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利用函数性质判断方程解的存在性尊敬的各位考官大家好，我是今天的06号考生，今天我说课的题目是利用函数性质判断方程解的存在性。
接下来我将从教材分析、学情分析、教学过程（手势）等几个方面展开我的说课。
一、说教材《对数的概念》本节课选自北师大版高中数学必修一第五章第一节。
函数是中学数学的重要内容，本节课则体现出了函数的应用价值。
此前的基本初等函数，函数性质的学习为本节课做了良好的铺垫。
二、说学情深入了解学生是新课标要求下教师的必修课，学生对基本初等函数以及其性质也有了一定的程度的认识，具有一定的分析概括能力三、说教学目标依据学生的知识水平和年龄特点，以及本节课在教材中所处的地位及作用，我制定了以下教学目标：（1）理解方程的解和零点的关系，掌握零点存在性定理（2）通过对方程解的探究，培养学生观察，分析，归纳的思维能力，渗透数形结合，从特殊到一般的思想方法（3）通过探究过程，培养学生细心观察，认真分析的思维习惯，发展数学抽象和逻辑推理的数学核心素养四、说教学重难点要上好一节数学课，在教学内容上一定要做到突出重点、突破难点。
根据本节课的内容，确定教学重点为掌握零点存在性定理的概念。
教学难点为利用函数性质判定方程解的存在性。
五、说教法和学法结合本节课的内容和学生的认知规律，我主要采用讲授法、启发法、小组合作、自主探究等教学方法。
在学法上,我主要采用观察法、合作交流法、归纳总结法等教学方法。
六、说教学过程古语说“凡事预则立，不预则废”，为了更好的以学定教，我会让学生在课前完成一份前置作业（预习单），分为两部分：1.是旧知连接，出一些本课知识紧密相关的已经学过的练习题，这样可以很好的摸清学生基础。
2.是新知速递，是让学生自己先进行预习，完成一些与本课知识相关的基础的练习，从而培养学生的预习能力。
为了实现这节课的教学目标，突出重点，突破难点，整节课的教学分几个部分进行环节一：创设情境，引入新课在这个环节中，我会展示一副北方某天气温变化曲线图，图中显示早上6点气温为零下5度，中午12点温度为5度，我会对学生进行提问：“同学们，咱们看下这幅图片，有没有刚好温度等于0度的时刻呢？”，进而引出今天的课题。
利用函数性质判定方程解的存在性【教学目标】1．学习函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系，提升直观想象素养。
2．通过结合图像与解函数零点问题，培养数学抽象、数学运算素养。
【教学重难点】1．了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系。
易混点2．掌握函数零点存在的判定方法。
重点3．能结合图像求解零点问题。
难点【教学过程】一、基础铺垫1．函数的零点：①定义：函数f的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。
①方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系。
2．函数零点的判定定理：若函数＝f在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即fa·fb0，则＝f在区间a，b内一定没有零点吗？[提示]1不是点，是数。
2不一定，如＝2－1，在区间－2，2上有两个零点。
二、新知探究1．求函数的零点【例1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出。
1f＝错误!；2f＝2＋2＋4；3f＝2－3；4f＝1－og3。
[解]1令错误!＝0，解得＝－3，所以函数f＝错误!的零点是－3．2令2＋2＋4＝0，由于Δ＝22－4×40，所以f1·f2021点个数为A．3 B．2C．1 D．02函数f＝n ＋2－3的零点的个数是________。
1B21[1当≤0时，令2＋2＋3＝0，解得＝－3；当>0时，令－2＋n ＝0，解得＝e2，所以已知函数有两个零点，故选B．2因为f1＝－2，f2＝n 2＋1>0；所以f1·f2<0又f＝n ＋2－3的图像在1，2上是不间断的，所以f在1，2上必有零点。
又f在0，＋∞上是递增的，所以零点只有1个。
]【教师小结】判断函数零点个数的三种方法（1）方程法：若方程＝f＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数。
（2）图像法：由＝f＝＝g-h＝0，得g=h，在同一平面直角坐标系内作出1＝g和2＝h的图像，根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数。
4.1.1利用函数性质判定方程解的存在教学目标1.理解函数零点的意义，能够利用函数性质判定方程解的存在2.通过函数性质判定方程解的存在，培养数形结合的思想3.通过学习，初步体会事物间相互转化的辩证思想教学重难点重点：利用函数性质判定方程解的存在难点：方程实数解的存在区间的求解教学过程问题1 下列函数图像x轴的交点坐标和相应方程的根有何关系？（画出图象并分析）y=2x-4 与2x-4=0 y= x2－2x－3与x2－2x－3=0概括总结：函数的零点定义：我们把函数y=f(x )的图象与x轴交点的横坐标叫做函数y=f(x)的零点等价关系：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与X轴有交点⇔函数y=f(x)有零点示例·练习问题探究2概括总结零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，f(x)=0至少有一个实数解。
思考下列问题：问题1：函数f(x)在区间（a,b)上f(a)f(b)<0，是否一定有零点? 举例说明。
问题2 ：函数f(x)在区间（a,b)上有零点，是否一定有f(a)f(b)<0？举例说明。
问题3：函数f(x)在区间（a,b)上有零点，是否只有一个？举例说明。
