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利用函数性质判断方程解的存在性尊敬的各位考官大家好，我是今天的06号考生，今天我说课的题目是利用函数性质判断方程解的存在性。
接下来我将从教材分析、学情分析、教学过程（手势）等几个方面展开我的说课。
一、说教材《对数的概念》本节课选自北师大版高中数学必修一第五章第一节。
函数是中学数学的重要内容，本节课则体现出了函数的应用价值。
此前的基本初等函数，函数性质的学习为本节课做了良好的铺垫。
二、说学情深入了解学生是新课标要求下教师的必修课，学生对基本初等函数以及其性质也有了一定的程度的认识，具有一定的分析概括能力三、说教学目标依据学生的知识水平和年龄特点，以及本节课在教材中所处的地位及作用，我制定了以下教学目标：（1）理解方程的解和零点的关系，掌握零点存在性定理（2）通过对方程解的探究，培养学生观察，分析，归纳的思维能力，渗透数形结合，从特殊到一般的思想方法（3）通过探究过程，培养学生细心观察，认真分析的思维习惯，发展数学抽象和逻辑推理的数学核心素养四、说教学重难点要上好一节数学课，在教学内容上一定要做到突出重点、突破难点。
根据本节课的内容，确定教学重点为掌握零点存在性定理的概念。
教学难点为利用函数性质判定方程解的存在性。
五、说教法和学法结合本节课的内容和学生的认知规律，我主要采用讲授法、启发法、小组合作、自主探究等教学方法。
在学法上,我主要采用观察法、合作交流法、归纳总结法等教学方法。
六、说教学过程古语说“凡事预则立，不预则废”，为了更好的以学定教，我会让学生在课前完成一份前置作业（预习单），分为两部分：1.是旧知连接，出一些本课知识紧密相关的已经学过的练习题，这样可以很好的摸清学生基础。
2.是新知速递，是让学生自己先进行预习，完成一些与本课知识相关的基础的练习，从而培养学生的预习能力。
为了实现这节课的教学目标，突出重点，突破难点，整节课的教学分几个部分进行环节一：创设情境，引入新课在这个环节中，我会展示一副北方某天气温变化曲线图，图中显示早上6点气温为零下5度，中午12点温度为5度，我会对学生进行提问：“同学们，咱们看下这幅图片，有没有刚好温度等于0度的时刻呢？”，进而引出今天的课题。
利用函数性质判定方程解的存在性【教学目标】1．学习函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系，提升直观想象素养。
2．通过结合图像与解函数零点问题，培养数学抽象、数学运算素养。
【教学重难点】1．了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系。
易混点2．掌握函数零点存在的判定方法。
重点3．能结合图像求解零点问题。
难点【教学过程】一、基础铺垫1．函数的零点：①定义：函数f的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。
①方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系。
2．函数零点的判定定理：若函数＝f在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即fa·fb0，则＝f在区间a，b内一定没有零点吗？[提示]1不是点，是数。
2不一定，如＝2－1，在区间－2，2上有两个零点。
二、新知探究1．求函数的零点【例1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出。
1f＝错误!；2f＝2＋2＋4；3f＝2－3；4f＝1－og3。
[解]1令错误!＝0，解得＝－3，所以函数f＝错误!的零点是－3．2令2＋2＋4＝0，由于Δ＝22－4×40，所以f1·f2021点个数为A．3 B．2C．1 D．02函数f＝n ＋2－3的零点的个数是________。
1B21[1当≤0时，令2＋2＋3＝0，解得＝－3；当>0时，令－2＋n ＝0，解得＝e2，所以已知函数有两个零点，故选B．2因为f1＝－2，f2＝n 2＋1>0；所以f1·f2<0又f＝n ＋2－3的图像在1，2上是不间断的，所以f在1，2上必有零点。
又f在0，＋∞上是递增的，所以零点只有1个。
]【教师小结】判断函数零点个数的三种方法（1）方程法：若方程＝f＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数。
（2）图像法：由＝f＝＝g-h＝0，得g=h，在同一平面直角坐标系内作出1＝g和2＝h的图像，根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数。
