(精选3份合集)2020届江西省临川二中、临川二中实验学校高考数学模拟试卷

2020届江西省临川二中、临川二中实验学校高三上学期第三次月考数学（理）试题一、单选题1．已知i 为虚数单位,复数z 满足：()z 12i i +=-，则在复平面上复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】先求出z 并化简，从而确定复数z 对应的点的坐标为13(,)22-，进而判断其位于第四象限. 【详解】因为2(2)(1)131312222i i i i z i i ----====-+， 所以复平面上复数z 对应的点为13(,)22-，位于第四象限，故选D . 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，属于基础题. 2．已知全集，集合，,那么集合（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】解析：因或，故，所以，应选答案D 。

3．已知向量(2,1),(,1)a b m ==-，且()a a b ⊥-，则m 的值为（ ） A ．1 B ．3C ．1或3D ．4【答案】B【解析】先求出a b -，再利用向量垂直的坐标表示得到关于m 的方程，从而求出m . 【详解】因为(2,1),(,1)a b m ==-，所以(2,2)a b m -=-，因为()a a b ⊥-，则()2(2)20a a b m ⋅-=-+=，解得3m = 所以答案选B. 【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示，属于基础题. 4．下列判断正确的是（ ） A ．“若sin cos ,x x =则4x π=”的逆否命题为真命题B ．0x ∀>，总有1sin x e x >+C ．二次函数2()1f x x ax =-+在R 上恒大于0的充要条件是2a <D ．已知扇形的弧长为1，半径为1，则该扇形的面积为1 【答案】B【解析】根据逆否命题同真假，构造函数求导，二次函数判别式，弧长公式即可逐项判断 【详解】对A, 若sin cos ,x x =则,4x k k Z ππ=+∈,故原命题为假命题，则逆否命题为假命题，错误；对B, 设()()()'sin 10,cos 0xx f x e x x fx e x =-->∴=->，则()sin 1,x f x e x =--单调递增，则()()sin 101x f x e x f =-->=，正确；对C, 二次函数2()1f x x ax =-+在R 上恒大于0的充要条件是2=4022a a ∆-<∴-<< ,错误对D, 已知扇形的弧长为1，半径为1，则该扇形的圆心角为1，则面积为12，错误 故选B 【点睛】本题以命题的真假关系的判断为载体，主要考查了充分必要条件的判断，逆否命题及利用导数证明不等式等知识的综合应用，属于中档题． 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则67a a +=（ ）A ．4-B ．4C ．1-D ．8【答案】A【解析】可设等差数列{a n }的公差为d ，从而据题意得出a 1＝9，利用前n 项和求出d 即可求解 【详解】设等差数列{a n }的公差为d ，9553954249595S S a ad -=-∴-==-解得d ＝-2； ∴671211a a a d +=+=4- 故选A ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，是基本题型．6．已知锐角α的终边与单位圆221x y +=交于点01(,)3P x ，则2sin α=（ ） A．9B．9-C．9D ．49【答案】C【解析】根据三角函数的定义，求出相应的三角函数值，利用二倍角的正弦公式，即可求出sin2α的值； 【详解】锐角α的终边上点P 的纵坐标为13则sin 1α3=，cos α3=， 则sin2α＝2sinαcosα=9故选C 【点睛】本题主要考查三角函数的定义及二倍角公式，考查学生的计算能力．7．若,x y 满足30230x y x y y m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩，，，且2z x y =+的最小值为1，则实数m 的值为（ ）A ．5-B ．1-C ．1D ．5【答案】B【解析】首先画出满足条件的平面区域，然后根据目标函数2z x y =+取最小值找出最优解，把最优解点代入目标函数即可求出m 的值。

江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三数学上学期期中试题理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．设集合{}R x y y A x ∈==,3，{}R x x y x B ∈-==,21，则=B A （ ） A ．∅B ．)1,0(C ．)21,0(D ．]21,0(2．在复平面内，复数21iz i=+所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知函数1,0()sin ,0x f x x x π>=≤⎪⎩，则4[()]9f f =（ ）A ．12 B ．12- C ．2 D ．2-4．下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（ ）A ．1()f x x =-B ．()31x f x =-C ．3()f x x x =+ D ．3()log f x x = 5．已知4cos 5θ=且322<<πθπ，则sin tan θθ+=（ ）A ．2720-B ．2720C ．320-D ．3206．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升7．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ．命题甲：A C B +=，且a c +=，命题乙：ABC △是等腰直角三角形，且B 为直角．则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．设定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，(2)()f x f x +=，则()f x 的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知)cos(2)2cos(απαπ+=-，且31)tan(=+βα，则βtan 的值为（ ） A ．7-B ．7C ．1-D ．110．已知6log 2a =，0.6log 0.2b =，0.20.6c =，则（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<11．已知函数())(0)3f x x πωω=->的图像向左平移2πω个单位长度，得到()g x 的图像，()g x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为4ωπ个单位长度，则函数()g x 图像的一个对称中心为（ ）A ．(,0)6π-B ．(,0)3πC ．(,0)3π-D ．2(,0)3π-12．对于函数ln ()xf x x=，下列结论中正确结论的个数为（ ） ①()f x 在x e =处取得极大值1e；②()f x 有两个不同的零点；③()(2)(3)f f f <<π；④若1()f x k x <-在(0,)+∞上恒成立，则1k >；⑤0x ∀>，2()ln f x x x e<+恒成立．A ．4B ．3C ．2D ．1个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若215()03a x dx -=⎰，则a =__________．14．已知向量(2,3)a =，(1,)b m =-，且()a a b ⊥+，则实数m 的值为 ． 15．若曲线2()(1)x f x ax e-=-在点(2,(2))f 处的切线过点(3,3)，则实数a 的值为 ．16．