走向高考·一轮总复习人教A版数学 文科2-8

[基础题组练]1．(2020·福州期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.令f (x )＋3x ＝0，则⎩⎨⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1＋1x ＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.故选C.2．下列函数中，在(－1，1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 12xB ．y ＝2x －1C ．y ＝x 2－12D ．y ＝－x 3解析：选B.函数y ＝log 12x 在定义域上单调递减，y ＝x 2－12在(－1，1)上不是单调函数，y＝－x 3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y ＝2x －1，当x ＝0∈(－1，1)时，y ＝0且y ＝2x －1在R 上单调递增．故选B.3．(2020·甘肃酒泉敦煌中学一诊)方程log 4x ＋x ＝7的解所在区间是( ) A ．(1，2) B ．(3，4) C ．(5，6)D ．(6，7)解析：选C.令函数f (x )＝log 4x ＋x －7，则函数f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数，且是连续函数．因为f(5)<0，f(6)>0，所以f(5)·f(6)<0，所以函数f(x)＝log4x＋x－7的零点所在区间为(5，6)，所以方程log4x＋x＝7的解所在区间是(5，6)．故选C.4．(2020·内蒙古月考)已知函数f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数m的取值范围为()A．(－1，0) B．{－1}∪(0，＋∞)C．[－1，0)∪(0，＋∞) D．(0，1)解析：选B.在同一直角坐标系内作出函数y＝x2－2|x|的图象和直线y＝m，可知当m>0或m＝－1时，直线y＝m与函数y＝x2－2|x|的图象有两个交点，即函数f(x)＝x2－2|x|－m有两个零点．故选B.5．已知函数f(x)＝x e x－ax－1，则关于f(x)的零点叙述正确的是()A．当a＝0时，函数f(x)有两个零点B．函数f(x)必有一个零点是正数C．当a<0时，函数f(x)有两个零点D．当a>0时，函数f(x)只有一个零点解析：选B.f(x)＝0⇔e x＝a＋1x(x≠0)，在同一直角坐标系中作出y＝ex与y＝1x的图象，观察可知A，C，D选项错误，选项B正确．6．已知函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为 ．解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12.答案：－127．(2020·新疆第一次适应性检测)设a ∈Z ，函数f (x )＝e x ＋x －a ，若x ∈(－1，1)时，函数有零点，则a 的取值个数为 ．解析：根据函数解析式得到函数f (x )是单调递增的．由零点存在性定理知若x ∈(－1，1)时，函数有零点，需要满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）<0，f （1）>0⇒1e－1<a <e ＋1，因为a 是整数，故可得到a 的可能取值为0，1，2，3.答案：48．已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a 的取值范围是 ．解析：法一：设方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)<0，所以x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a －2)＋(a 2－1)＋1<0， 即a 2＋a －2<0，所以－2<a <1. 故实数a 的取值范围为(－2，1)． 法二：函数f (x )的图象大致如图，则有f (1)<0，即1＋(a 2－1)＋a －2<0，得a 2＋a －2<0，所以－2<a <1. 故实数a 的取值范围是(－2，1)． 答案：(－2，1)9．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同的零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. 所以函数f (x )的零点为3或－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同的实根，所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值范围是(0，1)．10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x －1. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx 的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，求m 的取值范围．解：(1)由f (0)＝2得c ＝2，又f (x ＋1)－f (x )＝2x －1，得2ax ＋a ＋b ＝2x －1，故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝－1，解得a ＝1，b ＝－2，所以f (x )＝x 2－2x ＋2.(2)g (x )＝x 2－(2＋m )x ＋2，若g (x )的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，则满足⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）>0，g （2）<0，g （4）>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧5＋m >0，2－2m <0，10－4m >0，解得1<m <52.所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，52. [综合题组练]1．(一题多解)函数f (x )＝2x －1x 零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B.法一：当x <0时，f (x )＝2x －1x >0恒成立，无零点；又易知f (x )＝2x －1x 在(0，＋∞)上单调递增，最多有一个零点．又f ⎝⎛⎭⎫12＝2－2<0，f (1)＝2－1>0，所以有一个零点．故选B.法二：在同一平面直角坐标系中，作出函数y ＝2x 和y ＝1x的图象，如图所示．函数f (x )＝2x －1x 的零点等价于2x ＝1x 的根等价于函数y ＝2x 和y ＝1x 的交点．由图可知，有一个交点，所以有一个零点．故选B.2．已知命题p ：“m ＝2”是“幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 在区间(0，＋∞)上为增函数”的充要条件；命题q ：已知函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1(a ，b ∈N *)，则a ＋b ＝5.则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(﹁p )∧qC ．﹁qD ．p ∧(﹁q )解析：选A.