总结出函数零点存在性定理注意事项：（1）函数y=f(x)的图象是连续不断地曲线（2）f(a)﹒f(b)<0 y=f(x)有零点，但不可逆（3）若f(a)﹒f(b)>0，不确定函数是否有零点示例·练习课后小结1.什么是函数的零点？2.如何使用函数性质判定方程解得存在？作业：P116.第3题[]实数解？为什么？内有没有在问方程已知函数0,1-0)(,3)(.22=-=x f x x f x []否存在零点。
上是在判断函数）（1,2-44)(.11-+=-x e x f x []并说明理由。
第1节方程解的存在性及方程的近似解5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性本部分内容是在学生学习了函数的定义、性质、图像、性质都已经熟悉的基础上，进一步研究函数与其他数学知识的有机联系，这里结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理(逻辑推理)，集中研究的是判定方程实数解的存在性，运用函数来解决实际问题。
(1)知识目标：理解函数零点的意义，能够判定方程解的存在性。
(2)核心素养目标：通过具体实例，感受数学的应用价值，养成严谨治学的态度和积极探索的精神。
重点：理解函数零点的意义，能够判定方程解的存在性。
难点：方程实数解的存在区间的求解。
多媒体课件一、知识引入函数零点：我们把函数y=f(x)的图像与横轴交点的横坐标称为这个函数的零点。
函数y=f(x)的零点可以理解成方程f(x)=0的解。
你能从函数y=f(x)图像中找到函数零点吗？依据定义找到函数零点： -1,1,3。
1、观察上述三个函数图像中零点附近的图像你能得什么结论吗？零点附近的图像是从上到下或者从下到上地穿过x 轴。
（零点即交点）2、零点两侧的附近区间内自变量x 对应的函数值一正一负。
（即f(a)f(b)﹤0）3、此类零点称为变号零点。
作出函数xy 1 图像确定函数有没有零点？ 能否用上述结论中f(a)f(b)﹤0来判断函数有零点？得出结果：函数没有零点，用f(a)f(b)﹤0判断零点必须是在连续区间（a,b ）上。
零点的判断方法：（1）几何法：函数y=f(x)图像与x 轴交点横坐标，即有几个交点就有几个零点。
（2）代数法：零点存在定理①函数y=f(x)图像在(a,b)上是连续的。
②满足f(a)f(b)﹤0则函数f(x)在区间(a,b)上至少一个零点。
如何判定函数f(x)在区间(a,b)上有唯一零点？引导学生在上述基础上加入单调性，来确定唯一零点。
二、例题解析例1 方程3x -x 2=0在区间[-1,0]内有没有解？为什么？解设函数f（x）=3x-x2在区间[-1，0]上连续，又∵f（-1）=3-1-（-1）2=-2/3＜0，f（0）=1-0=1＞0，∴函数f（x）=3x-x2在区间[-1，0]上有零点；∴方程f（x）=0在区间[-1，0]内有实数解。
一. 教学内容：判定方程解的存在性、二分法求方程的近似解【本讲的主要内容】利用函数性质判定方程解的存在性、利用二分法求方程的近似解二、学习目标1、进一步认识函数与方程的关系，求方程f（x）=0的实数解就是求函数y=f（x）的零点，体会函数知识的核心作用；2、能够利用函数的性质判定方程解的存在性；3、能够利用二分法求方程的近似解，认识求方程近似解方法的意义；4、在近似计算的学习中感受近似的思想、逼近的思想和算法的思想等数学思想的含义和作用。
三、知识要点1、函数的零点：我们把函数y=f（x）的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。
注意：①函数的零点是一个实数，而不是一个点；②由定义可知，函数y=f（x）的零点其实就是方程f（x）=0的解；所以解方程的问题就可以化归为求函数的零点的问题。
2、连续曲线：在本讲中涉及的“连续曲线”为不加定义的概念，即同学们可以根据自己的知识基础和生活经验，结合具体的函数图像对其是否连续作出判断，如反比例函数在［1，2］上的图像就是连续的。
我们所说的“连续曲线”均指闭区间［a，b］上的。
3、存在性命题的证明：一般有两种思路，即构造法和非构造法。
构造法是按照题意构造出符合条件的数学对象，既已构造，必然存在；非构造法是从逻辑上证明符合条件的数学对象必然存在，但没有构造出实际对象。
本讲中涉及的判断方程解的存在性采用的就是非构造法。
4、利用函数性质判定方程解的存在性：闭区间［a，b］上的连续函数f（x）满足条件f（a）·f （b）<0，则方程f（x）=0在［a，b］上一定存在实数解。
但是对于实数解的个数，则难以判定。
而且函数在［a，b］上存在实数解并不表明函数在［a，b］上就是连续的，也不一定满足条件f（a）·f（b）<0。
5、通过设计以下活动，了解二分法处理问题的基本思想：活动任务：提问不超过三次，确定一个学生的年龄；活动规则：对于提问，被问者只需答“是”或“否”。
《§4.1.1利用函数性质判定方程解的存在》教学设计--现代信息技术与中学数学教学有效整合案例江西省东乡县实验中学黄树华乐建平一、教材分析本节课内容选自经全国中小学教材审定委员会 2004 年初审通过的普通高中课程标准试验教科书，北师大版数学必修1第四章《函数的应用》第1单元“函数与方程”的第1节内容《利用函数性质判定方程解的存在》。
函数与方程的关系，是“整体”与“局部”的关系，是“动”与“静”的相互补充。
用函数的观点研究方程，本质上是在整体中研究局部问题，在动态的过程中研究静态的结果，为今后进一步学习函数与不等式等其它知识奠定了坚实的基础。
二、学情分析学生已经对一次函数、二次函数的图像与性质有了深刻的理解，在此基础上学习了指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质，学生能够运用计算机绘制它们的图像；通过本节课的学习，学生理解一元二次方程的实数解就是对应二次函数的图像与 x 轴交点的横坐标；在现代多媒体技术的辅助教学下，学生的学习兴趣得到进一步提高。
三、教学目标分析（一）知识与能力目标1.熟练掌握二次函数的图象，了解函数零点的概念及其与方程的根的联系；2、掌握函数零点存在的判定条件，会判断一元二次方程根的个数；（二）过程与方法目标让学生经历计算机绘制函数图像、分析零点存在性的过程，培养学生的探究意识；（三）情感态度与价值观目标1、通过对一般函数图像的分析，渗透由“形”到“数”，由特殊到一般的数学思想，体会研究和解决问题过程中的一般思维方法；2、培养学生对事物的观察、归纳和探究能力。
