2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：4.5.1 函数的零点与方程的解含解析4.5函数应用(二)【素养目标】1．结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系．（直观想象，数学抽象)2．结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性．（逻辑推理，数学运算）3．理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律．（数学建模）【学法解读】本节在学习中首先利用方程的解引出函数的零点，体现数学素养中的数学抽象,再把函数的零点、方程的解与函数的图象与x轴交点横坐标三者统一，结合函数的图象及性质会判断函数零点问题,对函数的实际应用问题，学生应学会对问题进行分析，灵活运用所学过的数学知识，建立“量”与“量"之间的函数关系，把实际问题转化为函数问题,通过对函数问题的解决达到解决实际问题的目的．4。
5。
1函数的零点与方程的解必备知识·探新知基础知识知识点1函数的零点（1)函数f（x）的零点是使f(x）＝0的__实数x__。
（2)函数的零点、函数的图象、方程的根的关系．思考1：（1）函数的零点是点吗？（2）函数的零点个数、函数的图象与x轴的交点个数、方程f(x）＝0根的个数有什么关系?提示：（1)不是，是使f（x)＝0的实数x，是方程f（x)＝0的根．(2)相等．知识点2函数的零点存在定理(1)条件:函数y＝f（x)在区间[a，b]上的图象是__连续不断的曲线__，f（a）f(b)〈0；（2)函数y＝f（x）在区间（a，b)上有零点，即存在c∈（a，b)使f(c）＝0,这个c也就是f(x）＝0的根．思考2：(1)函数y＝f（x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f（a）f(b)<0时,能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？（2）函数y＝f（x)在区间（a，b）上有零点，是不是一定有f(a)f(b)〈0?提示：（1)只能判断有无零点，不能判断零点的个数．(2)不一定,如f（x)＝x2在区间(－1,1)上有零点0，但是f(－1)f(1）＝1×1＝1>0.基础自测1．函数f(x)＝4x－6的零点是(C）A．错误!B．(错误!,0）C．错误!D．－错误!［解析］令4x－6＝0，得x＝错误!，∴函数f(x）＝4x－6的零点是错误!.2．（2020·广州荔湾区高一期末测试）函数f(x)＝x－2＋log2x,则f（x）的零点所在区间为（B）A．(0，1）B．（1，2)C．（2,3) D．(3,4)［解析］f（1）＝－1＋log21＝－1，f(2)＝log22＝1,∴f（1）·f(2）<0,故选B．3．若函数f（x）＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(B）A．a＜1 B．a＞1C．a≤1D．a≥1［解析]函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，即方程x2＋2x＋a＝0没有实数根，所以Δ＝4－4a＜0，得a＞1.4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中,a·c<0，则函数有__2__个零点．[解析] 令ax 2＋bx ＋c ＝0，Δ＝b 2－4ac ,∵a ·c 〈0,∴b 2－4ac >0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等实根，∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ·c 〈0）有2个零点．5．求下列函数的零点．（1)f (x )＝x 2－5x －6；(2)f （x )＝x 3－7x ＋6；(3)f (x )＝(12)x －4；(4）f (x )＝ln x －1。
第1节方程解的存在性及方程的近似解5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性本部分内容是在学生学习了函数的定义、性质、图像、性质都已经熟悉的基础上，进一步研究函数与其他数学知识的有机联系，这里结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理(逻辑推理)，集中研究的是判定方程实数解的存在性，运用函数来解决实际问题。
(1)知识目标：理解函数零点的意义，能够判定方程解的存在性。
(2)核心素养目标：通过具体实例，感受数学的应用价值，养成严谨治学的态度和积极探索的精神。
重点：理解函数零点的意义，能够判定方程解的存在性。
难点：方程实数解的存在区间的求解。
多媒体课件一、知识引入函数零点：我们把函数y=f(x)的图像与横轴交点的横坐标称为这个函数的零点。
函数y=f(x)的零点可以理解成方程f(x)=0的解。
你能从函数y=f(x)图像中找到函数零点吗？依据定义找到函数零点： -1,1,3。
1、观察上述三个函数图像中零点附近的图像你能得什么结论吗？零点附近的图像是从上到下或者从下到上地穿过x 轴。
（零点即交点）2、零点两侧的附近区间内自变量x 对应的函数值一正一负。