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，2c a =，当C 取最大值时，22ABCS a b ∆=+ ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考试必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：共60分 17．（本小题满分12分）已知函数()sin()cos 6f x x x =+-π．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC △中，角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若1()2f B =，且5a =，8c =，求b 的值．18．（本小题满分12分）已知如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ABB A 是边长为4的正方形，3AC =，AB AC ⊥，1A C 与1AC 相交于点D ．（1）在1AB 上作一点E ，使得DE 面ABC ，并证明； （2）求直线1B D 与平面BDE 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，223a =，11112n n nn n a a a a a -+-++=（2,n n N +≥∈）．（1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 的前n 项和为n T ，112b =，14n n n b a a -=（2,n n N +≥∈），求证1n T <．20．（本小题满分12分）过点(0,2)P 的直线l 与抛物线C ：24x y =交于A 、B 两点，以A 、B 两点为切点分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，且1l 与2l 相交于点00(,)Q x y ．（1）求0y 的值；（2）设过点P 、Q 的直线交抛物线C 于M 、N 两点，求四边形AMBN 面积的最小值．21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1xf x ae x =++（a R ∈）． （1）讨论()f x 零点的个数；（2）若()ln 1f x x x =++有两个解1x 、2x ，12x x <，且121nx x n +>+恒成立，求正整数n 的最大值．（二）选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为11x t y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为)4πρ=θ+．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点(1,1)M -，若直线l 与曲线C 相交于P 、Q 两点，求MP MQ ⋅的值．§23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|5|f x x =-，()5|23|g x x =--．（1）解不等式()()f x g x <；（2）若存在R x ∈使不等式a x g x f ≤-)()(2成立，求实数a 的取值范围．临川二中2020届高三期中考试数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．12．解析：正确的结论为①④⑤，()f x 只有一个零点，且(2)()(3)f f f <π<；研究y x=和ln y x x =的图像可证明结论④和⑤，结论②中的比较大小可通过ln ()xf x x=极值点偏移的性质来解释．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．12 14．06 15．9216．解析：cos 4C ≥，当且仅当2b a =时取“=”，即max 512C =π，再计算便可得到答案．三、解答题：本大题共6个题，共70分．17．解析：（1）()sin()6f x x π=-． （3分）()f x 的单调递增区间为2[2,2],33k k k Z ππ-+π+π∈． （6分）（2）3B π=． （9分） 7b =． （12分）18．解析：（1）1AE EB =，DE BC ． （6分） （2） 面BDE 的法向量为(4,3,3)n =，1cos ,B D n <>=． （12分）19．解析：（1）11211+n n n a a a +-=，21n a n =+． （6分） （2）当2n ≥时，111n b n n =-+， 故当1n =时，112n T =<； 当2n ≥时，111n T n=-<． 因此1n T <． （12分）20．解析：本题考察阿基米德三角形，极点与极线的性质．（1）(2,2)Q k -，AB k k =，02y =-． （4分）（2）AB =，MN =． （8分）设AB 与MN 的夹角为θ，2tan k k θ=+，2sin θ=，故12AMBN S AB MN =⋅=≥k ==” ．（12分）21．解析：（1）ln 1()ln 10xx x f x ae x a e +=++=⇔-=，分析ln 1()xx g x e +=的图像，当1a e<-时，()f x 零点的个数为0；当1=a e-时，()f x 零点的个数为1； 当10a e-<<时，()f x 零点的个数为2； 当0a ≥时，()f x 零点的个数为1． （4分） （2）max 1n =．首先证明122x x +>，证明方法：对称化构造，对数平均不等式，齐次化构造． （8分） 再证明当2n ≥时，121nx x n +>+不恒成立，齐次化构造即可证明． （12分）22．解析：（1）直线l 的普通方程为1y =，曲线C 的直角坐标方程为22440x x y y -++=． （5分） （2）由圆幂定理得226MP MQ R CM ⋅=-=． （10分）23．解析：（1）(1,3)x ∈． （5分） （2）2a ≥． （10分）。

2024届江西省抚州市临川二中、临川二中实验学校高三数学第一学期期末监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④2．函数22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-的一个单调递增区间是（ ） A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．59,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 3．已知椭圆22y a +22x b =1(a >b >0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A 5-1B 3-1C 31+D 51+ 4．已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为（ ）A ．22B ．23C ．4D ．265．已知平面ABCD ⊥平面,,ADEF AB AD CD AD ⊥⊥，且3,6,AB AD CD ADEF ===是正方形，在正方形ADEF 内部有一点M ，满足,MB MC 与平面ADEF 所成的角相等，则点M 的轨迹长度为（ ）A ．43B ．16C ．43π D ．8π6．已知等差数列{}n a 中，51077,0a a a =+=，则34a a +=（ ） A ．20B ．18C ．16D ．147．己知全集为实数集R ，集合A ={x |x 2 +2x -8>0}，B ={x |log 2x <1}，则()RA B ⋂等于（ ）A ．[-4,2]B ．[-4,2)C ．(-4,2)D ．(0,2)8．下列结论中正确的个数是（ ）①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 通项公式为()n a f n =，则该数列是等差数列； ②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则//l α； ③在ABC ∆中，“cos cos A B >”是“B A >”的必要不充分条件； ④若0,0,24a b a b >>+=，则ab 的最大值为2. A ．1B ．2C ．3D ．09．已知M 是函数()ln f x x =图象上的一点，过M 作圆2220x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，则MA MB⋅的最小值为（ ） A ．