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卓越个性化教案GFJW0901典型例题题型3：二倍角的正弦、余弦、正切公式（一）直接利用公式（无条件）化简求值1=( )A．sin4cos4+B．sin4cos4--C．sin4D．cos42．设212tan13cos66,,21tan13a b c===+则有（）A.a b c>>B.a b c<<C.a c b<<D.b c a<<3．函数221tan21tan2xyx-=+的最小正周期是( )A．4πB．2πC．πD．2π4、cos10cos80sin20⋅=.5．求值：001001cos20sin10(tan5tan5)2sin20-+--6.sin124cos 2-的值．（二）带条件的题型化简求值7．已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为（ ）A .1925B .1625C .1425D .7258．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ）A ．247 B ．247-C ．724 D ．724-9、已知32,244x k k ππππ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭()k Z ∈，且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则co s 2x 的值是 （ ） A 、725-B 、2425-C 、2425D 、72510、已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,βπ∈，且()1tan 2αβ-=，1tan 7β=-，则2αβ-的值是 （ ） A 、56π-B 、23π-C 、 712π- D 、34π- 11．若1tan 2008,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα+= 。
12、若tan2α=，则tan α= ；sin 2cos2αα-= .13．已知sin cos 22θθ+=那么sin θ的值为 ,cos 2θ的值为 。
14、已知1cos sin 21cos sin x xx x-+=-++，则sin x 的值为 （ ）A 、45B 、45-C 、35-D 、15、已知12sin 41342x x πππ⎛⎫⎛⎫+=<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则式子cos 2cos 4xx π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ） A 、1013-B 、2413C 、513D 、1213-16．已知,135)4sin(,40=-<<x x ππ求)4cos(2cos x x+π的值。
完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题两角和与差的正弦、余弦、正切cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ1、求值：1)cos15°2)cos80°cos20°+sin80°sin20°3)cos130°cos10°+sin130°sin10°5)sin75°7)cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB2.1)证明：cos(π/2-α)=sinα4)cos105°6)求cos75°cos105°+sin75°sin105°8)cos91°cos29°-sin91°sin29°2)已知sinθ=15π，且θ为第二象限角，求cos(θ-π)的值．3)已知sin(30°+α)=√3/2，60°<α<150°，求cosα．4)化简cos(36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)sin(α-54°)．5)已知sinα=-4/5，求cosα的值。
6)已知cosα=-3π/32，α∈(π/2,π)，求sin(α+π/4)的值。
7)已知α，β都是锐角，cosα=32π/53，α∈(π/3,π/2)，cosβ=-3π/52，β∈(π/6,π/4)，求cos(α+β)的值。
8)已知cos(α+β)=-11/53，求cosβ的值。
9)在△ABC中，已知sinA=√3/5，cosB=1/4，求cosC的值.两角和与差的正弦sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ利用和差角公式计算下列各式的值：1)sin72°cos42°-cos72°sin42°2)3sinx+cosx3)cos2x-sin2x证明：1)sinα+cosα=sin(α+π/2)2)cosθ+sinθ=2sin(θ+π/4)3)2(sin x+cos x)=2cos(x-π/4)1)已知sinα=-3/5，α是第四象限角，求sin(-α)的值。
一、选择题1．已知cos（α+β）=，cos（a﹣β）=﹣，则cosαcosβ的值为（）A．0B．C．0或D．0或考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：先用两角和公式的余弦函数对题设中的等式展开后，两式相加即可求得cosαcosβ的值．解答：解：依题意可知，两式相加得2cosαcosβ=0，∴cosαcosβ=0，故选A．点评：本题主要考查了两角和公式的余弦函数．考查了学生对基础知识的理解和应用．2．如果，那么等于（）A．B．C．D．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：由两角和与差的正弦函数公式化简原式，变形得到一个比例式，然后把所求的式子利用同角三角函数的关系化简后，将变形得到的比例式整体代入可求出值．解答：解：由==，得：nsinαcosβ+ncosαsinβ=msinαcosβ﹣mcosαsinβ移项合并得cosαsinβ（n+m）=sinαcosβ（m﹣n），变形得=，则===．故选A点评：本题的解题思路是运用和与差的正弦函数公式和同角三角函数的基本关系把已知和所求的式子化简后找出其联系点，然后利用整体代入的思想解决数学问题．3．已知α，β，γ均为锐角，且tanα=，tanβ=，，则α，β，γ的和为（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：先根据两角和的正切公式利用tanα和tanβ的值求得tan（α+β）的值，进而利用两角和的正切公式求得tan （α+β+γ）的值，进而根据α，β，γ的范围确定α，β，γ的和．解答：解：tan（α+β）==tan（α+β+γ）==1由α，β，γ都为锐角及各自取值，知0＜α，β，γ＜，即α+β+γ也是锐角，故α+β+γ=．故选B点评：本题主要考查了两角和与差的正切函数，考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．4．在△ABC中，C＞90°，E=sinC，F=sinA+sinB，G=cosA+cosB，则E，F，G之间的大小关系为（）A．G＞F＞E B．E＞F＞G C．F＞E＞G D．F＞G＞E考点：三角函数的积化和差公式；同角三角函数基本关系的运用．专题：综合题．分析：把F和G利用三角函数的和差化积公式及诱导公式化简后，做差得到大小；利用正弦定理和三角形的两边之和大于第三边判断F和E的大小，即可得到三者之间的大小关系．解答：解：因为F=sinA+sinB=2sin cos=2cos cos；G=cosA+cosB=2cos cos=2sin cos；由180°＞C＞90°得到45°＜＜90°，根据正弦、余弦函数的图象得到sin＞cos，所以G﹣F=2cos（sin﹣cos）＞0即G＞F；根据正弦定理得到=，因为a+b＞c，所以sinA+sinB＞sinC即F＞E；所以E，F，G之间的大小关系为G＞F＞E故选A点评：解此题的方法是利用正弦定理和做差法比较大小，要求学生灵活运用三角函数的和差化积公式及诱导公式化简求值．5．化简：的值为（）B．t an2x C．﹣tanx D．c otxA．tan考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：把原式的分子和分母根据两角和的正弦、余弦函数公式进行化简后合并，再根据同角三角函数间的基本关系化简可得值．解答：解：原式=═=﹣tanx故选C点评：此题是一道基础题，要求学生掌握两角和与差的正弦、余弦函数的公式，以及会利用同角三角函数间的基本关系．6．若A，B为锐角三角形的两个锐角，则tanAtanB的值（）A．不大于1 B．小于1 C．等于1 D．大于1考点：正切函数的值域．专题：计算题．分析：直接利用锐角三角形的性质，确定sinA＞cosB，利用切化弦化简tanAtanB，即可得到选项．解答：解：因为三角形是锐角三角形，所以A+B＞；即：，所以sinA＞cosB，同理sinB ＞cosA，tanAtanB=＞1故选D点评：本题是基础题，考查锐角三角形的性质，切化弦的应用，考查计算能力，常考题型．二、填空题7．（2008•浙江）若，则cos2θ=．考点：诱导公式的作用；二倍角的余弦．分析：由sin（α+）=cosα及cos2α=2cos2α﹣1解之即可．解答：解：由可知，，而．故答案为：﹣．点评：本题考查诱导公式及二倍角公式的应用．8．若cosαcosβ=，则sinαsinβ的取值范围是______．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：设x=sinαsinβ，利用两角和与差的正弦函数公式分别化简cos（α+β）与cos（α﹣β），将cosαcosβ的值代入，利用余弦函数的值域列出不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为sinαsinβ的取值范围．