2020届江西省临川二中、临川二中实验学校高三上学期第三次月考数学（文）试题一、单选题1．设i 是虚数单位，复数()()i 12i a ++为纯虚数，则实数a 为( ). A ．-2 B ．2C ．12-D ．12【答案】B【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数()()i 12i a ++，再由实部为0且虚部不为0列式求得a 值. 【详解】()()()()i 12i 221i z a a a =++=-++为纯虚数， 20210a a -=⎧∴⎨+≠⎩，解得2a =，故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 2．设全集为，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则（ ）A ．(3,0)-B ．(3,1]--C ．(3,1)--D ．(3,3)-【答案】B【解析】试题分析：由题首先计算集合B 的补集然后与集合A 取交集即可． 由题A=（-3,3）,{1R C B x =≤-或5}x >，(]3,1R A C B ⋂=-，故选B ． 【考点】集合的运算32sin 375+的值为（ ）A ．B ．12C ．D ．12-【答案】A【解析】【详解】2223cos375sin375cos15sin15cos(4515)cos3022222+=+=-==． 选A ．4．已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若174a a =，且47522a a +=，则5S =（ ） A ．32 B ．31C ．30D ．29【答案】B【解析】根据已知求出4712,4a a ==，再求出公比和首项，最后求5S . 【详解】 因为174a a =， 所以2444,0,2n a a a =>∴=.因为47522a a +=， 所以714a =. 所以3111,16.82q q a =∴==，，所以55116[1()]2=31112S -=-. 故选：B 【点睛】本题主要考查等比数列的通项的基本量的计算，考查等比中项的应用，考查等比数列的前n 项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5．已知{}n a 为等差数列，135156a a a ++=，246147a a a ++=，{}n a 的前n 项和为n S ，则使得n S 达到最大值时n 是（ ） A ．19 B ．20C ．39D ．40【答案】B【解析】用246147a a a ++=减去135156a a a ++=即可得公差d ,再求得{}n a 的通项公式,再分析n S 的最值即可. 【详解】设公差为d ,则246147a a a ++=减去135156a a a ++=可得39,3d d =-=-, 又246443147,49a a a a a ++∴===,故4(4)49312613n a a n d n n =+-=-+=-, 当n S 达到最大值时有10613058610613(1)033n n a n n a n +≥-≥⎧⎧⇒⇒≤≤⎨⎨≤-+≤⎩⎩,故20n =.故选：B 【点睛】本题主要考查等差数列的基本性质以及通项公式的求解,同时也考查了首项为正公差为负的等差数列的前n 项和n S 的最值问题,属于中等题型.6．已知双曲线22:1(0)1x y C m m m-=>+的左焦点F 在圆2226150x y x y +---=上，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．32B ．94C ．95D【答案】D【解析】求出双曲线焦点坐标，代入圆的方程，求出m ，从而得到,a c 的值，求得离心率. 【详解】由双曲线方程知：21a m =+，2b m =c ⇒=()F ⇒21150m ∴++= 4m ⇒=a ⇒=3c =c e a ∴===本题正确选项：D 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，关键是利用,,a b c 的关系，求出焦点坐标，属于基础题. 7．在边长为2的等边ABC ∆中，D 是BC 的中点，点P 是线段AD 上一动点，则AP CP ⋅的取值范围是（ ） A ．3[,)4-+∞B ．3[,0]4-C ．[1,0]-D ．[1,1]-【答案】B【解析】以D 为原点建立平面直角坐标系，设出P 点的坐标，代入AP CP ⋅，化简后求得取值范围. 【详解】画出图像如下图所示，以,DC DA 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，故((),1,0A C 设()0,P t ()t ⎡∈⎣，所以(()20,1,AP CP t t t ⋅=⋅-=，根据二次函数的性质可知，对称轴t =故当0t =或t =0，当2t =时取得最小值为23224⎛-=- ⎝⎭，故AP CP ⋅的取值范围是3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选B.【点睛】本小题主要考查利用坐标法，求向量数量积的取值范围，考查二次函数求最值的方法，属于中档题.8．已知定义在R 上的奇函数21()2x x f x a-=+，则不等式()2(2)40f x f x -+-<的解集为（ ） A ．（-1，6） B ．