利用函数性质判定方程解的存在教案

利用函数性质判断方程解的存在性尊敬的各位考官大家好，我是今天的06号考生，今天我说课的题目是利用函数性质判断方程解的存在性。

接下来我将从教材分析、学情分析、教学过程（手势）等几个方面展开我的说课。

一、说教材《对数的概念》本节课选自北师大版高中数学必修一第五章第一节。

函数是中学数学的重要内容，本节课则体现出了函数的应用价值。

此前的基本初等函数，函数性质的学习为本节课做了良好的铺垫。

二、说学情深入了解学生是新课标要求下教师的必修课，学生对基本初等函数以及其性质也有了一定的程度的认识，具有一定的分析概括能力三、说教学目标依据学生的知识水平和年龄特点，以及本节课在教材中所处的地位及作用，我制定了以下教学目标：（1）理解方程的解和零点的关系，掌握零点存在性定理（2）通过对方程解的探究，培养学生观察，分析，归纳的思维能力，渗透数形结合，从特殊到一般的思想方法（3）通过探究过程，培养学生细心观察，认真分析的思维习惯，发展数学抽象和逻辑推理的数学核心素养四、说教学重难点要上好一节数学课，在教学内容上一定要做到突出重点、突破难点。

根据本节课的内容，确定教学重点为掌握零点存在性定理的概念。

教学难点为利用函数性质判定方程解的存在性。

五、说教法和学法结合本节课的内容和学生的认知规律，我主要采用讲授法、启发法、小组合作、自主探究等教学方法。

在学法上,我主要采用观察法、合作交流法、归纳总结法等教学方法。

六、说教学过程古语说“凡事预则立，不预则废”，为了更好的以学定教，我会让学生在课前完成一份前置作业（预习单），分为两部分：1.是旧知连接，出一些本课知识紧密相关的已经学过的练习题，这样可以很好的摸清学生基础。

2.是新知速递，是让学生自己先进行预习，完成一些与本课知识相关的基础的练习，从而培养学生的预习能力。

为了实现这节课的教学目标，突出重点，突破难点，整节课的教学分几个部分进行环节一：创设情境，引入新课在这个环节中，我会展示一副北方某天气温变化曲线图，图中显示早上6点气温为零下5度，中午12点温度为5度，我会对学生进行提问：“同学们，咱们看下这幅图片，有没有刚好温度等于0度的时刻呢？”，进而引出今天的课题。

利用函数性质判定方程解的存在性【教学目标】1．学习函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系，提升直观想象素养。

2．通过结合图像与解函数零点问题，培养数学抽象、数学运算素养。

【教学重难点】1．了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系。

易混点2．掌握函数零点存在的判定方法。

重点3．能结合图像求解零点问题。

难点【教学过程】一、基础铺垫1．函数的零点：①定义：函数f的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。

①方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系。

2．函数零点的判定定理：若函数＝f在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即fa·fb0，则＝f在区间a，b内一定没有零点吗？[提示]1不是点，是数。

2不一定，如＝2－1，在区间－2，2上有两个零点。

二、新知探究1．求函数的零点【例1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出。

1f＝错误!；2f＝2＋2＋4；3f＝2－3；4f＝1－og3。

[解]1令错误!＝0，解得＝－3，所以函数f＝错误!的零点是－3．2令2＋2＋4＝0，由于Δ＝22－4×40，所以f1·f2021点个数为A．3 B．2C．1 D．02函数f＝n ＋2－3的零点的个数是________。

1B21[1当≤0时，令2＋2＋3＝0，解得＝－3；当>0时，令－2＋n ＝0，解得＝e2，所以已知函数有两个零点，故选B．2因为f1＝－2，f2＝n 2＋1>0；所以f1·f2<0又f＝n ＋2－3的图像在1，2上是不间断的，所以f在1，2上必有零点。

又f在0，＋∞上是递增的，所以零点只有1个。

]【教师小结】判断函数零点个数的三种方法（1）方程法：若方程＝f＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数。

（2）图像法：由＝f＝＝g-h＝0，得g=h，在同一平面直角坐标系内作出1＝g和2＝h的图像，根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数。