四、教学重、难点教学重点：根据具体函数的图像研究函数与方程的关系。
教学难点：函数零点存在性的判断及其个数的确定。
五、教学方法和手段问题教学法、多媒体辅助教学（演示文稿、几何画板）；六、教学过程设计（一）创设问题情境，引入课题问题 1：不解方程能否求出方程 x2-2x-3=0 的根?（幻灯片1）学生探究：利用函数图像及试值法，转化为求函数f（x）= x2-2x-3 与 x 轴交点的横坐标。
《4.1.1利用函数性质判定方程解的存在》教学案三维目标1．让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图像性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点．2．通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界．3．通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性，体会这些给他们带来的快乐．重点难点根据二次函数图像与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数；函数零点的概念．教学过程导入新课据新华社体育记者报道：昨晚足球比赛跌宕起伏，球迷经历了大喜到大悲，再到大喜的过程(领先则喜，落后即悲)．请问：整场足球比赛出现几次“比分相同”的时段？学生思考或讨论回答：三次：(1)开场；(2)由领先到落后必经过“比分相同”时段；(3)由落后到领先必经过“平分”时段．教师点拨：足球比赛有“落后”“领先”“比分相同”，函数值有“负”“正”“零”，函数图像与足球比赛一样跌宕起伏．由此导入课题，为后面的学习埋好伏笔．推进新课①求方程x2－2x－3＝0的根，画函数y＝x2－2x－3的图像.②求方程x2－2x＋1＝0的根，画函数y＝x2－2x＋1的图像.③求方程x2－2x＋3＝0的根，画函数y＝x2－2x＋3的图像.④观察函数的图像发现：方程的根与函数的图像和x轴交点的横坐标有什么关系？⑤如何判断一元二次方程根的个数？如何判断二次函数图像与x轴交点的个数？它们之间有什么关系？⑥归纳函数零点的概念.⑦怎样判断函数是否有零点？⑧函数的图像不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路：①先求方程的两个根，找出抛物线的顶点，画出二次函数的图像(图2)．图2 图3 图4②方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上(图3)．③方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是画二次函数图像的关键(图4)．④方程的根与函数的图像和x轴交点的横坐标都是实数．⑤对于其他函数这个结论正确吗？⑥函数的零点是一个实数．⑦可以利用“转化思想”．⑧足球比赛中从落后到领先是否一定经过“平分”？由此能否找出判断函数是否有零点的方法？函数图像穿过x轴则有零点，怎样用数学语言描述呢？讨论结果：①方程的两个实数根为－1,3，图像如图2.②方程的实数根为1，图像如图3.③方程没有实数根，图像如图4.④方程的根就是函数的图像与x轴交点的横坐标．⑤一元二次方程根的个数，就是二次函数图像与x轴交点的个数，可以用判别式来判定一元二次方程根的个数．a.当Δ＞0时，一元二次方程有两个不等的实根x1，x2，相应的二次函数的图像与x轴有两个交点(x1,0)、(x2,0)；b.当Δ＝0时，一元二次方程有两个相等的实根x1＝x2，相应的二次函数的图像与x轴有唯一的交点(x1,0)；c.当Δ＜0时，一元二次方程没有实根，相应的二次函数的图像与x轴没有交点．⑥一般地，对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)的零点．⑦方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．⑧观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图像，我们发现函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,1]上有零点．计算f(－2)与f(1)的乘积，发现这个乘积特点是小于零．在区间[2,4]同样如此．可以发现，f(－2)f(1)＜0，函数y＝x2－2x－3在区间(－2,1)内有零点x＝－1，它是方程x2－2 x－3＝0的一个根．同样地，f(2)f(4)＜0，函数y＝x2－2x－3在(2,4)内有零点x＝3，它是方程x2－2x－3＝0的另一个根．因此可得以下结论：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．应用示例例1 已知函数f (x )＝3x －x 2，问：方程f (x )＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？为什么？ 活动：学生回想判断函数零点的方法：解方程法和定理法．由于本题中方程f (x )＝0无法解，故用定理法，判断f (－1)f (0)＜0是否成立．解：因为f (－1)＝3－1－(－1)2＝－23＜0， f (0)＝30－(0)2＝1＞0，函数f (x )＝3x －x 2的图像是连续曲线，所以f (x )在区间[－1,0]内有零点，即f (x )＝0在区间[－1,0]内有实数解．点评：本题主要考查函数零点的概念及其判断方法．当无法解方程f (x )＝0时，通常用定理法判断函数零点的存在性.变式训练1. 判断函数y ＝|x －1|－2零点的个数．解：通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数，作出函数图像(图5)，图5函数y ＝|x －1|－2的图像与x 轴有两个交点，所以函数y ＝|x －1|－2有两个零点．