线性代数 线性代数方程组的解
- 格式：pdf
- 大小：158.07 KB
- 文档页数：5
下载文档原格式
合集下载
计算方法(3)第三章 线性代数方程组的解法
“回代”解得
xn
bn ann
xk
1 akk
[bk
n
akj x j ]
j k 1
其中aii 0 (i 1,2,......, n)
(k n 1, n 2, ,1)
返回变量
函数名
function X=backsub(A,b) 参数表
%Input—A is an n×n upper- triangular nonsingullar matrix % ---b is an n×1 matrix
x1
xi
b1 / a11
i 1
(bi aik
k 1
xk ) / aii
(i
2,3,
, n)
如上解三角形方程组的方法称为回代法.
二. 高斯消元法(Gaussian Elimination)
高斯消元法的求解过程,可大致分为两个阶段:首先, 把原方程组化为上三角形方程组,称之为“消元”过 程;然后,用逆次序逐一求出上三角方程组(原方程组的 等价方程组)的解,称之为“回代”过程.
符号约定:
1. (λEi )(Ei ): 第i个方程乘以非零常数λ。 2. (Ei +λEj )(Ei ): 第j个方程乘以非零常数λ
加到第i个方程。
3.（Ei )(Ej )： 交换第i个方程与第j个方程。
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a21
x1 4 x4 x2 4 1 2 1
故解为（x1，x2 ，x3 ，x4 )T (1，2，0，1)T
A=[1 1 0 1;0 -1 -1 -5;0 0 3 13;0 0 0 -13] b=[4;-7;13;-13] X=backsub(A,b)
线代方程组通解的求法
线代方程组通解的求法
求解一般线性代数方程组
1、确定系数矩阵：系数矩阵是由方程的系数组成的矩阵，一般而言，每个方
程的系数组成一行，系数矩阵是一个m行n列的矩阵，其中m是方程的个数，n
是自由变量的个数。
2、解决方程组等号两边：将等式变形，把不同变量名因为统一放在一边，其
他变量全放在另一边，注意保持符号一致，形成python和系数的增广矩阵进行计算。
3、选择求解方法：一般来说，可以通过三种方法来求解一般线性代数方程组。
4、计算出未知量：根据上述线性代数的三种方法，解出增广矩阵的解，计算
出相应的未知量。
5、检查结果：求得的解满足给定的线性方程组，如果有什么不正确的地方，
及时调整，重新求解，直到求解正确。
线性代数方程组的解法
2 3 2 n O( n ) 3
mult a(i , j ) a( j, j ); for k j 1 : n a(i , k ) a(i , k ) mult * a( j , k ); end b(i ) b(i ) mult * b( j ); end
end
LU分解
求A的LU分解（L是下三角矩阵，U是上三角矩阵）
1 1 1 1 3 4 3 4
LU分解
性质1 设向量
, xn ) 且 xk 0 T 则存在唯一的下三角阵 Lk I lk ek ,满足 x ( x1 , x2 ,
T
Lk x ( x1 ,
第三章 线性方程组的直接解法
/*Direct Method for Solving Linear Systems*/
求解 A x b, A R
Cramer法则:
nn
det( A) 0
Di xi D
i 1, 2,
,n
所需乘除法的运算量大约为(n+1)!+n
n=20时，每秒1亿次运算速度的计算机要算30多万年！
Gauss消去法的消元过程算法
for for
j 1: n 1
i j 1: n
2 3 2 n O( n ) 3
mult a(i , j ) a( j, j ); for k j 1 : n a(i , k ) a(i , k ) mult * a( j , k ); end b(i ) b(i ) mult * b( j ); end
方程组可化为下面两个易求解的三角方程组
Ly b Ux y
二、 高斯消去法
线性代数线性代数方程组的解
βk+1,⋯, βm 中至少有一个不等于零 .
不妨设 βk+1 ≠ 0 .
α11 α12
⋯α1n
β1
此时第 k+1 个方程变成 0x1 + 0x2 +⋯+ 0xn = βk+1 ≠ 0
这是不可能的．
.........................