4.1.1利用函数性质判定方程解的存在教学目标1.理解函数零点的意义，能够利用函数性质判定方程解的存在2.通过函数性质判定方程解的存在，培养数形结合的思想3.通过学习，初步体会事物间相互转化的辩证思想教学重难点重点：利用函数性质判定方程解的存在难点：方程实数解的存在区间的求解教学过程问题1 下列函数图像x轴的交点坐标和相应方程的根有何关系？（画出图象并分析）y=2x-4 与2x-4=0 y= x2－2x－3与x2－2x－3=0概括总结：函数的零点定义：我们把函数y=f(x )的图象与x轴交点的横坐标叫做函数y=f(x)的零点等价关系：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与X轴有交点⇔函数y=f(x)有零点示例·练习问题探究2概括总结零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，f(x)=0至少有一个实数解。
思考下列问题：问题1：函数f(x)在区间（a,b)上f(a)f(b)<0，是否一定有零点? 举例说明。
问题2 ：函数f(x)在区间（a,b)上有零点，是否一定有f(a)f(b)<0？举例说明。
问题3：函数f(x)在区间（a,b)上有零点，是否只有一个？举例说明。
总结出函数零点存在性定理注意事项：（1）函数y=f(x)的图象是连续不断地曲线（2）f(a)﹒f(b)<0 y=f(x)有零点，但不可逆（3）若f(a)﹒f(b)>0，不确定函数是否有零点示例·练习课后小结1.什么是函数的零点？2.如何使用函数性质判定方程解得存在？作业：P116.第3题[]实数解？为什么？内有没有在问方程已知函数0,1-0)(,3)(.22=-=x f x x f x []否存在零点。
上是在判断函数）（1,2-44)(.11-+=-x e x f x []并说明理由。
利用函数性质判定方程解的存在一、教材分析《利用函数性质判定方程解的存在》是北师大版教材必修一，第四章，第一节的内容。
函数在数学中占据着不可替代的核心地位，它与其它知识具有广泛的联系，而本节课“利用函数性质判定方程解的存在”就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机地联系在一起。
本节内容起着承上启下的作用：在函数性质的基础上，利用函数的图象和性质来判断方程根的存在，是函数图像与性质内容的延续。
函数零点的概念和函数零点存在的判定方法，这又是学习下一节“利用二分法求方程的近似解”的基础。
同时，本节课还是培养学生“数形结合思想”、“函数与方程思想”、“转化与化归思想”的优质载体。
二、学情分析学生已经具备了：(1)基本初等函数的图象和性质；(2)初步了解一元二次方程和相应二次函数的关系；(3)初步具备将“数”与“形”相结合及转化的意识。
缺乏的能力：(1)应用函数解决问题的能力还不强；(2)由特殊到一般的归纳能力还不够；(3)数形结合的思想敏锐性还有待提高。
三、教学目标：1.知识与技能：（1）能说出函数零点的概念（2）能归纳并叙述函数零点存在性定理（3）会判断函数零点的个数和所在区间2.过程与方法：经历“类比—归纳—应用”的过程；经历方程与函数的转化过程3.情感、态度与价值观：体验自主探究，合作交流的乐趣；体会事物间普遍联系的辩证思想四、教学重点、难点：重点：函数零点的概念，函数零点的判定方法。
难点：探究发现函数零点的存在性，利用函数的图像和性质判断函数零点的个数五、教法学法： 教法：启发—探究—讨论 学法：自主—合作—交流 六、教学过程：教学准备：导学案，多媒体 课时安排：1课时（一）设问激疑，创设情景 问题引入：求下列方程的根 前两个方程学生容易求解，后两个却无从下手，于是，引出本节课所要解决的问题，同时引入本节课题《利用函数性质判定方程解的存在》。
（二）启发引导，形成概念 探究（一）：函数零点的概念问题1：一元一次方程10x -= 的解?一次函数1y x =- 图像与x 轴交点坐标？方程的根与交点的横坐标有什么关系？问题2：给定二次函数y ＝x 2＋2x －3，（1）做出函数图像，观察函数的图像与x 轴的交点是什么？（2）方程x 2＋2x －3＝0的根是什么？（3）方程的根与交点的横坐标有什么关系？由问题1、2引出函数零点的概念，及函数零点与对应方程根之间的联系。
精 品 教 学 设 计1.1利用函数性质判定方程解的存在一、教学目标以二次函数的图象与对应的一元二次方程的关系为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，发现并掌握在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；学会在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。
让学生在探究过程中体验发现的乐趣，体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想，培养学生的辨证思维以及分析问题解决问题的能力。
