2019-2020学年江西省抚州市临川二中高三（上）第一次月考数学试卷1（9月份）（含答案解析）

2019-2020学年江西省抚州市临川二中高三（上）期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合A={0,2}，B={x∈N|x<3}，则A∩B=()A. {2}B. {0,2}C. (0,2]D. [0,2]2.若复数z=1−2i2+i+2，则z在复平面内对应的点是()A. (2,1)B. (2,−1)C. (−2,1)D. (−2,−1)3.设函数f(x)=2f(1x)+1，则f(10)等于()A. 1B. −1C. 10D.4.下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是()A. y=e xB. y=tanxC. y=x3−xD. y=ln2+x2−x5.已知sinθ+cosθ=15，θ∈(0,π)，则tanθ=()A. −43B. 43C. −34D. 346.已知函数f(x)=2x+3，若f(a)=1，则a=()A. −2B. −1C. 1D. 27.设命题甲：关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立，命题乙：对数函数y=log(4−2a)x在(0,+∞)上递减，那么甲是乙的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.函数f(x)=sinxln(x+2)的图象可能是()A. B.C. D.9.设tan(α−β)=1,tan(β+π4)=2,则tanα等于()A. 1B. 2C. 3D. 510.设a=log43，b=log52，c=log85，则()A. a<b<cB. b<c<aC. b<a<cD. c<a<b11.若函数f(x)=sin(ωx+π6)−cosωx的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，则f(x)的一个单调增区间为()A. (−π6,π3) B. (−π3,π6) C. (π6,2π3) D. (π3,5π6)12.己知函数f(x)=lnx+1lnx，则下列结论中正确的是()A. 若x1，x2(x1<x2)是f(x)的极值点，则f(x)在区间(x1,x2)内是增函数B. 若x1，x2(x1<x2)是f(x)的极值点，则f(x)在区间(x1,x2)内是减函数C. ∀x>0，且x≠1，f(x)≥2D. ∃x0>0，f(x)在(x0,+∞)上是增函数二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.∫(12x2+3x)dx=________．14.已知向量a⃗=(1,−3)，b⃗ =(m,2)，若a⃗⊥(a⃗+b⃗ )，则m=______．15.曲线f(x)=e3x在点(0,1)处的切线方程为______ ．16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为BC中点，若A=π3且AD=3，则bc 的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=4cosx⋅sin(x−π6)−1．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若满足f(B)=0，a=2，且D是BC的中点，P是直线AB上的动点，求|CP|+|PD|的最小值．18.已知三棱锥P−ABC(如图1)的展开图如图2，其中四边形ABCD为边长等于√2的正方形，ΔABE和ΔBCF均为正三角形．(1)证明：平面PAC ⊥平面ABC;(2)若M 是PC 的中点，点N 在线 段PA 上，且满足PN =2NA ，求直线MN 与平面PAB 所成角的正弦值．19. 已知在等差数列{a n }中，a 1=4，a 8=25，b n =1a n a n+1(1)求a n 的通项公式；(2)设数列{b n }的前nZ 项和为T n ，证明：T n <112．20. 已知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F(0,1)，过点F 且斜率为k 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交圆F ：x 2+(y −1)2=1于M ，N 两点(A,M 两点相邻)． (Ⅰ)若BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，当λ∈[12,23]时，求k 的取值范围； (Ⅱ)过A ，B 两点分别作曲线C 的切线l 1，l 2，两切线交于点P ，求△AMP 与△BNP 面积之积的最小值．21.已知3f(x)+f(−x)=5x，求f(x)的解析式．22.[选修4−4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是{x=t,y=t2,(t为参数).以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρsin(θ−π4)=√2．求：(1)直线l的直角坐标方程；(2)直线l被曲线C截得的线段长．23.已知函数f(x)=|2x−1|+1．(1)解不等式f(x)≤6；(2)若存在实数n使f(n)+f(−n)≤m成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合A={0,2}，B={x∈N|x<3}={0,1，2}，则A∩B={0,2}．故选：B．根据交集的定义写出A∩B．本题考查了交集的定义与计算问题，是基础题．2.答案：B解析：【分析】本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属于简答题．【解答】解：z=1−2i2+i +2=(1−2i)(2−i)(2−i)(2+i)+2=2−i，所以在复平面上对应点为(2,−1)，故选B．3.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数的解析式，属于基础题．【解答】解：由f(x)=2f(1x )+1，得f(1x)=2f(x)+1，解得f(x)=−1，则f(10)=−1．故选B．4.答案：D解析：【分析】本题考查函数的奇偶性及单调性的判定，属于基础题目．【解答】解：A ，函数y =e x 为非奇非偶函数，故A 选项不符．B ，y =tanx 为奇函数，但不是定义域内的增函数，故B 选项不符．C ，y =x 3−x ，y′=3x 2−1，不能得出y′>0恒成立，所以该函数在其定义域内不是增函数 ，故C 选项不符．D ，y =ln 2+x2−x 为奇函数且为定义域内的增函数.故D 选项符合． 综上只有D 符合题意． 故选D ．5.答案：A解析：解：∵sinθ+cosθ=15，θ∈(0,π )， ∴(sinθ+cosθ)2=125=1+2sinθ cosθ， ∴sinθcosθ=−1225<0.由根与系数的关系知，sinθ，cosθ是方程x 2−15x −1225=0的两根，解方程得x 1=45，x 2=−35．∵sinθ>0，∴sinθ=45，cosθ=−35． ∴tanθ=−43，故选：A ．本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意三角函数的各象限的三角函数的符号，考查计算能力．6.答案：B解析： 【分析】本题考查函数值的求法，根据f(a)=1得到2a +3=1，即可求出答案，属于基础题． 【解答】解：函数f(x)=2x +3，若f(a)=1，则2a +3=1， 解得a =−1． 故选B ． 7.答案：B解析：解：若关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对一切x ∈R 恒成立，则判别式△<0，即4a2−4×4<0，所以a2−4<0，解得−2<a<2.即甲：−2<a<2．若对数函数y=log(4−2a)x在(0,+∞)上递减，则0<4−2a<1，解得32<a<2.即乙：32<a<2．所以甲是乙的必要不充分条件．故选：B．先求出命题甲和乙成立的等价条件，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用二次函数和对数函数的性质是解决本题的关键．8.答案：A解析：【分析】本题考查了由函数解析式判断函数图像，属于中档题．【解答】解：函数f(x)=sinxln(x+2)，x∈(−2,1)，f(x)>0，故排除C，D．且f(0)=0，故排除B，故选A．9.答案：B解析：因为tan(α+π4)=tan[(α−β)+(β+π4)]=tan(α−β)+tan(β+π4)1−tan(α−β)tan(β+π4)=1+21−1×2=−3，所以tan(α+π4)=tanα+tanπ4 1−tanαtanπ4=tanα+11−tanα=−3,解得tanα=2．10.答案：B解析：解：∵a=log43=lg3lg4=lg27lg64，c=log85=lg5lg8=lg25lg64；∴a>c；又log52<log5512=12，log85>log8812=12；∴c>b；∴a>c>b；∴b<c<a．故选：B．根据换底公式即可得出a=lg27lg64,c=lg25lg64，从而得出a>c，容易得出log52<12,log85>12，从而得出c>b，这样即可得出a，b，c的大小关系．考查对数的运算性质，以及对数的换底公式，对数函数的单调性．11.答案：A解析：解：f(x)=sin(ωx+π6)−cosωx=√32sinωx+12cosωx−cosωx=√32sinωx−12cosωx=sin(ωx−π6)，∵f(x)的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2， ∴函数的周期T =2×π2=π，即2πω=π，∴ω=2， 则f(x)=sin(2x −π6)，由2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，k ∈Z 解得：x ∈[−π6+kπ,π3+kπ]，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为[−π6+kπ,π3+kπ]，k ∈Z ， 当k =0时，增区间为(−π6,π3)，故选：A ．根据两角和差的正弦公式以及三角函数的辅助角公式化简f(x)，结合函数的性质求出函数的周期和ω，结合三角函数的单调性进行求解即可．本题主要考查三角函数的单调性的判断，利用两角和差的正弦公式将函数进行化简求出函数f(x)的解析式是解决本题的关键． 12.答案：D解析：解：∵f(x)=lnx +1lnx (x >0且x ≠1)， ∴f′(x)=1x −1x(lnx)2=0，∴x =e ，或x =1e当x ∈(0,1e )时，f′(x)>0，；当x ∈(1e ,1)，x ∈(1,e)时，f′(x)<0；当x ∈(e,+∞)时，f′(x)>0． 故x =1e 和x =e 分别是函数f(x)的极大值点和极小值点，而函数f(x)在(1e ,e)上单调递减，故A 、B 错误；当0<x <1时，lnx <0，f(x)<0，不满足不等式，故C 错误； 只要x 0≥e ，f(x)在(x 0,+∞)上时增函数，故D 正确． 故选：D ．求导数，可得(1e ,e)上函数单调递减，(0,1e )，(e,+∞)上函数单调递增，即可判断． 本题考查命题的真假判断，考查导数知识的运用，正确求导是关键．13.答案：136解析： 【分析】本题考查微积分基本定理，属于基础题． 根据微积分基本定理即可直接求解． 【解答】解：∫(102x 2+3x)dx =(2x 33+3x 22)|01=23+32=136．故答案为136．14.答案：−4解析：解：a ⃗ +b ⃗ =(m +1,−1)；∵a ⃗ ⊥(a ⃗ +b⃗ )； ∴a ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )=m +1+3=0； ∴m =−4． 故答案为：−4． 可求出a ⃗ +b ⃗ =(m +1,−1)，根据a ⃗ ⊥(a ⃗ +b ⃗ )即可得出a ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )=0，进行数量积的坐标运算即可求出m 的值．考查向量垂直的充要条件，以及向量加法和数量积的坐标运算． 15.答案：3x −y +1=0解析： 【分析】由导数的几何意义可知曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率k =f′(0)，从而可求切线方程 本题主要考查导数的几何意义：导数在某点的切线的斜率即为改点的导数值的应用，属于基本概念的简单应用． 【解答】解：∵f(x)=e 3x ， ∴f′(x)=3e 3x ， ∴f′(0)=3，∴曲线 f(x)=e 3x 在点(0,1)处的切线方程为y −1=3(x −0)，即3x −y +1=0． 故答案为3x −y +1=0． 16.答案：36解析：解：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点D 为BC 中点， 由于A =π3且AD =3，则：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )2， 整理得：9=14(a 2+b 2−2abcos π3)， 所以：36=(b 2+c 2−bc)≥2bc −bc =bc ，故：bc 的最大值为36． 故答案为：36直接利用AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )和向量的数量积的应用及基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．17.答案：解：(1)函数f(x)=4cosx⋅sin(x−π6)−1=4cosx(√32sinx−12cosx)−1=√3sin2x−cos2x−2 =2sin(2x−π6)−2；由于−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，解得−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z；所以f(x)的增区间为[kπ−π6,kπ+π3]，k∈Z；(2)由f(B)=2sin(2B−π6)−2=0得2B−π6=π2，所以B=π3；作C关于AB的对称点C′，连C′D，C′P，C′B，如图所示；(C′D)2=BD2+(BC′)2+BD⋅BC′=7；CP+PD=C′P+PD≥C′D=√7，C′，P，D三点共线时取得最小值√7．解析：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．(1)化函数f(x)为正弦型函数，根据正弦函数的单调性求出f(x)的增区间；(2)由题意求得B的值，作C关于AB的对称点C′，利用对称关系求得CP+PD的最小值．18.答案：解：(1)取AC的中点O，连接OP，OB，则有∵PA=PC且O为AC的中点，∴OP⊥AC；同理，OB⊥AC．∴AC⊥平面POB，则有∠POB为平面P−AC−B的平面角，又∵在△POB中，OP=OB=1，BP=√2，则有OP2+OB2=BP2，∴∠POB=90°∴平面PAC⊥平面ABC．(2)由(1)可知，OP⊥平面ABC，则有OP⊥OC，OP⊥OB ，又∵OB ⊥OC ，所以，建立如右图所示的空间直角坐标系．则有，OA =OB =OC =OP =1，∴A(−1,0，0)，B(0,1，0)，C(1,0，0)，P(0,0，1)，∵M 是PC 的中点，∴M(12,0,12)，又∵PN =2NA ，∴N(−23,0,13)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−76,0,−16) 设平面PAB 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则有{PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，∴n⃗ =(−1,1,1)， 设直线MN 与平面PAB 所成角为θ，sinθ=∣∣cos <MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >∣=∣∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⋅∣n ⃗⃗ ∣∣∣∣=√65． 故直线MN 与平面PAB 所成角的正弦值为√65．解析：此题是一道立体几何中档题，第一小题用几何法，证明面面垂直；第二小题用向量法更为方便．(1)利用线面垂直来证面面垂直；(2)利用向量法来求直线与平面所成的角。