（-6，1）C ．（-2，3）D ．（-3，2）【答案】D【解析】利用函数的奇偶性定义求出1a =，结合函数的单调性，对所求不等式化简，即可求解. 【详解】函数21()2x x f x a-=+是定义在R 上的奇函数所以212122x x x xa a----=-++，化简得1a = 即212()12121x x xf x -==-++且()f x 在R 上单调递增 ()()22(2)404(2)f x f x f x f x -+-<⇒-<-242x x ∴-<-，解得：32x -<<故选：D 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，函数的奇偶性的应用，关键是利用函数的单调性来解抽象不等式.9．AOB 中，OA a OB b ==，，满足||2a b a b ⋅=-=，则AOB ∆的面积的最大值为（ ） AB ．2C．D．【答案】A【解析】利用数量积公式以及平方关系计算得到sin AOB ∠，利用模长公式以及基本不等式得到||||4a b ≤，结合三角形面积公式化简即可求解. 【详解】||||cos 2a b a b AOB ⋅=∠=,即2cos ||||AOB a b ∠=2(||||)4sin |||||||a b AOB a b a b -∴∠==⎪⎭22||||2||2a b a a b b -=-⋅+= ，即228||||2||||a b a b =+≥所以||||4a b ≤ 所以22(||||)41111||||sin ||||=(||||)4164=3222|||AOBa b S a b AOB a b a b a b ∆-=∠=-≤-故选：A 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题. 10．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足0x >时，2()ln ln2f x x x ππ=-+，则函数()()sin g x f x x =-（e 为自然对数的底数）的零点个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】C【解析】利用导数求得函数()f x 在0x >时的最小值，得到()g x 的一个零点，根据函数为奇函数()00f =得到()g x 的另一个零点，根据函数()f x 为奇函数，图像的对称性，得到()g x 的第三个零点，由此得出正确选项. 【详解】 当0x >时，()'21πfx x =-，故函数在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上递减，π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，在π2x =处有最小值为π12f ⎛⎫=⎪⎝⎭，此时πππsin 110222g f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据()f x 的单调性和sin 1x ≤可知，当0x >时，π2x =是()g x 的唯一零点.由于()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，故()()00sin00g f =-=，所以0x =是函数()g x 的零点.由于()f x 和sin x 都是奇函数，故πππ1,sin 1222f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且根据奇函数图像的对称性可知，()f x 在π,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上递增，在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，π2x =-时，()f x 取得在(),0-∞上的最大值，故π2x =-是()g x 在区间(),0-∞上的唯一零点.综上所述，()g x 零点个数有3个，故选C.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查函数的奇偶性，综合性较强，属于中档题.11．已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是（ ） A ．3(0,]5B ．13[,]25C ．13[,]24D ．15[,)22【答案】B【解析】先化简()f x ，再根据正弦函数性质列方程与不等式，解得结果. 【详解】222()2sin cos ()sin sin (1cos())sin 422x f x x x x x x ωππωωωωω=--=+-- 2sin (1sin )sin sin x x x x ωωωω=+-=因为()f x 在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值， 所以255,,236222ππωπωπππωπ-≤-≤≤<，即13[,]25ω∈故选：B 【点睛】本题考查二倍角余弦公式、辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.12．设一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两个根分别为1x ，2x ，则方程可写成12()()0a x x x x --=，即21212()0ax a x x x ax x -++=．