解答：解：∵cosαcosβ=，设sinαsinβ=x，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣x，cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=+x，∴﹣1≤﹣x≤1，﹣1≤+x≤1，解得：﹣≤x≤，则sinαsinβ的取值范围是[﹣，]．故答案为：[﹣，]点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及余弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．三、解答题9．在△ABC中，∠B=60°，且tanAtanC=2+，求角A，C的度数．考点：解三角形．专题：计算题．分析：根据B的值，进而确定A+C的值，进而利用两角和与差的正切函数公式求得tanA+tanC的值，进而联立求得tanA和tanC的值，进而求得A和C．解答：解：∵∠B=60°且A+B+C=180°，∴A+C=120°，∴tan（A+C）=．由tanAtanC=2+，∴tanA+tanC=3+，∴tanA，tanC可看作方程x2﹣（3+）x+（2+）=0的两根．解方程得x1=1，x2=2+．当tanA=1，tanC=2+时，A=45°，C=75°．当tanC=1，tanA=2+时，A=75°，C=45°．点评：本题主要考查了解三角形问题，两角和与差的正切函数．考查了学生对三角函数基础知识的掌握．10．若已知方程x2﹣（tanθ+cotθ）x+1=0有两个实根，且其中一个根是2﹣，求cos4θ的值．考点：三角函数的恒等变换及化简求值；一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：计算题．分析：利用方程的根，结合判别式确定sin22θ≤1，通过两个根求出另一个根，推出sin2θ的值，然后求出cos4θ的值．解答：解：∵方程x2﹣（tanθ+cotθ）2x+1=0有两个实根，∴△=（tanθ+cotθ）2﹣4==，即sin22θ≤1．设另一个根为m，则由根与系数的关系可得，（2﹣）m=1，于是，故tanθ+cotθ=4，即，∴sin2θ=（满足sin22θ≤1）．∴cos4θ=1﹣2sin22θ=．点评：本题考查三角函数的化简求值，考查二次方程根的问题，二倍角公式的应用，考查计算能力．11．已知函数y=，求函数的最大值及对应自变量x的集合．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析：利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数y=，然后求出最大值，及其相应的x 值．解答：解：==，y取最大值，只需，即，∴当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．点评：本题考查三角函数的最值，二倍角公式的应用，同时利用两角和的正弦函数化简是本题解题的关键，本题考查计算能力，是基础题．12．如图，在某点B处测得建筑物AE的项点A的仰角为θ，沿B前进30米至C点处测得顶点A的仰角为2θ，再继续前进10米至D点，测得顶点A的仰角为4θ，求θ的大小及建筑物AE的高．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：由题意及仰角的定义画出图形，利用数形结合的思想，利用图形中角与角的联系及三角形求解即可．解答：解：由已知BC=30米，CD=10米，∠ABE=θ，∠ACE=2θ，∠ADE=4θ，在Rt△ABE中，BE=AEcotθ，在Rt△ACE中，CE=AEcot2θ，∴BC=BE﹣CE=AE（cotθ﹣cot2θ）．同理可得：CD=AE（cot2θ﹣cot4θ）．∴即而cotθ﹣cot2θ==．同理可得cot2θ﹣cot4θ=．∴==2cos2θ=∴cos2θ=，结合题意可知：2θ=30°，θ=15°，∴AE=（米）．点评：此题考查了学生会从题意中抽取出图形进而分析问题，还考查了学生们利用三角形解出三角形的边与角，及二倍角的正切公式．。
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式基础过关练题组一 利用二倍角的三角函数公式解决给角求值问题 1.(2020河南信阳高一下期末)求值:cos 2π12sin 2π12= ( ) A.1 B.12 C.116D.-122.(cos π12-sin π12)(cos π12+sin π12)的值为 ( )A.-√32 B.-12C.12D.√323.(2020浙江嘉兴高一下期末)计算:2tan30°1-tan 230°= ( ) A.√33B.√3-1C.√3D.√3+14.(2019福建福州八县(市)协作校高一上期末联考)下列各式中与√1-sin4相等的是 ( ) A.sin 2-cos 2 B.cos 2-sin 2 C.cos 2 D.-cos 25.(2020浙江宁波高一下期末)sin 2π12= ( ) A.2-√34B.2+√34C.34D.146.(多选)(2020山东潍坊安丘实验中学高一下期中)下列各式中,值为√32的是 ( ) A.2sin 15°cos 15° B.1-2sin 215° C.sin 215°+cos 215° D.3tan 15°1-tan 215°题组二 利用二倍角的三角函数公式解决条件求值问题 7.(2020福建泉州高一下期末)若sin α=13,则cos 2α= ( ) A.2√29B.79C.-79D.±4√298.(2020福建南平高一下期末)已知cos α=13,则cos(π+2α)的值为 ( ) A.-89B.-79C.89D.799.(2020天津河西高一上期末)已知cos α=35,α∈(-π2,0),则sin 2α= .10.(2020浙江宁波高一下期末)已知α为锐角,且sin α2+cos α2=2√105,则sin α= ,tan 2α= .题组三 二倍角的三角函数公式的综合运用11.(2020浙江温州新力量联盟高一下期末联考)已知tan (π4+A)=-3,则sin2Asin2A+cos 2A = ( ) A.35 B.-35C.45D.-4512.求证:cos 2(A +B )-sin 2(A -B )=cos 2A cos 2B.13.已知函数f (x )=2cos (x -π6),x ∈R . (1)求f (π)的值; (2)若f (α+2π3)=65,α∈(-π2,0),求f (2α)的值.能力提升练题组一 利用二倍角的三角函数公式解决给角求值问题 1.(2020黑龙江牡丹江一中高一上期末,)若tan π12·cos 5π12=sin 5π12-m sin π12,则实数m 的值为( )A.2√3B.√3C.2D.3 2.(2020北师大附中高一上期末,)计算√3cos10°-1sin170°的结果是( )A.-4B.-2C.2D.43.(2020辽宁沈阳东北育才学校高一下期中,)cos π5·cos 2π5= .4.()sin 50°(1+√3tan 10°)的值为 .5.()4cos 50°-tan 40°= .题组二 利用二倍角的三角函数公式解决条件求值问题 6.(2020山东潍坊高一下期末,)已知cos (θ-π4)=7√210,则sin 2θ= ( )A.-2425 B.-1225 C.1225D.24257.(2020辽宁沈阳铁路实验中学高一下期中,)对于锐角α,若sin (α-π12)=35,则cos (2α+π3)=( )A.2425 B.38 C.√28D.-24258.(2020北京交大附中高一下期末,)已知cos 2α=13,则cos 2(π2+α)-2cos 2(π-α)的值为 .9.(2020福建厦门高一下期末,)等腰三角形顶角的余弦值为513,则一个底角的正切值为 .10.(2020江西南昌八一中学、洪都中学等六校高一上期末联考,)若9-cos2θcosθ+1=4,则(sin θ)2 015+(cos θ)2 016的值为 .11.(2020四川雅安高一上期末,)已知α,β为锐角,sin α=17,cos(α+β)=35.(1)求sin (2α-π2)的值; (2)求cos β的值.题组三 二倍角的三角函数公式的综合运用 12.(2020山东潍坊诸城高一下期中,)若cos2αsin(α-π4)=-√22,则cos α+sin α= ( )A.2B.1C.12 D.-1213.(2020辽宁省实验中学高一下期中,)已知a =1+tan 16°1-tan 16°,b =cos 330°,c =√1+cos 58°2,则a ,b ,c 的大小关系为 ( )A.c >a >bB.c >b >aC.a >c >bD.b >a >c14.(2020天津南开中学高一上期末,)设0≤x <2π,且√1-sin2x =sin x -cos x ,则 ( )A.0≤x ≤π4B.π4≤x ≤5π4C.π4≤x ≤7π4 D.π2≤x ≤3π215.(多选)(2020河北石家庄二中实验学校高一上期末,)已知0<θ<π4,若sin 2θ=m ,cos 2θ=n ,且m ≠n ,则下列选项中与tan (π4-θ)恒相等的为 ( ) A.n1+m B.m1+n C.1-nm D.1-m n16.(2020北京东城高一上期末,)在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(-35,45),将角α的终边绕原点逆时针旋转π4后得到角β.(1)求tan α的值;(2)求cos(α+β)的值.17.(2019浙江衢州五校高一期末联考,)已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=2x上.(1)求cos(2α+π4)的值;(2)已知α∈(0,π2),sin(β+π4)=√1010,-π2<β<0,求α-β的值.答案全解全析基础过关练1.C cos 2π12sin 2π12=14sin 2π6=116,故选C . 2.D 原式=cos 2π12-sin 2π12=cos π6=√32. 3.C 2tan30°1-tan 230°=tan 60°=√3,故选C .4.A √1-sin4=√(cos2-sin2)2=|cos 2-sin 2|,又2弧度角的终边在第二象限, ∴sin 2>0,cos 2<0,∴√1-sin4=sin 2-cos 2,故选A . 