4.1.1利用函数性质判定方程解的存在教学目标1.理解函数零点的意义，能够利用函数性质判定方程解的存在2.通过函数性质判定方程解的存在，培养数形结合的思想3.通过学习，初步体会事物间相互转化的辩证思想教学重难点重点：利用函数性质判定方程解的存在难点：方程实数解的存在区间的求解教学过程问题1 下列函数图像x轴的交点坐标和相应方程的根有何关系？（画出图象并分析）y=2x-4 与2x-4=0 y= x2－2x－3与x2－2x－3=0概括总结：函数的零点定义：我们把函数y=f(x )的图象与x轴交点的横坐标叫做函数y=f(x)的零点等价关系：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与X轴有交点⇔函数y=f(x)有零点示例·练习问题探究2概括总结零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，f(x)=0至少有一个实数解。

思考下列问题：问题1：函数f(x)在区间（a,b)上f(a)f(b)<0，是否一定有零点? 举例说明。

问题2 ：函数f(x)在区间（a,b)上有零点，是否一定有f(a)f(b)<0？举例说明。

问题3：函数f(x)在区间（a,b)上有零点，是否只有一个？举例说明。

总结出函数零点存在性定理注意事项：（1）函数y=f(x)的图象是连续不断地曲线（2）f(a)﹒f(b)<0 y=f(x)有零点，但不可逆（3）若f(a)﹒f(b)>0，不确定函数是否有零点示例·练习课后小结1.什么是函数的零点？2.如何使用函数性质判定方程解得存在？作业：P116.第3题[]实数解？为什么？内有没有在问方程已知函数0,1-0)(,3)(.22=-=x f x x f x []否存在零点。

上是在判断函数）（1,2-44)(.11-+=-x e x f x []并说明理由。

第1节方程解的存在性及方程的近似解5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性本部分内容是在学生学习了函数的定义、性质、图像、性质都已经熟悉的基础上，进一步研究函数与其他数学知识的有机联系，这里结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理(逻辑推理)，集中研究的是判定方程实数解的存在性，运用函数来解决实际问题。

(1)知识目标：理解函数零点的意义，能够判定方程解的存在性。

(2)核心素养目标：通过具体实例，感受数学的应用价值，养成严谨治学的态度和积极探索的精神。

重点：理解函数零点的意义，能够判定方程解的存在性。

难点：方程实数解的存在区间的求解。

多媒体课件一、知识引入函数零点：我们把函数y=f(x)的图像与横轴交点的横坐标称为这个函数的零点。

函数y=f(x)的零点可以理解成方程f(x)=0的解。

你能从函数y=f(x)图像中找到函数零点吗？依据定义找到函数零点： -1,1,3。

1、观察上述三个函数图像中零点附近的图像你能得什么结论吗？零点附近的图像是从上到下或者从下到上地穿过x 轴。

（零点即交点）2、零点两侧的附近区间内自变量x 对应的函数值一正一负。

（即f(a)f(b)﹤0）3、此类零点称为变号零点。

作出函数xy 1 图像确定函数有没有零点？ 能否用上述结论中f(a)f(b)﹤0来判断函数有零点？得出结果：函数没有零点，用f(a)f(b)﹤0判断零点必须是在连续区间（a,b ）上。

零点的判断方法：（1）几何法：函数y=f(x)图像与x 轴交点横坐标，即有几个交点就有几个零点。

（2）代数法：零点存在定理①函数y=f(x)图像在(a,b)上是连续的。

②满足f(a)f(b)﹤0则函数f(x)在区间(a,b)上至少一个零点。

如何判定函数f(x)在区间(a,b)上有唯一零点？引导学生在上述基础上加入单调性，来确定唯一零点。

二、例题解析例1 方程3x -x 2=0在区间[-1,0]内有没有解？为什么？解设函数f（x）=3x-x2在区间[-1，0]上连续，又∵f（-1）=3-1-（-1）2=-2/3＜0，f（0）=1-0=1＞0，∴函数f（x）=3x-x2在区间[-1，0]上有零点；∴方程f（x）=0在区间[-1，0]内有实数解。