对于命题p ，若幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 在区间(0，＋∞)上为增函数，则⎩⎨⎧m 2－m －1＝1，m >0，解得m ＝2，所以命题p 是真命题，﹁p 是假命题．对于命题q ，函数f (x )＝ln x ＋3x －8在(0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3＋1>0，所以零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1(a ，b ∈N *)，则a ＝2，b ＝3，a ＋b ＝5，所以命题q 为真命题，﹁q 为假命题．所以p ∧q 是真命题，(﹁p )∧q ，﹁q ，p ∧(﹁q )都是假命题．故选A.3．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)． (1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围． 解：(1)如图所示．(2)因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎨⎧1x －1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈（1，＋∞），故f (x )在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数， 由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ， 且1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b＝2. (3)由(1)中函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根．所以m 的取值范围是(0，1)．4．(创新型)已知函数f (x )＝－x 2－2x ， g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解：(1)利用解析式直接求解得g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象，如图，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54.。

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核心素养测评八对数与对数函数(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是( )(参考数据:lg 3≈0.48)A.1033B.1053C.1073D.1093【解析】选D.设=x=,两边取对数,lg x=lg=lg 3361-lg1080=361×lg 3-80≈93.28,所以x=1093.28,即与最接近的是1093.2.(2019·吉林模拟)不等式log3(2x-1)≤2的解集为( )A. B.C.(-∞,5]D.【解析】选B.因为log3(2x-1)≤2可化为log3(2x-1)≤log39,所以0<2x-1≤9,所以<x≤5.所以原不等式的解集为.3.(2020·吕梁模拟)函数y=ln sin x(0<x<π)的大致图象是( )【解析】选C.因为0<x<π,所以0<sin x≤1,所以ln sin x≤0,排除选项A,B,D.4.(2020·石家庄模拟)已知a=21.2,b=2log52,c=ln,则( )A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a【解析】选A.a=21.2>21=2,b=2log52=log54<log55=1且b=log54>log51=0,c=ln= -ln3<-ln e=-1,即c<-1<0<b<1<2<a,所以a>b>c.5.若函数y=a|x|(a>0且a≠1)的值域为{y|y≥1},则函数y=log a|x|的图象大致是( )【解析】选B.由于y=a|x|的值域为{y|y≥1},所以a>1,则y=log a|x|在(0,+∞)上是增函数,又函数y=log a|x|的图象关于y轴对称.因此y=log a|x|的图象应大致为选项B.6.已知f(x)=lg(10+x)+lg(10-x),则( )世纪金榜导学号A.f(x)是奇函数,且在(0,10)上是增函数B.f(x)是偶函数,且在(0,10)上是增函数C.f(x)是奇函数,且在(0,10)上是减函数D.f(x)是偶函数,且在(0,10)上是减函数【解析】选D.由得x∈(-10,10),且f(x)=lg(100-x2).所以f(x)是偶函数,又t=100-x2在(0,10)上单调递减,y=lg t在(0,+∞)上单调递增,故函数f(x)在(0,10)上单调递减.7.(2020·宁德模拟)已知函数f(x)=lg(|x|+1),记a=f(50.2),b=f(log0.23),c=f(1),则a,b,c的大小关系为世纪金榜导学号( )A.b<c<aB.a<b<cC.c<a<bD.c<b<a【解析】选A.f(x)是偶函数,在[0,+∞)上单调递增,所以b=f(log0.23)=f(-log0.23)=f.因为50.2>50=1,0<log0.2<log0.20.2=1,所以0<log0.2<1<50.2,所以f<f(1)<f(50.2),所以b<c<a.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知函数f(x)=,则f=______.【解析】f=log3=-2,f=f(-2)=2-2=.答案:9.函数y=log2(x-x2)的定义域是________,值域是________, 单调增区间是________.【解析】由题意得,x-x2>0,解得0<x<1,故函数y=log2(x-x2)的定义域为(0,1);因为y=log2(x-x2)=log2≤log2=-2,所以函数的值域为(-∞,-2];因为y=log2t是单调增函数,所以函数g(x)=x-x2的增区间即为原函数的增区间.因为g(x)=x-x2在上单调递增,故原函数的单调增区间为.答案:(0,1) (-∞,-2]【变式备选】函数f(x)=的定义域为________.【解析】由题意得解得0<x≤,故函数f(x)的定义域为(0,].答案:(0,]10.若函数f(x)=log a(a>0,a≠1)在区间内恒有f(x)>0,则f(x)的单调递增区间为________. 世纪金榜导学号【解析】令M=x2+x,当x∈时,M∈(1,+∞),f(x)>0,所以a>1,所以函数y=log a M为增函数,又M=-,因此M的单调递增区间为.又x2+x>0,所以x>0或x<-,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).答案:(0,+∞)(15分钟35分)1.(5分)已知函数f(x)=|ln x|,若f(m)=f(n)(m>n>0),则+=( )A.B.1 C.2 D.4【解析】选C.由f(m)=f(n),m>n>0,可知m>1>n>0,所以ln m=-ln n,则mn=1.所以+===2.2.(5分)(2020·威海模拟)已知函数f(x)=lnx+ln(a-x)的图象关于直线x=1对称,则函数f(x)的值域为( )A.(0,2)B.[0,+∞)C.(-∞,2]D.(-∞,0]【解析】选D.因为函数f(x)=lnx+ln(a-x)的图象关于直线x=1对称, 所以f(1-x)=f(1+x),即ln(1-x)+ln(a-1+x)=ln(1+x)+ln(a-1-x),所以(1-x)(a-1+x)=(1+x)(a-1-x),整理得(a-2)x=0恒成立,所以a=2,所以f(x)=lnx+ln(2-x),定义域为(0,2).