223B ．1-C ．0D ．5232- 10．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（ ）A ．74B ．5627C ．2D ．1648111．已知实数,x y 满足,10,1,x y x y y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．32C ．1D ．012．把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A ．(,0)3πB ．(,0)4πC ．(,0)12πD ．(0,0)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届江西省临川二中高三上学期10月月考数学（理）试卷★祝考试顺利★第I 卷一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．设全集U =R ，集合{}2log 2A x x =≤，()(){}310B x x x =-+≥，则()U C B A （ ）A ．(],1-∞-B ．(](),10,3-∞- C ．(]0,3 D ．()0,32．设，则｜z ｜＝（ ）A ．5B ．C ．5D ．5 3．已知变量x ，y 满足约束条件5021010x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩………，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A.7B.8C.9D.10 4．设log a =2019log b =，120192018c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）．A ．c b a >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>5．某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买x 吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为4x 万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量x 为（ ）A.20B.23C.25D.286．已知()()21πsin ,42f x x x f x ⎛⎫=++ ⎪'⎝⎭为()f x 的导函数,则()f x '的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A ．410190-B ．5101900-C ．510990-D ．4109900- 8．已知()()tan ,1,1,2a b θ=-=-，其中θ为锐角，若a b +与a b -夹角为90，则212sin cos cos θθθ=+（ ） A ．1B ．1-C ．5D ．159．在二项式26()2a x x+的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线2y x =和圆22x y a +=及x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）A ．146π+ B ．146π- C ．4π D ．1610．曲线1y =:(2)4l y k x =-+有两个不同的交点，实数k 的范围是（ ）A ．(512，+∞）B ．(512，3]4C ．(0，512)D ．(13，3]411．已知椭圆22143x y +=的右焦点F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，则过F 作倾。

江西省抚州临川市第二中学2024年全国高考数学试题必刷模拟卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ）A ．若m //α，α//β，则m //β或m β⊂B ．若m //n ，m //α，n α⊄，则n //αC ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，则n //α2．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知23C π=，1c =．当,a b 变化时，若z b a λ=+存在最大值，则正数λ的取值范围为 A ．(0,1) B ．(0,2) C ．1(,2)2 D ．(1,3)3．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．(722+πB ．(1022+πC ．(1042+πD ．(1142+π 4．已知函数()12x f x e -=，()ln 12x g x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ） A ．0 B ．4 C ．132e - D ．5+ln 625．已知函数ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <,且 ()()f m f n =，则n m -的取值范围为（ ）A ．[32ln 2,2)-B ．[32ln 2,2]-C ．[1,2)e -D ．[1,2]e -6．已知数列{}n a 满足：11,a =13,21,n n n n n a a a a a ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则6a =( ) A ．16 B ．25 C ．28D ．33 7．在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=则y b x a --的取值范围是（ ） A ．[]22-, B ．4747,33⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦C ．13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．6767,33⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ 8．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（ ）A ．122π-B ．21π-C ．22π-D ．24π-9．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-，且a b ⊥，则λ等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )A ．23B ．163C ．6D ．与点O 的位置有关11．如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB OA ⊥，P 是圆上的动点， 点P 关于直线OB 的对称点为P '，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将OP OP '-表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）A ．2550100,,777B ．252550,,1477C ．100200400,,777D ．50100200,,777二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年江西省临川二中、上高二中、丰城中学高考数学模拟试卷（理科）（6月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若(x+2i)i=y+i，其中x，y∈R，i为虚数单位，则复数z=x+yi的虚部为()A. 1B. iC. −2D. −2i2.已知随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，若P(ξ<2)=P(ξ>8)=0.15，则P(2≤ξ<5)=()A. 0.3B. 0.35C. 0.5D. 0.73.