第二讲：线性代数方程组求解(直接方法)1

=>
m ik =
(k) a ik
a (k) kk
( ( ( a ijk + 1 ) = a ij k ) a kjk ) m ik ( b i( k + 1 ) = b i( k ) b k k ) m ik
i , j = k + 1,..., n i = k + 1,..., n
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Guass消元法例 Guass消元法例
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Guass消元法 Guass消元法
Gauss消元法 2,Gauss消元法 基本思想:对方程组逐个消元, 基本思想:对方程组逐个消元,化为一个同解 上三角方程组——消元过程;然后用回代法求 消元过程; 上三角方程组 消元过程 —回代过程 回代过程. 解—回代过程.
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Guass消元法 Guass消元法
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2.2 Guass消元法
1,三角形方程组的解—回代法 三角形方程组的解— 上三角方程组的一般形式: 上三角方程组的一般形式:
a11 x1 + a12 x 2 + + a1 n x n = b1 a 22 x 2 + + a 2 n x n = b 2 a nn x n = b n
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解线性方程组的方法
线性方程组的数值解法分为直接法和 线性方程组的数值解法分为直接法和迭代法 直接法 直接法:经过有限步计算就能得到方程组" 直接法:经过有限步计算就能得到方程组"准 确解"的方法.如消元法及其派生方法. 确解"的方法.如消元法及其派生方法. 迭代法:是一种逐次逼近法,从一个假设解开 迭代法:是一种逐次逼近法, 通过一系列的迭代求解, 始,通过一系列的迭代求解,最后产生满足精度要 求的近似解的方法. Jacobi迭代法 Seidel迭代 迭代法, 求的近似解的方法.如Jacobi迭代法,Seidel迭代 法. 本章主要学习解线性方程组的直接法. 本章主要学习解线性方程组的直接法.

(k )
(k )
m a x a ik
k i n
(k )
, 则 ai
(k )
0
j
a k j , bi
(k )
(k )
0
bk
(k )
, j k , , n
例2 P.17例2-1
解线性方程组列主元Gauss消去算法
若 a kk
(k )
0 , k 1, 2 , , n ， A
2
1 例 3 .例 1 中 ， A 1 3
2 2 2
1 3 ， 将 A作 L U 分 解 。 5
解：由Gauss消去法
1 A 1 3 2 2 2 1 m 1 3 m 2 1 3 31 5 1 0 0 2 4 8 1 m 32 2 2 8 1 0 0 2 4 0 1 2 U 12
(1 )
其中
a ij
(2)
a ij
m i1 a 1 j , ( i , j 2 , 3 , , n )
bi
(2)
bi
(1 )
m i1 b1
(2)
(1 )
, ( i 2 ,3 , , n )
第二步：若 … …
a 22 0 ,
用… ….
第k步：若
a (1 ) 11
其中
a ij
bi
( k 1)
a ij
bi
(k )
m ik a kj , ( i , j k 1, , n )
m ik b k
(k )
(k )
( k 1)

(3.5)
u x n1,n1 n1 un1,nxn bn1
unnxn bn
n
u iixi b i (u i,i 1 xi 1 u inxn) b i u ijxj
j i 1
xnbn/unn,
xi bijn i1uijxj/uii8,in1,n2,
返回LU
,2,1. 返回(3.20)
3.2.2 消去法的基本思想
(3.4)
返回式3.19
i1
liixi bi (li1x1li2x2 li,i1xi1)bi lijxj j1
i1
xi bi lijxj /lii, i 1,2, ,n.
j1
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三、上三角方程组（返回Gauss）
u11x1 u12x2 u13x3 u1nxn b1
uiixi ui,i1xi1 uinxn bi
x3
78 26
3
x2 -28 10x3 -28 10(3)
x 1
16
(x2
2
4x 3 )
2
10
16
2 2
4(3)
1
3.2.3 高斯消元过程（即初等行变换） 记方程组（3.1）为
返回矩阵的三角分解
aa12((1111))xx11
a1(12)x2 a2(12)x2
an(11)x1an(12)x2
2
3.1 引 言
自然科学和工程计算中的很多问题的解决常常 归结为求解线性方程组。如三次样条插值函数问 题、用最小二乘原理确定拟合曲线、求解微分方 程的数值解等，最终都要转化为求解线性方程组。
求解线性方程组可采用：
1、直接法——经有限步算术运算可求得方 程组的精确解的方法（若计算过程无舍入误差）。

线性方程组的直接法直接法就是经过有限步算术运算，无需迭代可直接求得方程组精确解的方法。

线性方程组迭代法迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法．该方法具有对计算机的存贮单元需求少，程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变等优点，是求解大型稀疏矩阵方程组的重要方法．迭代法不是用有限步运算求精确解，而是通过迭代产生近似解逼近精确解．如Jacobi 迭代、Gauss — Seidel 迭代、SOR 迭代法等。

1. 线性方程组的直接法直接法就是经过有限步算术运算，无需迭代可直接求得方程组精确解的方法。

1.1 Cramer 法则Cramer 法则用于判断具有n 个未知数的n 个线性方程的方程组解的情况。

当方程组的系数行列式不等于零时，方程组有解且解唯一。

如果方程组无解或者有两个不同的解时，则系数行列式必为零。

如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则没有非零解。

如果齐次线性方程组有非零解，则系数行列式必为零。

定理1如果方程组Ax b =中0D A =≠，则Ax b =有解，且解事唯一的，解为1212,,...,n n D D Dx x x D D D===i D 是D 中第i 列换成向量b 所得的行列式。

Cramer 法则解n 元方程组有两个前提条件： 1、未知数的个数等于方程的个数。

2、系数行列式不等于零 例1 a 取何值时，线性方程组12312312311x x x a ax x x x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解。

解：211111111011(1)11001A a a a a a a ==--=--- 所以当1a ≠时，方程组有唯一解。

定理2当齐次线性方程组0Ax =，0A ≠时该方程组有唯一的零解。

定理3 齐次线性方程组0Ax =有非零解0A <=>=。

1.2 Gauss 消元法Gauss 消元法是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。