又f(x)=lnx+ln(2-x)=ln(2x-x2),因为0<x<2时,0<2x-x2≤1,所以ln(2x-x2)≤0,所以函数f(x)的值域为(-∞,0].故选D.3.(5分)已知a>b>1,若log a b+log b a=,a b=b a,则a=______,b=________.【解析】由于a>b>1,则log a b∈(0,1),因为log a b+log b a=,即log a b+=,所以log a b=或log a b=2(舍去),所以=b,即a=b2,所以a b=(b2)b=b2b=b a,所以a=2b,b2=2b,所以b=2(b=0舍去),a=4.答案:4 24.(10分)设f(x)=log a(1+x)+log a(3-x)(a>0,a≠1),且f(1)=2. 世纪金榜导学号(1)求a的值及f(x)的定义域.(2)求f(x)在区间上的最大值.【解析】(1)因为f(1)=2,所以log a4=2(a>0,a≠1),所以a=2.由得-1<x<3,所以函数f(x)的定义域为(-1,3).(2)f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)=log2[(1+x)(3-x)]=log2[-(x-1)2+4],所以当x∈(-1,1]时,f(x)是增函数;当x∈(1,3)时,f(x)是减函数,故函数f(x)在上的最大值是f(1)=log24=2.5.(10分)已知函数f(x)=lo(1-x)+lo(x+a),若函数g(x)=2x+a的图象过点(0,4). 世纪金榜导学号(1)求实数a的值;(2)求函数f(x)的值域.【解析】(1)因为函数g(x)=2x+a的图象过点(0,4),所以20+a=4,解得a=3.(2)由(1)知a=3,所以f(x)=lo(1-x)+lo(x+3)=lo[-(x+1)2+4].因为所以-3<x<1,所以0<-(x+1)2+4≤4.设t=-(x+1)2+4,则t∈(0,4],又y=lo t在(0,4]上是单调递减函数,且lo4=-2,所以函数f(x)的值域是[-2,+∞).关闭Word文档返回原板块快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

基础巩固强化一、选择题1．(文)(2013·湖南)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )A.32 B ．1 C.2＋12 D. 2[答案] D[解析] 由棱长为1的正方体的俯视图及侧视图的面积可知正方体的一条侧棱正对正前方，其三视图如下：故正视图是长为2，宽为1的矩形，其面积为2，选D. (理)(2012·北京朝阳二模)有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影，其投影面积的最大值是( )A ．1B.322C. 2D. 3[答案] D[解析]如图1所示是棱长为1的正方体．当投影线与平面A1BC1垂直时，平面ACD1∥平面A1BC1，∴此时正方体的正投影为一个正六边形，如图2，设其边长为a，则在△ABC中，AB＝BC＝a，∠ABC＝120°，∴3a＝2，∴a＝63，∴投影面的面积为6×34×(63)2＝3，此时投影面积最大，故选D. 2．(文)(2013·云南玉溪一中月考)已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为2的正方形，正视图与侧视图是边长为2的正三角形，则其表面积是()A．8 B．12C．4(1＋3) D．4 3[答案] B[解析]由题意知，该几何体为正四棱锥，底面边长为2，侧面斜高为2，所以底面面积为2×2＝4，侧面积为4×(12×2×2)＝8，所以表面积为4＋8＝12.(理)(2013·石嘴山市调研)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是()A．4B．6C．8D．12[答案] A[解析]由三视图可知，此几何体为高是2，底面为直角梯形的四棱锥，且直角梯形上、下底的长分别为2、4，高为2，故这个几何体的体积为V ＝13×[12×(2＋4)×2]×2＝4，故选A.3．若圆锥轴截面的顶角θ满足π3<θ<π2，则其侧面展开图中心角α满足( )A.π4<α<π3B.π3<α<π2 C.π2<α<π D ．π<α<2π[答案] D[解析] ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 ∴θ2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4， ∴sin θ2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，又r l ＝sin θ2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，∴其侧面展开图中心角α＝rl ·2π∈(π，2π)．4．如图是某几何体的三视图，其中正(主)视图是斜边长为2a 的直角三角形，侧(左)视图是半径为a 的半圆，则该几何体的体积是( )A.36πa 3B.3πa 3C.34πa 3 D ．23πa 3[答案] A[解析] 由侧(左)视图半圆可知，该几何体与圆柱、圆锥、球有关，结合正(主)视图是一个直角三角形知该几何体是沿中心轴线切开的半个圆锥将剖面放置在桌面上如图，由条件知，圆锥的母线长为2a ，底面半径为a ， 故高h ＝(2a )2－a 2＝3a ，体积V ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×πa 2×3a ＝36πa 3.5．(文)侧棱长为4，底面边长为3的正三棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为( )A ．76πB ．68πC ．20πD ．9π[答案] C[解析] 设球心为O ′，如图，球半径R ＝OO ′2＋OC 2＝4＋1＝5，∴S球＝4π·R2＝20π.(理)(2013·安徽六校教研会联考)四棱锥P－ABCD的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E，F分别是棱AB，CD 的中点，直线EF被球面截得的线段长为22，则该球的表面积为()A．9π B．3πC．22π D．12π[答案] D[解析]该几何体的直观图如图所示，该几何体可看作由正方体截得的，则正方体外接球的直径即为PC.由直线EF被球面所截得的线段长为22，可知正方形ABCD的对角线AC的长为22，可得a＝2，在△P AC中，PC＝22＋(22)2＝23，∴球的半径R＝3，∴S表＝4πR2＝4π×(3)2＝12π.6．(文)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为32π3，那么这个三棱柱的体积是()A．963B．483C．243D．16 3[答案] B[解析]已知正三棱柱的高为球的直径，底面正三角形的内切圆等于球的大圆．设底面正三角形的边长为a，球的半径为R，则a＝23R，又43πR3＝32π3，∴R＝2，a＝43，于是V＝34a2·2R＝48 3.(理)如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B 重合于点P ，则三棱锥P －DCE 的外接球的体积为( )A.43π27B.6π2C.6π8D.6π24[答案] C[解析] 根据题意折叠后的三棱锥P －DCE 为正四面体，且棱长为1，以此正四面体来构造正方体，则此正方体的棱长为22，故正方体的体对角线的长为62，且正方体的外接球也为此正四面体的外接球，∴外接球的半径为64，∴V 球＝43πr 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫643＝6π8，选C.二、填空题7．