已知a=log20201π，b=(1π)2020，c=20201π，则()A. c<a<bB. a<c<bC. b<a<cD. a<b<c4.设a∈R，则“a=√2”是“直线l1：x+2ay−1=0与直线12：ax+4y+√2=0平行”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击10次．四人测试成绩对应的条形图如图：以下关于四名同学射击成绩的数字特征判断不正确的是()A. 平均数相同B. 中位数相同C. 众数不完全相同D. 甲的方差最小6.函数f(x)=ln(√x2+1+kx)的图象不可能是()A. B.C. D.7.某部门从已参与报名的甲、乙、丙、丁四人中选派1人去参加志愿者服务，结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对选派人选做出了如下预测：甲说：丙或丁被选上；乙说；甲或丁均未被选上；丙说：丁被选上； 丁说；丙被选上．若这四人中有且只有2人说的话正确，则被选派参加志愿者服务的是( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 圆M ：(x −m)2+y 2=4与双曲线C ：y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线相切于A 、B 两点，若|AB|=2，则C 的离心率为( )A. 23√3B. √3C. 2D. 39. 梅赛德斯−奔驰(Mercedes −Benz)创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化．已知该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成(如图)，点O 为圆心，∠ABC =150°，若在圆内部任取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A. 2√3−32πB. 2√3−34πC. 6√3−92πD. 6√3−94π10. 已知实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≥0x −y +2≥03x −y −4≤0，目标函数z =ax +by(a >0且b >0)的最大值为2，则1a +2b 的最小值为( )A.132+√30B. 72+√6C. 3+2√2D. 5+6√211. 我们称数列a n =(a √b +c)2n 与数列b n =(a √b −c)2n 为“隔项相消数列”，其中a ，b ，c ，n ∈N +，则a n +b n ∈Z.已知数列{c n }的通项公式为c n =[(3+2√2)n ]，其中n ∈N +，函数f(x)=[x]表示不超过实数x 的最大整数，则c 2020除以4的余数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 12. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AD =√7，AB =√10，AA 1=1，过点B 作直线1与直线A 1D 及直线AC 1所成的角均为π3，这样的直线1的条数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)=√4−x 2−ln(3x +1)的定义域为______．14. 某工业模具的三视图如图所示，已知俯视图的正方形的边长为2，则该模具的表面积为______．15. 若曲线f(x)=ln(2x +1)−x 在(1,f(1))处切线的倾斜角为θ，则cos 2θ+sin2θ的值为______．16. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且a(1−2cosC)=6cosA ，c =3，则△ABC 面积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n和T n，数列{a n}满足a1=12，2S n+1=2S n+a n，n∈N+，等差数列{b n}满足b2=5，T9=153．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)若数列{c n}满足c n=a bn ，求证：c1+c2+⋯…+c n<815，其中n∈N+．18.已知如图，菱形ABCD的边长为2，对角线AC=2√3，现将菱形ABCD沿对角线AC翻折，使B翻折至点B′．(1)求证：AC⊥B′D；(2)若B′D=1，且点E为线段B′D的中点，求CE与平面AB′D夹角的正弦值．19.为了响应绿色出行，某市推出了新能源分时租赁汽车，并对该市市民使用新能源租赁汽车的态度进行调查，得到有关数据如表1：表1愿意使用新能源租赁汽车不愿意使用新能源租赁汽车总计男性100300女性400总计400其中一款新能源分时租赁汽车的每次租车费用由行驶里程和用车时间两部分构成：行驶里程按1元/公里计费；用车时间不超过30分钟时，按0.15元/分钟计费；超过30分钟时，超出部分按0.20元/分钟计费，已知张先生从家到上班地点15公里，每天上班租用该款汽车一次，每次的用车时间均在20～60分钟之间，由于堵车、红绿灯等因素，每次的用车时间t(分钟)是一个随机变量，张先生记录了100次的上班用车时间，并统计出在不同时间段内的频数如表2：表299.5%的把握认为该市市民对新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；(2)根据表2中的数据，将各时间段发生的频率视为概率，以各时间段的区间中点值代表该时间段的取值，试估计张先生租用一次该款汽车上班的平均用车时间；(3)若张先生使用滴滴打车上班，则需要车费27元，试问：张先生上班使用滴滴打车和租用该款汽车，哪一种更合算？附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．20. 已知点(√2,√22)为椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a >0,b >0)上一点，F 1和F 2分别为椭圆C 的左右焦点，点D 为椭圆C 的上顶点，且DF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2b 2．(1)椭圆C 的方程；(2)若点A 、B 、P 为椭圆C 上三个不同的动点，且满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，直线AB 与直线PO 交于点Q ，试判断动点Q 的轨迹与直线PA 的位置关系，并说明理由．21. 已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=e x−a −ln(x +a)，其中a >0，e 为自然对数的底数．(1)求证：f(x)有且只有一个极小值点；(2)若不等式f(x)≥√2x +a +1−1−ln2在(0,+∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x23+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为2ρ=3cos(θ+π3)．(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的参数方程；(2)已知P、Q两点分别是曲线C和直线1上的动点，且直线PQ的倾斜角为π3，求|PQ|的最小值．23.已知函数f(x)=√x2+2x+1−|2x−4|的最大值为t．(1)求t的值；(2)是否存在正实数a，b，c满足a+b+c=t且a2+4b2+c2=2√3，若存在，求出满足条件的一组解；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵(x+2i)i=y+i，∴−2+xi=y+i，则x=1，y=−2．∴复数z=x+yi的虚部为−2．故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得y，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数相等的条件，是基础题．2.