〈利用函数性质判定方程解的存在〉公开课PPT课件

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对点强化 1 (1)(2022·江西高三模考)已知函数
f(x)＝|fl（n xx|－－3s）in ，x，x>03<x≤3 ，则 f(x)在(0，10)上的零点个数为(
)
A．6
B．7
C．8
D．9
B 由题意，当 0<x≤3 时，作出函数 y＝|ln x|与 y＝sin x 的图象．
由图可知，函数 y＝|ln x|与 y＝sin x 在(0，1)和[1，3]内各有一个交点，
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解析 方程 f(x)－kx＝0⇔f(x)－2－(kx－2)＝0. 画出 y＝f(x)－2 与 y＝kx－2 的函数图象如图所示：
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2．(多选题)已知函数 f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 1 2 345 6 7
f(x) －4 －2 1 4 2 －1 －3
在下列区间中，函数 f(x)必有零点的区间为( )
A．(1，2)
B．(2，3)
C．(5，6)
D．(5，7)
BCD 由所给的函数值表知，
f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0，f(5)f(7)<0，
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2．二分法 对于一般的函数 y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数 y＝f(x)的图象是一条连__续__ 的曲线，_____f_(_a_)·_f_(b_)_＜__0________，则每次取区间的中点，将区间一分为 二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二 分法．
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考点三 函数零点的应用 命题点 1 根据函数零点个数求参数
(2022·全国模拟)已知函数 f(x)＝x|l2n＋（2，x－x≤1）1，|＋2，x>1. ，若关 于 x 的方程 f(x)－kx＝0 有且只有一个实数根，则实数 k 的取值范围是 ________________．

第四章 函数应用
想一想
函数y＝f(x)的零点是“f(x)＝0的点”吗？ 提示：“零点”并不是“点”，而是一个 “实数”，是f(x)图像与 x轴交点的横坐 标．
第四章 函数应用
做一做
1.函数y＝x的零点是( )
A．(0,0) B．0 C．1 D．不存在
解析：选B.y＝x与x轴交于原点，y＝0，
∴x＝0.
第四章 函数应用
典题例证·技法归纳
题型一 求函数的零点
例1 下列函数是否存在零点？若存在，求 出其零点；若不存在，说明理由． (1)y＝ax＋2(a≠0)； (2)y＝4x2＋4x＋1(x＞0)； (3)y＝ln x－1.
第四章 函数应用
【解】 (1)函数 y＝ax＋2(a≠0)存在零点．其 零点是使 ax＋2＝0 成立的 x 值，故 x＝－2a (a≠0)是函数的零点． (2)函数 y＝4x2＋4x＋1(x＞0)不存在零点． 因为(2x＋1)2＝0，解得 x＝－12∉{x|x＞0}， 即使 4x2＋4x＋1＝0(x＞0)的 x 值不存在，
第四章 函数应用
题型三 判断零点所在区间
例3
在下列区间中，函数f(x)＝ex＋ 4x－3的零点所在的区间为( )
A.－14，0 B.0，14 C.14，12 D.12，34
第四章 函数应用
【思路点拨】 根据零点所在区间的判定定 理f(a)f(b)<0. 【解析】 y1＝ex为增函数，y2＝4x－3为 增函数，∴f(x)＝y1＋y2＝ex＋4x－3为增函 数f,－14＝e－14－4<0，f0＝e0－3＝－2<0，
f14＝e14－2<0，f12＝e12－1>0. ∴f14·f12<0，零点区间为14，12.