一. 教学内容：判定方程解的存在性、二分法求方程的近似解【本讲的主要内容】利用函数性质判定方程解的存在性、利用二分法求方程的近似解二、学习目标1、进一步认识函数与方程的关系，求方程f（x）=0的实数解就是求函数y=f（x）的零点，体会函数知识的核心作用；2、能够利用函数的性质判定方程解的存在性；3、能够利用二分法求方程的近似解，认识求方程近似解方法的意义；4、在近似计算的学习中感受近似的思想、逼近的思想和算法的思想等数学思想的含义和作用。

三、知识要点1、函数的零点：我们把函数y=f（x）的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。

注意：①函数的零点是一个实数，而不是一个点；②由定义可知，函数y=f（x）的零点其实就是方程f（x）=0的解；所以解方程的问题就可以化归为求函数的零点的问题。

2、连续曲线：在本讲中涉及的“连续曲线”为不加定义的概念，即同学们可以根据自己的知识基础和生活经验，结合具体的函数图像对其是否连续作出判断，如反比例函数在［1，2］上的图像就是连续的。

我们所说的“连续曲线”均指闭区间［a，b］上的。

3、存在性命题的证明：一般有两种思路，即构造法和非构造法。

构造法是按照题意构造出符合条件的数学对象，既已构造，必然存在；非构造法是从逻辑上证明符合条件的数学对象必然存在，但没有构造出实际对象。

本讲中涉及的判断方程解的存在性采用的就是非构造法。

4、利用函数性质判定方程解的存在性：闭区间［a，b］上的连续函数f（x）满足条件f（a）·f （b）<0，则方程f（x）=0在［a，b］上一定存在实数解。

但是对于实数解的个数，则难以判定。

而且函数在［a，b］上存在实数解并不表明函数在［a，b］上就是连续的，也不一定满足条件f（a）·f（b）<0。

5、通过设计以下活动，了解二分法处理问题的基本思想：活动任务：提问不超过三次，确定一个学生的年龄；活动规则：对于提问，被问者只需答“是”或“否”。

《§4.1.1利用函数性质判定方程解的存在》教学设计--现代信息技术与中学数学教学有效整合案例江西省东乡县实验中学黄树华乐建平一、教材分析本节课内容选自经全国中小学教材审定委员会 2004 年初审通过的普通高中课程标准试验教科书，北师大版数学必修1第四章《函数的应用》第1单元“函数与方程”的第1节内容《利用函数性质判定方程解的存在》。

函数与方程的关系，是“整体”与“局部”的关系，是“动”与“静”的相互补充。

用函数的观点研究方程，本质上是在整体中研究局部问题，在动态的过程中研究静态的结果，为今后进一步学习函数与不等式等其它知识奠定了坚实的基础。

二、学情分析学生已经对一次函数、二次函数的图像与性质有了深刻的理解，在此基础上学习了指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质，学生能够运用计算机绘制它们的图像；通过本节课的学习，学生理解一元二次方程的实数解就是对应二次函数的图像与 x 轴交点的横坐标；在现代多媒体技术的辅助教学下，学生的学习兴趣得到进一步提高。

三、教学目标分析（一）知识与能力目标1.熟练掌握二次函数的图象，了解函数零点的概念及其与方程的根的联系；2、掌握函数零点存在的判定条件，会判断一元二次方程根的个数；（二）过程与方法目标让学生经历计算机绘制函数图像、分析零点存在性的过程，培养学生的探究意识；（三）情感态度与价值观目标1、通过对一般函数图像的分析，渗透由“形”到“数”，由特殊到一般的数学思想，体会研究和解决问题过程中的一般思维方法；2、培养学生对事物的观察、归纳和探究能力。

四、教学重、难点教学重点：根据具体函数的图像研究函数与方程的关系。

教学难点：函数零点存在性的判断及其个数的确定。

五、教学方法和手段问题教学法、多媒体辅助教学（演示文稿、几何画板）；六、教学过程设计（一）创设问题情境，引入课题问题 1：不解方程能否求出方程 x2-2x-3=0 的根?（幻灯片1）学生探究：利用函数图像及试值法，转化为求函数f（x）= x2-2x-3 与 x 轴交点的横坐标。