湖北省各地2017届高三最新考试数学文试题分类汇编立体几何2017.02一、选择、填空题1、（黄冈市2017届高三上学期期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1AD 所成角的大小为A. 30oB. 45oC. 60oD.90o2、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考）知在四面体ABCD 中，,E F 分别是,AC BD 的中点，若2,4,AB CD EF AB ==⊥，则EF 与CD 所成角的度数是 A ．90o B ．45o C ．60o D ．30o3、（荆门市2017届高三元月调考）关于不重合的直线,m n 与不重合的平面,αβ，有下列四个命题：①m ∥α,n ∥β且α∥β，则m ∥n ； ②m ⊥α,n ⊥β且α⊥β,则m ⊥n ； ③m ⊥α,n ∥β且α∥β,则m ⊥n ； ④m ∥α,n ⊥β且α⊥β,则m ∥n . 其中为真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．44、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）某几何体侧视图与正视图相同，则它的表面积为（ ）A 、12+6πB 、16+6πC 、16+10πD 、8+6π5、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）多面体MN ABCD -的底面ABCD为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则AM 的长为 A ．3 B ．5C ．6D ．226、（武汉市2017届高三毕业生二月调研考）如图是某个几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的直径为A. 2B. 22C. 3D.237、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若 取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A．1.2 B．1.6 C. 1.8 D．2.48、（襄阳市2017届高三1月调研）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 73B.83π-C.83D.73π-9、（襄阳市优质高中2017届高三1月联考）某四棱锥的三视图如右图所示，正视图、侧视图都是边长为23的等边三角形，俯视图是一个正方形，则此四棱锥的体积是（） A.83 B.12 C.24 D.3610、（孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末）将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如右图所示，则该几何体的俯视图为( )11、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A.23B. 1C.13D. 212、（荆州中学2017届高三1月质量检测）高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的A．B．C．D．13、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．56πB．43πC．53πD．23π14、（荆门市2017届高三元月调考）如图，某几何体的三视图中，正视图和侧视图都是半径为3的半圆和相同的正三角形，其中三角形的上顶点是半圆的中点，底边在直径上，则它的表面积是A．6πB．8πC．10πD．11π15、（襄阳市2017届高三1月调研）设,a b是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是A. 若//,//a bαβ，则//a b B. 若,,//a b a bαβ⊂⊂，则//αβC. 若//,//,//a b bααβ，则//αβ D. 若,,a a bαββ⊥⊥⊥，则bα⊥二、解答题1、（黄冈市2017届高三上学期期末）如图，在直角梯形ABCD 中，90ADC BAD ∠=∠=o ,1,2,AB AD CD ===平面SAD ⊥平面ABCD ,平面SDC ⊥平面ABCD ,3SD =,在线段SA 上取一点E （不含端点）使EC=AC,截面CDE 交SB 于点F.（1）求证：EF//CD; （2）求三棱锥S-DEF 的体积.2、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，2SA AB ==, 点M 是SD 的中点，AN SC ⊥，且交SC 于点N ．