二、教学重点难点重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。
难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。
三、教学程序设计(一)设问激疑，创设情景问题1一元一次方程10x -=的根和相应的一次函数()1f x x =-的图象与x 轴交点坐标有何关系？问题2一元二次方程2320x x -+=的根和相应的二次函数2()32f x x x =-+的图像与x 轴交点坐标有何关系？(二)启发引导，形成概念函数零点的概念：我们把函数的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。
等价关系：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点 例如：判断函数12y x =--零点的个数.解：通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数，作出 函数图像。
函数12y x =--的图像与x 轴有两个交点，所以函数有两个零点。
练习：求下列函数的零点：2(1).()56f x x x =-+(2).()21x f x =-(三)讨论探究，揭示定理思考：函数()y f x =在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数()y f x =一定有零点？观察函数()1f x x =-的图像，此函数在区间[]0,2上有没有零点？计算函数()1f x x =-在区间[]0,2的两个端点对应的函数值(0)f 和(2)f 的乘积，你能发现这个乘积有何特点？观察函数2()32f x x x =-+的图像，此函数在区间[]0,1.5上有没有零点？ 计算函数2()32f x x x =-+在区间[]0,1.5的两个端点对应的函数值(0)f 和(1.5)f的乘积，你能发现这个乘积有何特点？此函数在区间[]1.5,3上是否也具有这样的特点？结论：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b <, 那么函数()y f x =在区间(),a b 内至少有一个零点，即存在(),c a b ∈ , 使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。
北师大版高中数学必修第一册《利用函数性质判定方程解的存在性》评课稿介绍本文是对北师大版高中数学必修第一册中《利用函数性质判定方程解的存在性》这一章节的评课稿。
本章主要讲解了如何通过利用函数性质来判定方程解的存在性。
通过学习本章，学生将能够掌握判断一元二次方程、绝对值方程和分式方程解的存在性的方法和技巧。
本评课稿将从教材内容的组织、教学目标的达成度、教学方法的灵活性以及学生对知识的掌握程度等方面进行评价和总结。
教材内容的组织本章的教材内容组织合理，层次清晰，基本符合学生的认知规律。
从解一元二次方程开始，逐渐引入绝对值方程和分式方程的求解，形成了一个由易到难、由简单到复杂的教学过程。
在每一小节中，教材都以实际问题为例子，具体说明了如何利用函数性质来判定方程解的存在性。
通过实际问题的引入，不仅提高了学生的学习兴趣，还帮助学生更好地理解和应用知识。
教学目标的达成度学生在学习本章后应能够： - 理解并应用一元二次方程的解的性质，判断方程解的存在性。
- 掌握绝对值方程的解的性质，准确判定方程解的存在性。
- 理解并运用分式方程解的性质，判定方程解的存在性。
通过对学生的学习情况的观察和测试，大部分学生能够达到上述学习目标。
他们能够准确地判断方程解的存在性，并能够应用所学知识解决实际问题。
然而，在对一些复杂问题的应用上，仍有部分学生存在困难，部分学生对分式方程解的判断仍存在不确定性。
因此，在教学过程中，可以适当增加一些练习和巩固的环节，帮助所有学生更好地掌握这些知识和技巧。
教学方法的灵活性教学过程中教师采用了多种灵活的教学方法，如讲解、示范、讨论和练习等。
教师在引入新知识时，注重通过简单明了的语言和具体的例子来解释概念和原理，使学生易于理解。
在讲解过程中，教师积极与学生互动，鼓励学生提问、思考和讨论，促进学生的主动学习。
同时，教师还设计了一些小组活动和练习，让学生在合作中巩固所学内容，提高解题能力。
教学方法的灵活性使学生能够更好地参与课堂，增加了学习的乐趣和积极性。
一. 教学内容：判定方程解的存在性、二分法求方程的近似解【本讲的主要内容】利用函数性质判定方程解的存在性、利用二分法求方程的近似解二、学习目标1、进一步认识函数与方程的关系，求方程f（x）=0的实数解就是求函数y=f（x）的零点，体会函数知识的核心作用；2、能够利用函数的性质判定方程解的存在性；3、能够利用二分法求方程的近似解，认识求方程近似解方法的意义；4、在近似计算的学习中感受近似的思想、逼近的思想和算法的思想等数学思想的含义和作用。
