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2017年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线

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2017 年高考试题分类汇编之圆锥曲线（理数） 解析 一、选择题 ............................................................................................................................... 1 二、填空题 ............................................................................................................................... 3 三、大题 ................................................................................................................................... 5

一、选择题 【浙江卷】2．椭圆22194xy的离心率是 A．133 B．53 C．23 D．59 【解析】94533e，选B. 【全国1卷（理）】10.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ） A．16 B．14 C．12 D．10 【解析】设AB倾斜角为．作1AK垂直准线，2AK垂直x轴

易知11cos22AFGFAKAKAFPPGPP（几何关系）（抛物线特性） cosAFPAF∴ 同理1cosPAF，1cosPBF ∴22

221cossinPP

AB

又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为π2

22

22πcossin2PPDE



 而24yx，即2P． ∴22

11

2sincosABDEP



22

22sincos4sincos

22

4

sincos

2

4

1sin2

4

21616sin2≥，当π4取等号

即ABDE最小值为16，故选A

【全国Ⅱ卷（理）】9.若双曲线C:22221xyab（0a，0b）的一条渐近线被圆2224xy所截得的弦长为2，则C的离心率为（ ）

A．2 B．3 C．2 D．233 【解析】取渐近线byxa，化成一般式0bxay，圆心20，到直线距离为2223bab 得224ca，24e，2e．

【全国III卷（理）】5.已知双曲线C:22221xyab (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为52yx,且与椭圆221123xy 有公共焦点，则C的方程为( )

A. 221810xy B. 22145xy C. 22154xy D. 22143xy 【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为52yx，则52ba① 又∵椭圆221123xy与双曲线有公共焦点，易知3c，则2229abc② 由①②解得2,5ab，则双曲线C的方程为22145xy，故选B.

【全国III卷（理）】10.已知椭圆C：22221xyab，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线20bxayab相切，则C的离心率为( ) A.63 B.33 C.23 D.13 【解析】∵以12AA为直径为圆与直线20bxayab相切，∴圆心到直线距离d等于半径，

∴22

2abdaab

又∵0,0ab，则上式可化简为223ab

∵222bac，可得2223aac，即2223c

a

∴63cea，故选A

【天津卷】（5）已知双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点为F，离心率为2.若经过F和(0,4)P两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ） A.22144xy B.22188xy C.22148xy D.22184xy

【解析】由题意得224,14,22188xyabcabc ，故选B.

二、填空题 【全国1卷（理）】15.已知双曲线C：22221xyab（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________. 【解析】如图，

OAa，ANAMb ∵60MAN，∴32APb，222234OPOAPAab ∴2232tan34bAPOPab

又∵tanba，∴223234bbaab，解得223ab ∴221231133bea 【全国2卷（理）】16.已知F是抛物线C:28yx的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则FN ． 【解析】28yx则4p，焦点为20F，，准线:2lx， 如图，M为F、N中点， 故易知线段BM为梯形AFMC中位线， ∵2CN，4AF， ∴3ME 又由定义MEMF， 且MNNF， ∴6NFNMMF

l

FNMC

BAO

yx 【北京卷】（9）若双曲线221yxm的离心率为3，则实数m=_______________. 【解析】.1321mm 【江苏卷】8.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213xy 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q，其焦点是F1 , F2 ,则四边形F1 P F2 Q的面积是 . 【解析】右准线方程为33101010x，渐近线为33yx，则31030(,)1010P，31030(,)1010Q，1(10,0)F，2(10,0)F，则302102310S.

【山东卷】14.在平面直角坐标系xOy中，双曲线222210,0xyabab的右支与焦点为F

的抛物线220xpxp交于,AB两点，若4AFBFOF，则该双曲线的渐近线方程为 .