2．求证：函数f (x )＝2x 2－3x －2有两个零点．证法一：因为一元二次方程2x 2－3x －2＝0的判别式Δ＝32＋4×2×2＝25＞0，所以一元二次方程2x 2－3x －2＝0有两个不相等的实根．所以函数f (x )＝2x 2－3x －2有两个零点．证法二：因为一元二次方程2x 2－3x －2＝0可化为(2x ＋1)(x －2)＝0，所以一元二次方程2x 2－3x －2＝0有两个不相等的实根x 1＝2，x 2＝－12. 所以函数f (x )＝2x 2－3x －2有两个零点．证法三：因为函数f (x )＝2x 2－3x －2的图像是一条开口向上的抛物线，且顶点在x 轴的下方，即f (0)＝－2＜0，所以函数f (x )＝2x 2－3x －2有两个零点．如图6.图6点评：判断函数零点个数可以结合函数的图像．方法：零点⇔函数方程的根⇔两图像的交点．数学思想：转化思想和数形结合思想.例2 判定方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.分析：转化判断函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1在(－∞，2)和(5，＋∞)内各有一个零点．解：考虑函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1，有f(5)＝(5－2)(5－5)－1＝－1，f(2)＝(2－2) (2－5)－1＝－1.又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线(如图7)，所以抛物线与横轴在(5，＋∞)内有一个交点，在(－∞，2)内也有一个交点．图7所以方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.点评：这里说“若f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，方程f(x)＝0至少有一个实数解”，指出了方程f(x)＝0实数解的存在，并不能判断具体有多少个实数解.变式训练关于x的方程x2－ax＋a2－7＝0的两个根一个大于2，另一个小于2，求实数a的取值范围．图8解：设f(x)＝x2－ax＋a2－7，图像为开口向上的抛物线(如图8)．因为方程x2－ax＋a2－7＝0的两个根一个大于2，另一个小于2，所以函数f(x)＝x2－ax＋a2－7的零点一个大于2，另一个小于2.即函数f(x)＝x2－ax＋a2－7的图像与x轴的两个交点在点(2,0)的两侧．只需f(2)＜0，即4－2a＋a2－7＜0，所以－1＜a＜3.课堂小结本节学习了：①零点的概念；②零点的判断方法；③利用函数的单调性证明零点的个数；④零点的应用．学习方法：由特殊到一般的方法．数学思想：转化思想、数形结合思想．。
《函数的零点与方程的解》教学设计1．结合指数函数和对数函数的图象，进一步了解函数的零点与方程解的关系，体会数学的整体性．2．结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理．3．学会运用函数判断方程是否有解．教学重点：函数零点与方程解的关系，函数零点存在定理的应用．教学难点：函数零点存在定理的导出，函数零点定理的充分不必要性．PPT 课件，计算器，GGB课件．（一）整体感知，明确任务引导语：在“函数的应用（一）”中，通过一些实例，我们初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程，学习了用函数描述客观事物变化规律的方法．本节先学习运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法），再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法．设计意图：明确本小节将要研究的内容．（二）新知探究1．函数零点的概念问题1：我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，所以要判断一元二次方程是否有实数解，除了利用一元二次方程根的判别式，还可以利用二次函数．请回忆相关内容，说说从二次函数的观点，如何判断一元二次方程是否有实数解？师生活动：学生回忆相关内容作答，教师予以补充完善．预设的答案：从二次函数的观点来看，一元二次方程20ax bx c ++=的实数根就是相应二次函数2y ax bx c =++的零点，也就是二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的公共点的横坐标．设计意图：引导学生回忆二次函数与一元二次方程的关系，为得到一般函数零点的概念作铺垫．问题2：类比一元二次方程的实数解和相应的二次函数的零点的关系，像ln 260x x +-=这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？师生活动：学生通过类比，得出答案．预设的答案：类比二次函数的零点，也可以考虑函数ln 26y x x =+-的零点，通过判断函数ln 26y x x =+-的图象与x 轴是否有公共点，来判断方程ln 260x x +-=是否有实数解．设计意图：通过如何判断一个没有求根公式的方程是否有实数解的讨论，了解利用函数观点研究方程解的必要性．问题3：通过上面的讨论，能否将这种利用函数观点研究方程解的方法，推广到研究一般方程的解？师生活动：学生讨论交流后作答，教师予以补充完善．预设的答案：可以将这种方法推广到研究一般方程的解．为此，与二次函数的零点一样，我们有必要给出函数零点的定义．定义：对于一般函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点（zero point ）．这样，函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数解，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的公共点的横坐标．