5.A sin2π12=1-cos π62=1-√322=2-√34,故选A .6.BD A 不符合,2sin 15°cos 15°=sin 30°=12;B 符合,1-2sin 215°=cos 30°=√32;C 不符合,sin 215°+cos 215°=1;D 符合,3tan 15°1-tan 215°=32·2tan 15°1-tan 215°=32·tan 30°=√32.故选BD . 7.B ∵sin α=13,∴cos 2α=1-2sin 2α=1-2×19=79.故选B . 8.D cos(π+2α)=-cos 2α=1-2cos 2α=1-2×(13)2=79.故选D .9.答案 -2425解析 因为cos α=35,α∈(-π2,0),所以sin α=-45,故sin 2α=2sin αcos α=-2425. 10.答案 35;247解析 因为sin α2+cos α2=2√105, 所以sin 2α2+2sin α2cos α2+cos 2α2=(2√105)2=85,所以1+sin α=85,所以sin α=35.因为α为锐角,所以cos α=√1-sin 2α=45,所以tan α=sinαcosα=34, 所以tan 2α=2tanα1-tan 2α=2×341-(34)2=247.11.C 由tan (π4+A)=-3得tan π4+tanA1-tan π4tanA=-3,即1+tanA1-tanA =-3,解得tan A =2,因为sin2Asin2A+cos 2A =2sinAcosA2sinAcosA+cos 2A =2sinA2sinA+cosA =2tanA2tanA+1,所以sin2Asin2A+cos 2A =2×22×2+1=45.故选C .12.证明 左边=1+cos (2A+2B )2-1-cos (2A -2B )2=cos (2A+2B )+cos (2A -2B )2=12(cos 2A cos 2B -sin 2A sin 2B +cos 2A ·cos 2B +sin 2A sin 2B )=cos 2A cos 2B =右边, ∴等式成立.13.解析 (1)f (π)=2cos (π-π6) =-2cos π6 =-2×√32=-√3. (2)因为f (α+2π3)=2cos (α+π2)=-2sin α=65,所以sin α=-35. 又α∈(-π2,0),所以cos α=√1-sin 2α=√1-(-35)2=45,所以sin 2α=2sin αcos α=2×(-35)×45=-2425, cos 2α=2cos 2α-1=2×(45)2-1=725.所以f (2α)=2cos (2α-π6) =2cos 2αcos π6+2sin 2αsin π6 =2×725×√32+2×(-2425)×12=7√3-2425. 能力提升练1.A 由tan π12cos 5π12=sin 5π12-m sin π12,得m sin π12cos π12=sin 5π12cos π12-cos 5π12·sin π12, 因此12m sin π6=sin (5π12-π12)=sin π3, 则14m =√32,即m =2√3,故选A . 2.A√3cos10°-1sin170°=√3cos10°-1sin (180°-10°)=√3cos10°-1sin10° =√3sin10°-cos10°sin10°cos10°=2(√32sin10°-12cos10°)sin10°cos10°=2sin (10°-30°)sin10°cos10°=-2sin20°12×2sin10°cos10°=-4sin20°sin20°=-4.故选A .3.答案 14解析 cos π5·cos 2π5 =2sin π5·cos π5·cos2π52sinπ5=sin 2π5·cos2π52sinπ5=2sin2π5·cos 2π54sinπ5=sin4π54sin π5=14.解题模板 对于给角求值问题,通常先考虑式子中三角函数的名称,以及三角函数式的运算结构,从中找出解题的突破口,如本题中的运算结构是余弦的乘积形式,且角具有倍数关系,故可将分子、分母同乘最小角的正弦值,连续运用二倍角公式求解. 4.答案 1解析 原式=sin 50°(1+√3sin10°cos10°)=sin 50°·cos10°+√3sin10°cos10°=2sin 50°·sin30°cos10°+cos30°sin10°cos10°=2cos40°sin40°cos10°=sin80°cos10°=1.5.答案 √3解析 4cos 50°-tan 40° =4sin40°cos40°-sin40°cos40°=2sin80°-sin40°cos40°=2cos10°-sin40°cos40°=2cos (40°-30°)-sin40°cos40°=2cos40°cos30°+2sin40°sin30°-sin40°cos40°=√3cos40°cos40°=√3.6.D 因为cos (θ-π4)=7√210, 所以sin 2θ=cos (2θ-π2)=cos [2(θ-π4)]=2cos 2(θ-π4)-1=2×4950-1=2425.故选D .7. D 由α为锐角,得-π12<α-π12<5π12,因为sin (α-π12)=35,所以cos (α-π12)=45,所以cos (2α+π3)=cos [2(α-π12)+π2]=-sin [2(α-π12)]=-2sin (α-π12)·cos (α-π12)=-2×35×45=-2425,故选D . 解题模板 在解决已知一个三角函数值求其他三角函数值的问题中,常用已知角表示未知角,如本题中的“2α+π3=2(α-π12)+π2”,由此利用相关公式解题,必要时可采用换元法(令θ=α-π12),找到未知角与已知角的关系. 8.答案 -1解析 ∵cos 2α=cos 2α-sin 2α=13,且sin 2α+cos 2α=1,∴sin 2α=13,cos 2α=23, ∴cos 2(π2+α)-2cos 2(π-α)=sin 2α-2cos 2α=13-2×23=-1.9.答案 32解析 设等腰三角形的顶角为A ,一个底角为B ,则B 与A2互余, 因为等腰三角形顶角的余弦值为513,所以cos A =513,所以0<A <π2,所以A2∈(0,π4),所以2cos 2A2-1=513, 所以2cos 2A 2=1813,因为A2∈(0,π4), 所以cos A2=√913=√13=sin B ,则sin A2=√13=cos B , 所以tan B =√132√13=32.10.答案 1 解析 ∵9-cos2θcosθ+1=10-2cos 2θcosθ+1=4,∴cos 2θ+2cos θ-3=0,解得cos θ=1或cos θ=-3(舍去), ∴sin 2θ=1-cos 2θ=0,即sin θ=0, ∴(sin θ)2 015+(cos θ)2 016=0+1=1.11.解析 (1)sin (2α-π2)=-cos 2α=2sin 2α-1=-4749. (2)∵α为锐角,sin α=17,∴cos α=√1-sin 2α=4√37. 易知α+β∈(0,π),且cos(α+β)=35, ∴sin(α+β)=√1-cos 2(α+β)=45. ∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =35×4√37+45×17=4+12√335. 12.C ∵cos2αsin(α-π4)=-√22,∴cos 2α=-√22sin (α-π4) =-√22(sinαcos π4-cosαsin π4) =-√22(√22sinα-√22cosα) =12(cos α-sin α),∵sin (α-π4)=√22sin α-√22cos α≠0, ∴cos α-sin α≠0,又cos 2α=cos 2α-sin 2α=(cos α+sin α)·(cos α-sin α),∴(cos α+sin α)(cos α-sin α)=12(cos α-sin α),即cos α+sin α=12.故选C . 13.C 因为tan 45°=1,所以a =1+tan16°1-tan16°=tan45°+tan16°1-tan45°tan16°=tan 61°>tan 45°=1.b =cos 330°=cos(-30°+360°)=cos 30°.c =√1+cos58°2=√1+2cos 229°-12=√2cos 229°2=cos 29°.由y =cos x 的单调性可知1>cos 29°>cos 30°,所以tan 61°>tan 45°>cos 29°>cos 30°, 即a >c >b ,故选C . 14.B 依题意得√1-sin2x =√(sinx -cosx )2=|sin x -cos x |=sin x -cos x , ∴{0≤x <2π,sinx -cosx ≥0, 解得π4≤x ≤5π4.故选B .15.AD tan (π4-θ)=1-tanθ1+tanθ=cosθ-sinθcosθ+sinθ=(cosθ-sinθ)2cos 2θ-sin 2θ=1-2sinθcosθcos 2θ-sin 2θ=1-sin2θcos2θ=cos2θ1+sin2θ, ∴tan (π4-θ)=1-m n =n 1+m ,即A,D 符合. 选项B 中,m 1+n =sin2θ1+cos2θ=2sinθcosθ2cos 2θ=tan θ,选项B 不符合.同理选项C 不符合.故选AD .16.解析 (1)∵角α的顶点与坐标原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P (-35,45),∴tan α=45-35=-43.(2)由题意得β=α+π4.易得cos α=-35,sin α=45,∴sin 2α=2sin αcos α=-2425,cos 2α=2cos 2α-1=-725. ∴cos(α+β)=cos (2α+π4)=cos 2αcos π4-sin 2αsin π4=√22(cos 2α-sin 2α)=17√250. 17.解析 (1)依题意知tan α=2.cos (2α+π4)=√22(cos 2α-sin 2α)=√22·cos 2α-sin 2α-2sinαcosαcos 2α+sin 2α=√22·1-tan 2α-2tanα1+tan 2α =√22×1-4-41+4=-7√210.(2)∵α∈(0,π2),∴sin α=2√55,cos α=√55. ∵-π2<β<0,∴-π4<β+π4<π4,∵sin (β+π4)=√1010,∴cos (β+π4)=3√1010, ∴cos [α-(β+π4)]=cos αcos (β+π4)+sin αsin (β+π4)=√55×3√1010+2√55×√1010=√22. ∵α∈(0,π2),β+π4∈(-π4,π4),∴α-(β+π4)∈(-π4,3π4), ∴α-(β+π4)=π4,∴α-β=π2.。