αk1 αk 2
⋯αkn βk
a11 a12 ⋯a1n
系数矩阵
A
=
a21 a22 ⋯a2n .....................
am1 am2 ⋯amn
增广矩阵:
a11
a12
⋯ a1n
b1
A
=
a21 a22 ⋯a2n .....................
b2
+
1 5
t2
x2
=
t1
x3
=
−
3 10
t2
x4 =
t2
x1
−2
1/5
或
x2
x3
=
t1
1 0
+
t2
0 −3 /10
x4 0 1
通解表达式中包含两个任意常数 t1 , t2 . 令
(3) 当 k = 3 时，方程组成为
3x1 + x2 + x3 = 5
3x1
+ 2x2 x2 +
07线性代数方程组的解法
总计∑ n (k2k) n(n21)
k1
3
除法
n1
k
n(n1)
k1
2
回 代 总 计 算 量 n(n1) 2
总 乘 除 法 共 n 3 3 n 2 1 3 n (n 3 0 ,为 9 8 9 0 )
21
三、Gauss消去法的矩阵表示
每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵Lk
a x a x a x a b 得
到
(1)
同
解 (1)
方
程 (1)A(3组 )x=b(1() 3)
(1)
11 1
12 2
13 3
1n
1
a x a x (2) (2)
22 2
23 3
a x(3) 33 3
a b (2) (2)
2n
2
a b (3) (3)
11 1
12 2
1n n
1
b x 22 2
b2nxn g 2
称 消 元 过 程 。 逐 次 计 算 b出 nn x xn n, x gn 1 n,, x 1 称 回 代 过 1程 0 。
一、Gauss 消去法计算过程
a a b b 统一记 → 号 (1) ： , →(1)
(2) ,
2
(3)
(2)
2
1
0
1
L m 0 2
32
1
0 mn2 0
m a a
(2) (2)
i2
i2
22
i 3,4, ,n
第三章线性代数方程组的直接解法
由此看出,高斯消去法解方程组基本思想是设
法通消常去把方按程照组的先系消数元矩,阵后A回的代主两对个角线步下骤的求元解素线,而性 将方A程x=组b化的为方等法价称的上为三高角斯形（方G程a组us,s然）后消再去通法过。回
代过程便可获得方程组的解。换一种说法就是用矩 阵行的初等变换将原方程组系数矩阵化为上三角形 矩阵,而以上三角形矩阵为系数的方程组的求解比较 简单,可以从最后一个方程开始,依次向前代入求出 未知变量 xn , xn1 , , x1 这种求解上三角方程组的 方法称为回代, 通过一个方程乘或除以某个常数,以 及将两个方程相加减,逐步减少方程中的变元数,最 终将方程组化成上三角方程组,一般将这一过程称为 消元,然后再回代求解。
3.2.2 高斯消去法算法构造 我们知道,线性方程组(3.1)用矩阵形式表示为
a11 a12 a21 a22 an1 an2
a1n
a2n
ann
x1 b1
x
2
b2
xn bn
每个方程只含有一个未知数,从而得出所求的解。
整个过程分为消元和回代两个部分。
（1）消元过程 第1步:将方程①乘上(-2)加到方程 ②上去,将 方程 ①乘上 1 加到方程 ③上去,这样就消去
2
了第2、3个方程的 x1 项,于是就得到等价方程 组
2x1 x2 3x3 1
2
x1
x2
3x3
1
4x2 x3 2
5 2
x2
3 2
x3
13 2
线性代数方程组的解法
线性代数方程组的解法涉及直接解法和迭代解法两大类。直接解法如高斯消去法，能在有限步内求得精确解，实际计算中因舍入误差只能得到近似解。高斯消去法的基本思想是先消元，将方程组化为等价的上三角形方程组，然后进行回代求解。举例来说，对于给定的三次线性方程组，首先通过消元过程将增广矩阵转化为上三角形形式，然后依次回代求解未知量。练习部分还提供了一个具体的三次线ห้องสมุดไป่ตู้方程组求解示例，通过顺序高斯消去法的步骤，展示了如何逐步化简并求解方程组，最终得到未知量的解。该方法适用于一般情况下的线性方程组求解，通过统一公式和逐步消元回代的过程，能够高效地解决线性代数中的方程组问题。
线性方程组的几种求解方法
线性方程组的几种解法线性方程组形式如下：常记为矩阵形式其中一、高斯消元法高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x向量。