设计意图：由具体到抽象，顺其自然地导出一般函数零点的概念，并得到一般方程实数解和一般函数零点的关系．追问1：在函数零点的定义中，蕴含着哪些等价关系？师生活动：学生独立思考，个别提问回答．预设的答案：根据函数零点的定义，可以得到如下的等价关系：方程()0f x =有实数解⇔函数()y f x =有零点⇔函数()y f x =的图象与x 轴有公共点．即对于函数()y f x =的零点，其代数意义就是()0f x =的实数解，其几何意义就是函数()y f x =的图象与x 轴的公共点．设计意图：分别从代数意义和几何意义，使学生进一步理解函数零点的本质．追问2：函数零点的定义，除了能帮助我们判断方程是否有解，还能为我们求解方程的解，尤其是为那些不能用公式求解的方程的解，提供了哪些思路？师生活动：学生讨论交流，个别提问回答，教师予以补充完善．预设的答案：求方程()0f x =的实数解，就是确定函数()y f x =的零点．所以，对于不能用公式求解的方程()0f x =的实数解问题，我们可以把它与相应的函数()y f x =联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的实数解．设计意图：强调不能用公式求解的方程，使学生明白，学习函数以及掌握函数观点的重要性，同时也为函数零点存在定理的提出作铺垫．追问3：这种利用函数观点研究方程解的方法，蕴含着怎样的数学思想？师生活动：学生讨论交流后得出答案，教师帮助学生总结和提炼．预设的答案：这其中蕴含着数形结合、化归与转换、函数与方程结合的数学思想． 设计意图：使学生体会数学知识的整体性．2．函数零点存在定理问题4：要判断方程是否有实数解，就要判断函数是否有零点，那么如何判断函数在其定义域的某一区间上是否存在零点呢？为了研究这个问题，我们先从熟悉的二次函数入手，你认为我们应该从哪些方面研究二次函数的零点？师生活动：学生讨论交流，教师进行引导．预设的答案：可以考察一个存在零点的二次函数，观察零点附近函数图象的特征，分析零点附近函数值的变化规律，然后抽象概括出其中的共性．设计意图：明确研究二次函数零点的方案．追问1：对于二次函数()223f x x x =--，观察它的图象（图1），发现它在区间[2，4]上有零点．这时，函数图象与x 轴有什么关系？函数()f x 的取值有什么规律？你能用()f x 在区间[2，4]上的两个具体的函数值来刻画这种关系和规律吗？师生活动：学生观察图象寻找规律，教师进行引导：注意观察在零点附近函数值的正负号变化特点．预设的答案：在区间[2，4]上的零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x 轴，零点左侧的图象在x 轴下方，零点右侧的图象在x 轴上方．相应的函数()f x 的取值在零点左侧小于0，在零点右侧大于0．因此函数在端点x =2和x =4的取值异号，可用()20f <且()40f >来刻画图象关系和函数值规律．设计意图：通过观察函数图象得出规律，使学生经历数形结合、将形转化为数的过程，学会用代数的语言描述图象的方法．追问2：函数()223f x x x =--在区间[-2，0]上也有零点，这时，函数图象与x 轴有什么关系？函数f (x )的取值有什么规律？你能用()f x 在区间[-2，0]上的两个具体的函数值来刻画这种关系和规律吗？师生活动：有了追问1的经验，学生应该能够独立完成．预设的答案：与在区间[2，4]上的情况类似，在区间[-2，0]上的零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x 轴，零点左侧的图象在x 轴上方，零点右侧的图象在x 轴下方．相应的函数f (x )的取值在零点左侧大于0，在零点右侧小于0．因此函数在端点x =-2和x =0的取值异号，可用()20f ->且()00f <来刻画图象关系和函数值规律．设计意图：类比分析，便于学生抽象出两个零点的共性．追问3：区间[2，4]和区间[-2，0]上都有零点，通过上面的分析，说说它们有什么共性？ 师生活动：学生思考后回答，教师予以补充完善．预设的答案：当函数图象连续不断时，在包含零点的某一段区间内，函数的图象“穿过”x 轴，零点两侧的函数值符号相反，此时这个区间两个端点的函数值的乘积小于零．即对于函数()223f x x x =--，有()()240f f <，()()200f f -<．设计意图：抽象得到共性，为得出函数零点存在定理作铺垫．预设的答案：函数零点存在定理只能确定零点存在，但不能确定只存在一个零点，更不能确定零点的具体个数．例如三次函数()()()()123f x x x x =---，在区间[0，4]上的图象连续不断，且()()()04660f f =-<，但是该函数在区间(0，4)内有三个零点x =1，x =2和x =3．零点的具体个数，还要结合函数的单调性等性质对函数做进一步研究．*（选学）再例如三次函数()()()212f x x x =--，在区间[0，3]上的图象连续不断，且()()()03240f f =-<，但是该函数在区间(0，3)内有两个零点x =1和x =2．并且在零点x =1附近，函数图象不是“穿过x 轴”，而是“与x 轴相切”．设计意图：使学生理解，函数零点存在定理是一个判定存在性的定性定理，而不是一个确定零点数量的定量定理．由于学生现阶段对三次函数的图象和性质还不是很熟悉，所以可以借助GGB 等信息技术直接展示三次函数()()()()123f x x x x =---的图象，从直观上帮助学生理解．因为函数的描述方式有三种，所以也可以不给出某个具体的函数解析式，而是直接画出一个函数图象，使其满足函数零点存在定理的判定条件，但是在给定区间内有不止一个零点．对于选学的例子()()()212f x x x =--，重根对应的零点个数是一个还是多个，在中学阶段一直有争议．但是，根据教科书习题4.5第13题和教师教学用书上给出的答案，并结合教科书上的函数零点的定义，重根对应的零点个数应该是一个．所以认为该例的零点个数是两个．为了防止给学生造成困扰，该例可视具体情况，决定是否讲解．