二倍角的正弦、余弦、正切公式[学习目标] 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．知识点一 二倍角公式的推导(1)S 2α：sin 2α＝2sin αcos α，sin α2cos α2＝12sin α； (2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 思考1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式．你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？答案 sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos 2α－sin 2α；tan 2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α. 思考2 根据同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？答案 ∵cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－(1－cos 2α)＝2cos 2α－1；或cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(1－sin 2α)－sin 2α＝1－2sin 2α.知识点二 二倍角公式的常用变形(1)sin 2α2sin α＝cos α，sin 2α2cos α＝sin α； (2)(sin α±cos α)2＝1±sin 2α；(3)sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2； (4)1－cos α＝2sin 2α2,1＋cos α＝2cos 2α2. 二倍角的余弦公式cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α变形较多，应用灵活．其中sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2也称作降幂公式，1－cos α2＝sin 2α2，1＋cos α2＝cos 2α2也称作升幂公式．这些公式在统一角或函数名时非常有用．思考 函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x －12的最小正周期是 ． 答案 π解析 ∵f (x )＝32sin 2x ＋12(2cos 2x －1) ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π.题型一 利用倍角公式化简求值例1 求下列各式的值． (1)cos π12cos 512π； (2)13－23cos 215°. 解 (1)原式＝cos π12·sin π12＝12sin π6＝14. (2)原式＝－13(2cos 215°－1)＝－13cos 30° ＝－36. 跟踪训练1 求下列各式的值．(1)cos 72°cos 36°；(2)1sin 50°＋3cos 50°. 解 (1)cos 72°cos 36°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14. (2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2(12cos 50°＋32sin 50°)12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4. 题型二 三角函数式的化简或证明例2 求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A . 证明 ∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2A 2cos 2A 2＝(tan 2A )2 ＝tan 4 A ＝右边，∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A .跟踪训练2 化简：1＋sin 2θ－cos 2θ1＋sin 2θ＋cos 2θ. 解 方法一 原式＝(1－cos 2θ)＋sin 2θ(1＋cos 2θ)＋sin 2θ＝2sin 2θ＋2sin θcos θ2cos 2θ＋2sin θcos θ＝2sin θ(sin θ＋cos θ)2cos θ(cos θ＋sin θ)＝tan θ.方法二 原式＝(sin θ＋cos θ)2－(cos 2θ－sin 2θ)(sin θ＋cos θ)2＋(cos 2θ－sin 2θ)＝(sin θ＋cos θ)[(sin θ＋cos θ)－(cos θ－sin θ)](sin θ＋cos θ)[(sin θ＋cos θ)＋(cos θ－sin θ)]＝2sin θ2cos θ＝tan θ. 题型三 利用二倍角公式给值求值例3 已知sin(π4＋α)sin(π4－α)＝16，且α∈(π2，π)，求sin 4α的值． 解 ∵(π4＋α)＋(π4－α)＝π2， ∴sin(π4－α)＝cos(π4＋α)． ∵sin(π4＋α)sin(π4－α)＝16， ∴2sin(π4＋α)cos(π4＋α)＝13， ∴sin(π2＋2α)＝13，∴cos 2α＝13. 又∵α∈(π2，π)，∴2α∈(π，2π)． ∴sin 2α＝－1－cos 22α＝－223， ∴sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝－429. 跟踪训练3 已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值．解 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x . ∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝513，且0<x <π4， ∴π4＋x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝1213， ∴原式＝2×1213＝2413.合理配凑、巧用倍角公式求解例4 求cos π11cos 2π11cos 3π11cos 4π11cos 5π11的值． 分析 添加“sin π11”及系数2，创造条件，注意重复使用倍角公式． 解 原式＝－cos π11cos 2π11cos 4π11cos 8π11cos 5π11 ＝－24sin π11cos π11cos 2π11cos 4π11cos 8π11cos 5π1124sin π11 ＝－sin 16π11cos 5π1124sin π11＝sin 5π11cos 5π1124sin π11＝12·sin 10π1124sin π11＝sinπ1125sin π11＝132.1.12sin π12cos π12的值等于( ) A.14 B.18 C.116D.122．sin 4π12－cos 4π12等于( ) A ．－12 B ．－32 C.12 D.323.2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α等于( ) A ．tan 2α B ．tan α C ．1 D.124．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，则sin 2x ＝ . 5．求值：sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°.一、选择题 1．已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan 2x 等于( ) A.724 B ．－724 C.247 D ．－2472．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.16 B.13 C.12 D.233．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( ) A ．－13 B ．－79 C.13 D.794．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－2 D ．－125．已知等腰三角形底角的正弦值为53，则顶角的正弦值是( ) A.459 B.259 C ．－459 D ．－2596．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是( ) A ．－105 B.105 C ．－155 D.155二、填空题7．2sin 222.5°－1＝ .8．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝ .9．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝ . 10．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是 ． 三、解答题11．已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)的值．12．