2019-2020学年度临川二中高三第一次考试数学试卷（文科） 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.22ii +-＝（ ） A.3455i + B. 3455i -- C. 413i --D. 413i +【答案】B 【分析】根据复数的乘法运算法则计算即可.【详解】解：()()(2)2234342(2)2555i i i i i i i i +⋅+++===----⋅+-. 故答案选：B.【点睛】本题考查复数的乘法运算，属于基础题.2.已知集合{}2|4A x x =≤，{|12}B x x =≤≤，则A C B =()A. {|2}x x ≤-B. {2,1,0}--C. {|21}x x -≤<D.{|02}x x <<【答案】C【分析】先求出集合A ，然后根据补集的定义求出A C B .【详解】解：{}{}2|4|22A x x x x =≤=-≤≤，所以{}|21A C B x x =-≤<，故答案为：C.【点睛】本题考查集合补集的运算，属于基础题.3.下列函数中，即是单调函数又是奇函数的是（ ） A. 3log y x = B. 3xy =C. 12y x =D. 13y x =【答案】D根据对数函数的图象知y =log 3x 是非奇非偶函数；||3x y =是偶函数；12y x =是非奇非偶函数；y =x 3是奇函数，且在定义域R 上是奇函数，所以D 正确。

本题选择D 选项.4.如图，某组合体的主视图、侧视图均是正方形及其中位线，俯视图为正方形及其对角线，则此几何体的体积为()A. 8B. 83C. 4D. 6【答案】D 【分析】由三视图还原几何体，该几何体为组合体，是两个直三棱柱，直三棱柱的底面为等腰直角三角形，直角边长为2，高分别为1和2，再由棱柱体积公式求解． 【详解】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，是两个直三棱柱，直三棱柱的底面为等腰直角三角形，直角边长为2，高分别为1和2， 则此几何体的体积为V ＝122(12)62⨯⨯⨯+=． 故选：D ．【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原几何体，是中档题．5.已知tan 2α=-，其中α为三角形内角，则cos α=（）A. 55-255 D. 25【答案】A【分析】由tan 2α=-，可得sin 2cos αα=-，再结合22sin cos 1αα+=，联立方程可以求解cos α. 【详解】解：因为tan 2α=-，所以sin 2cos αα=-，又因为22sin cos 1αα+=，所以解得：25sin 5cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或25sin 5cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为α为三角形内角，所以25sin 5cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故答案为:A.【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，同时考查了学生的计算能力，属于基础题.6.将2cos 36x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象通过平移变换，得到一个奇函数的图像，则这个变换可以是( ). A. 左移3π个单位 B. 右移3π个单位 C. 左移π个单位 D. 右移π个单位 【答案】C分析：将函数的对称中心平移至原点即可得函数为奇函数. 详解：由2cos 36x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令πk π,k Z 362x π+=+∈.解得3k π,k Z x π=+∈.即对称中心为()3k π,0,?k Z π+∈. 只需将2cos 36x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭左移π个单位可得一个奇函数的图像， 故选C.点睛：本题主要考查了三角函数的中心对称性和函数的左右平移，属于中档题，难度不大.7.若直线2y x =与直线()210a a x y a --++=平行，则a =（） A. 1a =-B. 2a =C. 1a =-或2D. 1a =或2-【答案】B 【分析】因为两直线平行，所以斜率相等，从而求出a 的取值，再根据取值情况，检验是否重合. 【详解】解：因为直线2y x =与直线()210a a x y a --++=平行，所以22a a -=，解得：2a =或1a =-，检验：当1a =-时，两直线重合，不成立，所以2a =.故答案为：B.【点睛】本题考查直线平行的条件，解题的关键是检验重合的情况，属于基础题.8.已知中心在原点的双曲线渐近线方程为43y x =±，左焦点为（-10，0），则双曲线的方程为()A. 221916x y -=B. 2213664x y -=C. 221169x y -= D.2216436x y -= 【答案】B 【分析】根据题意，分析双曲线的焦点在x 轴上，又可知c ＝10，渐近线方程为43y x =±，所以可得ba＝43，进而可求得a 、b 的值，从而求出结果. 【详解】解：根据题意，要求双曲线的焦点为（﹣10，0），则其焦点在x 轴上，且c ＝10，设双曲线的方程为22x a﹣22y b ＝1，则有a 2+b 2＝c 2＝100，又由双曲线渐近线方程为y ＝±43x ，则有b a ＝43， 解可得：a ＝6，b ＝8，则要求双曲线的方程为：236x ﹣264y ＝1；故选：B ．点睛】本题考查由双曲线渐近线方程求双曲线方程，属于基础题．9.设函数()()122log ,0log ,0x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪>⎩若f(a)＞f(－a)，则实数a 的取值范围是( ) A. (－∞，－1)∪(0，1) B. (－∞，－1)∪(1，+∞) C. (－1，0)∪(0，1) D. (－1，0)∪(1，+∞)【答案】D分析：由分段函数的表达式知，需要对a 的正负进行分类讨论． 详解：由题意()()2120log log a f a f a a a >⎧⎪>-⇒⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩⇒01a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或01a a a<⎧⎪⎨->-⎪⎩ ⇒ 1a >或10a -<<.故选D.点睛：本题主要考查的是解分段函数不等式，做此类题根据变量的不同取值范围进行讨论，代入相应的解+析式求解.10.在半径为2的圆内随机取一点M ，则过点M 的所有弦的长度都大于2的概率为() A.34B. 34C.14D.434- 【答案】A 【分析】由勾股定理及几何概型中的面积型可得：点M 在以O 3点M 的所有弦的长度都大于22(3)π＝34，得解．【详解】解：如图，要使过点M 的所有弦都大于2，|OM |3 所以点M 在以O 3为半径的圆的内部，所以过点M 的所有弦的长度都大于22(3)π＝34， 故选：A ．【点睛】本题考查了几何概型中的面积型，属中档题．11.半径为2的球的内接三棱锥,23,P ABC PA PB PC AB AC BC -=====，则三棱锥的高为()A. 3233C. 2D. 3【答案】D 【分析】在三棱锥P ﹣ABC 中，过点p 作PM ⊥平面ABC 的垂足为M ，则球心O 在PM 所在直线上，在三角形PBO 中利用余弦定理可得∠BPM ，然后求出∠PBM ＝60°，进一步算出PM ． 【详解】解：三棱锥P ﹣ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝3AB ＝AC ＝BC ， 如图，过点p 作PM ⊥平面ABC 的垂足为M ，则 球O 的内接三棱锥P ﹣ABC 的球心O 在PM 所在直线上， ∵球O 的半径为2，∴OB ＝OP ＝2，∴由余弦定理得cos ∠BPM ＝222PB OP OB 2PB OP +-⋅＝32∴∠BPM ＝30°，∴在Rt △PMB 中，∠PBM ＝60°，∴PM ＝PB sin ∠PBM ＝3． 故选：D ．【点睛】本题考查了球的内接三棱锥问题，考查了空间想象能力与逻辑思维能力，属基础题．12.若函数321()(3)3x f x e x kx kx =--+只有一个极值点，则k 的取值范围为()A. (,)e -∞B. (0,]eC. (,2)-∞D. (0,2]【答案】B 【分析】利用函数求导函数 f ′（x ）＝e x （x ﹣2）﹣kx 2+2kx ＝（x ﹣2）（e x ﹣kx ），只有一个极值点时f ′（x ）＝0只有一个实数解，有e x ﹣kx ≥0，设新函数设u （x ）＝e x ，v （x ）＝kx ，等价转化数形结合法即可得出结论，【详解】解：函数f （x ）＝e x （x ﹣3）﹣13kx 3+kx 2只有一个极值点， f ′（x ）＝e x （x ﹣2）﹣kx 2+2kx ＝（x ﹣2）（e x ﹣kx ），若函数f （x ）＝e x （x ﹣3）﹣13kx 3+kx 2只有一个极值点，f ′（x ）＝0只有一个实数解， 则：e x ﹣kx ≥0，从而得到：e x≥kx，当k＝0 时，成立．当k≠0时，设u（x）＝e x，v（x）＝kx如图：当两函数相切时，k＝e，此时得到k的最大值，但k＜0时不成立．故k的取值范围为：（0，e]综上：k的取值范围为：[0，e]故选：B．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值点、考查了不等式问题的等价转化方法，数形结合法，考查了推理能力，属于中档题．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.下面程序框图中，已知0()xf x xe，则输出的结果是____________.【答案】2014e【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是什么．【详解】解：模拟程序框图的运行过程，如下；f'（x）＝（1+x）e x；输入f0（x）＝x•e x，i＝0，i＝1，f1（x）＝f'（x）＝（2+x）e x；i≤2012，是，i＝2，f2（x）＝1f'（x）＝（3+x）e x；i≤2012，是，i＝3，f3（x）＝2…；f'（x）＝（2011+x）e x；i≤2012，是，i＝2011，f2011（x）＝2010f'（x）＝（2012+x）e x；i≤2012，是，i＝2012，f2012（x）＝2011f'（x）＝（2013+x）e x；i≤2012，是，i＝2013，f2013（x）＝2012i≤2012，否，x=1，输出f2013（x）＝2014e.故选：2014e.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，通过归纳得出该程序运行后输出的结论，是基础题．14.设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为8，则+a b 的最小值为________. 【答案】4【详解】画出可行域（如图），因为，，所以，平移直线=0，经过点A （1，4）时，取得最大值,由=8得，=4，由均值定理得a+b=4.考点：单线性规划的应用，均值定理的应用.15.ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)cos cos 0a c B b A ++=，则B =______ 【答案】23π【分析】直接利用正弦定理进行边角的互换，然后利用三角函数辅助角公式化简，可求出B 的值． 【详解】解：（1）已知（a +2c ）cos B +b cos A ＝0． 则：（sin A +2sin C ）cos B +sin B cos A ＝0， 整理得：sin A cos B +cos A sin B +2sin C cos B ＝0， 即：sin C +2sin C cos B ＝0，因为C 为三角形的内角，所以sin C ≠0， 解得：cos B ＝﹣12， 由于：0＜B ＜π， 所以：B ＝23π． 【点睛】本题考查正弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，属于基础题.16.已知向量,a b rr 的夹角为,||24b π=r ，且对于任意的x ∈R ，都有||||b xa b a +≥-r r r r ，则||a =r_____【分析】对|b +x a r |≥|b ﹣a r|两边同时平方，然后化简为关于|a |r 的不等式，根据条件进一步得到|a |r ．【详解】解：∵向量a r ，b r的夹角为4π，|b r |＝2，|b r +x a r |≥|b ﹣a r |，∴2||b xa +r r ≥2||b a -r r ，∴222||0a x a x a a ++-r r r r …，由于其对任意的x ∈R 都成立，∴△＝()2228|a |4|a |a ||a |0--r r r r „，∴|a |=r【点睛】本题考查了平面向量的数量积及其运算，考查了计算能，属基础题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