在该例的教学中，可以再次跟学生强调，函数零点的定义是：使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点．即函数零点的本质是一个实数，而和方程的根没有关系．只能说，函数的零点和方程的实数根有关联，但不是完全等价的．*（选学）追问4：函数零点存在定理在数学分析上是“闭区间上连续函数的介值定理”的特例，是捷克数学家波尔察诺在1817年首先证明的．但由于当时缺乏实数理论，证明不严格，后由德国数学家魏尔斯特拉斯将这个证明严密化．请利用互联网或查阅数学分析相关的大学教材，了解介值定理的证明思路师生活动：学生课后自行完成．设计意图：由于学生研究函数的工具所限（主要是没有极限工具），所以无法严格的给出函数零点存在定理的证明，所以教科书只能用由具体到抽象的方法，推导出该定理．学生通过了解介值定理的证明思路，可以更深入的理解函数零点存在定理，了解其背后的理论依据．同时，可以提升学生数学人文素养，提高学习的积极性和主动性．3．初步应用，深化理解例1 求方程ln 260x x +-=的实数解的个数．师生活动：学生独立完成，然后展示交流．教师可以利用GGB 等作图工具画出函数ln 26y x x =+-的图象，或利用计算器列出x ，y 的对应值表，帮助学生观察、判断零点所在区间．除了教科书给出的解法之外，有的学生可能会提出，直接计算函数取值，寻找函数零点所在的区间．如果没有学生提出用这种方法，教师也可以启发学生考虑这种思路．预设的答案：解：设函数()ln 26f x x x =+-，利用计算工具，列出函数()y f x =的对应值表如表1，并画出图象如图2．表1xy 1-4 2-1．306 9 31．098 6 43．386 3 55．609 4 67．791 8 79．945 9 812．079 4 9 14．197 2 一方面，由表1和图2可知，()20f <，()30f >，则()()230f f <，并且其图象在(0，+∞)内连续．由函数零点存在定理可知，函数()ln 26f x x x =+-在区间(2，3)内至少有一个零点．另一方面，对于函数()ln 26f x x x =+-，x ∈(0，+∞)，可以先将其转化为两个基本函数()ln g x x =与()26h x x =-，由于它们在(0，+∞)内都单调递增，所以函数()()()f x g x h x =+在(0，+∞)内是增函数．两方面结合，可以判定它只有一个零点，即相应方程ln 260x x +-=只有一个实数解．图2对于寻找函数零点所在的区间，也可以直接考虑函数()ln 26f x x x =+-的取值，因为()2ln 22lne 210f =-=-=-<，()3ln30f =>，所以在区间[2，3]上，有()()230f f <，同样由函数零点存在定理可知，函数()ln 26f x x x =+-在区间(2，3)内至少有一个零点．设计意图：学会将函数零点存在定理与函数的单调性相结合，确定方程实数解的个数． 追问：观察函数()ln 26f x x x =+-的图象，借助计算器，你能进一步缩小函数零点所在的范围吗？师生活动：学生讨论交流后发言．学生可能有多种思路将函数零点缩小范围，只要合理可行，教师都可以鼓励学生进行大胆尝试．预设的答案：没有固定的答案，充分发挥学生的探索精神和学习积极性即可．设计意图：为下节内容“用二分法求方程的近似解”作铺垫．（三）归纳小结，布置作业问题6：回顾本节课，说说运用函数零点存在定理时，需要注意些什么？师生活动：先由学生回答，然后由学生相互补充，教师进行引导．预设的答案：运用函数零点存在定理时，需要注意：（1）函数零点存在定理的两个判定条件：①在给定区间[a ，b ]上的图象连续不断；②()()0f a f b <．二者缺一不可．（2）函数零点存在定理的判定条件，是充分但不必要的．也就是说，它的逆命题和否命题，都不一定成立，所以不能用它的逆命题和否命题，做出任何判断和结论．（3）函数零点存在定理只能判定在某一段区间内函数的零点存在，但是零点的个数无法确定．要确定零点的个数，还需要结合函数的单调性等性质，对函数进一步研究．设计意图：再次强调函数零点存在定理的细节，引起学生的重视．作业布置：教科书习题．（四）目标检测设计1．图3中的（1）（2）（3）分别为函数()y f x =在三个不同范围的图象．能否仅根据其中一个图象，得出函数()y f x =在某个区间只有一个零点的判断？为什么？设计意图：巩固学生对函数零点的认识．让学生体会到，仅根据函数图象判断函数的零点情况虽然直观，但不严谨．2．利用计算工具画出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间：（1）()335f x x x =--+； （2）()()2ln 23f x x x =--；（3）()1e 44x f x x -=+-； （4）()()()()3234f x x x x x =+-++． 设计意图：考查学生结合函数的图象，利用函数零点存在定理确定零点所在区间． 参考答案：1．不能．同一个函数的图象在三个不同范围看到的情况都不一样，只能从图（1）观察到它与x 轴有1个交点，从图（2）观察到它与x 轴有2个交点，从图（3）观察到它与x 轴有3个交点，所以仅凭观察函数图象只能初步判断它在某个区间是否有零点，至于是否真的有零点，以及有几个零点，要依据函数零点存在定理和在某个区间的单调性判断．2．（1）(1，2)． （2）(3，4)．（3）(0，1)． （4）(－4，－3)，(－3，－2)，(2，3)．图3。
利用函数性质判定方程解的存在学习目标：1、理解函数零点的意义，理解函数零点与方程的根之间关系。
2、正确掌握函数的零点和方程的根存在的判断方法。
教学重点：函数零点的判断 教学难点：函数零点的应用学习方法：合作探究、学案导学法 教学过程： 一、 自主学习。
梳理基础1.概念：对于函数)(x f y =，称使0)(0=x f 的实数0x 为函数的 ，即函数)(x f y =的图像与 的交点的 。
2.函数的零点与方程根的关系：若方程0)(=x f 的实数根为0x ，则函数)(x f y =的图像与x 轴的交点横坐标为 ，函数)(x f y =的零点是 。