三、大题 【全国I卷（理）】20.（12分）已知椭圆C：2222=1xyab（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，32 ），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上. （1）求C的方程； （2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点. 20.解：（1）根据椭圆对称性，必过3P、4P 又4P横坐标为1，椭圆必不过1P，所以过234PPP，，三点 将2330112PP，，，代入椭圆方程得222113141bab，解得24a，21b ∴椭圆C的方程为：2214xy． （2）①当斜率不存在时，设:AAlxmAmyBmy，，，，

221121AAPAPByykkmmm



得2m，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设1lykxbb∶ 1122AxyBxy，，，

联立22440ykxbxy，整理得222148440kxkbxb 122

814kbxxk

,21224414bxxk

则22121211PAPByykkxx21212112xkxbxxkxbxxx 2222

2

8888144414kbkkbkbkbk

811411kbbb

，又1b21bk，此时64k，存在k

使得0成立． ∴直线l的方程为21ykxk 当2x时，1y 所以l过定点21，．

【全国II卷（理）】20. （12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2212xy上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足2NPNM. (1)求点P的轨迹方程； (2)设点Q在直线x=-3上，且1OPPQ.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦 点F. ．解：⑴设()Pxy，，易知(0)Nx，

(0)NPy，又1022yNMNP，

∴12Mxy，，又M在椭圆上． ∴22122yx，即222xy． ⑵设点(3)QQy，，()PPPxy，，(0)Qy， 由已知：()(3)1PPPQPOPPQxyyyy，，， 2

1OPOQOPOPOQOP，

∴213OPOQOP， ∴33PQPQPPQxxyyxyy．

设直线OQ：3Qyyx， 因为直线l与OQl垂直． ∴3lQky

故直线l方程为3()PPQyxxyy， 令0y，得3()PQPyyxx， 13PQPyyxx，

∴13PQPxyyx， ∵33PQPyyx， ∴1(33)13PPxxx， 若0Qy，则33Px，1Px，1Py， 直线OQ方程为0y，直线l方程为1x，直线l过点(10)，，为椭圆C的左焦点．

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【山东省】2017年高考数学(理科)-圆锥曲线的定义、方程、几何性质-专题练习-答案

【山东省】2017年高考数学(理科)-圆锥曲线的定义、方程、几何性质-专题练习-答案


＋
y12 b2
y22
＝0,
即

x1

x2 x1
4b2

x2
＋
y1

y2
b2
y1

y2
＝0,
即

32 17

x1 4

x2

＋4 17
(
y1－y2
)＝0,
从而kPQ＝
y1 y2 x1 x2
＝2,
6
分
直线l的方程为y－ 2 17
＝2
x



16 17

＝2ay(a≠0),椭圆常设 mx2＋ny2＝1(m＞0,n＞0),双曲线常设为 mx2－ny2＝1(mn＞0). 【变式训练一】
1 （1）A 抛物线 y＝8x2,即 x2＝8y 的焦点为 F(0,2),
a 即 c＝2,双曲线的渐近线方程为 y＝±bx,
bc 可得 F 到渐近线的距离为 d＝ a2＋b2＝b＝ 3,
b2 1＋a2＝
53 1＋4＝2.]
1 pp 2px02－2 2 ∵kMF′＝kFF′,∴ x0 ＝－2.①
1
13
又∵y′＝px,∴y′|x＝x0＝px0＝ 3 .②
43 由①②得 p＝ 3 .] 回访三 弦长问题
6．B [抛物线 y2＝8x 的焦点为(2,0),∴椭圆中 c＝2,
c1 又a＝2,∴a＝4,b2＝a2－c2＝12,
x2 y2 从而椭圆方程为16＋12＝1．
∵抛物线 y2＝8x 的准线为 x＝－2,
∴xA＝xB＝－2, 将 xA＝－2 代入椭圆方程可得|yA|＝3, 由图象可知|AB|＝2|yA|＝6．故选 B．]
圆锥曲线的综合-2017年高考数学(理)母题题源系列(北京专版)含解析

圆锥曲线的综合-2017年高考数学(理)母题题源系列(北京专版)含解析

【母题原题1】【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1,1）。

过点（0，12）作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A,B,其中O为原点.（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点。

【答案】（Ⅰ）方程为2y x=，抛物线C的焦点坐标为（14，0），准线方程为14x=-.(Ⅱ）详见解析.【解析】【考点】1.抛物线方程;2.直线与抛物线的位置关系【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧,只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量。

【母题原题2】【2016北京，理19】已知椭圆C ：22221+=x y a b (0a b >>）的离心率为32，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，△OAB 的面积为1.（I ）求椭圆C 的方程；（II)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N 。