江西省临川2020届高三数学上学期第一次联考试题文（扫描版）2019—2020届临川一中上学期第一次联合考试数学（文科）试卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卷相应位置）13、 14、 15、 16、三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (1)由，则，故数列为等比数列，首项为，公比为所以 .......6分(2)由，则.......12分18. (1)取的中点，连接，由，，故，又为，故，而，即，，又是边长为1的正三角形，则，，而面，故平面平面.......6分(2)由，则故，则，由故 .......12分19.由题可知在曲线上，所以有以下两种情况：当为切点时，由，得，即直线的斜率为，故直线的方程为，由，得，依题意，.......4分当不是切点时，设直线与曲线相切于点则①又②，则联立①②得，所以，故直线的方程为，由，得，依题意得，，得，综上，或 .......12分20. （1）由题可知，，故，而，则 ......4分（2）由题可知，则有4名女教师和2名男教师，设女教师为甲，乙，丙，丁，男教师为A，B，从中随机选取3名担任后勤保障工作，由于甲女一定入选，所以只需从剩下的5名老师中选取2名，基本事件有如下10种情况，（乙丙）（乙丁）（乙A）（乙B）（丙丁）（丙A）（丙B）（丁A）（丁B）（AB），其中恰有2女教师的有（乙A）（乙B）（丙A）（丙B）（丁A）（丁B）共6种情况，故......8分（3）由题可知，，，所以，而两组的选择互不影响，所以互为独立事件，故......12分21. （1）设，，由点都在椭圆上，故，则故直线的方程为 ......5分（2）由题可知，直线的斜率必存在，设直线的方程为，，则即①联立，则将其代入①得故的值为.......12分22. （1）由，，故又直线：，故......5分(2)由，故直线的标准参数方程为（为参数），将其代入曲线中，得，故......10分23. (1)由，则必是该方程的根，所以在上无解，即与在上无交点，而，故......5分(2) 由对恒成立，而，故，则在上恒成立，故只需在上面对恒成立即可，又，则只需对恒成立，则，故.....10分。

2019—2020届临川一中上学期第一次联合考试高三数学试题（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若21iz i-=+，则z z ⋅=（ ） A. -2 B. 2C.52D. 52-【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的性质可知2||z z z ⋅=，直接利用复数模的性质即可求解. 【详解】因为21iz i-=+， 所以|2|510|||1|22i z i -===+ 2105||42z z z ⋅===，故选C. 【点睛】本题主要考查了复数模的性质，共轭复数的性质，属于中档题.2.设集合{}2A x x a =>，{}32B x x a =<-，若A B =∅I，则a 的取值范围为（ ）A. ()1,2B. ()(),12,-∞⋃+∞C. []1,2D. (][),12,-∞+∞U【答案】D 【解析】 【分析】集合的交集运算即求两个集合的公共元素，A B =∅I 说明集合,A B 没有公共元素，借助于数轴列式计算．【详解】因为A B φ⋂=，所以232a a ≥-，解得1a ≤或2a ≥. 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力与推理论证能力.3.设,a b ∈R ，则“()20a b a ->”是“a b >”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分、必要条件的定义即可判断。

【详解】()20a b a ->，因为0a ≠，可推出a b >；a b >时，若0a =，则无法推出()20a b a ->，所以“()20a b a ->”是“a b >”的充分不必要条件，故选A 。

【点睛】本题主要考查分、必要条件的定义的应用。

4.若函数()ln f x ax x =-的图象上存在与直线240x y +-=垂直的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()2,-+∞ B. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. ()2,+∞【答案】D 【解析】 【分析】函数()ln f x ax x =-的图象上存在与直线240x y +-=垂直的切线,即()2f x '=有解，转化为12,0a x x=+>有解即可求出. 【详解】因为函数()ln f x ax x =-的图象上存在与直线240x y +-=垂直的切线， 所以函数()ln f x ax x =-的图象上存在斜率为2的切线， 故()12k f x a x'==-=有解， 所以12,0a x x =+>有解， 因为12,0y x x=+>的值域为(2,)+∞所以(2,)a ∈+∞.【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，方程有根的问题，转化思想，属于中档题.5.若0x >，0y <，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 222xyx -> B.()1222log 1x y x ->+ C. 221x y x ->+ D. 221x y x ->-【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质结合特殊值可得正确答案. 【详解】A 选项，取2,1x y ==-，不等式不成立； B 选项，0,0x y ><Q22,220x y x y ∴>->0,x >Q∴()12log 10x +<∴()1222log 1x yx ->+故B 正确；C 选项，取1,1x y ==-，不等式不成立，D 选项，当0x →， 21x →，11x -→，当0y <且0y →，21y →，所以220x y -→，而11x -→，所以不等式不成立.【点睛】本题主要考查了指数、对数函数性质，以及与不等式的交汇，属于中档题.6.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，51BC AC -=.根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）A.154- B. 358+-C. 514-D.45+ 【答案】C 【解析】 【分析】要求sin 234︒的值，需将角234︒用已知角表示出来，从而考虑用三角恒等变换公式解题．已知角有36︒，正五边形内角108︒，72ACB ∠=︒，已知三角函数值有1512cos72BCAC -︒==，所以234=272+90=144+90︒⨯︒︒︒︒，从而sin 234=cos144︒︒．【详解】由题可知72ACB ∠=︒，且1512cos724BCAC ︒==，251cos1442cos 721+︒=︒-=， 则()51sin 234sin 14490cos144+︒=︒+︒=︒=. 【点睛】本题考查三角恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力.7.若函数()()222,1log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，在(],a -∞上的最大值为4，则a 的取值范围为（ ）A. (]1,17B. (]1,9C. []1,17D. []1,9【答案】C 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合已知条件求解即可.【详解】因为函数()()222,1log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，(,1]x ∈-∞时，函数为增函数，(1,)x ∈+∞时，函数为增函数，且(1)4,(17)4f f == 所以[1,17]a ∈.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，函数的单调性以及函数的最值求法，属于中档题.8.将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是( ) A. 40 B. 60 C. 80 D. 100【答案】A 【解析】解：三个小球放入盒子是不对号入座的方法有2 种，由排列组合的知识可得，不同的放法总数是：36240C = 种.本题选择A 选项.9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是（ ）A. (3042]，B. (30,42)C. (42,56]D. (42,56)【答案】A 【解析】依次运行程序框图中的程序可得：第一次，0212,2S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第二次，2226,3S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第三次，62312,4S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第四次，122420,5S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第五次，202530,6S k =+⨯==，满足条件，继续运行；第六次，302642,7S k =+⨯==，不满足条件，停止运行，输出7． 故判断框内m 的取值范围为3042m <≤．选A ．10.已知1F ，2F 为椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，2121214BF BF F F ⋅≥uuu r uuu r uuu u r ，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. 1(0,]2B. 2(0,2C. 3(0,]3D. 1(,1)2【答案】C【解析】 【分析】用,,a b c 表示出21212,BF BF F F ⋅uuu r uuu r uuu u r ，解出不等式得出e 的范围. 【详解】由椭圆定义可知：12BF BF a ==，12OF OF c ==，则1sin cOBF e a∠==， 所以22121cos 12sin 12F BF OBF e ∠=-∠=-，因为2121214BF BF F F ⋅≥uuu r uuu r uuu u r ，即222(12)e a c -≥，22(12)e e -≥，即213e ≤.303e ∴<≤. 【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，平面向量的数量积运算，属于中档题.11.设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、直线6x π=围成的封闭图形的面积为b ，若()22ln 2g x x bx kx =--在[]1,+∞上的单调递减，则实数k 的取值范围是（ ）A. [)0,+∞B. ()0,∞+C. [)1,+∞ D. ()1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】由定积分可以求出b , ()22ln 2g x x bx kx =--在[]1,+∞上单调递减可转化为()0g x '≤在[]1,+∞上恒成立即可求解.【详解】由题意，6601cos sin 2|b xdx x ππ===⎰， 所以()22ln g x x x kx =--，因为()22ln g x x x kx =--在[]1,+∞上的单调递减，所以222()0x kx g x x--+'=≤在[]1,+∞上恒成立，即2()220h x x kx =--+≤在[]1,+∞上恒成立，只需14(1)0k h ⎧-≤⎪⎨⎪≤⎩，解得0k ≥.【点睛】本题主要考查了利用定积分求面积，函数的单调性与导数的关系，不等式的恒成立问题，属于中档题.12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122a a +=，123n n a S +=+，用[]x 表示不超过x 的最大整数，设[]n n b a =，数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则使22000n T >成立的最小正整数n 是（） A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】 【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 通项公式以及前n 项和n S ，利用二项式展开式化简[]n n b a =，求得2212211n n n n b b a a --+=+-，利用分组求和法求得数列{}n b 的前2n 项和2n T ，由此求得使22000n T >成立的最小正整数n 的值. 【详解】令1n =，得2123a a =+，又122a a +=，解得123a =，243a =，又123n n a S +=+，123n n a S -=+，所以12(2)n n a a n +=…，又212a a =，可求得23nn a =，()2213n n S =-.所以01111333(1)(1)2(31)333n n n n n n n n n n n C C C b ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅-⋅++⋅⋅-+--===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ， 即011211(1)C 3C 3C (1)3n n n n n n nnnb ----⎡⎤-=⋅-⋅++-+⎢⎥⎣⎦L ，所以2(1)(1)33n n n n b ⎡⎤---=+⎢⎥⎣⎦，即22,321,3n n n n b n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数，所以2212211n n n n b b a a --+=+-，因此()2222213nn n T S n n =-=--，当5n =时，1067T =；当6n =时，1227242000T =>.使22000n T >成立的最小正整数n 是6.故选B.【点睛】本题考查等比数列通项公式及前n 项和公式，考查分组求和法，考查推理论证能力和创新意识，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.912x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为______.【答案】212- 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式即可求出. 【详解】因为993rr 22+19911=()()22r rr r r r T C x x C x----=-， 令9302r-=，解得3r =， 所以展开式中常数项为3349121=()22T C -=-. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项公式，属于中档题.14.设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且712a a =-，则1197S Sa =+______.【答案】32【解析】 【分析】由712a a =-可得12a d =-，利用前n 项和公式及通项公式即可求解. 【详解】因为712a a =-， 所以120a d =-≠，111111011332S a d d ⨯=+=，91989182S a d d ⨯=+=，7164a a d d =+=， 所以11973331842S d S a d d ==++.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式与前n 项和公式，属于中档题.15.如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是______.2 【解析】 【分析】根据三视图画出空间图形的直观图，取AD 中点E ，连接BE ，PE ，CE ，将CD 平移到BE ，根据异面直线所成角的定义可知PBE ∠为异面直线PB 与CD 所成角，在直角三角形PBE ∆中，求出其正切值即可.【详解】作出直观图如图：取AD 中点E ，连接BE ，PE ，CE ， 因为CD //BE ，根据异面直线所成角的定义可知PBE ∠为异面直线PB 与CD 所成角， 由条件知，1,2,PE BE PE BE ==⊥，2tan 22PBE ∴∠==. 【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，空间图形的三视图，考查了空间想象能力、运算能力，属于中档题.16.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 是双曲线左支上的一点，若直线1AF 与直线by x a=平行且12AF F ∆的周长为9a ，则双曲线的离心率为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及三角形的周长可求出2111272||,||22a c a cAF AF --==，利用直线1AF 与直线by x a =平行知12cos a AF F c∠=，结合余弦定理即可求解. 【详解】由双曲线定义知21||||2AF AF a -=，又21||||92AF AF a c +=-解得2111272||,||22a c a cAF AF --==， 因为直线1AF 与直线by x a=平行， 所以12tan b AF F a ∠=，故12cos a AF F c∠=， 由余弦定理得：12cos a AF F c∠=222121||4||2||2AF c AF AF c +-=⋅即2211844144e e e e e-++=-，化简得2280e e +-=， 解得2e =或4e =-（舍去）.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，余弦定理，双曲线的离心率，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，已知()cos 4cos a B c b A =-. （1）求cos A 的值；（2）若4b =，点M 在线段BC 上，2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r，AM =uuu r ABC ∆的面积.【答案】（1）1cos 4A =；（2）【解析】 【分析】（1）由正弦定理将条件统一为三角函数，化简即可求解（2）2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r，两边平方可转化为关于c 的方程，求解代入三角形面积公式即可. 【详解】（1）∵()cos 4cos a B c b A =-，由正弦定理得：()sin cos 4sin sin cos A B C B A =-，即sin cos cos sin 4sin cos A B A B C A +=，即sin 4cos sin C A C =， 在ABC ∆中，sin 0C ≠，所以1cos 4A =.（2）2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r ，两边平方得：22224AB AC AB AC AM ++⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，由4b =，10AM =uuu r ，1cos 4A =，15sin A =得22124104c b c b ++⨯⨯⨯=⨯，可得216240c c ++=， 解得：4c =或6c =-（舍）， 所以ABC ∆的面积1sin 2152S bc A ==. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，向量数量积的性质，三角形面积公式，属于中档题.18.如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，6AB =，23BC =，26AC =，,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且2AD DB =，2CE EB =，PD AC ⊥.（1）求证：PD ⊥平面ABC ；（2）若PA 与平面ABC 所成的角为4π，求平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角.【答案】(1)证明见解析；(2)30°. 【解析】 试题分析：（1）由条件可得ABC ∆为直角三角形，且3cos ABC ∠=故由余弦定理可得22CD =所以222CD AD AC +=，从而CD AB ⊥，又由条件可得CD PD ⊥，故PD ⊥平面ABC ．（2）由,,PD CD AB 两两互相垂直可建立空间直角坐标系，结合条件可求得平面PAC 的法向量和平面DEP 的法向量，根据两法向量夹角的余弦值可得锐二面角的大小． 试题解析：（1）证明：连DE ，由题意知4,2AD BD ==． 222,AC BC AB +=Q90.ACB ∴∠=o∴cos 63BC ABC AB ∠=== 在BCD ∆中，由余弦定理得2222?· cos CD BC BD BC BD DBC ∴=+-∠412228.3=+-⨯⨯=CD ∴=222CD AD AC ∴+=,∴90CDA ∠=o , ∴CD AB ⊥,又因为PAB ABC ⊥平面平面， ∴,CD PAB ⊥平面 又PD ⊂PAB 平面，,CD PD ∴⊥又PD AC ⊥，=AC CD C ⋂， ∴PD ⊥平面ABC ．（2）由（1）知,,PD CD AB 两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，由PA 与平面ABC 所成的角为4π，知4PD =， 则()()()()0,4,0,22,0,0,0,2,0,0,0,4A C B P -∴()()()22,2,0,22,4,0,0,4,4CB AC PA =-==--u u u v u u u v u u u v因为2,2,AD DB CE EB ==//,DE AC ∴由（1）知,AC BC ⊥ PD ⊥平面ABC ， ∴ CB ⊥平面DEP∴()22,2,0CB =-u u u v为平面DEP 的一个法向量.设平面PAC 的法向量为(),,n x y z v=，则,,n AC n PA ⎧⊥⎨⊥⎩u u u u v v u u u v v ∴2240440x y y z ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩，令1z =，则2,1x y ==-，∴)2,1,1n =-v为平面PAC 的一个法向量.∴3cos ,2412||n CB n CB n CB ⋅===-⋅u u u v v u u u v vu u v u u u u v 故平面PAC 与平面PDE 3所以平面PAC 与平面PDE 的锐二面角为30o ． 点睛：（1）在建立空间直角坐标系后求平面的法向量时，首先要判断一下条件中是否有垂直于面的直线．若有，则可将直线的方向向量直接作为平面的法向量，以减少运算量．（2）求二面角的余弦值时，在求得两平面法向量夹角的余弦值后，要根据图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后再求出二面角的余弦值．19.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率2，一个长轴顶点在直线2y x =+上，若直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为1k ，直线OQ 的斜率为2k . （1）求该椭圆的方程. （2）若1214k k ⋅=-，试问OPQ ∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）OPQ ∆的面积为定值1. 【解析】 【分析】（1）根据离心率及长轴即可写出椭圆标准方程（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，求PQ ，点O 到直线y kx m =+的距离21md k =+，写出三角形面积，化简即可求证.【详解】由c e a ==，又由于0a b >>，一个长轴顶点在直线2y x =+上，可得：2a =，c =，1b =.（1）故此椭圆的方程为2214x y +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 联立椭圆的方程得：()222418440k x kmx m +++-=， 由()()222264441440k m k m ∆=-+->，可得2241m k <+， 则122841km x x k +=-+，21224441m x x k -⋅=+，12PQ x x=-=，又点O到直线y kx m=+的距离d=，122OPQS d PQ m∆=⋅⋅=，由于2121212121214y y x x mk kx x x x++⋅===-，可得：22421k m=-，故2212OPQS mm∆=⋅=，当直线PQ的斜率不存在时，可算得：1OPQS∆=，故OPQ∆的面积为定值1.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积公式，考查了学生的运算能力及推理能力，属于难题.20.抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着许多旅游景点.每年来抚州参观旅游的人数不胜数.其中，名人园与梦岛被称为抚州的两张名片，为合理配置旅游资源，现对已游览名人园景点的游客进行随机问卷调查.若不去梦岛记1分，若继续去梦岛记2分.每位游客去梦岛的概率均为23，且游客之间的选择意愿相互独立.（1）从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为m A，求数列{}m A的前6项和；（3）在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为n B，探讨n B与1n B-之间的关系，并求数列{}n B的通项公式.【答案】（1）详见解析；（2）364729；（3）1213n nB B-=-+；322553nnB⎛⎫=+⋅-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）根据n 次独立重复试验模型可求解（2）总分恰为m 的概率13mm A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求前6项和即可（3）已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ，得不到n 分的情况只有先得1n -分，再得2分，概率为123n B -，可得递推关系1213n n B B -=-+，构造等比数列求解即可. 【详解】（1）X 可能取值为3，4，5，6()3113327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()21321643327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()223211253327P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3286327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， 故其分布列为()5E X =.（2）总分恰为m 的概率13mm A ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故6611(1)36433172913S -==-.（3）已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ，得不到n 分的情况只有先得1n -分，再得2分，概率为123n B -，而113B =， 故1213n n B B --=，即1213n n B B -=-+，可得1323535n n B B -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，134515B -=-， 所以13425153n n B -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭可得322553nn B ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了n 次独立重复试验，分布列、期望，等比数列求和，由递推关系式求通项公式，属于难题.21.已知函数()()()22112ln 1ln 242f x x x ax x x =----. （1）讨论()f x 的单调性.（2）试问是否存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析；(2) 存在；a 的取值范围为(]2,e . 【解析】 【分析】（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞，所以()0f x '=得12,x a x e ==，所以通过对a 与0,e 的大小关系进行分类讨论得()f x 的单调性；(2)假设存在满足题意的a 的值，由题意需()min 13sin 44a f x π>+，所以由(1)的单调性求()min f x 即可；又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，所以可以考虑从区间[)1,+∞内任取一个x 值代入，解出a 的取值范围，从而将(],a e ∈-∞的范围缩小减少讨论.【详解】解：（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞. 当a e =时，()()()ln 10f x x e x '=--≥，()f x 在()0,∞+上单调递增当0a ≤时，0x a ->，()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增 当0a e <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在()0,a ，(),e +∞上单调递增； 当a e >时，()f x 在(),e a 上单调递减，在()0,e ，(),a +∞上单调递增.（2）假设存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立. 则()31123sin 444a f a π=->+，即8sin1504a a π-->， 设()8sin 154xg x x π=--，则存在(],x e ∈-∞，使得()0g x >， 因为()8cos044xg x ππ='->，所以()g x 在(],x e ∈-∞上单调递增， 因为()20g =，所以()0g x >时2x >即2a >. 又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立时，需()min 13sin 44a f x π>+， 所以由（1）得：当a e =时，()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()min 331=2=244f x f a e =--， 且3123sin 444e e π->+成立，从而a e =满足题意. 当2e a <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在[)1,a ，(),e +∞上单调递增，所以()()2113sin ,4413sin ,444a f e a f e ea ππ⎧>+⎪⎪⎨⎪=->+⎪⎩所以22,4sin 1204a a ea e π>⎧⎪⎨--->⎪⎩（*） 设()()24sin 1242xh x ex e x e π=---<<，()4cos044xh x e ππ=-'>，则()h x 在()2,e 上单调递增，因为()228130h e e =-->，所以()h x 的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为()2,+∞， 所以2x e <<即2e a <<.综上，存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，且a 的取值范围为(]2,e .【点睛】求可导函数()f x 的单调区间的一般步骤是：（1）求定义域；（2）求()f x '；（3）讨论()f x '的零点是否存在；若()f x '的零点有多个，需讨论它们的大小关系及是否在定义域内；（4）判断()f x '在每个区间内的正负号，得()f x 的单调区间.当()f x a >在区间D 上恒成立时，需()min f x a >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（[0,2),απα∈为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换'2,'x x y y=⎧⎨=⎩得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ρ为极径，θ为极角）．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线1C 的极坐标方程；（Ⅱ）若射线():0OA θβρ=>与曲线1C 交于点A ，射线():02OB πθβρ=+>与曲线1C 交于点B ，求2211OAOB +的值． 【答案】（Ⅰ）224x y +=，2222416cos sin ρθρθ+=；（Ⅱ）516. 【解析】【分析】 （Ⅰ）消去参数，求得曲线C 的直角方程为224x y +=，再根据图象的变换公式，即可求解曲线1C 的方程，进而得到其极坐标方程；（Ⅱ）将()0θβρ=>代入2222416cos sin ρθρθ+=，根据极坐标中极经的几何意义，即可求解。