3.零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间[]b a ,上的图像是 的一条曲线，并且有0)()(b f a f ∙（填“>”或“<”），那么函数)(x f y =在区间[]b a ,内有 ，即存在),(b a c ∈，使得 ，这个c 也就是方程0)(=x f 的 。
思考：零点存在性定理能否判断零点的个数？ 二、 课堂合作探究（一）实例引入 强化理解 1、解方程：（1）2-x =4； （2）2-x =x ．2、一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系． 填空：问题1：从该表你可以得出什么结论？问题2：一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系？3、一般函数的图象与方程根的关系．问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？请举例！师生互动，在学生提议的基础上，老师加以改善，现场在几何画板下展示类似如下函数的图象：y ＝2x －4，y ＝2x －8，y ＝ln(x －2)，y ＝(x －1)(x ＋2)(x －3)．比较函数图象与x 轴的交点和相应方程的根的关系，从而得出一般的结论：方程f (x )＝0有几个根，y ＝f (x )的图象与x 轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．（二）辨析讨论，深化概念． 4、函数零点．概念：对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． 即兴练习：函数f (x )=x (x 2－16)的零点为 （ D ） A ．(0，0)，(4，0) B ．0，4 C ．(–4，0)，(0，0)，(4，0) D ．–4，0，4 说明：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值． ②求函数零点就是求方程f (x )＝0的根． 5、归纳函数的零点与方程的根的关系．问题4：函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？（1）联系：①数值上相等：求函数的零点可以转化成求对应方程的根；②存在性一致：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．（2）区别：零点对于函数而言，根对于方程而言．以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，函数问题有时可转化为方程问题，同样，有些方程问题可以转化为函数问题来求解，这正是函数与方程思想的基础．练习：求下列函数的零点： 22(1)()34(2)()lg(44)=-++=+-f x x x f x x x 设计意图：使学生熟悉零点的求法（即求相应方程的实数根）．（三）实例探究，归纳定理． 6、零点存在性定理的探索．问题5：在怎样的条件下，函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上一定有零点？ 探究：（1）观察二次函数f (x )＝x 2－2x －3的图象： 在区间[-2，1]上有零点______； f (-2)=_______，f (1)=_______，f (-2)·f (1)_____0（“＜”或“＞”）． 在区间(2，4)上有零点______；f (2)·f (4)____0（“＜”或“＞”）．（2）观察函数的图象：①在区间(a ，b )上___(有/无)零点；f (a )·f (b ) ___ 0（“＜”或“＞”②在区间(b ，c )上___(有/无)零点；f (b )·f (c ) ___ 0（“＜”或“＞”③在区间(c ，d )上___(有/无)零点；f (c )·f (d ) ___ 0（“＜”或“＞”意图：通过归纳得出零点存在性定理． 7、零点存在性定理：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点．即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．即兴练习：下列函数在相应区间内是否存在零点？ （1）f (x )=log 2x ，x ∈[12，2]； （2）f (x )=e x -1+4x -4，x ∈[0，1]．意图：通过简单的练习适应定理的使用． 8．定理辨析与灵活运用例1 判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：（1）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内有且仅有一个零点． （ × ）（2）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )≥0，则f (x )在区间(a ，b )内没有零点． （ × ）（3）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]满足f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内存在零点． （ × ） 请一位学生板书反例，其他学生补充评析，例如：归纳：定理不能确零点的个数；定理中的“连续不断”是必不可少的条件；不满足定理条件时依然可能有零点．意图：通过对定理中条件的改变，将几种容易产生的误解正面给出，在第一时间加以纠正，从而促进对定理本身的准确理解． （五）综合应用，拓展思维． 例题讲解例2：求函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n ，n +1](n ∈Z)．练习 求方程2-x =x 的解的个数，并确定解所在的区间[n ，n +1](n ∈Z)．意图：一方面与引例相呼应，又作为例题方法的巩固，也为下一节课作铺垫． 三、（1（ C ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个 （2）方程– x 3 – 3x + 5=0的零点所在的大致区间为 （ ） A ．