三、知识要点1、函数的零点：我们把函数y=f（x）的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。
注意：①函数的零点是一个实数，而不是一个点；②由定义可知，函数y=f（x）的零点其实就是方程f（x）=0的解；所以解方程的问题就可以化归为求函数的零点的问题。
2、连续曲线：在本讲中涉及的“连续曲线”为不加定义的概念，即同学们可以根据自己的知识基础和生活经验，结合具体的函数图像对其是否连续作出判断，如反比例函数在［1，2］上的图像就是连续的。
我们所说的“连续曲线”均指闭区间［a，b］上的。
3、存在性命题的证明：一般有两种思路，即构造法和非构造法。
构造法是按照题意构造出符合条件的数学对象，既已构造，必然存在；非构造法是从逻辑上证明符合条件的数学对象必然存在，但没有构造出实际对象。
本讲中涉及的判断方程解的存在性采用的就是非构造法。
4、利用函数性质判定方程解的存在性：闭区间［a，b］上的连续函数f（x）满足条件f（a）·f （b）<0，则方程f（x）=0在［a，b］上一定存在实数解。
但是对于实数解的个数，则难以判定。
而且函数在［a，b］上存在实数解并不表明函数在［a，b］上就是连续的，也不一定满足条件f（a）·f（b）<0。
5、通过设计以下活动，了解二分法处理问题的基本思想：活动任务：提问不超过三次，确定一个学生的年龄；活动规则：对于提问，被问者只需答“是”或“否”。
第五章函数应用§1方程解的存在性及方程的近似解1.1利用函数性质判定方程解的存在性【学习目标】1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.2.结合具体函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.◆知识点一函数的零点使得f(x0)=0的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点.f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y=x+1的零点是(-1,0).()(2)函数y=x2-2x-3有两个零点.()◆知识点二零点存在定理若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0解.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)f(x)在区间[a,b]内满足f(a)·f(b)>0,则f(x)在区间(a,b)内无零点.()(2)f(x)在区间(a,b)内有一个零点,则f(a)·f(b)<0.()◆探究点一由图象确定函数的零点例1 (1)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)在[a,d]内有个零点.(2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是()A .a>0B .c<0C .(-1,0)是函数的一个零点D .3是函数的一个零点(3)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )=x 2-2x (x ≥0),则函数f (x )的零点个数为 ( ) A .0 B .1 C .2D .3[素养小结]由图象确定函数的零点个数主要有两种方法:1.直接画出函数的图象,通过图象与x 轴交点的个数确定零点个数.2.将函数f (x )写成f (x )=h (x )-g (x )的形式,画出函数y=h (x )与y=g (x )的图象,根据两函数图象的交点个数判断方程h (x )=g (x )的根的个数,即可确定函数f (x )的零点个数.◆ 探究点二 由方程的解求函数的零点[提问] 当方程易得出解时,可通过 得到对应函数的零点.例2 求函数f (x )=(ax-1)(x-1)(a ∈R)的零点.变式 函数f (x )={x 2+x -2,x ≤0,-1+lnx ,x >0的零点为 .[素养小结]求函数y=f (x )的零点通常有两种方法:其一是令y=0,由对应方程的根求得函数的零点;其二是画出函数的图象,图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点.◆ 探究点三 函数零点的综合问题 角度1 判断函数零点个数例3 求函数f (x )=3x - lo g 12x 的零点个数.