(Ⅰ) 求证://SB 平面ACM ； (Ⅱ) 求点C 到平面AMN 的距离．3、（荆门市2017届高三元月调考）如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，2=AB ，31=AA ，D ，E 分别为AC 1和BB 1的中点. （Ⅰ）求证：DE //平面ABC ；（Ⅱ）若F 为AB 中点，求三棱锥1F C DE -的体积.4、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）已知正三棱柱ABC-C B A 11的各条棱长都为a ，P 为B A 1的中点，的中点，为AB M （1）求证：AB ⊥PMC 平面; （2）求点B 到平面PAC 的距离.5、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是11B C 的中点.（Ⅰ）证明：11A D A BC ⊥平面； （Ⅱ）求四棱锥111A BB C C -的体积.6、（武汉市2017届高三毕业生二月调研考） 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11BCC B ，11,2,1,3BCC AB BB BC D π∠====为1CC 的中点.（1）求证：1DB ⊥平面ABD ； （2）求点1A 到平面1ADB 的距离.7、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）如图，四棱锥S ABCD =中，//AB CD ,BC CD ⊥,侧面SAB 为等边三角形，2AB BC ==,1CD SD == .（Ⅰ）证明：SD ⊥平面SAB ； （Ⅱ）求四棱锥S ABCD -的高.8、（襄阳市2017届高三1月调研）在长方体1111ABCD A B C D -中，E,F 分别是1,AB CD 的中点，11, 2.AA AD AB ===. (1)求证：EF//平面11BCC B ； (2))求证：平面1CD E ⊥平面1D DE ； （3）求三棱锥1F D DE -的体积.9、（襄阳市优质高中2017届高三1月联考）如图所示，四边形ABCD 为菱形，2,//,AF AF DE DE =⊥平面ABCD .（1）求证：AC ⊥平面BDE ；（2）当DE 为何值时，直线//AC 平面BEF ？请说明理由.10、（孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末）如图，已知四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且AA 1⊥底面ABCD ，∠DAB=60°，AD=AA 1=1，F 为棱AA 1的中点，M 为线段BD 1的中点．（Ⅰ）求证：MF ∥平面ABCD ； （Ⅱ）求证：MF ⊥平面BDD 1B 1； （Ⅲ）求三棱锥D 1﹣BDF 的体积．11、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 是边长为4的菱形，BC ⊥平面11ACC A ，2CB =,点1A 在底面ABC 上的射影D 为棱AC 的中点，点A 在平面1A CB 内的射影为E . （1）证明：E 为1A C 的中点； （2）求三棱锥11A B C C -的体积.12、（荆州中学2017届高三1月质量检测）如图，四边形ABCD 是梯形，四边形CDEF 是矩形，且平面ABCD ⊥平面CDEF ，090=∠=∠CDA BAD ,221====CD DE AD AB ，M 是线段AE 上的动点．（1）试确定点M 的位置，使AC ∥平面MDF ，并说明理由；（2）在（1）的条件下，求平面MDF 将几何体BCF ADE -分成的上下两部分的体积之比．DM参考答案 一、选择、填空题1、C2、D3、B4、D5、C6、D7、B8、B9、【答案】B【解析】由三视图知此四棱锥为正四棱锥，底面是边长为3等边三角形的高为3，体积是13123V =⨯=． 10、C 11、C 12、C 13、B 14、C 15、D二、解答题 1、证明：（1）CD//ABCD//平面SAB又平面CDEF∩平面SAB=EF CD//EF……………………（6分）（2）CDAD，平面SAD平面ABCDCD平面SAD CDSD，同理AD SD由（1）知EF//CDEF平面SADEC=AC，，ED=AD在中AD=1，SD=又ED=AD=1E为SA中点，的面积为三棱锥S-DEF的体积……………………（12分）2、（Ⅰ）证明：连结BD交AC于E，连结ME．Q是正方形，∴E是BD的中点．ABCDMQ是SD的中点，∴ME是△DSB的中位线．ME SB．