2018-2019学年度临川二中高三第一次月考试卷（理科）第I 卷一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．设全集U =R ，集合{}2log 2A x x =≤，()(){}310B x x x =-+≥，则()U C B A I（ ）A ．(],1-∞-B ．(](),10,3-∞-UC ．(]0,3D ．()0,3 2．设，则｜z ｜＝（ ） A ．5 B ．C ．5D ．53．已知变量x ，y 满足约束条件5021010x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩………，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A.7B.8C.9D.104．设2018log 2019a =，2019log 2018b =，120192018c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）． A ．c b a >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >>5．某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买x 吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为4x 万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量x 为（ ） A.20 B.23 C.25 D.28 6．已知()()21πsin ,42f x x x f x ⎛⎫=++ ⎪'⎝⎭为()f x 的导函数,则()f x '的图象是（ ） A ．B ．C ．D ．7．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A ．410190-B ．5101900- C ．510990- D ．4109900-8．已知()()tan ,1,1,2a b θ=-=-r r ，其中θ为锐角，若a b +rr 与a b -r r 夹角为90o ，则212sin cos cos θθθ=+（ ）A ．1B ．1-C ．5D ．159．在二项式26()2a x x+的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线2y x =和圆22x y a +=及x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）A ．146π+B ．146π- C ．4π D ．1610．曲线214y x =+-与直线:(2)4l y k x =-+有两个不同的交点，实数k 的范围是（ ） A ．(512，+∞） B ．(512，3]4C ．(0，512) D ．(13，3]411．已知椭圆22143x y +=的右焦点F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，则过F 作倾斜角为60︒的直线分别交抛物线于,A B （A 在x 轴上方）两点，则||||AF BF 的值为（ ） A ．3B ．2C ．3D ．412．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()22f x xf x x '>+，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋的解集为( )A ．(),2016-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2018-∞-D ．()2016,0-第II 卷（非选择题; 共90分)二、填空题（本题共4小题，每小题5分）13．已知函数f (x )＝22,010x x log x x ⎧≤⎨->⎩，，则f (f (－2))＝________.14．已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，n *∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意n *∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则()()149161234lg lg b b b b b b b b =_________.15．给出下列四个命题：①“若0x 为()=y f x 的极值点，则()0'0f x =”的逆命题为真命题；②“平面向量a r ,b r的夹角是钝角”的充分不必要条件是•0a b <r r ；③若命题1:01p x >-，则1:01p x ⌝≤-； ④命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x ++≥”. 其中正确的是_________.16．如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为3和1，球心距离128OO =,截面分别与球1O ，球2O 切于点E ，F ，（E ，F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．三、解答题（共70分，第17-21题为必考题，每题12分，第22、23题为选考题） （一）必考题：共60分17．（本小题满分12分）已知，，分别是的内角，，所对的边，.（1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值.18．（本小题满分12分）甲、乙两位同学进入新华书店购买数学课外阅读书籍，经过筛选后，他们都对,,A B C 三种书籍有购买意向，已知甲同学购买书籍,,A B C 的概率分别为311,,423,乙同学购买书籍,,A B C 的概率分别为211,,322,假设甲、乙是否购买,,A B C 三种书籍相互独立.（1）求甲同学购买3种书籍的概率；（2）设甲、乙同学购买2种书籍的人数为X ,求X 的概率分布列和数学期望.19．（本小题满分12分）如图，在多面体中，四边形为矩形，直线与平面所成的角为，，，，.（1）求证：直线平面； （2）点在线段上，且23=CG ，求二面角的余弦值.20．（本小题满分12分）设函数21()ln .2f x x ax bx =-- (1)令21()()(03)2aF x f x ax bx x x=+++<≤其图象上任意一点P(x 0，y 0)处切线的斜率18≤k 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当0a b ==时，令1()(),()H x f x G x mx x=-=，若()H x 与()G x 的图象有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ,求证：2122x x e >.21．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，其短轴的端点分别为,,||2A B AB =，且直线,AM BM 分别与椭圆C 交于,E F 两点，其中点1,2M m ⎛⎫⎪⎝⎭，满足0m ≠且3m ≠±.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若BME ∆面积是AMF ∆面积的5倍，求实数m 的值. （二）选考题：共10分，请在第22、23题中任选一题作答22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos 3ρρθ-=. （Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与圆C 交于,A B 两点，点(1,2)P ，求||||PA PB ⋅的值. 23．设函数()=2.f x x a a -+(1) 若不等式()2f x ≤解集为{}80x x -≤≤,求实数a 的值;(2)在(1)的条件下,若不等式2()(1)3f x k x ≤--解集非空,求实数k 的取值范围.。

