高一数学课件 利用函数性质判定方程解的存在

C.(-1,1)和(1,2)
D.(-∞,-3)和(4,+∞)
解析 易知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条连续不断的曲线,又f(-3)·f(-1)
(1)函数的零点是一个点.( × )
(2)函数的零点是一个点的坐标.( × )
1
2.函数y=1+ 的零点是( B )
A.(-1,0)
B.-1
C.1
D.0
3.[人教B版教材例题]如图所示是函数y=f(x)的图象,分别写出
f(x)=0,f(x)>0,f(x)≤0的解集.
解 由图可知,f(x)=0的解集为{-5,-3,-1,2,4,6}.
f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)
的图象,图象与x轴交点的横坐标即函数的零点.
变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)
的零点.
解 由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程
【例2】 判断下列函数零点的个数:
(1)f(x)=(x2-4)log2x;
(2)f(x)=x2-
1
;

(3)f(x)=2x+lg(x+1)-2.
解 (1)令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,解得x=±2或x=1.
又因为函数定义域为(0,+∞),所以-2不是函数的零点,故函数有1和2两个零点.
(方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直

x 22
解 因为函数f ( x)的定义域x x 0，所以，函数图像
y 4
在区间( 1 , 1 )内是不连续的， 22
函数的图像如图所示，
虽然f ( 1 ) 3 0, f ( 1 ) 3 0, f ( 1 ) f ( 1 ) 0，
22
22
22
但函数在区间( 1 , 1 )内没有零点. 22
_4
_3 横坐标为 3 ;
_5
–4
4
_6
函数图像与横轴的交点的 横坐标为 2或3.
方程
函数
函 数 的 图 像
方程的实数根 函数的图像 与横轴交点
的横坐标
4x 3 0
f (x) 4x 3
y 4 3 2 1 _2 _1 _1O 1 2 x _2 _3 –4
3 4 3 4
x2 x 6 0 f (x) x2 x 6
问题一 零点是个点吗？
不是 ，函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这 个实数时，其函数值等于零.
问题二 函数y f (x)的零点和方程f (x) 0的根的关系?
函数 y f (x)的零点就是方程f (x) 0的解， 函数零点的个数就决定了相应方程实数解的个数.
函数f (x)有零点
方程f (x) 0有实数解
问题2 能否判断方程x5 x 1 0的解所在的区间？
画出下列函数的图像，并求出函数图像与横轴的交点的横坐标.
（1）f (x) 4x 3；
4
y
（2）
f
(x)
x2
x
6.
解
y 4
3 2
3
1

_3 _2 _1 O 1 2 3
x
1
_1
_2 _1 O 1 2 x

y
o
• 1
• 2
x
3
函数零点的定义：
函数的图像与横轴的交点的横坐标称为这个 函数的零点。
注意： 1.零点指的是一个实数；
零点是一个点吗?
2.不是所有函数都有零点.
如:
y 1 , y x2 2x 3. x
函数都有零点吗?
4
等价关系: 方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图像与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
7
观察函数 f (x) x 1 的图像，此函数在区间
0,2上有没有零点？
计算函数 f (x) x 1在区间0,2 的两个端点
对应的函数值 f (0)和 f (2) 的乘积，你能发现这
个乘积有何特点？ y
1
o
•
1
2
x
-1
8
观察二次函数 f (x) x2 3x 2 的图像，此函数
在区间
0,
5
例1、求函数 f (x) lg(x 1) 的零点。
练习：求下列函数的零点：
(1)、f (x) x2 5x 6
(2)、f (x) 2x 1
评注：求函数的零点就是求相应方程的根，
一般可以借助求根公式或因式分解等办法， 求出方程的根，从而得出函数的零点。
6
问题三：
函数 y f (x) 在某个区间上是否一定有零点？怎样 的条件下，函数 y f (x) 一定有零点？
3 2
上没有零点？
计算二次函数 f (x) x
两个端点对应的函数值 f
2 3x
(0)和 f
2
(3)
在区间
0,
3 2
的
，你能发现这个
乘积有何特点？

