-且b = 0 ,•点(a, b)的坐3标是0 LG丿变式3：解：(I)当a = 0 时，函数f(_x) =(-x)2• |-x「1 二f (X)，此时，f(x)为偶函数;x当 a = 0时，f (a)二a 2 1, f (_a)二a 2 2 |a | 1 ,f(a) = f(-a), f(a) = -f(-a)，此时f (x)既不是奇函数，也不是偶函数.2— x a 1 =(x —丄)2 a -,24f (x)在(-:=,a ］上单调递减，从而函数 f (x)在(」：，a ］上的最小值 为 f (a)二 a 2 1.为 f (a)二 a 21.1 . a 时，函数f(x)的最小值为2213a 时，函数f (x)的最小值为a6. (北师大版第64页A 组第9题)图像变换 变式1:解：函数可转化为二次函数，作出函数图像，由图像可得单调区间.只2 2当 x 亠0 时，y = —x 2 2x 3 = —x —14 ,2 2当 XC0 时，y=_x _2x+3 = —(x+1 ) +4 . 作出函数图像，由图像可得单调区间.在-:：，-1和0,11上，函数是增函数；在 〔-1,0 1和1,匸：上，函数是减函数. 变式2:解：若a =1,b =1,则f (x) =|x 2 -2x • 1|=x 2 -2x • 1，显然不是偶函数，所以①是不(II ) (i )当，则函数，则函数(ii )当 x _a 时,— 1 3f(x)在(-⑺a ］上的最小值为f (2)= ；'21 23函数 f (x) = x x - a 1 = (x ) -a2 4 1 1a ，且 f (2)乞 f(a). 1 1右a ,则函数f (x)在(- ：：,a ］上的最小值为f () 芒 1 右a则函数f(x)在［aj ：J 上单调递增，从而函数3 1 严，且y (a ),f (x)在［a,：：)上的最小值综上，当3时，函数f (x)的最小值为4 - a ；a 2 1 ；正确的;若a - _1,b - 一4,则f (x) =|x 2 2x-4|，满足f (0^ f (2)，但f (x)的图像不关于直线 x=1对称，所以②是不正确的；若a 2-b _0，则f(x) =| x 2-2ax • b |=x 2「2ax • b ，图像是开口向上的抛物线，其对称轴是x =a ,••• f (x)在区间［a,+s )上是增函数，即③是正确的;2显然函数f(x) =|x -2ax b| R 没有最大值，所以④是不正确的.变式3:解：f (x):2x +bx + c,x3 0^x | x| bx c =2,「x bx c, x ：： 0(1)当c=0时，f(x)=xx+bx ，满足f(—x) = —f(x )，是奇函数，所以①是正确的;2l x + c,x K 0 ⑵当 b=0, c>0 时，f(x)=xx+c = < 2-x + c, x v 0f 2f 2x + c = 0 —x + c = 0l显然方程彳无解；方程彳的唯一解是x = _妊，所以② 是正确的;>0l x <0而该点关于(0, c )对称的点是：；：-x 0,2c -y 0，代入检验2c 「y ° =-X 。