2019－2020届临川一中上学期第一次联合考试高三数学试题（理）命题人：曾冬平 唐梦静 审题人：张文军一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若21i z i-=+，则=⋅z z （ ） A.－2 B. 2 C. 52 D. －522．设集合{}{}2|2|3A x x a B x x a =>=<-，，若B A ⋂为空集，则实数a 的取值范围为（ ） A. (12)， B.(2)(1∞⋃+-∞，，） C. [12]， D. (1][2∞⋃+-∞，，） 3． 设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2＞0”是“a ＞b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．若函数x ax x f ln )(-=的图象上存在与直线042=-+y x 垂直的切线，则实数a 的取值范围是（ ）A.(),2-+∞B.),21(+∞ C.(),21-+∞ D.),2(+∞5．若00x y ><，，则下列不等式一定成立的是（ ）A. 222x y x ->B. 1222(1)x y log x ->+C. x y x +>-122D. x y x ->-122 6． 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.” 黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形). 例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，BC AC 根据这些信息，可得= 216cos （ ）A. 48+-B. 14-C. 38+-D.14- 7．若函数⎩⎨⎧>-≤+=1),1(log 1,22)(2x x x x f x ，在(]a -∞，上的最大值为4，则a 的取值范围为（ ）A. (]17,1B. (]9,1C.[]17,1D. []9,18．将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是( )A.40B.60C.80D.1009．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是( )A ．(30，42]B ．(30，42)C ．(42，56]D ．(42，56)10．已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点， BF 1―→·BF 2―→≥14F 1F 2―→2，则椭圆的离心率的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，22 C.⎝⎛⎦⎤0，33 D.⎝⎛⎭⎫12，111．设曲线y ＝cos x 与x 轴、y 轴、直线x ＝π6围成的封闭图形的面积为b ，若g (x )＝2ln x －2bx 2－kx 在[1，＋∞]上的单调递减，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[1，＋∞)D ． (1，＋∞)12．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足221=+a a ，321+=+n n S a ，用][x 表示不超过x 的最大整数，设][n n a b =，数列{}n b 的前n 2项和为n T 2，则使20192>n T 成立的最小正整数n 是（ ）A.5B.6C.7D.8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．921⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中的常数项为 14．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且172a a -=，则=+7911a S S . 15．如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是16．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F ，，点A 是双曲线左支上的一点，若直线1AF 与直线x ab y =平行且21F AF △的周长为a 9，则双曲线的离心率为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17．△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，已知a cos B ＝(4c －b )cos A ．（1）求cos A 的值；（2）若b ＝4，点M 在线段BC 上，AB →＋AC →＝2AM →，|AM →|＝10，求△ABC 的面积．18．如图，在三棱锥P -ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，AB ＝6，BC ＝23，AC ＝26，D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且AD ＝2DB ，CE ＝2EB ，PD ⊥AC ．(1)求证：PD ⊥平面ABC ；(2)若直线PA 与平面ABC 所成的角为45°，求平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角大小．19．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率23，一个长轴顶点在直线2+=x y 上，若直线l 与椭圆交于Q P ，两点，O为坐标原点，直线OP的斜率为1k，直线OQ的斜率为2k．（1）求该椭圆的方程.（2）若k1·k2＝－14，试问OPQ△的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请理说明由．20．抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着许多旅游景点．每年来抚州参观旅游的人数不胜数．其中，名人园与梦岛被称为抚州的两张名片，为合理配置旅游资源，现对已游览名人园景点的游客进行随机问卷调查．若不去梦岛记1分，若继续去梦岛记2分．每位游客去梦岛的概率均为23，且游客之间的选择意愿相互独立．（1）从游客中随机抽取3人,记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为A m，求数列{A m}的前6项和；（3）在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为B n，探讨B n与B n-1之间的关系，并求数列{B n}的通项公式．21. 已知函数2211()21)((2)42f x x lnx ax lnx x =----. （1）讨论f (x )的单调性.（2）试问是否存在(]a e ∈-∞，，使得1()3sin 44a f x π>+，对1)[x ∈+∞，恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．[选修4—4：坐标系与参数方程] (10分) 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos y x （[0,2),απα∈为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换'2'x x y y=⎧⎨=⎩，得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ρ为极径，θ为极角）．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线C 1的极坐标方程；（Ⅱ）若射线():0OA θβρ=>与曲线C 1交于点A ，射线():02OB πθβρ=+>与曲线C 1交于点B ，求2211OAOB +的值．23．[选修4—5：不等式选讲] (10分) 已知函数21()|||1|(0)a f x x x a a+=-+->，g()4|1|x x =-+．（Ⅰ）当1a =时，求不等式5)(≥x f 的解集； （Ⅱ）若关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集包含[]1,2，求a 的取值集合．。

2019－2020届临川一中上学期第一次联合考试高三数学试题(理)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若21iz i-=+则z z ⋅= A.－2 B.2 C.52 D.－522.设集合2{},{32}A x x a B x x a =>=<-，若AB 为空集，则实数a 的取值范围为A.(1，2)B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.[1，2]D.(－∞，1]∪[2，＋∞) 3.设a ，b ∈R ，则“(a －b)a 2>0”是“a>b ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.若函数f(x)＝ax －lnx 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是 A. (－2，＋∞) B. (12，＋∞) C. (－12，＋∞) D. (2，＋∞) 5.若x>0，y<0，则下列不等式一定成立的是A.2x －2y >x 2B.()12221x y log x ->+ C. 2x －2y >1＋x D. 2x －2y >1－x17.世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割。

如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。

”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为360的等腰三角形(另一种是顶角为1080的等腰三角形)。

例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中，512BC AC -=。

根据这些信息，可得cos2160＝A.458+-B.154+- C.358+- D.1254-7.若函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，在(－∞，a]上的最大值为4，则a 的取值范围为A. (1，17]B. (1，9]C.[1，17]D. [1，9]8.将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是 A.40 B.60 C.80 D.1009.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是A.(30，42]B.(30，42)C.(42，56]D.(42，56)10.已知F 1，F 2为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点， B 为椭圆短轴的一个端点，2121214BF BF F F ⋅≥，则椭圆的离心率的取值范围为 A.[0，12] B.[0，22] C. [0，33] D. [12，1]11.设曲线y ＝cosx 与x 轴、y 轴、直线6x π=围成的封闭图形的面积为b ，若g(x)＝2lnx －2bx 2－kx 在[1，＋∞]上的单调递减，则实数k 的取值范围是 A.[0，＋∞) B.(0.＋∞) C.[1，＋∞) D.(1，＋∞) 12.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＋a 2＝2，123n n a S +=+，用[x]表示不超过x 的最大整数，设b n ＝[a n ]，数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则使T 2n >2019成立的最小正整数n 是 A.5 B.6 C.7 D.8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

江西省抚州市2019-2020年度数学高三上学期理数期中考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2019高一上·大连月考) 若集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）函数y=f(x)为定义在R上的减函数，函数y=f(x-1)的图像关于点（1,0）对称， x,y满足不等式， M(1,2),N(x,y)，O为坐标原点，则当时，的取值范围为（）A .B . [0,3]C . [3,12]D . [0,12]3. （2分）函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把y=f(x)的图象上所有点（）A . 向右平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向左平移个单位长度4. （2分） (2017高二下·赣州期末) 设函数f（x）=log x+x﹣a，则“a∈（1，5）”是“函数f（x）在（2，8）上存在零点”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要5. （2分）设等差数列{an}的前n项为Sn ，已知a1=﹣11，a3+a7=﹣6，当Sn取最小值时，n=（）A . 5B . 6C . 7D . 86. （2分）已知，则（）A . 2B . 3C . 4D . 57. （2分）(2020·榆林模拟) 关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取.则三人中被录取的是（）A . 甲B . 丙C . 甲与丙D . 甲与乙8. （2分）将函数f（x）=sin2xcos2x+ 的图象上所有点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平行移动个单位长度得函数g（x）图象，则以下说法正确的是（）A . 函数g（x）在区间上单调递增B . 函数f（x）与g（x）的最小正周期均为πC . 函数g（x）在区间上的最大值为D . 函数g（x）的对称中心为（K∈Z）二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分）(2018·江苏) 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的的值为________.10. （1分） (2016高二上·银川期中) 设a、b是实数，且a+b=3，则2a+2b的最小值是________．11. （1分） (2019高一上·南阳月考) 已知函数，，若函数与的图像有两个不同交点，则实数取值范围是________．12. （1分）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（1）T={f（x）|x∈S}；（2）对任意x1 ，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2）．那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下4对集合：①S={0，1，2}，T={2，3}；②S=N，T=N*；③S={x|﹣1＜x＜3}，T={x|﹣8＜x＜10}；④S={x|0＜x＜1}，T=R．其中，“保序同构”的集合对的序号是________ （写出所有“保序同构”的集合对的序号）．13. （1分） (2019高一上·长春月考) ，则 ________.14. （1分）已知常数a是正整数，集合A={x||x﹣a|＜a+ ，x∈Z}，B={x||x|＜2a，x∈Z}，则集合A∪B 中所有元素之和为________．三、解答题 (共6题；共55分)15. （5分）(2017·邹平模拟) 已知数列{an}，{bn}满足，，其中n∈N+ ．（I）求证：数列{bn}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；（II）设，求数列{cncn+2}的前n项和为Tn ．16. （5分） (2017高二下·红桥期末) 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中x∈R，A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示（Ⅰ）求A，ω，φ的值；（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．17. （10分） (2019高一下·黄山期中) 如图，在凸四边形中，，为定点，，，为动点，满足．（1）求证：；（2）设和的面积分别为和，求的最大值．18. （10分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过原点，且f（x）在x=﹣1，x=3处取得极值．（1）求函数f（x）的单调区间及极值；（2）若函数y=f（x）与y=m的图象有且仅有一个公共点，求实数m的取值范围．19. （15分）已知函数f（x）=ln（1+x）﹣（a＞0）（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）若f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：（e为自然对数的底数）．20. （10分）在等差数列中，，前项和满足条件，（1）求数列的通项公式和；（2）记，求数列的前项和 .参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共55分)15-1、16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、。