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，求α.13．求值：sin 2α＋sin 2⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α.当堂检测答案1.答案 B解析 原式＝14sin π6＝18. 2．答案 B解析 原式＝⎝⎛⎭⎫sin 2π12＋cos 2π12·⎝⎛⎭⎫sin 2π12－cos 2π12＝－⎝⎛⎭⎫cos 2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32. 3.答案 A解析 原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α. 4．答案 －2425解析 sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝cos 2[(x －π4)]＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1 ＝2×⎝⎛⎭⎫2102－1＝－2425. 5．解 ∵sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1， cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°， ∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2.课时精练答案一、选择题1．答案 D解析 cos x ＝45，x ∈(－π2，0)，得sin x ＝－35， 所以tan x ＝－34，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×(－34)1－(－34)2＝－247，故选D. 2．答案 A解析 因为cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos[2⎝⎛⎭⎫α＋π4]2＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2， 所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，选A. 3．答案 B解析 cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－cos[2(π6－α)] ＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝2sin 2(π6－α)－1＝－79. 4．答案 A解析 ∵1－tan θ2＋tan θ＝1，∴tan θ＝－12. ∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ(sin θ＋cos θ)2＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1－⎝⎛⎭⎫－121＋⎝⎛⎭⎫－12＝3.5．答案 A解析 设底角为θ，则θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，顶角为π－2θ. ∵sin θ＝53，∴cos θ＝1－sin 2θ＝23. ∴sin(π－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×53×23＝459.6．答案 C解析 ∵5π2<θ<3π，|cos θ|＝15， ∴cos θ<0，cos θ＝－15. ∵5π4<θ2<32π，∴sin θ2<0. ∵sin 2θ2＝1－cos θ2＝35， ∴sin θ2＝－155. 二、填空题7．答案 －22解析 原式＝－cos 45°＝－22. 8．答案 116解析 原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116. 9．答案 3解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2 ＝tan θ2＝3. 10．答案 2解析 ∵f (x )＝cos x －(1－cos 2x )－(2cos 2x －1)＋74＝－cos 2x ＋cos x ＋74＝－⎝⎛⎭⎫cos x －122＋2. ∴当cos x ＝12时，f (x )max ＝2. 三、解答题11．解 ∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725， sin 2α＝2sin αcos α＝2425， 原式＝1＋2(cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4)cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145. 12．解 ∵sin 22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0， ∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0.∵α∈(0，π2)，∴2cos 2α>0. ∴2sin 2α＋sin α－1＝0.∴sin α＝12(sin α＝－1舍)．∴α＝π6. 13．解 原式＝1－cos 2α2＋1－cos ⎝⎛⎭⎫23π＋2α2＋ 1－cos ⎝⎛⎭⎫23π－2α2＝32－12cos 2α－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫23π＋2α＋cos ⎝⎛⎭⎫23π－2α ＝32－12cos 2α－cos 2π3·cos 2α ＝32－12cos 2α＋12cos 2α＝32.。
1.设f (tan x )＝tan2x ，则f (2)的值等于( )A.45B ．－43C ．－23D ．4解析：选B.由f (tan x )＝tan2x ＝2tan x 1－tan 2x 可知f (x )＝2x 1－x 2， ∴f (2)＝2×21－22＝－43. 2.(2011·高考辽宁卷)设sin(π4＋θ)＝13，则sin2θ＝( ) A ．－79B ．－19 C.19 D.79解析：选A.sin(π4＋θ)＝22(sin θ＋cos θ)＝13，将上式两边平方，得12(1＋sin2θ)＝19，∴sin2θ＝－79. 3.函数f (x )＝sin x (1＋tan x tan x 2)的最小正周期为______________________________． 解析：f (x )＝sin x ·1＋2tan 2x 21－tan 2x 2＝sin x ·1＋tan 2x 21－tan 2x 2＝sin x ·sin 2x 2＋cos 2x 2cos 2x 2－sin 2x 2＝sin x cos x＝tan x . ∵目标函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2且x 2≠k π＋π2，k ∈Z ， 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2且x ≠2k π＋π，k ∈Z . 显然有f (0)＝0，而f (π)无意义，∴T ＝2π.答案：2π4.已知α为第二象限的角，sin α＝35，则tan2α＝__________． 解析：由于α为第二象限的角，且sin α＝35，∴cos α＝－45.∴tan α＝－34，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×（－34）1－（－34）2＝－321－916＝－247.答案：－247[A 级 基础达标]1.已知sin2α＝－2425，α∈(－π4，0)，则sin α＋cos α＝() A ．－15 B.15C ．－75 D.75解析：选B.∵α∈(－π4，0)，∴sin α＋cos α>0，(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin2α＝1－2425＝125，∴sin α＋cos α＝15.2.函数y ＝2cos 2x 的一个单调增区间是( )A ．(－π4，π4)B ．(0，π2)C ．(π4，3π4)D ．(π2，π)解析：选D.y ＝2cos 2x ＝2·1＋cos2x 2＝1＋cos2x .由2k π－π<2x <2k π，得k π－π2<x <k π，k ∈Z.当k ＝1时，π2<x <π. 3.(2012·沧州质检)1sin10°－3sin80°的值是( ) A ．1B ．2C ．4 D.14解析：选C.cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝2（12cos10°－32sin10°）sin10°cos10°＝4（sin30°cos10°－cos30°sin10°）2sin10°cos10°＝4sin20°sin20°＝4. 4.已知tan x ＝2，则tan[2(x －π4)]＝__________． 解析：tan[2(x －π4)]＝tan(2x －π2)＝sin （2x －π2）cos （2x －π2）＝－cos2x sin2x ＝－1tan2x ＝－1－tan 2x 2tan x ＝－1－222×2＝34. 答案：345.1＋cos100°－1－cos100°＝__________．解析：原式＝2cos 250°－2sin 250°＝2(cos50°－sin50°)＝2(22cos50°－22sin50°) ＝2sin(45°－50°)＝－2 sin5°. 答案：－2sin5°6.已知：tan(α＋π4)＝－12(π2＜α＜π)． (1)求tan α的值；(2)求sin2α－2cos 2α2sin （α－π4）的值． 解：(1)由tan(α＋π4)＝－12，得1＋tan α1－tan α＝－12， 解得tan α＝－3.(2)sin2α－2cos 2α2sin （α－π4）＝2sin αcos α－2cos 2αsin α－cos α＝2cos α. 