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是________cm 3.[答案]112＋2413[解析]由三视图知，该几何体是一个正四棱台和一个正四棱柱的组合体，四棱台下底面边长为8，上底面边长为4，高为3，故棱台的斜高h′＝32＋(4－2)2＝13.上面正四棱柱底面边长为4，高为2，则表面积为S＝4×4＋4×(4×2)＋8×8＋4×[12×(4＋8)×13]＝112＋2413(cm3)．8.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1.在三角形内挖去半圆(圆心O在边AC上，半圆分别与BC、AB相切于点C、M，与AC交于点N)，则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为______．[答案]53π27[解析]阴影部分绕AC旋转一周所得旋转体为圆锥中挖去一个球，圆锥的体积V＝13π×12×3＝33π，球体积V1＝4π3×⎝⎛⎭⎪⎫333＝43π27，故所求体积为3π3－43π27＝53π27.9．侧棱长为23的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面AEF，则截面△AEF周长的最小值为________．[答案] 6[解析]沿侧棱VA剪开，侧面展开如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值，取AA1中点D，则VD⊥AA1，∠AVD＝60°，∴AA1＝2AD＝6.三、解答题10．(文)(2012·新课标全国文，19)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝12AA1，D是棱AA1的中点．(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．[分析](1)证两个平面垂直，可转化为在其中一个平面内找到一条直线与另一个平面垂直；(2)平面BDC1分棱柱成两部分，下面部分B－ADC1C为四棱锥，可直接求体积，上面部分可用间接法求得体积，从而确定两部分体积之比．[解析](1)证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.(2)设棱锥B－DACC1的体积为V1，AC＝1.由题意得，V1＝13×1＋22×1×1＝12.又三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝1，所以(V－V1)V1＝1 1.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1 1.[点评]本题考查线面的位置关系及几何体体积的求法．求解几何体的体积时，若遇不规则的几何体时，经常采用割补法和间接法求其体积．(理)如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，P A⊥平面ABCD，P A＝1.(1)求证：AB∥平面PCD；(2)求证：BC⊥平面P AC；(3)若M 是PC 的中点，求三棱锥M －ACD 的体积．[证明] (1)由已知底面ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，又AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴AB ∥平面PCD .(2)在直角梯形ABCD 中，过C 作CE ⊥AB 于点E ，则四边形ADCE 为矩形，∴AE ＝DC ＝1又AB ＝2，∴BE ＝1，在Rt △BEC 中，∠ABC ＝45°，∴CE ＝BE ＝1，CB ＝2，∴AD ＝CE ＝1，则AC ＝AD 2＋CD 2＝2，AC 2＋BC 2＝AB 2，∴BC ⊥AC .又P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BC ，又P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC .(3)∵M 是PC 中点，∴M 到平面ADC 的距离是P 到平面ADC 距离的一半．∴V M －ACD ＝13S △ACD ·(12P A )＝13×(12×1×1)×12＝112.能力拓展提升一、选择题11．(2013·河北教学质量监测)已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为6时，其高的值为( ) A ．3 3B. 3 C ．2 6D ．2 3[答案] D[解析] 设正六棱柱的高为h ，则可得(6)2＋h 24＝32，解得h ＝2 3.12．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2.动点E 、F 在棱A 1B 1上，点Q 是棱CD 的中点，动点P 在棱AD 上．若EF ＝1，DP ＝x ，A 1E ＝y (x ，y 大于零)，则三棱锥P －EFQ 的体积( )A ．与x 、y 都有关B ．与x 、y 都无关C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关[答案] C[解析] 设P 到平面EFQ 的距离为h ，则V P －EFQ ＝13×S △EFQ ·h ，由于Q 为CD 的中点，∴点Q 到直线EF 的距离为定值2，又EF ＝1，∴S △EFQ 为定值，而P 点到平面EFQ 的距离，即P 点到平面A 1B 1CD的距离，显然与x 有关与y 无关，故选C.13．(2013·天津新华中学月考)如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，则该几何体的体积是( )A ．24B ．12C ．8D ．4[答案] B[解析] 由三视图可知，该几何体由两个相同的直三棱柱构成，三棱柱的高为4，三棱柱的底面为直角三角形，两直角边分别为2，32，所以三棱柱的底面积为12×2×32＝32，所以三棱柱的体积为32×4＝6.即该几何体的体积为2×6＝12.故选B.二、填空题14．(2013·山西诊断)已知三棱锥P －ABC 的各顶点均在一个半径为R 的球面上，球心O 在AB 上，PO ⊥平面ABC ，AC BC ＝3，则三棱锥与球的体积之比为________．[答案] 38π [解析]如图，依题意，AB ＝2R ，又AC BC ＝3，∠ACB ＝90°，因此AC ＝3R ，BC ＝R ，V P －ABC ＝13PO ·S △ABC ＝13×R ×(12×3R ×R )＝36R 3.而V球＝4π3R 3，因此V P －ABC V 球＝36R 34π3R 3＝38π. 15．(文)(2013·杭州二模)已知正三棱柱ABC －A ′B ′C ′的正视图和侧视图如图所示．设△ABC ，△A ′B ′C ′的中心分别是O ，O ′，现将此三棱柱绕直线OO ′旋转，在旋转过程中对应的俯视图的面积为S ，则S 的最大值为________．[答案] 8[解析] 据正视图与侧视图知，该三棱柱的初始状态是水平放置的，直观图如图所示．据所给的数据知，底面正三角形的高是3，∴底面边长是2.将三棱柱绕OO′旋转时，俯视图是矩形，该矩形的一组对边的长度保持不变(长度为4)，另一组对边长度不断变化，在底投影面上的投影的长度的最大值为2，∴S的最大值为4×2＝8.(理)已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝2，P是BC1上一动点，如图所示，则CP＋P A1的最小值为________．[答案]5 2[解析]P A1在平面A1BC1内，PC在平面BCC1内，将其铺平后转化为平面上的问题解决．计算A1B＝AB1＝40，BC1＝2，又A1C1＝6，故△A1BC1是∠A1C1B＝90°的直角三角形．