【答案】B【解析】解：根据题意，正态分布N(μ,σ2)，若P(ξ<2)=P(ξ>8)=0.15，则μ=5，即这组数据对应的正态曲线的对称轴x=5，则P(ξ<5)=0.5，又由P(ξ<2)=0.15，得P(2≤ξ<5)=0.5−0.15=0.35．故选：B．根据题意，由正态分布曲线的特点分析μ的值，即可得P(ξ<5)=0.5，然后求出P(2≤ξ<5)的值．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，涉及正态分布中两个量μ和σ的应用，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：a=log20201π<log20201=0，b=(1π)2020∈(0,1)，c=20201π>1，所以a<b<c．故选：D．利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：依题意，知“直线l1：x+2ay−1=0与直线l2：ax+4y+√2=0平行”，则1a =2a4≠√2，解得a=√2．则“a=√2”是“直线l1：x+2ay−1=0与直线l2：ax+4y+√2=0平行”的充分必要条件；故选：C．求出“直线l1：x+2ay−1=0与直线l2：ax+4y+√2=0平行”的充要条件，再根据充分必要条件的定义得出结论即可．本题考查了两条直线平行的充要条件，充分必要条件的定义，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由条形图知，甲射击成绩为：4，4，4，4，4，6，6，6，6，6；所以甲的平均数是5，中位数是5，众数是4，6，方差是1；乙射击成绩为：4，4，4，5，5，5，5，6，6，6；乙的平均数是5，中位数是5，众数是5，方差是0.6；丙射击成绩为：3，3，3，4，5，5，6，7，7，7；丙的平均数是5，中位数是5，众数是3，7，方差是1.8；丁射击成绩为：2，4，4，4，5，5，6，6，6，8；丁的平均数是5，中位数是5，众数是4，6，方差是2.4；所以它们的平均数相同，中位数相同，众数不完全相同，乙的方差最小．故选：D．由条形图，可以求出甲、乙、丙、丁的平均数、中位数、众数和方差．本题考查了命题真假的判断问题，也考查了条形图的性质等基础知识，是基础题．6.【答案】C【解析】解：∵A，B选项中，图象关于原点对称，∴f(x)为奇函数，即f(x)+f(−x)=0，即ln(√x2+1+kx)+ln(√x2+1−kx)=0，∴k=±1，当k=1时，f(x)的图象为选项A；当k=−1时，f(x)的图象为选项B；而C，D选项中，图象关于y轴对称，所以f(x)为偶函数，即f(x)=f(−x)，即ln(√x2+1+kx)=ln(√x2+1−kx)，∴k=0，当k=0时，f(x)≥0，故f(x)的图象为选项D，不可能为选项C．故选：C．观察选项可知，A，B选项中的函数图象关于原点对称，即为奇函数，C，D选项的函数图象关于y轴对称，即为偶函数，再根据函数解析式判断得出结论本题主要考查利用函数奇偶性判断函数图象，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：若甲被选上，甲、乙、丙、丁错误，不满足条件；若乙被选上，甲、丙、丁错误，乙正确，不满足条件；若丙被选上，甲、乙、丁正确，丙错误，不满足条件；若丁被选上，甲、丙正确，乙、丁错误，满足条件，所以被选派参加志愿者服务的是丁，故选：D．逐个假设甲，乙，丙，丁被选上，检验是否符合题意即可．本题主要考查了逻辑推理等基础知识，考查学生逻辑推理能力等能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：圆M：(x−m)2+y2=4的圆心为M(m,0)，双曲线C：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±abx，由圆M和两条渐近线都关于x轴对称，可设A(s,1)，B(s,−1)，s>0，s<m，由题意可得(s−m)2+1=4，则s−m=−√3，由A为切点，直线AM与渐近线y=abx垂直，可得1s−m ⋅ab =−1，则b a=√33，可得双曲线的离心率为e =c a =√1+b 2a 2=√1+13=2√33， 故选：A ．求得圆的圆心M ，以及双曲线的渐近线方程，可设A(s,1)，B(s,−1)，由A 满足圆的方程和两直线垂直的条件，可得a ，b 的关系式，进而得到离心率．本题考查双曲线的方程和性质，以及圆的方程和切线的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 9.【答案】D【解析】解：由已知可得∠AOB =60°， ∖ ∵∠ABC =150°，则∠ABO =360°−150°2=105°．又sin15°=sin(45°−30°)=√22×(√32−12)=√6−√24，sin105°=sin(45°+60°)=√22×(12+√32)=√6+√24． 不妨设OA =4，则由正弦定理可得OB =OA⋅sin15°sin105∘=8−4√3，则S △AOB =12×4×(8−4√3)×sin60°=8√3−12，所以阴影部分的面积为S′=3S △AOB =24√3−36，圆O 的面积为S =16π， 则在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为P =S′S=24√3−3616π=6√3−94π．故选：D ．求出阴影部分面积和圆的面积，代入几何概型的概率公式即可得到所求．本题考查几何概型的概率的求法，考查了正弦定理的应用，求解阴影部分面积是关键，考查分析解决问题的能力，是中档题． 10.【答案】A【解析】解：由z =ax +by(a >0,b >0)得y =−ab x +zb ， ∵a >0，b >0，∴直线的斜率−ab <0， 作出不等式对应的平面区域如图：平移直线得y =−ab x +zb ，由图象可知当直线y =−ab x +zb 经过点A 时，直线y =−ab x +z b 的截距最大，此时z 最大． 由{x −y +2=03x −y −4=0，解得A(3,5)， 此时目标函数z =ax +by(a >0,b >0)的最大值为2， 即3a +5b =2，∴32a +52b =1，1a+2b=(1a+2b)×1=(1a+2b)×(32a +52b)=132+3a b+5b 2a≥132+2√3a b⋅5b 2a=132+√30，当且仅当3ab =5b2a ，并且3a +5b =2时取等号． 故最小值为132+√30， 故选：A ．作出不等式对应的平面区域，利用z 的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本不等式进行求则1a +2b 的最小值．本题主要考查线性规划的基本应用，以及基本不等式的应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键． 11.【答案】B【解析】解：由二项式定理可设：(3+2√2)2n =x n +y n ⋅√2，其中x n ，y n ∈N +， 由题意可得，(3−2√2)2n =x n −y n ⋅√2，其中x n ，y n ∈N +，则(3+2√2)2n (3−2√2)2n =x n 2−2y n2， 即x n 2−2y n 2=(9−8)2n =1，所以有2y n 2=x n 2−1，因为x n >1，且0<x n −y n ⋅√2<1，所以(x n −1)2<2y n 2=x n 2−1<x n 2， 所以[√2y n ]=x n −1，即有[x n +√2y n ]=2x n −1，因为x n 2−2y n 2=1，即x n 2=2y n 2+1，可得x n 为奇数，所以有[x n +√2y n ]=2x n −1=4n +1，n ∈N ，因为c 2020=[(3+2√2)2020]=[(3+2√2)2⋅1010]=[x 1010+y 1010√2]=4n +1， 所以c 2020除以4的余数为1． 故选：B ．由二项式定理可设：(3+2√2)2n =x n +y n ⋅√2，其中x n ，y n ∈N +，(3−2√2)2n =x n −y n ⋅√2，其中x n ，y n ∈N +，求出x n ，y n 的关系式，再由[x]表示不超过实数x 的最大整数，求出[x n +√2y n ]=2x n −1=4n +1，n ∈N ，即可得出答案．本题主要考查二项式定理的应用及根据新定义的求解，考查运算能力和推理能力，属于难题． 12.