高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课时提升作业2新人教A版必修4

2017-2018学年高中数学第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式优化练习新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式优化练习新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.1。

3 二倍角的正弦、余弦、正切公式[课时作业][A组基础巩固]1．计算sin 15°sin 30°·sin 75°的值等于（）A.错误!B.错误!C。

错误! D.错误!解析：原式＝错误!sin 15°·cos 15°＝错误!sin 30°＝错误!。

答案：C2．若sin 错误!＝错误!,则cos 错误!的值为（）A．－错误!B．－错误!C.错误!D.错误!解析：cos 错误!＝－cos 错误!＝－cos 错误!＝－错误!＝2sin2错误!－1＝－错误!.答案：B3．tan 67°30′－错误!的值为( )A．1 B.错误!C．2 D．4解析：tan 67°30′－错误!＝错误!＝＝－2tan 135°＝2。

答案：C4．函数y＝2cos2错误!－1是( ）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为错误!的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为错误!的偶函数解析：y＝2cos2错误!－1＝cos 错误!＝cos 错误!＝sin 2x，所以T＝2π2＝π，又f(－x）＝sin（－2x）＝－sin 2x＝－f（x），函数为奇函数．答案:A5．设sin错误!＝错误!，则sin 2θ＝( ）A．－错误!B．－错误!C。

3.二倍角公式有许多变形，不要求都记忆，需要时可直接 推导.
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sin2α＝2sinαcosα；
cos2α＝cos2α－sin2α；
tan 2 2 tan 1 tan 2
探究（一）：二倍角基本公式
思考2：上述公式称为倍角公式，分别记作S2α，C2α，T2α， 利用平方关系，二倍角的余弦公式还可作哪些变形？
cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α 思考3：在二倍角的正弦、余弦和正切公式中，角α的取 值范围分别如何？
2 tan 1 tan2
理论迁移
例1 已知 sin 2 5 ，
求sin
4
，cos
13
4
4
，tan
ห้องสมุดไป่ตู้
4
2
的值.
例2 在△ABC中, cos A 4 , tan B 2,
5
求 tan 2C 的值.
44
117
理论迁移 例3 化简 (sin 2x cos 2x 1)(sin 2x cos 2x 1)
思考4：如何推导sin3α，cos3α与α的三角函数关系？
探究（二）：二倍角公式的变通
思考1：1＋sin2α可化为什么？ 1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2
思考2：根据二倍角的余弦公式，sinα，cosα与cos2α的关 系分别如何？
sin2
1 cos 2
2
cos2
1 cos 2
2
探究（二）：二倍角公式的变通
第三章 三角恒等变换
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
问题提出
1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式分别是什么？
2. 4