铺平平面A1BC1、平面BCC1，如图所示．CP＋P A1≥A1C.在△AC1C中，由余弦定理得，A1C＝62＋(2)2－2·6·2·cos135°＝52，故(CP＋P A1)min＝5 2.[点评]多面体或旋转体表面上两点的最短距离问题，一般选择恰当的棱或母线剪开展平，转化为平面上两点间线段最短问题解决．三、解答题16．(文)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2所示．(1)求证：BC⊥平面ACD；(2)求几何体D－ABC的体积．[解析](1)证明：由条件可得AC＝BC＝22，从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC.又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥平面ACD .(2)由(1)可知BC 为三棱锥B －ACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2，∴V B －ACD ＝13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423，∴几何体D －ABC 的体积为423.(理)(2013·新课标Ⅱ)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C －A 1DE 的体积．[解析] (1)证明：如图，连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点，又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF ，因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22得，∠ACB＝90°，CD＝2，A1D＝6，DE＝3，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D所以VC－A1DE＝13×(12×6×3)×2＝1.考纲要求了解球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式．补充说明1．棱锥的平行于底面的截面性质：棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面相似，相似比等于截得小棱锥与原棱锥的对应边(侧棱、高)的比．面积比等于相似比的平方，若棱锥为正棱锥，则两底面对应半径的比、对应边的比、对应边心距的比、斜高的比都等于相似比．2．空间几何体的表面积、侧面积计算一般都可以转化为平面图形的面积计算；将圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一；关于球的问题中的计算，常选取球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决．3．根据几何体的结构特征判断几何体的类型，首先应熟练掌握各类几何体的概念和性质，其次要有一定的空间想象能力．4．转化思想立体几何处理问题的一个基本思想就是转化，包括复杂向简单转化，高维向低维降维转化等等，割补法、等积变换、卷、折、展都是转化思想在处理立体几何问题中的体现．(1)割补法割补法是割法与补法的总称．补法是把不熟悉的(或复杂的)几何体延伸或补成熟悉的(或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形．割法是把复杂的几何体切割成简单的几何体．(2)等积变换在求几何体的体积、高(点到面的距离)等问题时，常常要通过等积变换来处理，等积变换的主要依据有：①平行线间距离处处相等．②平行平面间的距离处处相等．③若l ∥α，则l 上任一点到平面α的距离都相等．④等底面积等高的柱(锥)体的体积相等，锥体的体积是等底面积等高的柱体体积的13.⑤三棱锥A －BCD 中，有V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC .(3)卷起、展开与折叠①将平面图形卷成旋转体(或将旋转体侧面展开)、将平面图形折成多面体，要注意折(卷、展)前后几何量的对应关系和位置关系，弄清哪些量发生了什么变化，哪些量没有变化，特别注意其中的平行、垂直位置关系．②多面体或旋转体的表面距离最值问题，常通过展开图来解决．(4)对于某些简单几何体的组合体问题，常常通过作出截面，使构成组合体的各简单几何体的元素，相对地集中在一个平面图形中，以达到空间问题向平面问题的转化．备选习题1．已知S 、A 、B 、C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝1，BC ＝2，则球O 的表面积等于( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π[答案] A[解析]∵AB ⊥BC ，∴AC 为截面圆的直径，∴AC 中点为截面圆的圆心． 设D 为AC 中点，连OD ，则OD ⊥平面ABC ，∵SA ⊥平面ABC ，∴SA ∥OD .连SC ，则SC ＝SA 2＋AC 2＝12＋(3)2＝2.又SB ＝2，BC ＝2，∵SC 2＝SB 2＋BC 2，∴∠SBC ＝90°，∵∠SAC ＝90°，∴SC 为球O 的直径，∵2R ＝2，故R ＝1，∴S 球＝4πR 2＝4π，选A.2.(2013·东北三省四市诊断)如图所示是一个几何体的三视图，其侧视图是一个边长为a 的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则该几何体的体积为( )A ．a 3B.a 32C.a 33D.a 34[答案] D[解析] 该几何体由两个全等的三棱锥组合而成的，三棱锥的底面是边长为a 的等边三角形，一条侧棱与底面垂直，且这条与底面垂直的侧棱长为32a ，所以该几何体的体积为V ＝2×(13×34a 2×32a )＝a 34.3．(2013·辽宁五校联考)已知三边长分别为3、4、5的△ABC 的外接圆恰好是球O 的一个大圆，P 为球面上一点，若点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，则三棱锥P －ABC 的体积为( )A ．5B ．10C ．20D ．30[答案] A[解析] 由题意得三角形ABC 为直角三角形，其外接圆的直径2R ＝5，设P 在平面ABC 上的射影为G ，∵P 到三个顶点的距离相等，∴GA ＝GB ＝GC ，∴G 为△ABC 的外心，∴G 与球心O (即AB 的中点)重合，∴OP ⊥平面ABC ，故所求的体积V ＝13S △ABC ×R ＝13×(12×3×4)×52＝5.4．侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各顶点都在球O 的球面上，且AB ＝AC ＝1，BC ＝3，若球O 的体积为2053π，则这个直三棱柱的体积等于( )A ．1B. 2 C ．2D. 3 [答案] D[解析] 设球O 的半径为R ，则4πR 33＝205π3，∴R ＝5，设△ABC外接圆半径为r ，BC 边上的高为h ，则h ＝12－(32)2＝12，(h －r )2＋(32)2＝r 2，∴r ＝1；设棱柱的高为H ，则R 2＝r 2＋(H 2)2， ∴H ＝4，∴V 棱柱＝12×3×12×4＝ 3.。