容易发现：12bx x a+=-，12cx x a=．设一元三次方程320(0)ax bx cx d a +++=≠的三个非零实根分别为1x ，2x ，3x ，以下正确命题的序号是（ ）①123b x x x a ++=-；②122313c x x x x x x a ++=；③123111c x x x d ++=；④123dx x x a=-．A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④【答案】B【解析】由一元三次方程320(0)ax bx cx d a +++=≠的三个非零实根分别为1x ,2x ,3x ,可设32123()()()ax bx cx d a x x x x x x +++=---,再展开123()()()a x x x x x x ---对应32ax bx cx d +++的系数即可.【详解】设32212312123()()()()()ax bx cx d a x x x x x x a x x x x x x x x x +++=---=--+- 32123121323123()()ax a x x x x a x x x x x x x ax x x =-+++++-,故123()b a x x x =-++,121323()c a x x x x x x =++,123d ax x x =-.即123b x x x a ++=-,121323c x x x x x x a++=,123dx x x a =-,121323123123111x x x x x x c x x x x x x d ++++==-.故①②④正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查二次函数迁移到三次函数的性质问题,属于中等题型.二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件30,20,2,x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩………则3z x y =+的最小值为___________. 【答案】5-【解析】先作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数所对应的直线，观察直线所在的位置求目标函数的最小值即可. 【详解】解：由实数x ，y 满足约束条件30,20,2,x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩………，作出可行域如图所示，联立2030x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得(2,1)A -，由简单的线性规划问题可得，当目标函数所对应的直线过点(2,1)A -时，目标函数取最小值，即当2,1x y =-=时，目标函数z 取最小值3(2)15⨯-+=-，故答案为：5-.【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题. 14．已知数列{}n a 满足递推关系：11n n n a a a +=+，112a =，则2020a =_______． 【答案】12021【解析】根据11n n n a a a +=+,两边取倒数得出1n a 的通项公式再代入算2020a 即可.【详解】 由11n n n a a a +=+有11111n n n n a a a a ++==+,故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以112a =为首项,公差为1的等差数列. 故1211n n n a =+-=+,故11n a n =+,所以202012021a = 故答案为：12021【点睛】本题主要考查倒数型构造数列求通项公式的问题,属于中等题型. 15．已知函数()sin cos 2()f x x x x R =⋅∈，则()f x 的最小值为____． 【答案】-1【解析】令t=sinx []1,1∈-,转为关于t 的函数，求导，判断单调性，由函数单调性求最值即可. 【详解】函数()2sin cos2(12sin f x x x sinx x =⋅=-)=sinx-23sin x ,令t=sinx []1,1,∈-则h(t)=t-23t ,h’(t)=1-62t =0,则t=±可知函数在1666⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭，上单调递减，在，上单调递增，在16⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，所以函数的最小值是h()6-或h(1),h(1)=-1<h(3?26669⎛-=---=- ⎝⎭, 故函数的最小值为-1， 故答案为：-1 【点睛】本题考查余弦的二倍角公式，考查换元法并利用导数求函数最值问题，考查计算能力. 16．在中，内角所对的边分别为，是的中点，若且，则面积的最大值是___【答案】【解析】由题意及正弦定理得到，于是可得，；然后在和中分别由余弦定理及可得．在此基础上可得，再由基本不等式得到，于是可得三角形面积的最大值．【详解】 如图，设，则,在和中，分别由余弦定理可得，两式相加，整理得，∴．