4
议一议
3.如何判断一元二次方程根的个数，如何判断二次 函数图像与x轴交点的个数，它们之间有什么关系？
一元二次方程根的个数就是二次函数图像 与x轴交点的个数，可以用判别式法来制定一 元二次方程根的个数，当△＞0时，有两个不 相等的实根x1、x2，相应的二次函数的图像与x 轴的两个交点(x1，0)、(x2，0)；当△＝0时， 一元二次方程有两个相等的实根x1＝x2，相应 的二次函数的图像与x轴有唯一的交点(x，0); 当△＜0时，一元二次方程没有实根，相应的 二次方程与x轴没有交点.
分析：转化判断函数
f(x)＝(x－2) (x－5)－1，在(－∞，2)
和(5，＋∞)内各有一个零点.
10
例题解析
解：设函数f(x)＝(x－2) (x－5)－1， 有f(5)＝(5－2) (5－5)－1＝1, f(2) ＝(2－2) (2－5)－1＝－1, 因为f(x)为开口向上的抛物线,
所以抛物线与横轴在(5，＋∞)，(－∞，2)内 各有一个交点. 故方程(x－2) (x－5)＝1有两个相异的实 数解，且一个大于4，一个小于2.
1.1 利用函数性质判 定 方程解的存在
1
问题提出 ①求方程x2－2x－3＝0的根，画函 数y=x2－2x－3的图像.
方程的两个实 根分别为－1，3.
2
问题提出 ②求方程x2－2x＋1＝0的根，并画 出函数y＝x2－2x＋1的图像.
方程的实根为1.
3
议一议 1.观察图像：方程的根与函数的图 像和x轴的交点的横坐标有什么关系？ 方程的根就是函数的图像与x轴交点 的横坐标. 2.归纳函数零点的概念 一般对于函数y＝f(x)，我们把f(x)=0 的实数x叫作函数y＝f(x)的零点.
2

谢
聆
谢
听
22:46
18
(3)零点不是点，而是一个实数.
22:46
4
小试牛刀
A．(-1,0), (3,0) C. x=3
1，0，2 a
D
B. x=-1 D. x=-1或3
0
22:46
5
b
f (x) 1 x
问：下列哪些情况一定可以判定小马过河？
(1)
(2) 22:46
抽象归纳：
A
a
b
B
(1) 如果有，则有几个？
(2) 如果把“连续不断”去掉结果如何？
22:46ຫໍສະໝຸດ 1222:4613
解: 设函数f (x) x3 x 5
由于 f (1) 3 0, f (2) 5 0, 所以f(1)·f(2)<0 又因为函数 f(x)是一条连续的曲线 所以由零点存在定理可知函数f(x)在区间[0,1]存在零点，
又因为函数 f(x)是在R上单调递增， 所以函数 f(x)是在R至多一个交点 综上，函数 f(x)是在[0,1]恰有一个零点
即方程 x3 x 5 0 在区间[0,1]只有一个解。
22:46
14
1.已知方程
6 x
log2
x
0，在下列区间中，包含此方程根的区间是(
)
A.(0,1)
B.(1, 2)
C.(2, 4)
D.(4, )
2.函数
f (x)
x2 2, x 0
的零点个数为_________
2x 6 ln x, x 0
由于 f (1) 2 0, f (0) 1 0, 所以f(-1)·f(0)<0
3
又因为函数 f(x)是一条连续的曲线

梳理 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是 连续曲线 ， 并 且 在 区 间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝ f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个 实数解.这个结论可称为函数零点的存在性定理.
[思考辨析 判断正误] 1.f(x)＝x2的零点是0.( √ ) 2.若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点.( × ) 3.若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只 有一个零点.( √ ) 4.若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0.( × )
解析 答案
反思与感悟 为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知 条件进行变形，变形的方向是：(1)化为常见的基本初等函数；(2)尽量 使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数尽可能简单.
跟踪训练4 若函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有 一个零点，则实数m的取值范围是 A.(－∞，1－ 2]∪[1＋ 2，＋∞) B.(－∞，1－ 2)∪(1＋ 2，＋∞) C.－56，－12
答案
规律与方法
1.方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标，也是函数y ＝f(x)－g(x)的图像与x轴交点的横坐标. 2.在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理 不可逆；(3)至少存在一个零点. 3.解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种： (1)用定理；(2)解方程；(3)用图像. 4.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解， 同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.

2021/12/10
第十七页，共三十八页。
【方法总结】 已知函数的零点，可代入对应方程，从而找 到某些字母的关系，进一步求解．
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第十八页，共三十八页。
已知二次函数 f(x)＝x2＋mx－3 的两个零 点为－1 和 n.
(1)求 m，n 的值； (2)若 f(3)＝f(2a－3)，求 a 的值．
第二十三页，共三十八页。
1
函数 ƒ(x)＝x2－2|x|的零点个数为(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：令 ƒ(x)＝0，得 x2＝12|x|在同一坐标
系里分别作出 y＝x2 与 y＝12|x|的图像知，它们
有 2 个交点，即函数 ƒ(x)有 2 个零点．
答案：C
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第二十四页，共三十八页。
f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的根．
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第九页，共三十八页。
2．判断函数零点存在性应注意哪些方面？ 答：(1)该判定方法只是指出了方程实数解的存在，但不能判 断具体有多少个实数解． (2)若函数 y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，且函 数 f(x)在(a，b)内有零点，但不一定满足 f(a)·f(b)<0. (3)若函数 y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，且 f(a)·f(b)>0，则 f(x)在(a，b)内也可能存在零点．
实数 a 在什么范围内取值时，函数 f(x)＝3x2－5x＋a 的一个零点位于区间(－2,0)内，另一个零点位于区间(1,3)内．
【解】 由题意可得
f－2·f0<0， f1·f3<0，
即2a2－＋2aaa＋<01，2<0，