方程的解法举例
一元一次方程
$x + 2 = 3$，解得 $x = 1$。
一元二次方程
$x^2 - 2x - 3 = 0$，解得 $x = 3$ 或 $x = -1$。
分式方程
$frac{x}{2} - frac{5}{3} = 1$， 解得 $x = frac{11}{2}$。
绝对值方程
$|x| - 2 = 3$，解得 $x = 5$ 或 $x = -5$。
03
方程的应用
代数方程的应用
代数方程在数学教育和研究中占据着重要的地位。在 数学教育中，代数方程是中学数学课程中的重要内容 ，是学生学习数学的基础。在数学研究中，代数方程 也是许多数学分支的基础，如代数学、几何学、分析 学等。
代数方程在数学领域中有着广泛的应用，它是一种重 要的数学工具，用于解决各种数学问题。代数方程可 以用来表示数学关系，解决代数问题，求解未知数等 。
02
方程的解法
方程的解的概念
方程的解
满足方程的未知数的值。
解方程
通过一定的方法找到满足方程的未知数的 值。
解方程的步骤
化简方程、移项、合并同类项、求解未知 数。
方程的解法分类
代数法
通过代数运算求解方程。
几何法Байду номын сангаас
通过几何图形求解方程。
三角函数法
通过三角函数性质求解方程。
微积分法
通过微积分知识求解方程。
几何方程在几何教育和研究中占据着重要的地位。在几何教育中，几何方程是中学几何课程 中的重要内容，是学生学习几何的基础。在几何研究中，几何方程也是许多几何分支的基础 ，如解析几何、微分几何、线性代数等。
几何方程在科学和工程领域也有着广泛的应用。例如，在物理学中，几何方程可以用来描述 物理现象和规律；在工程学中，几何方程可以用来解决各种工程问题，如机械设计、航空航 天等。

轴的交点 (-1,0)，(3,0)
一个交点 (1,0)
没有交点
一元二次方程的实数根二次函数图象与x轴交点的横坐标
（二）启发引导，形成概念
方判别式程Δ
x2-Δ2>x-03=0
x2-Δ2x=+01=0
x2-Δ2<x+03=0
方程方ax程2 +的bx根+c=0 两x个1=不-1，相等x2=的3 有两x个1=相x2=等1的
2x???方程xx2222xx30xx2222xx10xx2222xx30方程的根函数yyxx2222xx33yyxx2222xx1yyxx2222xx3函数yyax2bxccaa0的图象函数的图象与xx轴的交点一元二次方程的实数根?二次函数图象与xx轴交点的横坐标x11x23x1x21无实数根2243112oxy423112oxy423112oxy两个交点1030一个交点10没有交点问题1
(1)f(x)=-x2+3x+4 (2)f(x)=lg(x2+4x-4)
－1，4
1，－ 5
（三）讨论探究，揭示定理
探究:在什么情况下，函数f(x)在区间(a,b)一定存在零 点呢？
1.如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一 个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。 现在我有两组镜头（下图），哪一组能说明他的行程一定曾渡过河？
（一）设问激疑，创设情景
〖引例〗 解方程：
（1）2x10
x12
（2）x22x30 x13,x21
（3）x22x30 无根
（4）2-x=4； （5）2-x=x；
x2
（6）2xln (x2 )30
（二）启发引导，形成概念

y
y
2
A
2
B
0
2
y
x
2
C
0
2x
0y 2
x
2
D
0
x
2
思索交流
x+2, (x≤－1)
5. 已知函数f (x)= x2, (－1＜x＜2)
2x, ( x≥2 )
若f(x)=3, 则x旳值是( D )
A. 1
B.
1或
3 2
C. 1,
3,
3 2
D. 3
怎样求函数解析式
一、【配凑法（整体代换法）】
若已知 f (g(x)) 旳体现式，欲求 f (x) 旳体现式， 可把 g(x)看成一种整体，把右边变为由 g(x) 构成 旳式子，再换元求出 f (x) 旳式子。
x
例3 、国内跨省市之间邮寄信函,每封信函旳质量和相应旳邮资如表.
信函质量 (m)/g
0<m≤20
邮资(M)/元 1.20
20<m≤40 2.40
40<m≤60 3.60
60<m≤80 4.80
80<m≤100 6.00
画出图像,并写出函数旳解析式.
解：邮资是信函质量旳函数，函数图像如图。
函数旳解析式为
7.0
9.4
10.0
11.0
y 9 x 32 5
解析法
(6)某气象站测得本地某一天旳气温变化情况如图所示：
温度
8
T （℃）
6
4
２
0
２
时间
２ ４ ６ ８1
1
1
1
1
2
2
t2
( 时