变式 (1)函数f (x )=2x +x 3-2在区间(0,1)上的零点个数是 ( )A .0B .1C .2D .3(2)设函数f (x )={x 2+bx +c ,x ≤0,2,x >0,若f (-2)=f (0),f (-3)=1,则函数y=f (x )-x 的零点个数为( )A .1B .2C .3D .4[素养小结]确定函数零点个数的方法:(1)因式分解法:可转化为一元n 次方程根的个数问题,一般采用因式分解法来解决. (2)判别式法:可转化为一元二次方程根的个数问题,通常用判别式法来判断根的个数. (3)图象法:将函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题,可用图象法解决. (4)单调性法:如果能够确定函数在所给区间上有零点,且是单调函数,那么函数在所给区间上只有一个零点.角度2 判断函数零点所在的区间例4 (1)函数f (x )=ln x+x-4的零点所在的区间为( )A .(1,2)B .(2,3)C .(3,4)D .(5,6)(2)二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0)的部分对应值如下表:x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 m -4 -6 -6 -4 n 6不求a ,b ,c 的值,判断方程ax 2+bx+c=0的两根所在的区间是 ( ) A .(-3,-1)和(2,4) B .(-3,-1)和(-1,1) C .(-1,1)和(1,2) D .(-∞,-3)和(4,+∞)变式 (1)根据下表中的数据,可以判断方程e x -x-2=0的一个根所在的区间为 ( )x -1 0 123e x 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x+212345A .(-1,0)B .(0,1)C .(1,2)D .(2,3)(2)若x 0是函数f (x )=(13)x -x 12的零点,则x 0属于区间( )A .(0,13)B .(13,12) C .(12,23)D .(23,1)[素养小结](1)判断一个函数是否有零点,首先看函数f (x )在区间[a ,b ]上的图象是否连续,其次判断f (a )·f (b )<0是否成立,若成立,则函数y=f (x )在区间(a ,b )内必有零点.(2)已知函数f (x )在[a ,b ]上的图象是连续不断的曲线,若存在f (a )·f (b )<0,则f (x )在区间(a ,b )内有零点,若只有一个零点,则称此零点为变号零点.反过来,若f (a )与f (b )不变号,而是同号,即不满足f (a )·f (b )<0,也不能说函数f (x )在(a ,b )内无零点,如f (x )=x 2在[-1,1]上的图象是连续不断的曲线,且f (-1)·f (1)=1>0,但0是f (x )的零点.角度3 由函数零点(或方程的解)的个数求参数问题例5 (1)函数f (x )=ax 2-x-1仅有一个零点,则实数a= .(2)已知函数f (x )={x 2+2x -3,x ≤0,-2+lnx ,x >0的图象与直线y=k 有三个不同的交点,则k 的取值范围是 ( ) A .(-4,-3) B .[-4,-3) C .[-4,-3]D .(-4,-3]变式 若函数f (x )=|2x -2|-b 有两个零点,则实数b 的取值范围是 .[素养小结]解此类题的关键是将零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题.求解时首先根据已知条件构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象,最后结合函数图象的交点个数确定参数的取值范围.拓展已知函数f(x)=log a x-4x-1(a>0且a≠1)在(0,12]上无零点,在(12,1)上有零点,则实数a的取值范围为()A.(0,14)B.(14,1)∪(1,+∞)C.(0,14]D.(14,1)第五章函数应用§1方程解的存在性及方程的近似解1.1利用函数性质判定方程解的存在性【课前预习】知识点一横坐标诊断分析(1)×(2)√[解析] (1)零点不是点,是一个数,是函数图象与x轴交点的横坐标.知识点二f(a)·f(b)<0至少有一个诊断分析(1)×(2)×[解析] (2)函数y=x2在区间(-2,2)内有零点,但f(-2)·f(2)>0.【课中探究】探究点一例1(1)3(2)D(3)D[解析] (1)由题图知函数f(x)在[a,d]内有3个零点.(2)由题图可知a<0,c>0,∵函数图象的对称轴为直线x=1,函数图象与x轴的一个交点的坐标为(-1,0),∴函数图象与x轴的另一个交点的坐标为(3,0),∴3是函数的一个零点.故选D. (3)根据题意可知x=2,x=0为f(x)的零点,因为奇函数的图象关于原点对称,所以x=-2也为f(x)的零点,所以f(x)的零点共有3个,故选D.探究点二提问解方程例2 解:①当a=0时,函数f (x )=-x+1.令-x+1=0,得x=1,则函数f (x )的零点为1.②当a=1时,函数f (x )=(x-1)2.