2019－2020届临川一中上学期第一次联合考试数学答案（理）二、填空题13．－221 14．2315．16．2三、解答题17．解（1）∵a cos B ＝(4c －b )cos A ，由正弦定理得：sin A cos B ＝(4sin C －sin B )cos A ，…………2分即sin A cos B ＋cos A sin B ＝4sin C cos A ，即sin C ＝4 cos A sin C ，…………4分在中，，所以cos A ＝41…………………………5分（2）→AB ＋→AC ＝2→AM，两边平方得：……6分由b ＝4，|→AM |＝，cos A ＝41得c 2＋b 2＋2×c ×b ×41＝4×10， (8)分可得c 2＋16＋2c ＝40……………………10分解得：c ＝4或c ＝－6（舍） ………………11分所以△ABC 的面积s ＝21bc sin A ＝2 ………………12分18．解：(1)证明：∵AC ＝2，BC ＝2，AB ＝6，∴AC 2＋BC 2＝AB 2， ∴∠ACB ＝90°，∴cos ∠ABC ＝63＝33.又易知BD ＝2， ∴CD 2＝22＋(2)2－2×2×2cos ∠ABC ＝8， ∴CD ＝2，又AD ＝4， ∴CD 2＋AD 2＝AC 2， ∴CD ⊥AB .∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，CD ⊂平面ABC ， ∴CD ⊥平面PAB ，又PD ⊂平面PAB ，∴CD ⊥PD ，∵PD ⊥AC ，AC ∩CD ＝C ，∴PD ⊥平面ABC .……………………5分 (2)由(1)知PD ，CD ，AB 两两互相垂直， ∴可建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，∵直线PA 与平面ABC 所成的角为45°，即∠PAD ＝45°， ∴PD ＝AD ＝4，则A (0，－4,0)，C (2，0,0)，B (0,2,0)，P (0,0,4)，∴―→CB ＝(－2，2,0)，―→AC ＝(2，4,0)，―→PA＝(0，－4，－4)． ∵AD ＝2DB ，CE ＝2EB ， ∴DE ∥AC ，由(1)知AC ⊥BC ， ∴DE ⊥BC ，又PD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PD ⊥BC ， ∵PD ∩DE ＝D ， ∴CB ⊥平面PDE ，∴―→CB＝(－2，2,0)为平面PDE 的一个法向量． 设平面PAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则―→AC ―→PA ＝0，PA 即－4y －4z ＝0，2x ＋4y ＝0，令z ＝1，得x ＝，y ＝－1， ∴n ＝(，－1,1)为平面PAC 的一个法向量． ∴cos<n ，―→CB >＝12－4－2＝－23，∴平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角的余弦值为23，故平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角为30°.……………………12分19．解：由e ＝a c ＝23，又由于a ＞b ＞0，一个长轴顶点在直线y ＝x ＋2上，可得：a ＝2，c ＝，b ＝1（1）故此椭圆的方程为4x2＋y 2＝1………………5分（2）设P (x 1，y 1)，Q (x 1，y 1)，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m 联立椭圆的方程得： (4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0由△＝64k 2m 2－4(4k 2＋1)( 4m 2－4)＞0，可得m 2＜4k 2＋1则x 1＋x 2＝－4k2＋18km ，x 1·x 2＝4k2＋14m2－4|PQ |＝·|x 1－x 2|＝·＝4·4k2＋14k2－m2＋1又点O 到直线y ＝kx ＋m 的距离d ＝k2＋1|m|S △OPQ ＝21·d ·|PQ |＝2|m |·4k2＋14k2－m2＋1由于k 1·k 2＝x1x2y1y2＝x1x2x1＋x2＋m2＝－ 41，可得：4k 2＝2m 2－1 故S △OPQ ＝2|m |·2m22m2－1－m2＋1＝1当直线PQ 的斜率不存在时，可算得：S △OPQ ＝1故△OPQ 的面积为定值1……………………12分20．（1）X 可能取值为3，4，5，6P (X ＝3)＝(31)3 ＝271P (X ＝4)＝C 31 (32)(31)2＝276…………1分 P (X ＝5)＝C 32 (32)2(31) ＝2712 P (X ＝6)＝ (32)3 ＝278…………2分E (X )＝5………………4分（2）①总分恰为m 的概率A m ＝(31)m ……………………6分 故S 6＝31＝729364……………………8分②已调查过的累计得分恰为n 分的概率为B n ，得不到n 分的情况只有先得n －1分，再得2分，概率为32B n －1，而B 1＝31…………9分 故1－B n ＝32B n －1，即B n ＝－32B n －1＋1…………10分 可得B n －53＝－32( B n －1－53)，B 1－53＝－154…………11分可得B n ＝53＋52·(－32)n ……………………12分21．解：（1）f / (x )＝x ln x －a ln x ＋a －x ＝(x －a )(ln x －1)，x ∈(0，＋∞)………………1分 ①当a ＝e 时，f / (x ) ＝(x －e )(ln x －1)≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增…………2分②当a ≤0时，x －a ＞0，f (x )在(0，e ) 上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增…………3分 ③当0＜a ＜e 时， f (x )在(a ，e ) 上单调递减，在(0，a )，(e ，＋∞)上单调递增…………4分 ④当a ＞e 时， f (x )在(e ，a ) 上单调递减，在(0，e )，(e ，＋∞)上单调递增…………6分（2）假设存在a ∈(－∞，e ]，使得f (x )＞3＋41sin 4aπ对任意x ∈[1，＋∞)恒成立 则f (1)＝2a －43＞3＋41sin 4aπ，即8a －sin 4aπ－15＞0…………7分 设g (x )＝8x －sin 4πx －15，g / (x )＝8－4πcos 4πx＞0，则g (x )单调递增由于g (2)＝0，所以a ＞2①当a ＝e 时，f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)，所以a ＞2， 从而a ＝e 满足题意…………8分②当2＜a ＜e 时， f (x )在(a ，e ) 上单调递减，在(0，a )，(e ，＋∞)上单调递增所以414aπ414aπ4aπ，可4aπ－e2－12＞0aπ（1）…………9分设h (x )＝4ex －sin 4πx －e 2－12，h /(x )＝4e －4πcos 4πx＞0，则h (x )是单调递增函数…………10分由于h (2)＝8e －e 2－13＞0可得h (x )的零点小于2，从而不等式组（1）的解集为(2，＋∞) 所以2＜a ＜e …………11分综上，存在a ∈(－∞，e ]，使得f (x ) ＞3＋41sin 4aπ对x ∈[1，＋∞]恒成立，且a 的取值范围是(2，e ] …………12分 22．(1)C ：x 2＋y 2＝1，曲线C 1：y/＝sinαx/＝2cosα，得x /2＋4y /2＝4…………2分即ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝4………………5分（2）ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝4θ＝β，有ρ21＝4cos2θ＋sin 2θ…………7分 ∴|OA|21＝4cos2θ＋sin 2θ，…………8分同理|OB|21＝2＋sin 2(θ＋2π)＝4sin2θ＋cos 2θ…………9分故|OA|21＋|OB|21＝45………………10分23．（1）f (x )＝|x －2|＋|x －1|≥5可解得x ∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)…………5他（2）由|x －a a2＋1|＋|x －1|≤4－|x ＋1|在[1，2]上恒成立，由于a ＞0，可得a a2＋1≥2…………6分等价于a a2＋1－x ＋x －1≤4－x －1在[1，2]上恒成立…………7分即a a2＋1≤4－x 在[1，2]上恒成立，…………8分 即a a2＋1≤2，可得a ＝1，…………9分故a 的取值集合为{1}…………10分。