8-2圆的方程基础巩固强化1.(2011²广州检测)圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝1[答案] A[解析] 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知 0－12＋b －22＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.2．(文)(2011²广东文，8)设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则圆C 的圆心轨迹为( )A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆[答案] A[解析] 动圆圆心C 到定点(0,3)的距离与到定直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的定义，故选A.(理)(2011²广州模拟)动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D ．(x ＋32)2＋y 2＝12[答案] C[解析] 设中点M (x ，y )，则点A (2x －3,2y )， ∵A 在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1， 即(2x －3)2＋4y 2＝1，故选C.3．方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0表示的曲线形状是( )[答案] C[解析] 注意到方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x ＋y ＋1≥0，或②x ＋y ＋1＝0.①表示的是不在直线x ＋y ＋1＝0的左下方且在圆x 2＋y 2＝4上的部分；②表示的是直线x ＋y ＋1＝0.因此，结合各选项知，选C.4．(2011²华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离最大值是a ，最小值是b ，则a ＋b ＝( )A.125B.245C.65 D ．5[答案] B[解析] 圆心C (1,1)到直线3x ＋4y ＋5＝0距离d ＝125，∴a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125＋r ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫125－r ＝245(r 为圆的半径)．5．(2012²福州八县联考)已知函数f (x )＝1－x －12，x ∈[1,2]，对于满足1<x 1<x 2<2的任意x 1、x 2，给出下列结论：①f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1； ②x 2f (x 1)>x 1f (x 2)；③(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]<0； ④(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0. 其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 曲线y ＝1－x －12，x ∈[1,2]表示圆(x －1)2＋y 2＝1，位于直线x ＝1右侧x 轴上方的四分之一个圆，∵1<x 1<x 2<2，∴f (x 1)>f (x 2)．因此，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0，④错，③对；显然有k OA >k OB ，∴f x 1x 1>f x 2x 2，∴x 2f (x 1)>x 1f (x 2)，故②正确；又k AB ＝f x 2－f x 1x 2－x 1<0，可能有k AB <－1，也可能k AB >－1，∴①错．6．(文)(2011²日照模拟)圆心在曲线y ＝3x(x >0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －3)2＝(185)2B ．(x －3)2＋(y －1)2＝(165)2C ．(x －2)2＋(y －32)2＝9D ．(x －3)2＋(y －3)2＝9 [答案] C[解析] 设圆心坐标为(a ，3a)(a >0)，则圆心到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离d ＝|3a ＋12a ＋3|5＝35(a ＋4a ＋1)≥35(4＋1)＝3，等号当且仅当a ＝2时成立．此时圆心坐标为(2，32)，半径为3，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －32)2＝9.(理)(2011²西安模拟)若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2[答案] D[解析] 由条件知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上，∴a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b)(a ＋b )＝3＋b a＋2ab≥3＋22，等号在b a＝2ab，即b ＝2－2，a ＝2－1时成立．7．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹方程为________．[答案] (x ＋3)2＋(y －4)2＝4(x ≠－95且x ≠－215)[解析]如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为(x 2，y 2)，线段MN 的中点坐标为(x 0－32，y 0＋42)．由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42. 从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3y 0＝y －4.因为N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点(－95，125)和(－215，285)(点P在直线OM 上时的情况)．8．(2011²南京模拟)已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________．[答案] x ＋y －1＝0[解析] 过点M 的最短的弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)， ∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－1(x －1)，即x ＋y －1＝0.9．(文)已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________．[答案] (x ＋2)2＋y 2＝2[解析] 设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝2(a <0)，由条件得2＝|a |2，∴|a |＝2，又a <0，∴a ＝－2.(理)(2012²石家庄一模)已知动圆的圆心C 在抛物线x 2＝2py (p >0)上，该圆经过点A (0，p )，且与x 轴交于两点M 、N ，则sin ∠MCN 的最大值为________．[答案] 1[解析] 当圆心C 的纵坐标为p 时，C (2p ，p )为圆心的圆方程为(x －2p )2＋(y －p )2＝2p 2，令y ＝0得，x ＝2p ±p ，∴MC ⊥NC ，∴sin ∠MCN ＝1.10．(文)已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3,5)，求： (1)过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连结OA ，OC ，求△AOC 的面积S . [解析] (1)⊙C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1.