因为π2＜α＜π且tan α＝－3，所以cos α＝－1010，所以原式＝－105. [B 级 能力提升]7.设π<α<3π2，sin α＝－45，则sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α的值为( ) A ．20 B ．－20C ．4D ．－4解析：选A.∵π<α<32π，sin α＝－45，∴cos α＝－35. ∴sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α＝sin 2α＋2sin αcos αcos 2α＋1－2sin 2α＝（－45）2＋2×（－45）×（－35）（－35）2＋1－2×（－45）2＝20. 8.已知tan2θ＝－22，π<2θ<2π，则tan θ的值为( )A. 2 B ．－22 C ．2D.2或－22 解析：选B.由题意得2tan θ1－tan 2θ＝－22， 解得tan θ＝－22或tan θ＝ 2. 又π<2θ<2π， 则π2<θ<π， 所以有tan θ＝－22. 9.若cos(x ＋π6)＝－513，则sin(π6－2x )的值是________． 解析：sin(π6－2x )＝－sin(2x －π6) ＝cos[π2＋(2x －π6)]＝cos(2x ＋π3) ＝2cos 2(x ＋π6)－1 ＝2×(－513)2－1＝－119169. 答案：－11916910.求证：1＋sin4θ－cos4θ2tan θ＝1＋sin4θ＋cos4θ1－tan 2θ.证明：原式变形为1＋sin4θ－ cos4θ＝tan2θ(1＋sin4θ＋cos4θ)，①而①式右边＝tan2θ(1＋cos4θ＋sin4θ)＝sin2θcos2θ(2cos 22θ＋2sin2θcos2θ) ＝2sin2θcos2θ＋2sin 22θ＝sin4θ＋1－cos4θ＝左边，∴①式成立，即原式得证．11.(2012·重庆调研)已知向量a ＝(1＋sin2x ，sin x －cos x )，b ＝(1，sin x ＋cos x )，函数f (x )＝a ·B.(1)求f (x )的最大值及相应的x 值；(2)若f (θ)＝85，求cos2(π4－2θ)的值． 解：(1)因为a ＝(1＋sin2x ，sin x －cos x )，b ＝(1，sin x ＋cos x )，所以f (x )＝1＋sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝1＋sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)＋1. 因此，当2x －π4＝2k π＋π2(k ∈Z)， 即x ＝k π＋3π8(k ∈Z)时， f (x )取得最大值2＋1.(2)由f (θ)＝1＋sin2θ－cos2θ及f (θ)＝85得 sin2θ－cos2θ＝35，两边平方得1－sin4θ＝925， 即sin4θ＝1625. 因此，cos2(π4－2θ)＝cos(π2－4θ)＝sin4θ＝1625.。
专题4二倍角的三角函数（一）二倍角的正弦S 2α：sin2α＝2sin αcos α（二）二倍角的余弦C 2α：cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；（三）二倍角的正切T 2α：tan2α＝2tan α1－tan 2α；公式应用的条件：α≠24k ππ+且α≠k π＋2π(k ∈Z )，当α＝k π＋2π(k ∈Z )时，tan α不存在，求tan2α的值可采用诱导公式（四）二倍角公式的逆用、变形1.逆用形式：2sin αcos α＝sin2α；sin αcos α＝12sin2α；cos α＝sin2α2sin α；cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α＝cos2α；2tan α1－tan 2α＝tan2α．2.变形用形式：1±sin2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；1＋cos2α＝2cos 2α；1－cos2α＝2sin 2α；cos 2α＝1＋cos2α2；sin 2α＝1－cos2α2．题型一公式的正用【典例1】（2022春·江苏南京·高一南京航空航天大学附属高级中学校考期中）已知()0,απ∈，1tan 2α=，则cos2α＝（）A ．15B ．35C ．45D ．1225【典例2】（2022春·江苏苏州·高一统考期末）已知向量3sin ,2,1,1cos a b αα=-=-，若2a b ⋅=-，则tan2α=（）A ．1213-B ．613-C ．125-D ．65-【典例3】（2022春·江苏徐州·高一校考竞赛）求sin sin sin 181818的值.由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”使“目标角”变成“已知角”，另外角的范围应根据所给条件进一步缩小，避免出现增解．题型二公式的逆用【典例4】（2022春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考阶段练习）设212tan13cos 66,,21tan 13a b c ︒=︒-︒==-︒则有（）A ．a b c >>B ．a b c <<C ．a c b<<D ．b<c<a正确的是（）A ．tan 25tan 3525tan 35︒+︒+︒⋅︒=B ．22ππ1cos sin 12122-=C ．2tan22.51tan45tan 22.52︒=︒-︒D．12sin10=(1)求值()4sin 67cos 27sin 23cos 27tan 40-- ；(2)已知ππ1sin sin 634αα⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ,32α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin 2α的值当出现（或可化成）公式右端结构形式时，注意“逆用”公式，简化解题过程.题型三公式的变用【典例7】（2023秋·重庆沙坪坝·=（）A ．1BCD 122122212212222sin cos sin cos π，Z sin cos sin cos sin θθθθθk θθθθθ⎛⎫+-+++=≠∈ ⎪+++-⎝⎭．【典例9】（2023·江苏·高一专题练习）已知cos 2,252θθπ=<<．(1)求tan θ的值；(2)求22cos sin 24θθπθ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．公式变形的主要形式有1±sin2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2,1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α，cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2．题型四三角函数式化简问题【典例10】（2022秋·河北承德·高一河北承德第一中学校考期末）化简：1cos15sin15·sin170cos15sin15⎫︒+︒-⎪⎪︒︒-︒⎝⎭____.sin21tan tan2ααα⎛⎫+=⎪⎝⎭__．︒-︒cos40sin501︒+︒︒1.三角公式化简求值的策略(1)使用倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．2.注意三角函数公式逆用、变形用及“变角、变名、变号”的“三变”问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，,23入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．题型五三角恒等式证明问题【典例13】（2023·江苏·高一专题练习）证明：ππ2sin sin cos 244ααα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【典例14】（2023·江苏·高一专题练习）求证：tan 1sin 2cos 2ααα=++【典例15】（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）（1）化简：cos()2sin sin αβαβ--；（2）求证：1sin cos sin 1sin cos 1cos θθθθθθ+-=+++．三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．一、单选题1．（2023·江苏·高一专题练习）1sin cos ,sin25ααα+=-=（）A ．2425-B ．2425C ．1225D ．1225-2．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）已知2sin 2cos24θ+=，则sin 2θ=A ．1516-B ．1516C ．34-D ．34tan 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则4tan 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．512B ．43-C ．34D ．43A ．0B ．2cos αC π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭D π4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭5．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）若51sin 123⎛⎫+= ⎪⎝⎭πα，则cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A ．9B ．9-C ．79D ．79-sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+（）A ．