【答案】C【解析】解：A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0+7−0−1=6， 而|A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√7+1=2√2，|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√7+10+1=3√2，所以cos <A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=2√2×3√2=12，所以直线A 1D 和直线AC 1所成的角为π3，将直线l 、直线A 1D 和直线AC 1平移至点P ，则当三条直线在同一平面时，直线l 为角平分线； 若三条直线不在同一平面，则这样的直线有两条． 故这样的直线条数为3． 故选：C ．由向量的数量积的定义和夹角公式，可得直线A 1D 和直线AC 1所成的角为π3，通过平移和讨论三条直线在同一平面、不在同一个平面，可得直线l 的条数．本题考查空间线线所成角的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．13.【答案】(−13,2]【解析】解：要使f(x)有意义，则{4−x 2≥03x +1>0，解得−13<x ≤2， ∴f(x)的定义域为(−13,2]． 故答案为：(−13,2]．可看出，要使得f(x)有意义，需满足{4−x 2≥03x +1>0，然后解出x 的范围即可． 本题考查了函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】16+3π2【解析】解：该模具的表面积可分为两部分：长方体的表面积取掉一个圆的面积，加上一个半球的表面积．所求表面积为：2×2×2+4×2×1−12×π×12+2π×12=16+3π2．故答案为：16+3π2．该模具的表面积可分为两部分：长方体的表面积取掉一个圆的面积，加上一个半球的表面积． 由三视图求表面积与体积，关键是正确分析原图形的几何特征．15.【答案】310【解析】 【分析】本题考查导数的几何意义和同角三角函数基本关系式．属于基础题．先求出函数f(x)的导数，然后求出该函数在x =1处的切线斜率，从而求出tanθ，再利用同角三角函数关系式，倍角公式求解． 【解答】解：∵f′(x)=22x+1−1，∴tanθ=f′(1)=−13，∴cos 2θ+sin2θ=cos 2θ+2sinθ⋅cosθ =cos 2θ+2sinθ⋅cosθsin 2θ+cos 2θ =1+2tanθtan 2θ+1=1−23(−13)2+1=310． 故答案为：310．16.【答案】3【解析】解：∵a(1−2cosC)=6cosA ，c =3，∴a(1−2cosC)=2ccosA ，可得sinA =2sinCcosA +2sinAcosC =2sin(A +C)=2sinB ， ∵sinA =2sinB ，∴由正弦定理可得：a =2b ，即b =12a ， 又∵c =3，∴由余弦定理可得：14a 2=a 2+9−2⋅a ⋅3⋅cosB ，解得：cosB =a 2+128a，∴可得：sinB =√1−cos 2B =√1−(a 2+128a )2=√256−(a2−20)28a ，∴S △ABC =12acsinB =12×a ×3×√256−(a 2−20)28a=316√256−(a 2−20)2≤3，当且仅当a =2√5时等号成立， ∴△ABC 面积的最大值为3．故答案为：3．由已知利用，两角和的正弦函数公式，正弦定理可得b =12a ，由余弦定理可解得：cosB =a 2+128a，利用同角三角函数基本关系式可求sin B ，进而利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 17.【答案】解：(1)∵2S n+1=2S n +a n ， ∴2a n+1=a n ，即，q =12． ∴a n =12n，又∵b 2=b 1+d =5，T 9=9b 1+36d =153． 可解得：b 1=1，d =4． ∴b n =4n −3．(2)c n =a b n =124n−3=8×116n ，显然c n 是公比为116的等比数列．c 1+c 2+⋯c n =12(1−116n )1−116=815(1−116n )<815，证毕．【解析】(1)首先判定{a n }为等比数列，然后利用等比数列的通项公式可求a n ，利用等差数列的通项及求和公式可求b n ，(2)先求出c n 通项公式，发现还是等比数列，利用等比数列求和公式求和即可本题考查的知识要点：等差等比数列的判定及等差，等比数列通项公式和求和公式的运用． 18.【答案】(1)证明：如图所示，取AC 的中点为O ，连结OD ，OB′，∵AB′=B′C ，AD =CD ，∴B′O ⊥AC ，DO ⊥AC ，又B′O ∩DO =O ， ∴AC ⊥平面B′OD ， ∵B′D ⊂平面B′ED ， ∴AC ⊥B′D ．(2)解：以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，过O 作平面ACD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系， 在等腰△B′AC 中，B′O =1，同理DO =1，∵B′D =1，A(−√3,0，0)，D(0,1，0)，B′(0,12,√32)，C(√3,0，0)，E(0,34,√34)，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1，0)，B′D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,−√32)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,34,√34)， 设平面B′AD 的一个法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则{n⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅B′D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{√3x +y =012y −√32z =0，取z =1，得n ⃗ =(−1,√3,1)， ∴cos <n ⃗ ,CE⃗⃗⃗⃗⃗ >=n⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||CE⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3+3√34+√34√5×√152=45．设CE 与平面AB′D 夹角为θ，则sinθ=|cos <n ⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=45． ∴CE 与平面AB′D 夹角的正弦值为45．【解析】(1)取AC 中点O ，通过证明AC ⊥平面OB′D 可得AC ⊥B′D ；(2)建立空间坐标系，求出平面AB′D 的法向量，计算法向量与CE⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角得出答案． 本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，属于中档题． 愿意使用新能源租赁汽车 不愿意使用新能源租赁汽车 总计男性 100 200 300 女性 300 400 700 总计 400 6001000计算K 2=1000×(100×400−200×300)2400×600×300×700=50063≈7.937>7.879，所以有99.5%的把握认为该市市民对新能源租赁汽车的使用态度与性别有关； (2)根据表2中的数据，计算得25×20100+35×40100+45×30100+55×10100=38，估计张先生租用一次该款汽车上班的平均用车时间为38分钟； (3)计算张先生租用该款汽车平均费用为15+25×0.2×0.15+35×0.4×0.2+45×0.3×0.2+55×0.1×0.2=22.35(元)； 使用滴滴打车上班需要车费27元， 所以张先生上班租用该款汽车更合算．【解析】(1)补填列联表，计算K 2，对照临界值得出结论； (2)根据表2中的数据计算得平均数即可；(3)计算张先生租用该款汽车的平均费用，比较即可．