当切线的斜率不存在时，过点A 的直线方程为x ＝3，C (2,3)到直线的距离为1，满足条件．当k 存在时，设直线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0，由直线与圆相切得， |－k ＋2|k 2＋1＝1，∴k ＝34.∴直线方程为x ＝3或y ＝34x ＋114.(2)|AO |＝9＋25＝34， 直线OA ：5x －3y ＝0， 点C 到直线OA 的距离d ＝134，S ＝12²d ²|AO |＝12.(理)(2011²兰州一诊)已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆M 的两条切线，A 、B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．[解析] (1)设圆M 的方程为： (x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)． 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＋－1－b 2＝r 2，－1－a 2＋1－b 2＝r 2，a ＋b －2＝0，解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)因为四边形PAMB 的面积S ＝S △PAM ＋S △PBM＝12|AM |²|PA |＋12|BM |²|PB |， 又|AM |＝|BM |＝2，|PA |＝|PB |，所以S ＝2|PA |， 而|PA |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4， 即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可， 即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ， 使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝|3³1＋4³1＋8|32＋42＝3，所以四边形PAMB 面积的最小值为：S ＝2|PM |2－4＝232－4＝2 5.能力拓展提升11.(2011²西安模拟)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点M (3,5)的最长弦、最短弦分别为AC 、BD ，则以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6[答案] B[解析] 圆的方程：(x －3)2＋(y －4)2＝25， ∴半径r ＝5，圆心到最短弦BD 的距离d ＝1， ∴最短弦长|BD |＝46， 又最长弦长|AC |＝2r ＝10，∴四边形的面积S ＝12³|AC |³|BD |＝20 6.12．(文)(2011²成都龙泉第一中学模拟)以抛物线y 2＝20x 的焦点为圆心，且与双曲线x 216－y 29＝1的两渐近线都相切的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2－20x ＋64＝0 B ．x 2＋y 2－20x ＋36＝0 C ．x 2＋y 2－10x ＋16＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＋9＝0[答案] C[解析] 抛物线的焦点坐标是(5,0)，双曲线的渐近线方程是3x ±4y ＝0，点(5,0)到直线3x ±4y ＝0的距离d ＝3即为所求圆的半径．故所求圆的方程为(x －5)2＋y 2＝9，即x 2＋y 2－10x ＋16＝0，故选C.(理)设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是( )A ．(x －1)2＋y 2＝4 B ．(x －1)2＋y 2＝2 C ．y 2＝2x D ．y 2＝－2x[答案] B[解析] 设P (x ，y )，圆心C (1,0)，由题意知PA ⊥AC ，∴|PC |2＝|PA |2＋|AC |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2，故选B.13．(2011²长春市调研)若圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交所得的弦长为22，则圆的方程是________________．[答案] (x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244[解析] 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x ＋2y ＝0上，即有a ＋2b ＝0，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝0，2－a 2＋3－b 2＝r 2，r 2－a －b ＋122＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝－3，r 2＝52.或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－7，r 2＝244.所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244.14．(文)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为__________．[答案] (x ＋1)2＋y 2＝2[解析] 在直线方程x －y ＋1＝0中，令y ＝0得，x ＝－1，∴圆心坐标为(－1,0)， 由点到直线的距离公式得圆的半径R ＝|－1＋0＋3|2＝2， ∴圆的标准方程为(x ＋1)＋y 2＝2.(理)圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于A 、B ，|AB |＝3，则该圆的标准方程是________．[答案] (x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1[解析]设圆心C (a ，b )，由条件知a ＝1，取弦AB 中点D ，则CD ＝AC 2－AD 2＝12－⎝⎛⎭⎪⎫322＝12， 即b ＝12，∴圆方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1.15．(文)(2011²青岛模拟)已知以点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程． [解析] (1)证明：∵圆C 过原点O ，∴OC 2＝t 2＋4t2.设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，∴S △OAB ＝12|OA |²|OB |＝12³⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ³|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)∵|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |， ∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12.∴直线OC 的方程是y ＝12x .∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95> 5.圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，舍去． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.(理)(2011²北京模拟)已知点A (－3,0)，B (3,0)．动点P 满足|PA |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线C 的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．[解析] (1)设P (x ，y )，∵|PA |＝2|PB |， ∴(x ＋3)2＋y 2＝4[(x －3)2＋y 2] 整理得(x －5)2＋y 2＝16. (2)由条件知QM 与圆C 相切，则问题转化为在直线l 1上求一点Q ，过点Q 作⊙C 的切线，求切线长的最小值． 由于⊙C 的半径为定值4，欲使切线长最小，只需QC 最小，而点C (5,0)为定点，因此，当CQ ⊥l 1时取得最小值，∵C 到l 1的距离d ＝42，∴|QM |min ＝d 2－42＝4.16．(文)已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．[分析] (1)设出点P 的坐标，由|PA |＝2|PB |写出方程，化简即可；(2)直线l 2与曲线C 只有一个公共点M ，故l 2与C 相切，当|QC |取最小值时，|QM |取到最小值，故|CQ |为点C 到l 1的距离时满足要求．[解析] (1)设点P 的坐标为(x ，y )， 则x ＋32＋y 2＝2x －32＋y 2，化得可得(x －5)2＋y 2＝16即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图． 由题意知直线l 2是此圆的切线，连接CQ ， 则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，|CQ |＝|5＋3|2＝42，此时|QM |的最小值为32－16＝4.(理)(2012²河南六市联考)已知直线l 与抛物线x 2＝4y 相切于点P (2,1)，且与x 轴交于点A ，O 为坐标原点，定点B 的坐标为(2,0)，动点Q 满足AB →²BQ →＋2|AQ →|＝0.(1)求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，只要该圆的切线与切点Q 的轨迹C 有两个不同交点M ，N ，就一定有OM →²ON →＝0？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由x 2＝4y 得y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴直线l 的斜率为y ′|x ＝2＝1，故l 的方程为：y －1＝1(x －2)，即y ＝x －1， ∴点A 坐标为(1,0)，设Q (x ，y )，则AB →＝(1,0)，BQ →＝(x －2，y )，AQ →＝(x －1，y )， 由AB →²BQ →＋2|AQ →|＝0得，x －2＋0＋2x －12＋y 2＝0，化简整理得x 22＋y 2＝1，故动点Q 的轨迹C 的方程为：x 22＋y 2＝1.(2)假设存在这样的圆，其方程为x 2＋y 2＝r 2(r >0)．(ⅰ)当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m 代入x 22＋y 2＝1，可得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，判别式Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)>0， ∴m 2<1＋2k 2，①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，②x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2，③由OM →²ON →＝0，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，④ 将②③代入④得2m 2－11＋k 21＋2k 2－4k 2m 21＋2k 2＋m 2＝0，m 2＝23(1＋k 2)，⑤显然满足①式由直线MN ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝r 2相切知：r ＝|m |1＋k2，∴r ＝m 21＋k 2＝23，即存在圆x 2＋y 2＝23满足题意． (ⅱ)当直线MN 的斜率不存在时，可得x 1＝x 2＝63或x 1＝x 2＝－63，y 1＝－y 2＝63，满足OM →²ON →＝0，综上所述：存在圆x 2＋y 2＝23满足题意．1．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为60°，直线ax ＋by －a ＋1＝0平分圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是( )A ．P 在⊙C 内B ．P 在⊙C 上 C ．P 在⊙C 外D ．无法确定[答案] C[解析] 由条件得，⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝tan60°，2a ＋3b －a ＋1＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14，b ＝－34，∵(－14－2)2＋(－34－3)2>1，∴点P 在⊙C 外．2．(2011²临沂模拟)圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A ．(－∞，14]B ．(0，14]C ．(－14，0)D ．(－∞，14)[答案] A[解析] 由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，∴ab ≤(a ＋b2)2＝14.3．已知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝1上一点P到直线3x－4y－3＝0距离为d，则d的最小值为( )A．1 B.4 5C.25D．2[答案] A[解析] ∵圆心C(－1,1)到直线3x－4y－3＝0距离为2，∴d min＝2－1＝1.4．(2011²东北育才中学期末)圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是( )A．(－∞，4) B．(－∞，0)C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)[答案] A[解析] 圆(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，由条件知，圆心C(1，－3)在直线y＝x＋2b上，∴b＝－2，又10－5a>0，∴a<2，∴a－b<4.5．(2011²浙江宁波八校联考)点(a，b)为第一象限内的点，且在圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝8上，ab的最大值为________．[答案] 1[解析] 由条件知a>0，b>0，(a＋1)2＋(b＋1)2＝8，∴a2＋b2＋2a＋2b＝6，∴2ab＋4ab ≤6，∵ab>0，∴0<ab≤1，等号在a＝b＝1时成立．[点评] 作出图形可见，点(a，b)为⊙C在第一象限的一段弧，由对称性可知，当点(a，b)为直线y＝x与⊙C的交点(1,1)时，ab取最大值1.。