25B ．25-C ．65D ．65-7．（2022春·江苏苏州·高一江苏省沙溪高级中学校考期中）已知0,απ∈，且sin cos 5αα-=，则22sin2cos sin ααα=-（）A ．247B ．12C ．12-D ．247-，且，则α=（）A ．9B ．18C ．27oD ．36o【答案】D【分析】根据二倍角公式和逆用余弦的差角公式化简得到()cos 29sin 9α+=，结合090α<< 得到29909α+=- ，求出α.【详解】因为()()sin181sin 22sin 9cos 91sin 2αα+=+，所以()22cos 9cos 22sin 9cos 91sin 2αα=+，整理得：cos9cos 2sin 9sin 2sin 9αα=+ ，cos9cos 2sin 9sin 2sin 9αα-= ，()cos 29sin 9α+= ，因为090α<< ，所以929189α<+< ，所以29909α+=- ，解得：36α= 故选：D.二、多选题9．（2022春·江苏盐城·高一盐城市伍佑中学校考期中）下列等式成立的是（）A ．22cos 15sin 15-B ．sincos 882ππ=C ．1sin 4040sin 702=D ．tan152=10．（2022春·江苏徐州·高一统考期中）已知sin cos 5αα+=，以下选项正确的是（）A ．24sin 225α=±B ．7sin cos 5αα-=±C ．7cos 225α=±D ．447sin cos 25αα-=±11．（2023秋·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）24cos 20︒=___________.12.（2022春·江苏盐城·高一统考期中）若(,2)2απ∈_____．13．（2022秋·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）已知tan 2θ=-π02θ<<.(1)求tan θ；(2)求22cos sin 12π4θθθ+-⎛⎫- ⎪⎝⎭.14．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）（1）已知2sin sin 22α=-，求sin cos cos2ααα+的值；（2）已知ππ22x -<<，1sin cos 5x x +=，则2sin22sin 1tan x x x+-．15．（2023·江苏·高一专题练习）已知向量()()sin ,1,3,cos m n αα=-=-，其中,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且m n ⊥ ．(1)求tan α和sin 2α的值；(2)若sin()αβ+=0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求角β的值．16．（2022春·江苏盐城·高一盐城中学校考期中）已知向量()cos ,sin a αα=，122b ⎫=-⎪⎪⎝⎭，02πα<<．(1)若a b ⊥时，求sin 21cos 2αα+的值；(2)若a b -= sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．。
二倍角的正弦、余弦、正切公式[基础自测]1．思考辨析(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( ) (3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．( )[解析] (1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠π2＋k π(k ∈Z )且α≠±π4＋k π(k ∈Z )，故此说法错误．(2)√.当α＝k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α. (3)×.当cos α＝1－32时，cos 2α＝2cos α. [答案] (1)× (2)√ (3)× 2．sin 15°cos 15°＝________.14 [sin 15°cos 15°＝12×2sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14.] 3．12－cos 2π8＝________. －24 [12－cos 2π8＝12－1＋cos π42＝12－12－12×22＝－24.]4．若tan θ＝2则tan 2θ＝________. －43 [tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×21－22＝－43.] [合 作 探 究·攻 重 难]给角求值(1)cos π7cos 3π7cos 5π7的值为( ) A ．14 B ．－14 C ．18D ．－18(2)求下列各式的值：①cos 415°－sin 415°；②1－2sin 275°；③1－tan 275°tan 75°；④1sin 10°－3cos 10°.(1)D [(1)∵cos 3π7＝－cos 4π7，cos 5π7＝－cos 2π7，∴cos π7cos 3π7cos 5π7＝cos π7cos 2π7cos 4π7＝8sin π7cos π7cos 2π7cos 4π78sin π7＝4sin 2π7cos 2π7cos 4π78sin π7＝2sin 4π7cos 4π78sin π7＝sin 8π78sin π7＝－18. (2)①cos 415°－sin 415°＝(cos 215°－sin 215°)(cos 215°＋sin 215°)＝cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32.②1－2sin 275°＝1－(1－cos 150°)＝cos 150°＝－cos 30°＝－32. ③1－tan 275°tan 75°＝2×1－tan 275°2tan 75° ＝2×1tan 150°＝－2 3.④1sin 10°－3cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10° ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4(sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°)2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.][规律方法] 对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.[跟踪训练] 1．求下列各式的值 (1)cos 72°cos 36°； (2)1sin 50°＋3cos 50°.[解] (1)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14.(2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 50°＋32sin 50°12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.给值求值、求角问题(1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值；(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且sin 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4，求α.[思路探究] 依据以下角的关系设计解题思路求解：(1)α＋π4与2α＋π2，α－π4与2α－π2具有2倍关系，用二倍角公式联系； (2)2α＋π2与2α差π2，用诱导公式联系． [解] (1)∵π2≤α＜3π2，∴3π4≤α＋π4＜7π4. ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＞0，∴3π2＜α＋π4＜7π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45，∴cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×35＝－2425，sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－22×725＝－31250.(2)∵sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，∴原式可化为1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，解得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3， 即α＝－π4或α＝5π12.母题探究：1.在例2(1)的条件下，求sin 4α的值．[解] 由例2(1)解析知sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2×725×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425＝－336625.2．将例2(1)的条件改为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0＜x ＜π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值．[解] ∵0＜x ＜π4，∴π4－x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213.又cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2×513×1213＝120169， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，∴原式＝120169513＝2413.