本题考查了列联表与独立性检验问题，也考查了平均数计算问题，是中档题． 20.【答案】解：(1)可设F 1(−c,0)，F 2(c,0)，D(0,b)，可得DF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−c,−b)⋅(c,−b)=−c 2+b 2=−2b 2， 即c 2=3b 2，且点(√2,√22)在椭圆上，可得2a 2+12b 2=1，又c 2=a 2−b 2，解得a =2，b =1，c =√3， 则椭圆的方程为x 24+y 2=1：(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x 3,y 3)，由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，可得O 为△ABP 的重心， 则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设Q(x,y)，则{x 3=−2x y 3=−2y ，由x 324+y 32=1， 可得x 2+4y 2=1，所以Q 的轨迹方程为x 2+4y 2=1． 设直线OB 与直线PA 交于点M ，则M 为线段PA 的中点，且M(−x 22,−y22)，当y 2≠0时，因为x 124+y 12=1，x 324+y 32=1，两式相减可得(x 1−x 3)(x 1+x 3)4+(y 1−y 3)(y 1+y 3)=0，则k PA =y 1−y3x 1−x 3=−14⋅x 1+x3y 1+y 3=−x24y 2，所以直线PA 的方程为y +y 22=−x24y 2(x +x 22)，整理可得y =−x 2x+24y 2，将其代入Q 的轨迹方程可得(x 22+4y 22)x 2+4x 2x +4(1−y 22)=0(∗)将x 224+y 22=1代入(∗)整理可得4x 2+4x 2x +x 22=0， 由于△=16x 22−16x 22=0，所以直线PA 与动点Q 的轨迹相切．当y 2=0，直线PA 的方程为x =±1，所以直线PA 与Q 的轨迹相切． 综上可得，直线PA 与Q 的轨迹相切．【解析】(1)设F 1(−c,0)，F 2(c,0)，D(0,b)，由向量的数量积的坐标表示，结合a ，b ，c 的关系，点满足椭圆方程，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x 3,y 3)，可得O 为△ABP 的重心，由重心的性质可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设出Q 的坐标，结合P 在椭圆上，推得Q 的轨迹方程，求得PA 的中点坐标，当y 2≠0时，求得PA 的方程，与椭圆方程，考虑判别式，可判断直线PA 与Q 的轨迹的关系；当y 2=0时，求得PA 的方程，可判断直线PA 与Q 的轨迹的关系．本题考查椭圆的方程和性质，直线和椭圆的位置关系，以及直线方程的运用，考查方程思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)证明：由于f′(x)=e x−a −1x+af″(x)=e x−a +1(x+a)2>0，则f′(x)在(0,+∞)上单调递增．令g(x)=e x −x ，则g′(x)=e x −1，故当x ∈(−∞,0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减 当x ∈(0,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 则g(x)min =g(0)=1，即e x ≥x +1>x ， 由于f′(0)=e−a−1a =a−e a e a ⋅a<0，f′(a +1)=e −12a+1>0，故∃x 0∈(0,a +1)，使得f′(x 0)=0，且当x ∈(0,x 0)时f′(x 0)<0，f(x)单调递减； 当x ∈(x 0,+∞)时，f′(x 0)>0，f(x)单调递增．因此f(x)在(0,+∞)有且只有一个极小值点x 0，无极大值点．(2)由于不等式f(x)≥√2x +a +1−1−ln2在(0,+∞)上恒成立， (i)必要性：当x =1时，不等式成立，即e 1−a −ln(1+a)≥√a +3−1−ln2令g(a)=ln(1+a)+√a +3−e 1−a −1−ln2,g(a)≤0， 由于g′(a)=11+a 2√a+3+e 1−a >0，则g(a)在(0,+∞)上单调递增，又由于g(1)=0，则g(a)≤0的解为0<a ≤1． (ii)充分性：下面证明当0<a ≤1时，f(x)≥√2x +a +1−1−ln2在(0,+∞)上恒成立令ℎ(x)=e x−a −ln(x +a)−√2x +a +1+1+ln2，由于0<a ≤1，0>−a ≥−1，x −a ≥x −1，e x−a ≥e x−1，0<a +x ≤1+x ，ln(x +a)≤ln(1+x)，−ln(x +a)≥−ln(1+x)，a +1≤2,2x +a +1≤2x +2,√2x +a +1≤√2x +2,−√2x +a +1≥−√2x +2， 则ℎ(x)≥e x−1−ln(x +1)−√2x +2+1+ln2令m(x)=e x−1−ln(x +1)−√2x +2+1+ln2，则 m′(x)=e x−1−1x+1−√2x+2，m″(x)=e x−1+1(x+1)23>0，m′(x)在(0,+∞)上单调递增，由于m′(1)=0，则当x ∈(0,1)时，m′(x)<0，m(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，m′(x)>0，m(x)单调递增，故m(x)=m(1)=0，即m(x)≥0恒成立，因此，当0<a≤1时，f(x)≥√2x+a+1−1−ln2在(0,+∞)上恒成立．故a的取值范围为(0,1]．【解析】(1)由f″(x)=e x−a+1(x+a)2>0知f′(x)=e x−a−1x+a单调递增，由f′(0)<0和f′(a+1)>0，根据零点存在定理则可证；(2)由f(1)≥0探求出0<a≤1，转化为证明当0<a≤1，f(x)≥√2x+a+1−1−ln2在(0,+∞)上恒成立，令ℎ(x)=e x−a−ln(x+a)−√2x+a+1+1+ln2进一步转化为ℎ(x)≥e x−1−ln(x+1)−√2x+2+ 1+ln2再证明该不等式右边恒大于等于0即可．本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，主要考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题．22.【答案】解：(1)由2ρ=3cos(θ+π3)，得2ρ(cosθcosπ3−sinθsinπ3)=3，即ρcosθ−√3ρsinθ=3，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴x−√3y−3=0，故直线l的直角坐标方程为x−√3y−3=0．由x23+y2=1，令{x3=cosαy=sinα，可得曲线C的参数方程为{x=3cosαy=sinα(α为参数)；(2)设P(3cosα,sinα)，直线l的直角坐标方程为为x−√3y−3=0，|PQ|的最小值即为点P到直线l的距离的最小值，点P到直线l的距离d=√3sinα−3|√12+(−√3)2=√32|sinα−√3cosα+√3|=√32|2sin(α−π3)+√3|≥√32(2+√3)=32+√3．∴|PQ|的最小值为32+√3．【解析】(1)把直线的极坐标方程变形，再由两角差的余弦展开，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的直角坐标方程，由曲线C的普通方程，结合平方关系可得曲线C的参数方程；(2)设P(3cosα,sinα)，写出点到直线的距离，利用三角函数求最值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查点到直线距离公式的应用，训练了利用三角函数求最值，是中档题．23.【答案】解：(1)f(x)=√x2+2x+1−|2x−4|=|x+1|−|x−2|−|x−2|≤|(x+1)−(x−2)|−|x−2|≤3，当且仅当“x=2”时取等号，∴t=3；(2)假设存在满足条件的一组解，则a2+4b2+c2=49[a2+(2b)2+c2]⋅[12+(12)2+12]≥49(a+b+c)2=4，故a2+4b2+c2=2√3不可能成立，即不存在正实数a，b，c满足a+b+c=t且a2+4b2+c2=2√3．【解析】(1)直接利用绝对值不等式的性质即可得解；(2)利用柯西不等式直接判断即可．本题考查函数的最值，涉及了绝对值不等式的性质以及柯西不等式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．。