(– 2，0) B ．(0，1) C ．(0，1) D ．(1，2)意图：一方面促进对定理的活用，另一方面为突破后面的例题铺设台阶．四、课后巩固1、函数f(x)＝(x＋4)(x－4)(x＋2)在区间[-5，6]上是否存在零点？若存在，有几个？2．利用函数图象判断下列方程有几个根：（1）2x(x－2)＝－3；（2）e x－1＋4＝4x．3．结合上课给出的图象，写出并证明下列函数零点所在的大致区间：（1）f(x)=2x ln(x-2)-3；（2）f(x)＝3(x＋2)(x－3)(x＋4)＋x．思考题：方程2-x =x在区间______内有解，如何求出这个解的近似值？请预习下一节．设计意图：为下一节“用二分法求方程的近似解”的学习做准备．五、课后作业1．利用函数图象判断下列方程有几个根：（1）2x(x－2)＝－3；（2）e x－1＋4＝4x．2．写出并证明下列函数零点所在的大致区间：（1）f(x)=2x ln(x-2)-3；（2）f(x)＝3(x＋2)(x－3)(x＋4)＋x。
北师大版必修1《利用函数性质判定方程解的存在》教案及教学反思一、引言函数是高中数学中重要的概念之一，对于理解数学中的许多问题具有重要作用。
其中，通过利用函数性质判定方程解的存在是高中数学中重要的一块内容，也是许多学生感觉比较困难的一个知识点。
本文主要介绍北师大版必修1中的“利用函数性质判定方程解的存在”这一节的教学教案及反思。
二、教学目标1.知道什么是函数性质，了解常见函数形式；2.能够准确地运用函数性质判定方程解的存在。
三、教学内容本节课程的重点在于利用函数性质判定方程解的存在，主要涉及以下内容：1.函数的概念和性质；2.奇偶性函数；3.单调性函数；4.形如f(x)=x的方程的图像与y=x的图像的位置关系；5.利用奇偶性、单调性和函数图像判定方程解的存在。
四、教学重难点1.知道如何准确地应用函数奇偶性和单调性判定方程解的存在；2.理解函数f(x)=x与y=x的图像位置关系。
五、教学策略1.引导学生发现函数的特点，理解函数性质；2.针对方程的形式，引导学生思考利用哪些函数性质进行判定；3.引导学生运用数学工具，如画函数图像等。
六、教学过程1. 知识导入引导学生听一段《小燕子》的歌曲，鼓励学生用歌词中的“如何让你知道我在等你”的形式，思考几种方程的解的存在性，并在黑板上列示出来。
2. 理解函数的概念和性质介绍函数的定义和常见的函数形式，并讲解函数的性质，如奇偶性、单调性等。
在讲解过程中，通过示例让学生理解基本函数性质。
3. 利用奇偶性和单调性判定方程解的存在从最简单的形式f(x)=c入手，引导学生思考不同情况下的判定方法。
然后引导学生自己发现利用奇偶性和单调性判定方程解的方法，并通过练习加深理解。
4. 画f(x)=x的图像与y=x的图像的位置关系通过讲解y=x的图像在平面直角坐标系中的位置，以及f(x)=x的图像与y=x的图像的位置关系，引导学生理解如何运用图像判定方程解的存在。
5. 实例练习将学过的知识点整合起来，让学生结合题目进行实例练习，加深对知识点的理解和记忆。
《利用函数性质判定方程解的存在》教案
教学目标
1.理解函数的零点，通过类比归纳，帮助学生提高数学抽象素养；
2.理解函数零点存在性定理，通过合作交流，体验由直观想象到数学抽象的核心素养；
3.会判断函数零点的个数和所在区间，帮助学生树立严谨的数学运算素养。
教学重难点
重点：理解函数零点的概念，掌握函数零点的判定方法。
难点：探究发现函数零点的存在性。
教学方法
启发式讲解，自主探究，合作探究等相结合
教学过程
一， 问题情境
1.从图片上你看到了什么，有何启示？
2.方程062ln =-+x x 有解吗？有几个呢？
二，新课探究
自主探究：从不同的角度看12-=x y 先让学生从形和数的角度看等式，接着当0=y 时，引导学生求出结果，再让学生从不同角度看0.5.
T ：引导学生画图回答问题，师生共同总结，得出零点的概念
函数的零点：我们把函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.
注意：函数的零点 ⇔ 方程0=y 的根 ⇔ 函数)(x f y =图像与x 轴交点的横坐标. （数的角度） （形的角度）
思考：零点是不是点？函数都有零点？
活动一：学以致用
快速抢答：函数)3)(2)(1()(-+-=x x x x f 零点个数为（）
A.1
B.-2
C.(1,0) ,(-2,0),(3,0)
D.1,-2,3 小试牛刀：用图像法求方程3)2(2-=-x x 的根。
T ：提示学生方程转化为函数角度。
合作探究：小马过河了吗？
观察下列两组画面,请你推断一下哪一组一定
说明小马已经成功过河？
问1：如果将河流抽象成x 轴，将小马前后的两个
位置抽象为A 、B 两点。
请问当A 、B 与x 轴满足 怎样的位置关系时，AB 间的一段连续函数图象与x 轴一定有交点（即小马的运动轨迹一定经过小河）？并画出函数图像。
问2：结合所画图像，试用恰当的数学语言表述小马在什么情况下一定成功过河呢？
零点存在性定理：若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线，并且f(a)·f(b)<0，则在区间（a,b ）内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程
f(x)=0
B
在区间(a,b) 内至少有一个实数解.
思考：1，有零点一定有f （a ）f （b ）<0吗？（定理不可逆）
2，定理中的[a,b]可以改为（a,b ）吗？
T ：引导学生画图解释
活动二：思维提升
简单巩固：判断方程01543=-+x x 在在[1，2]内实数解的存在性。
自我检测：求方程062ln =-+x x 有解吗？求出所在区间；并验证你的结论。
T ：提示学生数与形不分家
三，整体归纳
请小组讨论30秒，这节课学到了什么？在解题方法上你有什么收获？ 四，课后反馈
必做题1．教材119页习题4--1（A 组）第1题；
选做题2．求函数x x f x 22)(-
= 的零点个数，指出其零点所在的大致区间。