[规律方法] 解决条件求值问题的方法(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.(2)当遇到\f(π,4)±x 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .类似的变换还有：cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1，sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 等.化简证明问题[探究问题]1．解答化简证明问题时，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情况，通常要如何处理？提示：通常要切化弦后再进行变形．2．证明三角恒等式时，通常的证明方向是什么？提示：由复杂一侧向简单一侧推导．(1)化简：1tan θ＋1＋1tan θ－1＝________.(2)证明：3tan 12°－3sin 12°(4cos212°－2)＝－4 3.[思路探究](1)通分变形．(2)切化弦通分，构造二倍角的余弦→二倍角的正弦→约分求值(1)－tan 2θ[(1)原式＝tan θ－1＋tan θ＋1(tan θ＋1)(tan θ－1)＝2tan θtan2θ－1＝－2tan θ1－tan2θ＝－tan2θ.(2)左边＝3sin 12°－3cos 12°cos 12°2sin 12°(2cos212°－1)＝23⎝⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝23sin(12°－60°)sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－43＝右边，所以原等式成立．][规律方法]证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.(2)证明恒等式的一般步骤：①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°D ．sin 215°＋cos 215°B [2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12；cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32；2sin 215°＝1－cos 30°＝1－32；sin 215°＋cos 215°＝1，故选B.]2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4B [易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.]3．若sin α＝3cos α，则sin 2αcos 2α＝________. 6 [sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝6cos αcos α＝6.]4．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________.3 [∵sin 2α＝－sin α， ∴2sin αcos α＝－sin α. 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π知sin α≠0，∴cos α＝－12，∴α＝2π3， ∴tan 2α＝tan 4π3＝tan π3＝ 3.] 5．已知π2＜α＜π，cos α＝－45. (1)求tan α的值；(2)求sin 2α＋cos 2α的值．[解](1)因为cos α＝－45，π2＜α＜π，所以sin α＝3 5，所以tan α＝sin αcos α＝－34.(2)因为sin 2α＝2sin αcos α＝－24 25，cos 2α＝2cos2α－1＝7 25，所以sin 2α＋cos 2α＝－2425＋725＝－1725.。
二倍角的正弦、余弦、正切公式(15分钟35分)1.设α是第四象限角，已知sin α=-，则sin 2α，cos 2α和tan 2α的值分别为( )A.-，，-B.，，C.-，-，D.，-，-【解析】选A.因为α是第四象限角，且sin α=-，所以cos α=，所以sin 2α=2sin αcos α=-，cos 2α=2cos2α-1=，tan 2α==-.2.若cos xcos y+sin xsin y=，则cos(2x-2y)= ( )A. B.- C. D.-【解析】选B.因为cos xcos y+sin xsin y=cos(x-y)=，所以cos 2(x-y)=2cos2(x-y)-1=-.【补偿训练】化简：= ( )A. B.- C.-1 D.1【解析】选B.原式==-=-=-.3.已知cos=-，则sin(-3π+2α)=( )A. B.- C. D.-【解析】选A.易得cos=2cos2-1=2×-1=-.又cos=cos=sin 2α，所以sin(-3π+2α)=sin(π+2α)=-sin 2α=-=.4.=_______.【解析】原式=×=tan=tan=.答案：5.已知sin α-2cos α=0，则sin 2α=_______.【解析】由sin α-2cos α=0，得tan α==2，则sin 2α===.答案：6.已知<α<π，cos α=-.(1)求tan α的值；(2)求sin 2α+cos 2α的值.【解析】(1)因为cos α=-，<α<π，所以sin α=，所以tan α==-.(2)sin 2α=2sin αcos α=-.cos 2α=2cos2α-1=，所以sin 2α+cos 2α=-+=-.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1.(2020·重庆高一检测)已知sin α+cosα=-，2sin α-cos α=-，则cos 2α= ( )A. B.- C. D.-【解析】选A.两个式子相加得3sin α=-，所以sin α=-，所以cos 2α=1-2sin2α=1-2×=.2.设-3π<α<-，化简的结果是( )A.sinB.cosC.-cosD.-sin【解析】选C.因为-3π<α<-，所以-<<-，所以===-cos.【补偿训练】- = ( )A.-2cos 5°B.2cos 5°C.-2sin 5°D.2sin 5°【解析】选C.原式=-=(cos 50°-sin 50°)=2=2sin(45°-50°)=-2sin 5°.3.已知角α在第一象限且cos α=，则= ( )A. B. C. D.-【解析】选C.因为cos α=且α在第一象限，所以sin α=，所以cos 2α=cos2α-sin2α=-，sin 2α=2sin αcos α=，原式===.【补偿训练】已知sin=，则cos的值为( )A. B. C. D.【解析】选D.因为sin=，所以cos=cos=1-2sin2=.4.已知α∈，且sin α=，则tan= ( )A.-B.C.7D.-【解析】选D.因为α∈，且sin α=，所以cos α=-，所以tan α=-，由二倍角公式得tan 2α==-，tan==-.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5.下列计算正确的是( )A.=1B.1-2sin275°=C.cos4-sin4=D.cos275°+cos215°+c os 75°cos15°=【解析】选CD.对于选项A，==tan45°=；对于选项B，1-2sin275°=cos150°=-，对于选项C，cos4-sin4=cos2+sin2cos2-sin2=cos =；对于选项D，原式=sin215°+cos215°+sin15°cos15°=1+sin 30°=1+=.6.若2cos 2α=sin，则sin 2α的值为( )A.-B.C.1D.【解析】选AC.若2cos 2α=sin，即2(cos2α-sin2α)=cos α-sin α，当cos α=sin α时，满足条件，此时，tan α=1，sin 2α=1.当cos α≠sin α时，则2(cos α+sin α)=，即cos α+sin α=，所以1+2sin αcos α=，即sin 2α=2sin αcos α=-.综上可得，sin 2α=1或-.三、填空题(每小题5分，共10分)7.已知tan =2，则tan α的值为_______，tanα+的值为_______. 【解析】因为tan =2，所以tan α===-，tan===-.答案：--8.sin 10°sin30°sin50°sin70°=_______.【解析】原式=cos 80°cos60°cos40°cos20°====.答案：【补偿训练】cos cos πcosπ=_______.【解析】原式=======-.答案：-四、解答题(每小题10分，共20分)9.化简：(1)-；(2).【解析】(1)原式===tan 2θ.(2)原式======1.10.已知sin -2cos =0.(1)求tan x的值；(2)求的值.【解析】(1)由sin -2cos =0，知cos ≠0，所以tan =2，所以tan x===-.(2)由(1)知tan x=-，所以====×=×=.1.已知α，β均为锐角，且3sin α=2sinβ，3cos α+2cosβ=3，则α+2β的值为( )A. B. C. D.π【解析】选D.由题意得①2+②2得cos β=，cos α=，由α，β均为锐角知，sin β=，sin α=，所以tan β=2，tan α=，所以tan 2β=-，所以tan(α+2β)=0.又α+2β∈，所以α+2β=π.2.若△ABC的内角A满足sin 2A=，则sin A+cos A的值为_______.【解析】因为sin 2A=2sin Acos A=，所以A为锐角，且1+2sin Acos A=，即sin2A+2sin Acos A+cos2A=，所以|sin A+cos A|=.又因为A为锐角，所以sin A+cos A=.答案：。