2020届江西省临川二中学高三第一次调研考试数学试卷（文科）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{|1}M x x =≥，1{|21}x N x -=<，则M N =（ ）A ．{|1}x x ≤-B ．{|1}x x ≤C ．{|11}x x -≤≤D ．{|1}x x <2. 设i 为虚数单位，若复数z 满足2(1)1i z i-=+，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --3. 在等差数列{}n a 中，21=a ，1053=+a a ，则7a =( )A ．5B ．8C ．10D ．14 4. 命题0001lg ),,0(x x x n=+∞∈∃的否定是（ ）A ．x x x 1lg ),,0(=+∞∉∀ B ．x x x 1lg ),,0(≠+∞∈∀ C ．0001lg ),,0(x x x ≠+∞∈∃ D ．0001lg ),,0(x x x =+∞∉∃ 5. 若1479a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1597b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，27log 9c =，则（ ） A ．b a c << B ．b c a << C ．c a b << D ．c b a << 6. 已知)(x f 是定义在[]b b -1,2上的偶函数，且在[]0,2b 上为增函数，则)2()1(x f x f ≤-的解集为（ ）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,1 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,1 C. []1,1- D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,31 7. 设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时3()log (1)f x x =+，则[(8)]f f -= （ ）A.2-B.1-C.1D.2 8. 已知a ，b ，c ，d 都是常数，d c b a >>,.若))((2019)(b x a x x f --+=的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是（ ）A. b d c a >>>B. b c d a >>>C. b a d c >>>D.d b a c >>>9. 已知函数2()(1)x f x e x =-+（e 为自然对数的底），则()f x 的大致图象是（ ）A B C D 10. 已知函数⎩⎨⎧>≤++-=-3,23,13)2()(2x a x a x a x f x ，）且（10≠>a a ，若)(x f 有最小值，则实数a 的取值范围（ ）A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛65,0B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛45,1C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛65,0⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃45,1D.()1,0⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃,45 11. 已知函数)(x f 的导函数)(x f '满足)()()ln (x f x f x x x <'+对⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,1e x 恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）A. )()1(2e f f >B. )()1(2e f f e > C. )()1(2e f f < D.)()1(e f ef <12. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+-+=0,120,3211)2()(2x a x a x a x x f x）且（1,0≠>a a在R 上单调递增，且函数)(x f y =与2+=x y 的图象恰有两个不同的交点，则实数a 的取值范围为（ ）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,25B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,37C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋃⎭⎬⎫⎩⎨⎧4,2537D.⎥⎦⎤⎝⎛⋃⎭⎬⎫⎩⎨⎧4,2537第II 卷 非选择题二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．若点(2,4)P 在幂函数()y f x =的图象上，则(3)f = .14．已知25≥x ，则4254)(2-+-=x x x x f 的最小值为 .15．若x xx x f x f 2log 23)1(3)(-+=+对),0(+∞∈x 恒成立，且存在[]4,20∈x ，使得m x f >)(0成立，则实数m 的取值范围为 .16． 定义：如果函数)(x f 在[]b a ,上存在)(,2121b x x a x x <<<满足a b a f b f x f --=')()()(1，ab a f b f x f --=')()()(2，则称函数)(x f 是[]b a ,上的“双中值函数”.已知函数a x x x f +-=23)(是[]a ，0上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围 .三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知0>a 且1≠a ，设:p 函数)3(log +=x y a 在），（∞+0上是减少的，:q 函数 1)32(2+-+=x a x y 的图像与x 轴交于不同的两点，如果p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围.18．已知函数)33(2)(,2)(2≤≤-+==x ax x x g x f x（1）若)(x g 在[]3,3-上是单调函数，求a 的取值范围； （2）当1-=a 时，函数[])(x g f y =的值域.19．如图，在四棱锥P ABCD ‐中，底面ABCD 为平行四边形，2,1,60,AB AD DAB PD BD ==∠==o ，且PD ABCD ⊥平面.（1）证明：PBC PBD ⊥平面平面；（2）若Q 为PC 的中点，求三棱锥D PBQ ‐的体积.20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过点(2,0)，且其中一个焦点的坐标为()1,0.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l ：1()x my m R =+∈与椭圆交于两点,A B ，在x 轴上是否存在点M ，使得MA MB ⋅为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数1ln )(+-=x x a x f （其中R a ∈）（1）讨论函数)(x f 的极值； （2）对任意)1(21)(,02-≤>a x f x 恒成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分。