，则关于x的方程
f 2 2
（A）1 （B）2 （C）3（D）4 f 已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则
(x) x
（D）
3、已知函数
（A）
（A）
（B）
（C）
的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则
4
=
（B） y log 1 x 与 y kx （C） （D）
k
1 4
1 2
1 4

1 2
Page 7
总结 方程与函数的关系
根的存在性的判断 的方法
Page 8
作业
P136:A B P125:A 2 1 6
Page 9
数形 结合
Page 6
例3 -
怎样求这个根的近似值？
练习
P133:1,2,3 1、若y=ax2-x-1只有一个零点，求a范围。 2、设函数 解的个数为
x 2 若x c , x 0, x ， b 0 f (x) x0 2,
f 4 f 0
利用函数性质判 定方程解的存在
\
4.1.1
方程与函数都是代数的 重要内容 多数方程没有求解公式 如何利用方程与函数的 关系求方程的解？
问题提出
Page 2
实例分析 判断方程 x -x-6=0 解的存在。
2
x2-x-6
F(x)=
-3
0
4
-6
Page 3
抽象概括
y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐 标叫做该函数的零点。即f(x)=0的 解。
若y=f(x)的图像在[a,b]上是连续曲 线，且f(a)f(b)<0，则在(a,b)内至 少有一个零点，即f(x)=0在 (a,b)内 至少有一个实数解。

方程在区间内有解
不一定
方程在区间内有没有解？为什么？
解：设函数，在区间上有，．又因为函数的图象是一条连续的曲线，所以由零点存在定理可知方程在区间内有解，即在区间内有解，故方程在区间内有解．
方程在区间内有没有解．
函数在区间内有没有零点．
判定方程有两个不相等的实数根，且一个根大于，另一个根小于．
解：设函数，显然有．画出函数的图象，如图：观察得，，．在区间，内分别应用零点存在定理，可知在区间，内，一元二次方程各有一个实数根．所以方程有两个不相等的实数根，且一个根大于，另一个根小于．
B
解：由已知数表可知：，，，故函数在，，上分别存在零点，故至少有个零点．选B．
则函数在区间上的零点至少有( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
函数的零点所在的大致区间是( )A． B． C．和 D．
B
解：∵，，∴在内无零点，错；∵，∴，∴在内有零点．选．又在上单调递增，故如果有零点，只能是一个零点。结合前面的分析， 在内有零点，故错误；
不一定． 如，，，，但是该函数在内没有零点．因为函数的图象是断开的，虽然函数值从负变到正，但图象却没有“穿过”轴．
不一定．如：，，但是该函数在区间内有三个零点，和．即方程在区间内有三个解，
但方程在区间内有个解．
在区间上，，所以．
但方程在区间内有零点．
即是方程在区间内有解的充分条件而非必要条件．
证明：记封闭曲线为，在初始时刻的外切四边形为矩形，它的边长分别为和．若，则结论成立；若，不妨设．现在，保持不动，逆时针转动矩形，转动过程中始终保持它与外切，设转动角为，则与边长之差可以看成在上的连续函数，且，．由函数的零点存在定理可知，一定存在，使．这时，，封闭曲线的外切矩形是正方形．

(2)法一：函数对应的方程为 ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个 数即为函数 y＝ln x 与 y＝3－x2 的图象交点个数．
在同一直角坐标系下，作出两函数的图象 (如图)．
由图象知，函数 y＝3－x2 与 y＝ln x 的图象 只有一个交点．从而方程 ln x＋x2－3＝0 只有一 个根，即函数 y＝ln x＋x2－3 有一个零点．
[解] 函数 f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1 的零点分别在区间(－1,0)和(1,2) 内，
即函数 f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1 的图象与 x 轴的交点一个在(－1,0) 内，一个在(1,2)内，
f－1＝2＞0， 根据图象列出不等式组ff01＝ ＝24mm＋ ＋12<<00， ，
f2＝6m＋5＞0，
即f
1 2
f(1)<0，
且f(x)的图象在12，1内是一条连续不断的曲线，
故f(x)的零点所在的区间是12，1.]
1 2 3 45
4．函数 f(x)＝x2－5x 的零点是________． 0 和 5 [令 x2－5x＝0，解得 x1＝0 或 x2＝5，所以函数 f(x)＝x2－ 5x 的零点是 0 和 5.]
第五章 函数应用
§1 方程解的存在性及方程的 近似解
1.1 利用函数性质判定方程解的 存在性
学习目标
核心素养
1．理解函数的零点、方程的根与图象 1．通过对函数零点概念的
交点三者之间的关系．(重点、易混点) 学习，培养数学抽象素养．
2．会借助零点存在定理判断函数的零 2．通过把函数零点问题转
点所在的大致区间．(重点)
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上 是否有交点来判断．