令(x-1)2=0,得x=1,则函数f (x )的零点为1. ③当a ≠0且a ≠1时,令(ax-1)(x-1)=0,得x=1或x=1a ,则函数f (x )的零点为1,1a .综上,当a=0或a=1时,函数f (x )的零点为1;当a ≠0且a ≠1时,函数f (x )的零点为1,1a . 变式 -2,e [解析] 由f (x )=0,得{x ≤0,x 2+x -2=0或{x >0,-1+lnx =0,解得x=-2或x=e .所以函数f (x )的零点为-2,e .探究点三例3 解:令f (x )=0得3x =lo g 12x.作出y=3x (x>0)和y=lo g 12x 的图象,如图所示,由图可知y=3x (x>0)和y=lo g 12x 的图象有1个交点,∴f (x )=3x -lo g 12x 有1个零点.变式 (1)B (2)B [解析] (1)因为y=2x 与y=x 3-2在R 上均为增函数,所以函数f (x )=2x +x 3-2在R 上是增函数,因此函数f (x )=2x +x 3-2在(0,1)上单调递增,又f (0)=1+0-2=-1<0,f (1)=2+1-2=1>0,所以f (x )在(0,1)上有1个零点.(2)由f (-2)=f (0)得4-2b+c=c ,所以b=2,由f (-3)=9-6+c=1,得c=-2,所以当x ≤0时,f (x )=x 2+2x-2.当x ≤0时,由f (x )-x=x 2+x-2=0,得x=-2或x=1(舍去).当x>0时,由f (x )-x=2-x=0,得x=2.因此方程f (x )-x=0只有两个解,即函数y=f (x )-x 有两个零点.故选B .例4 (1)B (2)A [解析] (1)易知f (x )=ln x+x-4在(0,+∞)上单调递增,又f (2)=ln 2-2<0,f (3)=ln 3-1>0,所以f (2)·f (3)<0,所以f (x )的零点在区间(2,3)内.故选B .(2)易知f (x )=ax 2+bx+c 的图象是一条连续不断的曲线,因为f (-3)×f (-1)=6×(-4)=-24<0,所以f (x )在(-3,-1)内有零点,即方程ax 2+bx+c=0在(-3,-1)内有根.同理方程ax 2+bx+c=0在(2,4)内有根.故选A .变式 (1)C (2)B [解析] (1)令f (x )=e x -x-2,则由表中数据知f (-1)=0.37-1=-0.63<0,f (0)=1-2=-1<0,f (1)=2.72-3=-0.28<0,f (2)=7.39-4=3.39>0,f (3)=20.09-5=15.09>0,因为f (1)·f (2)<0,f (x )的图象是连续不断的曲线,所以f (x )的一个零点在区间(1,2)内,即方程e x -x-2=0的一个根在区间(1,2)内.故选C .(2)根据指数函数和幂函数的性质,可得(13)13>(13)12,(13)12<(12)12,所以f (13)=(13)13-(13)12>0,f (12)=(13)12-(12)12<0,即f (13)·f (12)<0.又f (x )=(13)x-x 12为R 上的减函数,所以由零点存在定理,可得函数f (x )=(13)x-x 12有且只有一个零点且零点x 0∈(13,12).故选B .例5 (1)0或-14 (2)D [解析] (1)若a=0,则f (x )=-x-1,易知函数f (x )仅有一个零点.若a ≠0,则f (x )为二次函数,由f (x )仅有一个零点,得方程ax 2-x-1=0有两个相等的实数根,故Δ=1+4a=0,即a=-14.综上所述,当a=0或a=-14时,函数f (x )仅有一个零点.(2)作出f (x )={x 2+2x -3,x ≤0,-2+lnx ,x >0的图象和直线y=k ,如图所示,由图可知-4<k ≤-3,故选D .变式 (0,2) [解析] 由|2x -2|-b=0,得|2x -2|=b ,由题意可知函数y=|2x -2|与y=b 的图象有两个交点,结合函数y=|2x -2|与y=b 的图象(如图所示)可知0<b<2.拓展 D [解析] 函数f (x )在(0,12]上无零点,在(12,1)上有零点,即方程f (x )=0在(0,12]上无实数根,在(12,1)上有实数根,即方程log a x=4x-1在(0,12]上无实数根,在(12,1)上有实数根.设g (x )=log a x ,h (x )=4x-1,则函数h (x )在R 上为增函数,且h (0)=14,h (12)=12,h (1)=1,h (x )=4x-1>0恒成立.若a>1,则当x ∈(0,1)时,g (x )=log a x<0,不满足条件,故0<a<1.由于g (x )与h (x )的图象在(0,12]上无交点,在(12,1)上有交点,因此根据函数g (x )与h (x )的图象(如图所示)可知{0<a <1,g (12)>ℎ(12),解得14<a<1,故选D .。