B. y= –(x+1)2+1
C.y=(x–1)2+1
D. y= –(x–1)2+1
1)若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向 下平移4个单位所得抛物线的解析式是 ________
2)如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移 得到抛物线y=2x2
3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平 移得到抛物线y=2(x+2)2-1
(h,k)
二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系
1.
(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大 而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的 增大而减小 .
y=3x2
向右
向上
y=3(x-1)2
y=3(x-1)2+2
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象和抛物线 y=3x²,y=3(x-1)2有什么关 系?它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
y 3x 12 2
y 3x 12
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=h时,最小值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

定义法
总结词
通过函数定义判断单调性
详细描述
在区间内任取两个数$x_{1}$、$x_{2}$，如果$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) leq f(x_{2})$，则函数在这个区间内单调递增；如果$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) geq f(x_{2})$，则函数在这个区间内单调递减。
感谢您的观看
03 函数单调性的应用
单调性与最值
总结词
单调性是研究函数最值的重要工 具。
详细描述
单调性决定了函数在某个区间内的 变化趋势，通过单调性可以判断函 数在某个区间内是否取得最值，以 及最值的位置。
举例
对于函数f(x)=x^2，在区间(-∞,0) 上单调递减，因此在该区间上取得 最大值0。
单调性与不等式证明
单调递减函数的图像
在单调递减函数的图像上，随着$x$的增大，$y$的值减小，图像 呈现下降趋势。
单调性转折点
在单调性转折点上，函数的导数由正变负或由负变正，对应的函数 图像上表现为拐点或极值点。
02 判断函数单调性的方法
导数法
总结词
通过求导判断函数单调性
详细描述
求函数的导数，然后分析导数的符号，根据导数的正负判断函数的增减性。如 果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果导数小于0，则函数在该区间 内单调递减。
总结词
单调性是证明不等式的重要手段。
详细描述
通过比较函数在不同区间的单调性，可以证明一些不等式。例如，如果函数f(x)在区间[a,b]上 单调递增，那么对于任意x1,x2∈[a,b]，有f(x1)≤f(x2)，从而证明了相应的不等式。
举例
利用函数f(x)=ln(x)的单调递增性质，可以证明ln(x1/x2)≤(x1-x2)/(x1+x2)。

数的零点，方程的根，图象与x轴交点 数零点与方程解的关系.
的横坐标之间的转化在研究函数中的 2.了解零点存在定理、会判断函数零点
应用，提高学生数学抽象，直观想象 的个数.
的素养.
新知探究
路上有一条河，小明从A点走到了B点.观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小 明的行程一定曾渡过河？
将这个实际问题抽象成数学模型. 问题 1.若将河看成x轴，A，B是人的起点和终点，则A，B应该满足什么条件就 能说明小明的行程一定曾渡过河？
(2)∵f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2， ∴f(1)＝12＋3(m＋1)＋n＝0， 即3m＋n＋4＝0，① f(2)＝4＋3×2×(m＋1)＋n＝0， 即6m＋n＋10＝0，② 由①②可解得m＝－2，n＝2.
代入函数y＝logn(mx＋1). 故函数y＝logn(mx＋1)的解析式为y＝log2(－2x＋1). 令y＝log2(－2x＋1)＝0，即－2x＋1＝1，可得x＝0. ∴函数y＝logn(mx＋1)的零点是0.
2.函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点应该满足什么条件？ 3.结合下图，进一步分析一下你对上述结论的认识.
提示 1.图中A处的函数值与B处的函数值符号相反. 2.在f(x)的图象不间断的情况下，应满足f(a)·f(b)<0. 3.因为f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，f(c)·f(d)<0，所以在[a，b]，[b，c][c，d]上存在零 点.f(d)·f(e)>0，但f(x)在[d，e]上存在零点.
拓展深化 [微判断] 判断下列说法的正误. 1.函数的零点是一个点的坐标.( ×) 2.函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( × ) 3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( √ )