………………………3分∴//又∵ME ⊂平面ACM ，SB ⊄平面ACM ，∴SB //平面ACM ． ………………………5分 （Ⅱ）由条件有,,DC SA DC DA ⊥⊥∴ DC ⊥平面SAD ，∴.AM DC ⊥ 又∵ ,SA AD M =是SD 的中点，∴.AM SD ⊥∴AM ⊥平面.SDC ∴.SC AM ⊥ ………………………8分 由已知SC AN ⊥，∴SC ⊥平面.AMN于是CN ⊥面AMN ，则CN 为点C 到平面AMN 的距离 ………………………9分在Rt SAC ∆中，2,SA AC SC ===于是23AC CN SC CN =⋅⇒=∴点C 到平面AMN 的距离为3． …………………12分 3、（Ⅰ）证明：取AC 中点G ，连接BG 和DG ，因为D 和G 分别为AC 1和AC 的中点，所以DG //1CC ，且DG =BE ，则BEDG 是平行四边形，DE //BG ，又DE 不在平面ABC 内，BG 在平面ABC 内， 所以DE //平面ABC . ………………………………………………6分 （Ⅱ）因为D 为AC 1的中点，所以11-C 12F DE F AC E V V -=， 又F 为AB 中点，所以E AC B E AC F V V 1121--=，………………………………8分 则11-C 12F DE F AC E V V -=E AC B V 141-=833223213141=⨯⨯⨯⨯⨯=. ……12分 4、（1）证明：连接PM ，CM （1分）可知 PM AB AA AB AA PM ⊥∴⊥,,//11而 PMC AB CM AB 面又⊥∴⊥,Θ （6分） （2）解：假设点B 到平面PAC 的距离: hPM S ABC p ABC ⨯⨯-∆31的体积为：四面体32432123a 2131a a a =⨯⨯⨯⨯= （8分）28787a 2221,22a a S a PC a AP a AC PAC PAC =⨯⨯=∴===∆∆，，中又Θ（9分） a h h a a V V PAC B ABC P 721873124323=⇒⨯⨯=⇒=∴-- （12分） 5、【解析】（Ⅰ）设E 为BC 的中点，连接1,,,A E AE DE 由题意得1A E ABC ⊥平面 所以1A E AE ⊥因为AB AC =，所以AE BC ⊥故1AE A BC ⊥平面………………………………………………3分 由D ，E 分别为11B C ，BC 的中点，得11//DE B B DE B B =且，从而11//DE A A DE A A =,， 所以四边形1A AED 为平行四边形 故1//A D AE ,又因为1AE A BC ⊥平面所以11A D A BC ⊥平面………………………………6分 （Ⅱ） 由112,90,4AE EB A EA A A =∠=︒=，得114A E ，2ABCS ∆=-----------------9分由1111111,3A ABC ABC ABC ABC ABC V A E S V A E S -∆-∆==g g ， 得1111112241421433A BB C C A B C ABC V V --==⨯--------------12分6、7、（Ⅰ） 解：如下图，取AB 的中点E ，连结DE ，SE ，则四边形BCDE 为矩形，2DE CB ∴==225AD DE AE ∴=+=Q 侧面SAB 为等边三角形，2AB =,2SA SB AB ∴===,且3SE =又1SD =Q ,222SA SD AD ∴+=,222SB SD BD += , ,SD SA SD SB ∴⊥⊥,SD ∴⊥平面SAB .（Ⅱ）设四棱锥S ABCD -的高为h ，则h 也是三棱锥S ABD - 的高， 由（Ⅰ）知，SD ⊥平面SAB , 由S ABD D SAB V V --=,得11,33SAB ABD SAB ABDS SD S h S SD h S ∆∆∆∆⋅⋅=⋅∴= , 又1122222ABD S AB DE ∆=⋅=⨯⨯=,22332344SAB S AB ∆=== ,1SD = , 31322SAB ABD S SD h S ∆∆⋅∴===, 故四棱锥S ABCD -的高为32. 8、(Ⅰ)证：过F 作FM ∥C 1D 1交CC 1于M ，连结BM ∵F 是CD 1的中点，∴FM ∥C 1D 1，1112FM C D = 2分又∵E 是AB 中点，∴BE ∥C 1D 1，1112BE C D =因此BE ∥FM ，BE = FM ，EBMF 是平行四边形，∴EF ∥BM 又BM 在平面BCC 1B 1内，∴EF ∥平面BCC 1B 1．4分(Ⅱ)证：∵D 1D ⊥平面ABCD ，CE 在平面ABCD 内，∴D 1D ⊥CE 在矩形ABCD 中，222DE CE ==，∴2224DE CE CD +== 6分 故△CED 是直角三角形，∴CE ⊥DE ，∴CE ⊥平面D 1DE ∵CE 在平面CD 1E 内，∴平面CD 1E ⊥平面D 1DE ． 