（即f(a)f(b)﹤0）3、此类零点称为变号零点。
作出函数xy 1 图像确定函数有没有零点？ 能否用上述结论中f(a)f(b)﹤0来判断函数有零点？得出结果：函数没有零点，用f(a)f(b)﹤0判断零点必须是在连续区间（a,b ）上。
零点的判断方法：（1）几何法：函数y=f(x)图像与x 轴交点横坐标，即有几个交点就有几个零点。
（2）代数法：零点存在定理①函数y=f(x)图像在(a,b)上是连续的。
②满足f(a)f(b)﹤0则函数f(x)在区间(a,b)上至少一个零点。
如何判定函数f(x)在区间(a,b)上有唯一零点？引导学生在上述基础上加入单调性，来确定唯一零点。
二、例题解析例1 方程3x -x 2=0在区间[-1,0]内有没有解？为什么？解设函数f（x）=3x-x2在区间[-1，0]上连续，又∵f（-1）=3-1-（-1）2=-2/3＜0，f（0）=1-0=1＞0，∴函数f（x）=3x-x2在区间[-1，0]上有零点；∴方程f（x）=0在区间[-1，0]内有实数解。
第二章习题详解1． 利用导数定义推出： 1)()1-=n n nzz '（n 为正整数）解： ()()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z nn n n n z n n z n∆∆∆∆∆∆∆∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++=-+=--→→ 22100121limlim '()()11210121----→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=n n n n z nz z z z n n nz ∆∆∆ lim 2) 211z z -=⎪⎭⎫⎝⎛'解： ()()2000111111z zz z z z z z z z z z z z z z z -=+-=+-=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛→→→∆∆∆∆∆∆∆∆∆lim lim lim '2． 下列函数何处可导？何处解析？ 1)()iy x z f -=2解：设()iv u z f +=，则2x u =，y v -=x x u 2=∂∂，0=∂∂y u ，0=∂∂xv，1-=∂∂y v 都是连续函数。
只有12-=x ，即21-=x 时才满足柯西—黎曼方程。
()iy x z f -=∴2在直线21-=x 上可导，在复平面内处处不解析。
2)()3332y i x z f +=解：设()iv u z f +=，则32x u =，33y v =26x x u =∂∂，0=∂∂y u ，0=∂∂xv ，29y y v =∂∂都是连续函数。
只有2296y x =，即032=±y x 时才满足柯西—黎曼方程。
()3332y i x z f +=∴在直线032=±y x 上可导，在复平面内处处不解析。
3)()y ix xy z f 22+=解：设()iv u z f +=，则2xy u =，y x v 2=2y x u =∂∂，xy y u 2=∂∂，xy xv 2=∂∂，2x y v =∂∂都是连续函数。
数学思想之——函数思想数学思想之——函数思想摘要：函数思想是数学思想的有机组成部分,它在数学解题中显得越来越重要，本文就其在方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、向量以及在实际中等方面的应用作例说。
关键词：数学思想函数思想应用数学思想是人脑对现实世界的空间形式和数量关系的本质的反映，是思维加工的产物，数学思想不仅是数学知识的重要组成部分，更是数学教学中进行素质教育的重要部分，在高中数学中起到横向联系和纽带连结的主干作用，它包括：分类讨论思想、方程思想、转化思想、数形结合思想、函数思想、换元思想、对称思想、正难则反思想等等。
而函数思想是用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题，是在知识和方法反复学习运用中抽象出的带有观念性的指导方法。
所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更好地解决问题。
构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质，结合函数的概念和性质，通过类比联想转化合理地构造函数，去分析、研究问题转化问题并解决问题。
函数思想不仅体现在本身就是函数问题的高考试题中，而且对于诸如方程、不等式、三角函数、数列、解析几何、向量等问题也常常可以通过构造函数来求解。
本文拟就函数思想方面，讨论其在解题中的应用。
一、运用函数思想求解方程问题函数与方程既是两个不同的概念，又存在着密切的联系。
一个函数若能用一个解析式表达，则这个表达式就可看成一个方程；一个二元方程的两个未知数间存在着对应关系，如果这个对应关系是单值的，那么这个方程也可以看成一个函数。
一个方程的两端可以分别看成函数，方程的解就是这两个函数图象交点的横坐标。
因此，许多有关方程的问题都可用函数思想来解决。
例1、求证：不论 a取什么实数，方程x2-(a2+a)x+a-2=0必有两个不相等的实根。
分析：常规解法，若求出判别式△是一个关于a的一元四次多项式，符号不易判断。