熟悉所教内容的知识体系，掌握有效的教学方法和策略，能够根据学生的实际 情况进行有针对性的教学。
掌握现代教育技术
学习和运用现代教育技术，如多媒体教学、网络教学等，提高教学效果和学生 的学习兴趣。
加强科研能力，促进教师专业成长
积极参与科研活动
参加课题研究、学术会议等科研活动，了解学科前沿动态，提高自己的学术水平 。
数学教学讲座优质公 开课ppt课件
汇报人：
2023-12-24
目录
• 引言 • 数学知识体系梳理 • 教学方法与手段探讨 • 优质公开课案例分析 • 学生数学素养提升策略 • 教师专业素养提升途径
01
引言
目的和背景
提高数学教学效果
通过优质的公开课ppt课件，教师可 以更加生动、形象地展示数学知识， 激发学生的学习兴趣和积极性，提高 教学效果。
加强数学思维训练，提升创新思维能力
强化数学基础知识教学
通过系统的教学，使学生掌握扎实的数学基础知识，为思维训练 提供有力支撑。
培养学生的逻辑思维能力
通过逻辑推理、归纳分类等思维训练，提高学生的逻辑思维能力。
鼓励学生的创新思维
鼓励学生敢于质疑、勇于创新，培养他们的创新思维和创造性解决 问题的能力。
06
创新思维
包括观察、实验、猜想、 验证等探究过程，培养学 生的创新意识和实践能力 。
数学建模
通过实际问题抽象出数学 模型，利用数学方法解决 问题。
数学在各领域应用
自然科学
数学在物理学、化学、生物学等 自然科学领域有着广泛的应用， 如微积分在物理学中的应用，概
率论在生物学中的应用等。
社会科学
数学在社会学、经济学、心理学 等社会科学领域也有着重要的应 用，如统计学在社会调查中的应 用，数学模型在经济学中的应用

根据基本初等函数的性质，分别 求出各部分的取值范围或表达式
。
将各部分的结果组合起来，得到 复合函数的解析式或取值范围。
06
函数的应用举例
在几何中的应用举例
描述图形的形状
01
通过函数表达式，可以描述各种几何图形的形状，如直线、圆
、椭圆等。
计算图形的面积和体积
02
利用函数可以方便地计算各种几何图形的面积和体积，如圆的
指数、对数函数图像特点
指数函数图像特点 当 $a > 1$ 时，图像上升；当 $0 < a < 1$ 时，图像下降。
图像总是经过点 $(0,1)$。
指数、对数函数图像特点
• 随着 $x$ 的增大或减小，$y = a^x$ 的值会迅速增大或 减小。
指数、对数函数图像特点
01
02
03
04
对数函数图像特点
三角函数的性质
包括周期性、奇偶性、有界性等 。例如，正弦函数和余弦函数具 有周期性，周期为2π；正切函数 具有奇偶性，是奇函数。
三角函数的周期性、奇偶性
周期性
正弦函数和余弦函数具有周期性，周期为2π。这意味着在每个周期内，函数的图 像会重复出现。
奇偶性
正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。正切函数也是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)。
反函数、复合函数的求解方法
反函数的求解方法 由原函数的解析式求出值域。
将原函数的解析式中的自变量与因变量互换，得到反函数的解析式。
反函数、复合函数的求解方法
注明反函数的定义域 （即原函数的值域） 。
确定复合函数的定义 域。