①由及正弦定理得，整理得，② 由余弦定理的推论可得，所以．把①代入②整理得，又，当且仅当时等号成立， 所以，故得．所以．即面积的最大值是．故答案为．【点睛】本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时注意几何图形性质的合理利用．对于三角形中的最值问题，求解时一般要用到基本不定式，运用时不要忽视等号成立的条件．本题综合性较强，考查运用知识解决问题的能力和计算能力．三、解答题17．设数列{}n a 满足()*1141,4n na a n N a +==∈- （1）求证：数列12n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；（2）设221nn n a b a -=，求数列{}n b 的前n 项和为n T .【答案】（1）详见解析；（2）21n nT n n =++. 【解析】（1）由144n n a a +=-可得21242n n a a -=--为常数，从而可得结果；（2）由（1）知2,1n na n =+则()()222142121n n n a n b a n n -==-+ ()()111111212122121n n n n ⎛⎫=+=+- ⎪-+-+⎝⎭，利用分组求和法与裂项相消法求和即可.【详解】（1）11411,42n n n n a a a a ++=∴--- 114224n na a =----4211242242n n n n n a a a a a --=-==----为常数又1111,1,2a a =∴=-∴-数列12n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项12-为公差的等差数列. （2）由（1）知()11111,222n n n a +⎛⎫=-+--=- ⎪-⎝⎭ 222,11n na n n ∴=-=++ ()()()2221442122121212n n n na n nb n a n n n-+∴===--+ ()()111111212122121n n n n ⎛⎫=+=+- ⎪-+-+⎝⎭1231111111112335572121n n T b b b b n n n ⎛⎫∴=++++=+-+-+-++- ⎪-+⎝⎭11122121n n n n n ⎛⎫=+-=+ ⎪++⎝⎭ 所以，数列{}n b 的前n 项和为21n nT n n =++. 【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=；（3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 18．已知函数2π()2sin()cos()23f x a x x π=--，且π()13f =.（1）求a 的值及()f x 的最小正周期；（2）若1()3f α=-，(0,)2πα∈，求sin2α．【答案】（1）2a =，π；（2【解析】（1）由π()13f =得到a 的值，再对()f x 进行整理化简，得到()π2sin(2)16f x x =--，从而得到()f x 的最小正周期；（2）由1()3f α=-得到π1sin(2)63α-=，判断出26πα-的范围，得到πcos(2)6α-=sin 2α转化为ππsin 266α⎡⎤⎛⎫-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用公式展开，从而得到答案. 【详解】（1）由已知π()13f =，得112122a ⨯⨯=，解得2a =.所以1()4cos cos )2f x x x x =-2cos 2cos x x x =-2cos21x x =--π2sin(2)16x =--.所以π()2sin(2)16f x x =--的最小正周期为π.（2）1()3f α=-，π12sin(2)163α--=-，π1sin(2)63α-=，因为(0,)2πα∈，所以π52(,)666αππ-∈-， 又π11sin(2)632α-=<，所以π2(0,)66απ-∈.所以πcos(2)63α-==，则ππsin 2=sin[(2)]66αα-+ππππsin(2)cos cos(2)sin 6666αα=-+-1132==【点睛】本题考查利用三角函数公式进行化简求正弦型函数解析式，求正弦型函数的周期性，三角函数给值求值题型，利用两角和的正弦公式求值，属于简单题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的边长是2的正方形，PA PD =，PA PD ⊥，F 为PB 上的点，且AF ⊥平面PBD .（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）6. 【解析】(1)先证明AB ⊥平面PAD ,即证明AB 垂直平面PAD 中的两条直线,AD PD 即可.(2)取AD 的中点H ,证明直线PB 与平面ABCD 所成角为PBH ∠,再求解,PH PB 的长度求PBH ∠的正弦值即可. 【详解】证明：（1）∵AF ⊥平面PBD ,PB ⊂平面PBD ,∴PD AF ⊥,∵PA PD ⊥ PA AF A ⋂=,∴PD ⊥平面PAB , ∵AB Ì平面PAB ∴PD AB ⊥.∵ABCD 是正方形,∴AB AD ⊥, ∵PD AB ⊥,AD PD D =I ,∴AB ⊥平面PAD , ∵AB Ì平面ABCD ,∴平面PAD ⊥平面ABCD .