2019-2020学年江西省抚州市临川一中、临川一中实验学校高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A ＝{x|x 2−4x >0}，B ＝{x|x 2−4≤0}，则A ∩B ＝（ ） A.[−2, 0] B.(−∞, 0) C.[−2, 0) D.[−4, 4] 【答案】 C【考点】 交集及其运算 【解析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【解答】A ＝{x|x <0或x >4}，B ＝{x|−2≤x ≤2}， ∴ A ∩B ＝[−2, 0)．2. 已知角α终边上一点M 的坐标为(1,√3)，则sin2α＝（ ） A.−12B.12C.−√32D.√32【答案】 D【考点】二倍角的三角函数 任意角的三角函数 【解析】由已知利用任意角的三角函数的定义求得sinα、cosα的值，再由倍角公式求解． 【解答】由角α终边上一点M 的坐标为(1,√3)， 得r =√1+(√3)2=2， ∴ sinα=√32，cosα=12，故sin2α=2sinαcosα=√32，3. 已知α∈(−π2,0),sin(π−2α)=−12，则sinα−cosα＝（ ） A.√52B.−√52C.√62D.−√62【答案】 D【考点】两角和与差的三角函数 【解析】利用诱导公式以及二倍角公式转化求解即可． 【解答】因为sin(π−2α)=−12，所以sin2α=−12，2sinαcosα=−12， 所以(sinα−cosα)2＝1−2sinαcosα=32， 又α∈(−π2,0)，所以sinα<cosα，sinα−cosα=−√62．4. 函数f(x)=(22x +1−1)sinx 在[−2, 2]上的图象大致是（ ） A.B.C.D.【答案】 A【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】根据条件判断函数的奇偶性，结合x ＝1时，函数值的对应性，利用排除法进行判断即可． 【解答】因为f(−x)=(22−x +1−1)sin(−x)=−(2⋅2x1+2x −1)sinx =(22x +1−1)sinx =f(x)，所以函数f(x)是偶函数，图象关于y 轴对称，排除C ，D ， 又当x ＝1时，f(1)=−13sin1<0，排除B ，5. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0 ，则z ＝x +2y 的最小值是（ ）A.−8B.−6C.−3D.3【答案】 B【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式组对应的平面区域，设z ＝x +2y 得y =−12x +12z ，利用数形结合即可的得到结论． 【解答】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示， 易求得A(1, 1)，B(−2, −2)，C(−5, 1)，z ＝x +2y ，则y =−12x +12z ，当直线y =−12x +12z 过点B(−2, −2)时z 取到最小值， 所以z ＝x +2y 的最小值是−2+2×(−2)＝−6，6. 已知函数f(x)={lnx,x ≥1−x 2+ax −a 2+1,x <1在R 上为增函数，则a 的取值范围是（ ）A.(−∞, 1]B.[1, +∞)C.(−∞, 2]D.[2, +∞) 【答案】 D【考点】 几何不等式 分段函数的应用 【解析】lnx 在x ≥1时属于单调递增函数，所以只需满足x <1时−x 2+ax −a 2+1也是单调递增函数即可，进而求解． 【解答】若函数f(x)在R 上为增函数，则需满足{a2≥1a −a 2≤0，解得a ≥2，7. 已知非零向量a →与b →的夹角为θ，tanθ=√2，(a →−2b →)⊥(a →+b →)，则|b →||a →|=( )A.13B.3C.√3D.√33【答案】 D【考点】平面向量数量积坐标表示的应用 【解析】可根据tanθ=√2求出cosθ=√33，进而求出a →⋅b →=√33|a →||b →|，从而根据(a →−2b →)⊥(a →+b →)即可得出|a →|2−√33|a →||b →|−2|b →|2=0，可设|b →||a →|=x ，从而得出1−√33x −2x 2=0，然后解出x 即可． 【解答】根据tanθ=√2，0≤θ≤π，得cosθ=√33，由(a →−2b →)⊥(a →+b →)，得(a →−2b →)⋅(a →+b →)=a →2−a →⋅b →−2b →2=|a →|2−√33|a →||b →|−2|b →|2=0，设|b →||a →|=x ，则6x 2+√3x −3=0，即(2x +√3)(3x −√3)=0，因为x >0，所以x =√33，即|b →||a →|=√33．8. 设ω>0，将函数y =sin(ωx +π3)的图象向左平移π6个单位长度后与函数y =cos(ωx+π3)的图象重合，则ω的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用三角函数的图象的平移，求出函数的解析式，利用两个函数重合，得到关系式，转化求解即可．【解答】将函数y=sin(ωx+π3)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数y=sin(ωx+ωπ6+π3)的图象，又y=cos(ωx+π3)=sin(ωx+5π6)，所以ωπ6+π3=5π6+2kπ，k∈Z，ω∈(0, +∞)，ω＝12k+3(k∈Z)，又ω>0，所以ω的最小值为3，9. 已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(log24.1)，b＝g(−20.2)，c ＝g(π)，则a，b，c的大小关系为（）A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a【答案】C【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】∵奇函数f(x)在R上是增函数，∴当x>0时，f(x)>0．又对任意的x1，x2∈(0, +∞)且x1<x2，有0<f(x1)<f(x2)，∴g(x1)<g(x2)，∴g(x)在(0, +∞)上也是增函数，∵g(−x)＝−xf(−x)＝xf(x)，∴g(x)为偶函数．又log24.1∈(2, 3)，20.2∈(1, 2)，∴1<20.2<log24.1<π，而b＝g(−20.2)＝g(20.2)，∴b<a<c，10. 公比不为1的等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1，a3，a2成等差数列，mS2，S3，S4成等比数列，则m＝（）A.7 8B.85C.1D.95【答案】D【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】设{a n }的公比为q(q ≠0且q ≠1)，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q ，再由等比数列的求和公式，以及等比数列的中项性质，解方程可得m ． 【解答】设{a n }的公比为q(q ≠0且q ≠1)，根据a 1，a 3，a 2成等差数列，得2a 3＝a 1+a 2，即2a 1q 2=a 1+a 1q ，因为a 1≠0，所以2q 2−q −1＝0，即(q −1)(2q +1)＝0．因为q ≠1，所以q =−12， 则S 2=a 1(1−q 2)1−q=34⋅a11−q ，S 3=a 1(1−q 3)1−q=98⋅a11−q ，S 4=a 1(1−q 4)1−q=1516⋅a11−q ．因为mS 2，S 3，S 4成等比数列，所以S 32=mS 2⋅S 4，即(98⋅a 11−q )2=m ⋅34⋅a 11−q ⋅1516⋅a 11−q ，得m =95．11. 若x >0，y >−1且满足2x +y ＝1，则2x 2+1x+y 2y+1的最小值是（ ）A.3B.32+√2C.2√2D.12+√2【答案】 B【考点】基本不等式及其应用 【解析】对式子进行变形，再结合基本不等式求出最值． 【解答】2x 2+1x+y 2y+1=2x +1x+y +1y+1−1=1x+1y+1，因为2x +y +1＝2，所以1x +1y+1=12(2x +y +1)(1x +1y+1)=12(3+y+1x+2x y+1)≥12(3+2√2)，当且仅当y+1x=2xy+1，2x +y ＝1时取等号，即x =2−√2,y =2√2−3时取得最小值32+√2．12. 已知函数f(x)={−13x 3+x 2,x ≤mx −m,x >m，若存在实数a ，使得函数g(x)＝f(x)−a 恰好有4个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A.(0, 2) B.(2, +∞) C.(0, 3) D.(3, +∞) 【答案】 B【考点】函数与方程的综合运用 【解析】函数g(x)＝f(x)−a 恰好有4个零点，即函数y ＝f(x)的图象与y ＝m 的图象有4个交点；当x ≤m 时，利用导数求出函数f(x)的单调区间，讨论m 的范围作出函数f(x)的大致图象，根据图象分析交点的个数，从而得出答案； 【解答】g(x)＝f(x)−a 的零点个数等价于直线y ＝a 与函数f(x)图象的交点个数． 令y =−13x 3+x 2,y ′=−x 2+2x ，当x <0时，y ′<0，当0<x <2时，y ′>0； 当x >2时，y ′<0；所以函数y =−13x 3+x 2在(−∞, 0)上单调递减，(0, 2)上单调递增，(2, +∞)上单调递减；画出函数f(x)的大致图象如图所示，由图可知当m >2时，存在直线y ＝a 与函数f(x)图象的交点为4个； 当0<m ≤2时，直线y ＝a 与函数f(x)图象的交点至多为3个； 当m ≤0时，直线y ＝a 与函数f(x)图象的交点至多为2个； 所以m 的取值范围为(2, +∞)．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）已知函数f(x)={2x ,x ≤4f(x −1),x >4 ，则f(5+log 26)的值为________．【答案】 12【考点】分段函数的应用 【解析】根据题意，因为2<log 26<3，由函数的解析式计算可得答案． 【解答】根据题意，函数f(x)={2x ,x ≤4f(x −1),x >4， 因为2<log 26<3，所以f(5+log 26)＝f(4+log 26)＝…＝f(1+log 26)=21+log 26=2×6=12．已知等差数列{a n }，其前n 项和为S n ，若a 2+a 5＝24，S 3＝S 9，则S n 的最大值为________． 【答案】 72【考点】等差数列的前n 项和 【解析】法一：由S 3＝S 9，得a 4+a 5+...+a 9＝0，则a 6+a 7＝0．又a 2+a 5＝24，设数列{a n }的公差为d ，利用通项公式求和公式即可得出．法二：由S 3＝S 9，得a 4+a 5+...+a 9＝0，则a 6+a 7＝0，又a 2+a 5＝24>0，可得数列{a n }的前6项为正，即可得出当n ＝6时，S n 有最大值．【解答】法一：由S 3＝S 9，得a 4+a 5+...+a 9＝0，则a 6+a 7＝0．又a 2+a 5＝24， 设数列{a n }的公差为d ，可得{a 1+5d +a 1+6d =0a 1+d +a 1+4d =24 ， 解得{a 1=22d =−4， 所以S n =−2n 2+24n ，故当n ＝6时，S n 有最大值，为72．法二：由S 3＝S 9，得a 4+a 5+...+a 9＝0，则a 6+a 7＝0，又a 2+a 5＝24>0， 以数列{a n }的前6项为正， 所以当n ＝6时，S n 有最大值，且S 6＝3(a 1+a 6)＝3(a 2+a 5)＝72．已知△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60∘，BD ＝2DC ，AE ＝2EC ，则AD →⋅BE →=________．【答案】43【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据所给数量关系可得AD →=23BC →−BA →,BE →=23BC →+13BA →，则将AD →⋅BE →进行化简即可．【解答】∵ AD →=23BC →−BA →,BE →=23BC →+13BA →，∴ AD →⋅BE →=(23BC →−BA →)⋅(23BC →+13BA →)=49|BC →|2−13|BA →|2−49BC →⋅BA →=49×9−13×4−49×3×2×cos60=4−43−43=43．函数f(x)=sinx +12sin2x 的最大值为________． 【答案】 3√34【考点】三角函数的最值 【解析】对函数求导，分类讨论确定函数的单调性，求得函数的极大值点即可得解．【解答】由题意可得：f′(x)＝cosx+cos2x＝2cos2x+cosx−1＝(2cosx−1)(cosx+1)，∵cosx+1≥0，∴当cosx>12时，f′(x)>0，当−1<cosx<12时，f′(x)<0，即当2kπ−π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z时，f(x)单调递增，当2kπ+π3<x<2kπ+5π3,k∈Z时，f(x)单调递减，故f(x)在x=2kπ+π3,k∈Z处取得极大值即最大值，且f(x)max=sinπ3+12sin(2×π3)=√32+12×√32=3√34．三、解答题（共6小题，满分0分）已知函数f(x)=2asin(π2−x)cos(x−2π3)，且f(π3)=1．（1）求a的值及f(x)的最小正周期；（2）若f(α)=−13，α∈(0,π2)，求sin2α．【答案】由f(x)=2asin(π2−x)cos(x−2π3)，且f(π3)=1，得2a×12×12=1，解得a＝2．∴f(x)=4cosx(√32sinx−12cosx)=2√3sinxcosx−2cos2x=√3sin2x−cos2x−1=2sin(2x−π6)−1．∴f(x)=2sin(2x−π6)−1的最小正周期为π；由f(α)=−13，得2sin(2α−π6)−1=−13,sin(2α−π6)=13，∵α∈(0,π2)，∴2α−π6∈(−π6,5π6)，又sin(2α−π6)=13<12，∴2α−π6∈(0,π6)．∴cos(2α−π6)=2√23．则sin2α=sin[(2α−π6)+π6]=sin(2α−π6)cosπ6+cos(2α−π6)sinπ6=13×√32+2√23×12=√3+2√26．【考点】二倍角的三角函数三角函数的周期性及其求法【解析】（1）由已知结合f(π3)=1求得a值，再由诱导公式及两角差的余弦变形，利用辅助角公式化积，则周期可求；（2）由f(α)=−13，求得2α−π6的正弦值，进一步求出余弦值，再由sin2α＝sin[(2α−π6)+π6]，展开两角和的正弦求解．【解答】由f(x)=2asin(π2−x)cos(x−2π3)，且f(π3)=1，得2a×12×12=1，解得a＝2．∴f(x)=4cosx(√32sinx−12cosx)=2√3sinxcosx−2cos2x=√3sin2x−cos2x−1=2sin(2x−π6)−1．∴f(x)=2sin(2x−π6)−1的最小正周期为π；由f(α)=−13，得2sin(2α−π6)−1=−13,sin(2α−π6)=13，∵α∈(0,π2)，∴2α−π6∈(−π6,5π6)，又sin(2α−π6)=13<12，∴2α−π6∈(0,π6)．∴cos(2α−π6)=2√23．则sin2α=sin[(2α−π6)+π6]=sin(2α−π6)cosπ6+cos(2α−π6)sinπ6=13×√32+2√23×12=√3+2√26．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+n，数列{b n}满足a n=b12+1+b222+1+⋯+b n2+1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c n=a n b n4−n，求数列{c n}的前n项和T n．