求证:BM AN ⋅为定值.【答案】（I ）1422=+y x ;（II ）见解析。

【解析】（II ）由（I ）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ,则442020=+y x 。

当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y 。

令0=x ，得2200--=x y y M ，从而221100-+=-=x y y BM M .直线PB 的方程为1100+-=x x yy 。

令0=y ，得100--=y x x N ，从而12200-+=-=y x x AN N 。

所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时,10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN 。

一轮参考2017数学人教A版理一轮课件：高考大题之5 圆

一轮参考2017数学人教A版理一轮课件：高考大题之5 圆

3 2 ������ |������������| 恒为 |������������|
-8题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
解:(1)设 F(c,0),因为 b=1,所以 c= ������2 + 1. 直线 OB 方程为 解得 B
������ ������ ,2 2������ 1 y=- x,直线 ������
,
3 · (4-t)+ · (4k+m) ������
������������=(4-t,4k+m), ∴ ������������ ·������������ =
4������
4������ - -������ ������
=t2-4t+3+ (t-1)=0 恒成立. ������ ������ = 1, 故 2 即 t=1. ������ -4������ + 3 = 0, ∴存在点 M(1,0)符合题意.
-6题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
策略技巧定点问题常见的两种解题方法: 1.引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量, 再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点. 2.特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明 该定点与变量无关.
-7题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
-3题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
圆锥曲线中的定点问题
������2 典题已知椭圆 C: 2 ������
+
������2 ������
2 =1(a>b>0)的右焦点为
F(1,0),右顶点为
A,且|AF|=1.
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且只有一个交点 P,且与直线 x=4 交于点 Q,问:是否存在一个定点 M(t,0),使得������������ ·������������=0.若存在, 求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由.
专题08 圆锥曲线的几何性质及其应用-2017年高考数学理母题题源系列新课标1专版 含解析 精品

专题08 圆锥曲线的几何性质及其应用-2017年高考数学理母题题源系列新课标1专版 含解析 精品

母题八 圆锥曲线的几何性质及其应用【母题原题1】【2017新课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【考点】抛物线的简单性质【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式、韦达定理是通法，需要重点掌握.考查到最值问题时要能想到用函数方法进行解决和基本不等式.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则22||cos pAB α=，则2222||sin cos ()2p p DE παα==-，所以22222211||||4()cos sin cos sin p p AB DE αααα+=+=+2222222211sin cos 4()(cos sin )4(2)4(22)16cos sin cos sin αααααααα=++=++≥⋅+=【母题原题2】【2016新课标1，理10】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=|DE|=C 的焦点到准线的距离为（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 【答案】B【考点】抛物线的性质【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.【母题原题3】【2017新课标1，理15】已知双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为________.【答案】3【解析】试题分析：如图所示，作AP MN ⊥，因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则MN 为双曲线的渐近线by x a=上的点，且(,0)A a ，AM AN b == 而AP MN ⊥，所以30PAN ∠=， 点(,0)A a 到直线by x a=的距离AP =在Rt PAN ∆中，cos PA PAN NA=代入计算得223a b =，即a 由222c a b =+得2c b =所以c e a ===. 【考点】双曲线的简单性质.【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b ；③双曲线的顶点到渐近线的距离是abc. 【母题原题4】【2015新课标1，理6】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ∙<，则0y 的取值范围是( )（A ）（3-，3） （B ）（6-，6） （C ）（3-，3） （D ）（） 【答案】A【考点】双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.【名师点睛】本题考查利用向量数量积的坐标形式将12MF MF ∙表示为关于点M 坐标的函数，利用点M 在双曲线上，消去x 0，根据题意化为关于0y 的不等式，即可解出0y 的范围，是基础题，将12MF MF ∙表示为0y 的函数是解本题的关键.【命题意图】本类题通常主要考查对椭圆的离心率、椭圆的几何性质、双曲线的离心率、双曲线的几何性质、双曲线的渐近线、抛物线的几何性质等基本知识的理解，以及对直线与圆锥曲线间的交点问题（含切线问题）、与圆锥曲线定义有关的问题（涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形和准线，利用余弦定理等）、与曲线有关的最值问题（含三角形和四边形面积）等知识的理解与简单的应用。