（2）取AD 的中点H ,连接PH ,BH ,∵PA PD =,∴PH AD ⊥, ∵平面PAD ⊥平面ABCD ,PH ⊂平面PAD , 平面PAD平面ABCD AD =,∴PH ⊥平面ABCD ,∴BH 是PB 在平面ABCD 内的射影. ∴PBH ∠就是PB 与平面ABCD 所成的角,在等腰Rt PAD ∆中,∵2AD =,H 是AD 的中点,∴1PH =, 在Rt BAH ∆中,∵1AH =,2AB =,∴BH =∴PB =∴sin6PH PBH PB ∠===. 【点睛】本题主要考查了线面垂直与线线垂直的运用以及性质等,同时也考查了线面角的计算方法等,属于中等题型.20．已知椭圆221222:1(0),x y E a b F F a b+=>>、为其左右焦点，12B B 、为其上下顶点，四边形1122F B F B 的面积为2.点P 为椭圆E 上任意一点，以P 为圆心的圆（记为圆P ）总经过坐标原点O .（1）求椭圆E 的长轴12A A 的最小值，并确定此时椭圆E 的方程；（2）对于（1）中确定的椭圆E ，若给定圆()221:13F x y ++=，则圆P 和圆1F 的公共弦MN 的长是否为定值？如果是，求MN 的值；如果不是，请说明理由.【答案】（1）长轴12A A 的最小值为，此时椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）2.【解析】（1）利用四边形1122F B F B 的面积求得22bc =，利用基本不等式求得12A A 的最小值，同时求得椭圆的方程.（2）设出P 点坐标，代入椭圆方程，得到P 点两个坐标的关系式.求得圆P 的方程和圆1F 的方程，两者作差求得公共弦所在直线方程，求得圆心到公共弦的距离，由此求得弦长MN 为定值. 【详解】解：（1）依题意四边形1122F B F B 的面积为2,22,bc bc ∴=因为长轴122A A a ==≥=当且仅当1b c ==时取“=”此时a =故长轴12A A 的最小值为E 的方程为22 1.2x y +=（2）设点()00,P x y 为椭圆E 上任意一点，则222200001122x x y y +=⇒=-. 圆P 的方程为：()()22220000x x y y x y -+-=+ 2200220x y x x y y ⇒+--=，圆1F 的方程为：()2213x y ++=⇒ 22220x y x ++-=， 两式作差得公共弦方程为：()00110x x y y ++-=，所以弦心距d ====则弦长2MN ==，所以圆1F 和动圆P 的公共弦长为定值2. 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查基本不等式，考查圆与圆相交所得弦长的求法，考查化归与转化的数学思想方法，运算量较大，属于中档题. 21．已知函数2()ln 2a f x x x x x =--()a R ∈． （1）若曲线()y f x =在e x =处切线的斜率为1-，求此切线方程；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，求a 的取值范围，并证明：1212x x x x >+． 【答案】（1）0x y +=；（2）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,证明见解析.【解析】（1）()y f x =在x e =处切线的斜率为1-，即()'1f e =-，得出2a e=，计算f(e)，即可出结论（2）①()f x 有两个极值点12,x x ，得()'ln f x x ax =-=0有两个不同的根，即ln xa x= 有两个不同的根，令()ln xg x x=，利用导数求其范围，则实数a 的范围可求； ()f x 有两个极值点12,x x ，1122ln x -ax =0ln x -ax =0⎧⎨⎩利用()g x 在(e,+∞)递减，()122122ln x +x ln x x +x x <a =()1212ln x x x +x =，即可证明 【详解】（1）∵()'ln f x x ax =-，∴()'1f e =-，解得2a e=， ∴，故切点为，所以曲线在处的切线方程为．（2）()'ln f x x ax =-，令()'ln f x x ax =-=0，得ln xa x=． 令()ln x g x x=，则()21ln 'xg x x -=， 且当时，；当时，；时，． 令，得，且当时，；当时，．故在递增，在递减，所以． 所以当时，有一个极值点；时，有两个极值点； 当时，没有极值点．综上，的取值范围是．（方法不同，酌情给分） 因为是的两个极值点，所以1122ln x -ax =0ln x -ax =0⎧⎨⎩即1122ln x =ax ln x =ax ⎧⎨⎩…① 不妨设，则，，因为在递减，且，所以()122122ln x +x ln x x +x x <，即()1212ln x +x x +x a <…②．由①可得()()1212ln x x x +x a =，即()1212ln x x x +x a =，由①，②得()()12121212ln x +x ln x x x +x x +x <，所以1212x x x +x >．【点睛】本题主要考察导数在切线，极值方向的应用，主要理清导数的几何意义，导数和极值之间的关系进行转化，在做题的过程中，适当选取参变分离有时候能简化分类讨论的必要。