8分 (Ⅲ)解：11111133F D DE E D DF D DF D DF V V S AD S --∆∆==⨯⨯=⨯11111222D DF S D D CD ∆=⨯⨯= ∴116F D DE V -=． 12分9、(I)证明：1o 因为DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC DE ⊥；…2分2o 菱形ABCD 中，AC BD ⊥；DE BD D =I ，所以AC ⊥平面BDE .…………5分法二：1o 因为DE ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABCD ；……………2分2o 菱形ABCD 中，AC BD ⊥；平面BDE I 平面ABCD BD =；所以AC ⊥平面BDE . ……………5分(II)当4DE =时直线AC ∥平面BEF .理由如下：…………………………………7分1o 设菱形ABCD 中对角线AC BD O =I ，BE 的中点为M ，则OM 为BDE ∆的中位线， OM ∥DE 且四边形AOMF ，所以AC ∥FM ；………………………………………………………11分3o 因为AC ⊄平面BEF ，FM ⊂平面BEF ，所以直线AC ∥平面BEF .……12分法二：1o 设菱形ABCD 中对角线AC BD O =I ，DE 的中点为N ，则ON 为BDE ∆的中位线，ON ∥BE ；ON ⊄平面BEF ，BE ⊂平面BEF ，所以直线ON ∥平面BEF ；边形ANEF ，所以AN ∥EF ；AN ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，所以直线AN ∥平面BEF ；3o AN ON N =I ，AN ⊂平面AON ，ON ⊂平面AON ，所以平面AON ∥平面BEF .4o 因为AC ⊂平面AON ，所以直线AC ∥平面BEF .………………12分10、（1）证明：连接1A C ，11A D BC Q P ,∴四边形11A BCD 是平行四边形，∴1A C 与1BD 互相平分.又M 是1BD 的中点，M 也是1A C 的中点,又 F 是1A A 的中点FM ∴是1A AC ∆的中位线, FM AC ∴P （3分）,FM ABCD AC ABCD ⊄⊂Q 面面,FM AC P ,FM ABCD ∴P 面 （4分）（2）连,AC BD ，ABCD Q 四边形为菱形，AC BD ∴⊥ 又1A A ABCD ⊥面,11D D A A P ,1D D ABCD ⊥面，又AC ABCD ⊂面,1D D AC ⊥, 即AC ⊥1D D （6分）11,,,AC BD AC D D BD D D D ⊥⊥=I 11AC BDD B ∴⊥面11MF BDD B ∴⊥面 （8分）（3）取AD 的中点N ，连BN ，ABD ∆Q 是正三角形，BN AD ∴⊥,且2BN = （9分） 又1D D ABCD ⊥面,BN ABCD ⊂面，1D D BN ⊥,即1BN D D ⊥,又1111,,,BN AD BN D D AD D D D BN ADD A ⊥⊥=∴⊥I 面 （10分）∴三棱锥1D BDF -以1FD D 为底面时，BN 是高111111.11332D BDF B FDD FDD V V S BN --∆∴===⨯⨯⨯=（12分）11、(1)证明:因为,11ACC A BC 面⊥BC A BC 1平面⊆,所以111ACC A BC A 平面平面⊥交线为C A 1,过A 作C A AE 1⊥,则CB A AE 1平面⊥.又11ACC A 是菱形,AC AA =1所以E 为C A 1的中点. ……6分A1(2)由题意1A D ⊥平面ABC ,321=D A 338324221311111=⋅⋅⋅⋅===---ABC B BC B A C C B A V V V ………12分 （1）12、当M 是线段AE 的中点时，AC ∥平面MDF ． 证明如下：连结CE ，交DF 于N ，连结MN ，由于N M ,分别是AE 、CE 的中点，所以MN ∥AC ， 由于⊂MN 平面MDF ，又⊄AC 平面MDF ， 所以AC ∥平面MDF . ………………6分（2）如图，将几何体BCF ADE -补成三棱柱CF B ADE 1-，三棱柱CF B ADE 1-的体积为842221=⨯⨯⨯=⋅=∆CD S V ADE ， 则几何体BCF ADE -的体积3202)2221(31811=⨯⨯⨯⨯-=-=---C BB F CF B ADE BCF ADE V V V 三棱锥DEM F -的体积34==--DEF M DEM F V V ，故两部分的体积之比为42041:3334⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ………………12分。