【答案】因为S n=n2+n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时,a n=S n−S n−1=n2+n−(n−1)2−(n−1)=2n，又a1＝2也满足上式，所以a n=2n(n∈N∗)；又b12+1+b222+1+⋯+b n2n+1=a n=2n，所以b12+1+b222+1+⋯+b n−12n−1+1=2n−2(n≥2,n∈N∗)，两式作差得，b n2n+1=2，所以b n=2n+1+2(n≥2,n∈N∗)，当n＝1时,b13=2,b1=6，又b1＝6满足上式，所以b n=2n+1+2(n∈N∗)；因为c n=a n b n4−n=2n(2+2n+1)4−n＝n⋅2n，所以T n=1×2+2×22+3×23+⋯+n⋅2n，2T n=1×22+2×23+⋯+(n−1)×2n+n⋅2n+1，两式相减，得−T n=2+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1，即−T n=2n+1−2−n⋅2n+1，所以T n=(n−1)⋅2n+1+2．【考点】数列递推式数列的求和【解析】（1）由数列的递推式：当n＝1时，a1＝S1，当n≥2时，a n＝S n−S n−1，化简可得数列{a n}的通项公式；将a n=b12+1+b222+1+⋯+b n2n+1中的n换为n−1，相减可得{b n}的通项公式；（2）求得c n=a n b n4−n=2n(2+2n+1)4−n＝n⋅2n，运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】因为S n=n2+n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时,a n=S n−S n−1=n2+n−(n−1)2−(n−1)=2n，又a1＝2也满足上式，所以a n=2n(n∈N∗)；又b12+1+b222+1+⋯+b n2n+1=a n=2n，所以b12+1+b222+1+⋯+b n−12n−1+1=2n−2(n≥2,n∈N∗)，两式作差得，b n2n+1=2，所以b n=2n+1+2(n≥2,n∈N∗)，当n＝1时,b13=2,b1=6，又b1＝6满足上式，所以b n=2n+1+2(n∈N∗)；因为c n=a n b n4−n=2n(2+2n+1)4−n＝n⋅2n，所以T n=1×2+2×22+3×23+⋯+n⋅2n，2T n=1×22+2×23+⋯+(n−1)×2n+n⋅2n+1，两式相减，得−T n=2+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1，即−T n=2n+1−2−n⋅2n+1，所以T n=(n−1)⋅2n+1+2．如图，在△ABC中，∠BAC，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，∠BAC＝60∘，AD为∠BAC的平分线，AD=√3．（1）若DC＝2BD，求c；（2）求△ABC面积的最小值．【答案】因为DC＝2BD，∠BAD＝∠CAD，所以S△ABDS△ADC =BDDC=12AB⋅AD⋅sin∠BAD12AC⋅AD⋅sin∠CAD=ABAC，所以AC＝2AB．在△ABD，△ACD中，由余弦定理，得cos30=222√3c =√32,cos30=224√3c=√32，解得c=32．设BD＝x，则由（1）可知BDDC =ABAC，所以DC=bcx，在△ABD，△ACD中，由余弦定理可知222√3c =b2+3−(bxc)22√3b=√32，所以x2＝c2+3−3c，b2x2c2=b2+3−3b，消去x，得b2(c2+3−3c)＝c2(b2+3−3b)，化简，得(b−c)(bc−b−c)＝0．当b＝c时，△ABC为等边三角形，此时b=c=2,S△ABC=√3；当bc＝b+c时，由基本不等式可得bc=b+c≥2√bc,bc≥4，当b＝c＝2时取等号，此时S△ABC=12bcsin60=√34bc≥√3．综上可得，△ABC面积的最小值为√3．【考点】正弦定理余弦定理【解析】（1）由已知利用三角形的面积之比可求AC＝2AB，在△ABD，△ACD中分别应用余弦定理即可求解c的值．（2）设BD＝x，则由（1）可知BDDC =ABAC，可求DC=bcx，在△ABD，△ACD中，分别应用余弦定理，化简可求得(b−c)(bc−b−c)＝0，分类讨论可求三角形的面积．【解答】因为DC ＝2BD ，∠BAD ＝∠CAD ， 所以S △ABDS△ADC=BD DC=12AB⋅AD⋅sin∠BAD 12AC⋅AD⋅sin∠CAD =AB AC，所以AC ＝2AB ．在△ABD ，△ACD 中， 由余弦定理，得cos30=222√3c=√32,cos30=224√3c=√32， 解得c =32．设BD ＝x ，则由（1）可知BDDC =ABAC ，所以DC =bc x ， 在△ABD ，△ACD 中，由余弦定理可知222√3c=b 2+3−(bx c)22√3b=√32， 所以x 2＝c 2+3−3c ，b 2x 2c 2=b 2+3−3b ，消去x ，得b 2(c 2+3−3c)＝c 2(b 2+3−3b)，化简，得(b −c)(bc −b −c)＝0．当b ＝c 时，△ABC 为等边三角形，此时b =c =2,S △ABC =√3； 当bc ＝b +c 时，由基本不等式可得bc =b +c ≥2√bc,bc ≥4， 当b ＝c ＝2时取等号，此时S △ABC =12bcsin60=√34bc ≥√3．综上可得，△ABC 面积的最小值为√3．已知函数f(x)＝a x +b(a >0，且a ≠1)，满足f(1)＝3，且f(n +1)＝4f(n)+3，其中n ∈N ∗．（1）求函数f(x)的解析式；（2）求证：1f(1)+1f(2)+1f(3)+⋯+1f(n)<49． 【答案】解法一：因为f(1)＝3，且f(n +1)＝4f(n)+3， 所以f(2)＝4f(1)+3＝15，即{a +b =3a 2+b =15，所以{a =4b =−1 或{a =−3b =6 （舍去），∴ f(x)＝4x −1．解法二：由f(n +1)＝4f(n)+3(n ∈N ∗)，得f(n +1)+1＝4f(n)+4， 即f(n+1)+1f(n)+1=4，∴ 数列{f(n)+1}是以4为公比，4为首项的等比数列， 则f(n)+1＝4n ，∴ f(n)＝4n −1， ∴ f(x)＝4x −1．证明：由（1）得f(n)＝4n −1(n ∈N ∗)．由于4n−1≥1，即4×4n−1−3×4n−1≥1，∴ 4n −1≥3×4n−1， 即f(n)＝4n −1≥3×4n−1，1f(n)≤13×4n−1，∴ 1f(1)+1f(2)+1f(3)+⋯+1f(n)≤13×(1+14+142+⋯+14n−1) =13×1−(14)n 1−14=13×1−(14)n34 =49×(1−14n )<49．【考点】不等式的证明 【解析】（1）解法一：根据f(1)＝3，且f(n +1)＝4f(n)+3，可得f(2)＝15，再由{a +b =3a 2+b =15求出a ，b 的值即可得到f(x)的解析式； 解法二：由f(n +1)＝4f(n)+3(n ∈N ∗)，得f(n +1)+1＝4f(n)+4，则数列{f(n)+1}是以4为公比，4为首项的等比数列，从而得到f(n)＝4n −1，进一步得到f(x)的解析式；（2）由（1）知f(n)＝4n −1≥3×4n−1，1f(n)≤13×4n−1，从而得到1f(1)+1f(2)+1f(3)+⋯+1f(n)≤13×(1+14+142+⋯+14n−1)，进一步证明1f(1)+1f(2)+1f(3)+⋯+1f(n)<49．【解答】解法一：因为f(1)＝3，且f(n +1)＝4f(n)+3， 所以f(2)＝4f(1)+3＝15，即{a +b =3a 2+b =15，所以{a =4b =−1 或{a =−3b =6 （舍去），∴ f(x)＝4x −1．解法二：由f(n +1)＝4f(n)+3(n ∈N ∗)，得f(n +1)+1＝4f(n)+4， 即f(n+1)+1f(n)+1=4，∴ 数列{f(n)+1}是以4为公比，4为首项的等比数列， 则f(n)+1＝4n ，∴ f(n)＝4n −1， ∴ f(x)＝4x −1．证明：由（1）得f(n)＝4n −1(n ∈N ∗)．由于4n−1≥1，即4×4n−1−3×4n−1≥1，∴ 4n −1≥3×4n−1， 即f(n)＝4n −1≥3×4n−1，1f(n)≤13×4n−1，∴ 1f(1)+1f(2)+1f(3)+⋯+1f(n)≤13×(1+14+142+⋯+14n−1) =13×1−(14)n 1−14=13×1−(14)n34 =49×(1−14n )<49．已知函数f(x)=lnx+ax+x(a∈R)．（1）当a＝0时，求曲线f(x)在x＝1处的切线方程；（2）若函数f(x)在区间(1, +∞)上有极值，求实数a的取值范围．【答案】当a＝0时，f(x)=lnxx +x，f′(x)=1−lnxx2+1，则f(1)＝1，f′(1)＝2，故曲线f(x)在x＝1处的切线方程为：y−1＝2(x−1)，即2x−y−1＝0．f(x)=lnx+ax +x(x>1)，f′(x)=1−lnxx2+1−ax2=x2−lnx−a+1x2，令F(x)＝x2−lnx−a+1，则F′(x)=2x−1x =2x2−1x，当x∈(1, +∞)时，F′(x)>0，所以函数F(x)在(1, +∞)上单调递增，又F(1)＝2−a，故①当a≤2时，F(x)>0，f′(x)>0，f(x)在(1, +∞)上单调递增，无极值；②当a>2时，F(1)<0，F(a)＝a2−lna−a+1，令G(x)＝x2−lnx−x+1，则G′(x)=2x−1x −1=2x2−x−1x，当x>2时，G′(x)>0，函数G(x)在(2, +∞)上单调递增，G(2)＝3−ln2>0，所以在(2, +∞)上，G(x)>0恒成立，所以F(a)＝a2−lna−a+1>0，所以函数F(x)在(1, a)上存在唯一零点x＝x0，所以f(x)在(1, x0)上单调递减，在(x0, +∞)上单调递增，此时函数f(x)存在极小值．综上，若函数f(x)在区间(1, +∞)上有极值，则a>2．故实数a的取值范围为(2, +∞)．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）求出导函数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．（2）求出导函数化简，令F(x)＝x2−lnx−a+1，则F′(x)=2x−1x =2x2−1x，利用函数的单调性，通过①当a≤2时，②当a>2时，F(1)<0，F(a)＝a2−lna−a+1，令G(x)＝x2−lnx−x+1，利用导函数判断函数的单调性，求解函数的极值，转化求解实数a的取值范围．【解答】当a＝0时，f(x)=lnxx +x，f′(x)=1−lnxx2+1，则f(1)＝1，f′(1)＝2，故曲线f(x)在x＝1处的切线方程为：y−1＝2(x−1)，即2x−y−1＝0．f(x)=lnx+ax +x(x>1)，f′(x)=1−lnxx2+1−ax2=x2−lnx−a+1x2，令F(x)＝x2−lnx−a+1，则F′(x)=2x−1x =2x2−1x，当x∈(1, +∞)时，F′(x)>0，所以函数F(x)在(1, +∞)上单调递增，又F(1)＝2−a，故①当a≤2时，F(x)>0，f′(x)>0，f(x)在(1, +∞)上单调递增，无极值；②当a>2时，F(1)<0，F(a)＝a2−lna−a+1，令G(x)＝x2−lnx−x+1，则G′(x)=2x−1x −1=2x2−x−1x，当x>2时，G′(x)>0，函数G(x)在(2, +∞)上单调递增，G(2)＝3−ln2>0，所以在(2, +∞)上，G(x)>0恒成立，所以F(a)＝a2−lna−a+1>0，所以函数F(x)在(1, a)上存在唯一零点x＝x0，所以f(x)在(1, x0)上单调递减，在(x0, +∞)上单调递增，此时函数f(x)存在极小值．综上，若函数f(x)在区间(1, +∞)上有极值，则a>2．故实数a的取值范围为(2, +∞)．已知函数f(x)=12x2+lnx−2mx(m>0)．（1）判断函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有极大值点x＝t，求证：tlnt>mt2−1．【答案】由题意，知f′(x)=x2−2mx+1x(x>0)，对于方程x2−2mx+1＝0，△＝4(m2−1)，①当0<m≤1时，△＝4(m2−1)≤0，f′(x)≥0，f(x)在(0, +∞)上单调递增．②当m>1时，令f′(x)＝0，则x1=m−√m2−1，x2=m+√m2−1，当0<x<m−√m2−1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当m−√m2−1<x<m+√m2−1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x>m+√m2−1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．综上所述，当0<m≤1时，f(x)在(0, +∞)上单调递增；当m>1时，f(x)在(0,m−√m2−1)，(m+√m2−1,+∞)上单调递增，在(m−√m2−1,m+√m2−1)上单调递减．由（1）可知当m>1时，在x=m−√m2−1处时，函数f(x)取得极大值，所以函数f(x)的极大值点为x=m−√m2−1，则t=m−√m2−1=2∈(0,1)．由f′(t)=t2−2mt+1t =0，得m=t2+12t，要证tlnt>mt2−1，只需证tlnt−mt2+1>0，只需证tlnt−t2+12t⋅t2+1>0，即2tlnt−t3−t+2>0，t∈(0, 1)，令ℎ(x)＝2xlnx−x3−x+2，x>0，则ℎ′(x)＝2lnx−3x2+1，令φ(x)＝2lnx−3x2+1，x>0，则φ′(x)=2x −6x=2−6x2x，当0<x<√33时，φ′(x)>0，ℎ′(x)单调递增；ℎ(x)max =ℎ(√33)=21n√33<0，所以ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(0, +∞)上单调递减，又ℎ(1)＝0， 故x ∈(0, 1)时，2xlnx −x 3−x +2>0， 又t ∈(0, 1)，则2tlnt −t 3−t +2>0， 即tlnt >mt 2−1． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】 （1）f ′(x)=x 2−2mx+1x(x >0)，对于方程x 2−2mx +1＝0，△＝4(m 2−1)，分类讨论得f(x)的单调性．（2）由（1）可知当m >1时，在x =m −√m 2−1处时，函数f(x)取得极大值，所以函数f(x)的极大值点为x =m −√m 2−1，则t =m −√m 2−1=m+√m 2−1∈(0,1)．由f ′(t)=t 2−2mt+1t=0，得m =t 2+12t，要证tlnt >mt 2−1，只需证tlnt −mt 2+1>0，【解答】由题意，知f ′(x)=x 2−2mx+1x(x >0)，对于方程x 2−2mx +1＝0，△＝4(m 2−1)，①当0<m ≤1时，△＝4(m 2−1)≤0，f ′(x)≥0，f(x)在(0, +∞)上单调递增． ②当m >1时，令f ′(x)＝0，则x 1=m −√m 2−1，x 2=m +√m 2−1， 当0<x <m −√m 2−1时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增；当m −√m 2−1<x <m +√m 2−1时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减， 当x >m +√m 2−1时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增． 综上所述，当0<m ≤1时，f(x)在(0, +∞)上单调递增；当m >1时，f(x)在(0,m −√m 2−1)，(m +√m 2−1,+∞)上单调递增，在(m −√m 2−1,m +√m 2−1)上单调递减．由（1）可知当m >1时，在x =m −√m 2−1处时，函数f(x)取得极大值，所以函数f(x)的极大值点为x =m −√m 2−1，则t =m −√m 2−1=m+√m 2−1∈(0,1)． 由f ′(t)=t 2−2mt+1t=0，得m =t 2+12t，要证tlnt >mt 2−1，只需证tlnt −mt 2+1>0， 只需证tlnt −t 2+12t⋅t 2+1>0，即2tlnt −t 3−t +2>0，t ∈(0, 1)，令ℎ(x)＝2xlnx −x 3−x +2，x >0， 则ℎ′(x)＝2lnx −3x 2+1，令φ(x)＝2lnx −3x 2+1，x >0， 则φ′(x)=2x−6x =2−6x 2x，当0<x <√33时，φ′(x)>0，ℎ′(x)单调递增；ℎ(x)max =ℎ(√33)=21n√33<0，所以ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(0, +∞)上单调递减，又ℎ(1)＝0， 故x ∈(0, 1)时，2xlnx −x 3−x +2>0， 又t ∈(0, 1)，则2tlnt −t 3−t +2>0， 即tlnt >mt 2−1．。