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式自我小测1．若，，则tan 2α的值为( )．A. B.C．D．2．(2011辽宁高考，理7)设，则sin 2θ＝( )．A．B． C．D．3．若，则cos4x－sin4x等于( )．A． B．C． D．4．设a＝(sin 17°＋cos 17°)，b＝2cos213°－1，c＝，则( )．A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c5．若cos x＝，则cos 2x－sin2x＝__________.6．(2011大纲全国高考，理14)已知，，则tan 2α＝______. 7．求证：8．已知向量，，且x∈．(1)求a·b及|a＋b|；(2)求函数f(x)＝a·b－|a＋b|的最小值及此时的x值．9已知函数f(x)＝sin2x＋3sin x cos x＋2cos2x，x∈R，(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；(2)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin 2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？参考答案1答案：B解析：∵，，∴，∴. 再由倍角公式得，故选B.2答案：A解析：由，得，即，两边平方，得，所以.3答案：D解析：cos4x－sin4x＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)＝cos2x－sin2x＝cos 2x＝＝，故选D.4答案：A解析：a＝cos 45°sin 17°＋sin 45°cos 17°＝sin 62°，b＝cos 26°＝sin 64°，c＝sin 60°，所以b＞a＞c，故选A.5答案：解析：cos 2x－sin2x＝2cos2x－1－1＋cos2x＝3cos2x－2＝.6答案：解析：∵，，∴.∴，∴7证明：左边＝＝右边．∴原等式成立．8解：(1)，|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2×cos 2x＝2＋2cos 2x＝4cos2x，∴|a＋b|＝2cos x.(2)，∴当，即时，f(x)取最小值.9解：(1)，∴f(x)的最小正周期，由题意得，k∈Z.即，k∈Z.∴f(x)的单调增区间为，k∈Z.(2)先把y＝sin 2x图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到的图象．。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式[A 级 基础巩固]一、选择题1．下列各式中，值为12的是( ) A ．sin 15°cos 15°B ．cos 2π12－sin 2π12 C.tan 22.5°1－tan 222.5° D.1＋cos 30°2解析：sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14； cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32； tan 22.5°1－tan 222.5°＝12tan 45°＝12； 1＋cos 30°2＝cos 2 15°≠12. 答案：C2.3－sin 70°2－cos 210°的值是( ) A.12 B.22 C ．2 D.32解析：原式＝3－sin 70°2－12（1＋cos 20°）＝2（3－cos 20°）3－cos 20°＝2. 答案：C3.1－sin 24°等于( )A.2cos 12°B ．2cos 12°C ．cos 12°－sin 12°D ．sin 12°－cos 12° 解析：1－sin 24°＝ sin 2 12°－2sin 12°cos12°＋cos 212°＝（sin 12°－cos 12°）2＝|sin 12°－cos 12°|＝cos 12°－sin 12°.答案：C4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝14，则sin 2α的值为( )A.78 B ．－78 C.34 D ．－34解析：因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝14， 所以sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝ 1－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－116×2＝78. 答案：A5．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2 α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22 B.33 C. 2 D. 3 解析：因为sin 2 α＋cos 2α＝14， 所以sin 2 α＋cos 2 α－sin 2 α＝cos 2 α＝14所以cos α＝±12. 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以cos α＝12，sin α＝32.所以tan α＝ 3. 答案：D二、填空题6．(2016·四川卷)cos2π8－sin2π8＝________． 解析：cos2π8－sin2π8＝cos π4＝22. 答案：227．已知sin θ2＋cos θ2＝233，那么sin θ＝________，cos 2θ＝________． 解析：因为sin θ2＋cos θ2＝233， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22＝43，即1＋2sin θ2cos θ2＝43，所以sin θ＝13， 所以cos 2θ＝1－2sin 2 θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79. 答案：13 798．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值等于________． 解析：法一：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝ 1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725， 所以 sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝725. 法二：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，得22(sin x －cos x )＝－35， 所以sin x －cos x ＝－325，两边平方得 1－sin 2x ＝1825， 所以sin 2x ＝725. 答案：725三、解答题9．求证：cos2α1tan α2－tan α2＝14sin 2α. 证明：法一：左边＝cos2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos2αcos2α2－sin2α2sin α2cos α2 ＝cos2αsin α2cos α2cos2α2－sin2α2＝cos2αsin α2cos α2cos α ＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边．所以原式成立．法二：左边＝cos2αtan α21－tan2α2＝12cos2α·2tan α21－tan2α2＝ 12cos2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin 2α＝右边． 所以原式成立．10．已知函数f(x)＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x . (1)f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. (1)解：f (x )＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)证明：因为－π4≤x ≤π4， 所以－π6≤2x ＋π3≤5π6， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≥sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. B 级 能力提升1．函数f (x )＝cos 2x ＋4cos x (x ∈R)的值域为( )A ．[－3，2]B ．[－2，3]C ．[－1，3]D ．[－3，5] 解析：f (x )＝2cos 2x ＋4cos x －1＝2(cos x ＋1)2－3，由于cos x ∈[－1，1]，故f (x )∈[－3，5]．答案：D2．若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则sin 2α＝________． 解析：cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝cos 2α－sin 2α22（sin α－cos α） ＝－2(sin α＋cos α)＝－22⇒sin α＋cos α＝12， 平方得1＋sin 2α＝14⇒sin 2α＝－34. 答案：－343．已知α为锐角且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2. (1)求tan α的值；(2)求2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4cos α－sin αcos 2α的值． 解：(1)因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2， 所以tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝2， 即1＋tan α1－tan α＝2， 解得tan α＝13. (2)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4cos α－sin αcos 2α＝cos α（sin 2α＋cos 2α）－sin αcos 2α＝2cos 2α sin α＋cos 2αcos α－sin αcos 2α＝cos 2α（cos α＋sin α）cos 2α＝cos α＋sin α. 因为α为锐角且tan α＝13， 所以cos α＝3sin α.由sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＝110， 所以sin α＝1010，cos α＝31010， 可得cos α＋sin α＝2105. 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。