现举例说明如下：（一）消元过程第一步：将(1)/3使x1的系数化为1 得再将(2)、(3)式中x1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1)得由(3)-4×(1)(1)得)1(32)2(......3432=+xx)1(321)1(......23132=++xxx第二步：将(2)(1)除以2/3，使x 2系数化为1，得再将(3)(1)式中x 2系数化为零，即 由(3)(1)-(-14/3)*(2)(2)，得第三步：将(3)(2)除以18/3，使x 3系数化为1，得经消元后，得到如下三角代数方程组：（二）回代过程由(3)(3)得 x 3=1, 将x 3代入(2)(2)得x 2=-2, 将x 2 、x 3代入(1)(1)得x 2=1 所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T（三）、用矩阵演示进行消元过程第一步： 先将方程写成增广矩阵的形式第二步：然后对矩阵进行初等行变换初等行变换包含如下操作（1） 将某行同乘或同除一个非零实数（2） 将某行加入到另一行 （3） 将任意两行互换第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形)3(3)3(......1-=x )2(3)3( (63)18-=x )2(32)2(......02=+x x )1(32)3( (63)10314-=--x x示例：（四）高斯消元的公式综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为1．消元（1）令a ij(1) = a ij , （i,j=1,2,3,…,n）b i(1) =b i , （i=1,2,3,…,n）（2）对k=1到n-1，若a kk(k)≠0，进行l ik = a ik(k) / a kk(k) , （i=k+1,k+2,…,n）a ij(k+1) = a ij(k) - l ik * a kj(k), （i,j= k+1,k+2,…,n）b i(k+1) = b i(k) - l ik * b k(k), （i= k+1,k+2,…,n）2．回代若a nn(n) ≠0x n = b n(n) / a nn(n)x i = (b i(i) – sgm(a ij(i) * x j)/- a ii(i),（i = n-1,n-2,…,1）,( j = i+1,i+2,…,n )（五）高斯消元法的条件消元过程要求a ii(i) ≠0 (i=1,2,…,n),回代过程则进一步要求a nn(n) ≠0,但就方程组Ax=b 讲，a ii(i)是否等于0时无法事先看出来的。
线性代数方程组的解法
xi( k ) xi 若对 i 1, 2,, n 有 lim k
则称向量序列 { x ( k ) } 收敛于向量 x ( x1 , , xn )T
命题: 当 k 时 (k ) (k ) lim x x x x
k
(k ) x x 这是因为
0
(k ) (k ) max | x1 x1 |, ,| xn xn |
从而当 k 时， x ( k ) x 与 x ( k ) x
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页
0 等价
8
下一页
定理 5.2
设 为 Rn 中的任一种范数，则序
列{x ( k ) }收敛于 x R n 的充分必要条件为
x( k ) x 0,
k 时.
利用向量范数的等价性及向量范数的连续性, 容易 得到定理5.2的证明
A B A B , A 、B R nn
定理5.3中的性质 1), 2) 和 3)是一般范数所满 足的基本性质，性质 4)、5) 被称为相容性条件， 一般矩阵范数并不一定满足该条件.
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 11
三种从属范数计算：
（1）矩阵的1-范数（列和范数）:
5 几种特殊矩阵
定义 5.5 若矩阵 A 满足条件
a
j 1 ji
n
ij
aii
, i 1,2, , n
且至少有一 i 个使不等式严格成立，则称矩阵 A 为按行对角占优矩阵。若 i 1, 2,, n 严格不等 式均成立，则称 A 为按行严格对角占优矩阵.
类似地，可以给出矩阵 A 为按列（严格）对角
A 1 max | aij |
线性代数方程组的解法
解 由于方程组的系数行列式
1 −2 1
D = 2 1 − 3 = 1×1× (− 1) + (− 2)× (− 3)× (− 1)
−1 1 −1
+ 1× 2 ×1 − 1×1× (− 1)− (− 2)× 2 × (− 1) − 1× (− 3)×1
= −5 ≠ 0,
同理可得
−2 −2 1
1 −2 1
D1 = 1 0
1 − 3 = −5, D2 = 2 1 − 3 = −10,
1 −1
−1 0 −1
1 −2 −2
D3 = 2 1 1 = −5, −1 1 0
故方程组的解为:
x1
=
D1 D
=
1,
x2
=
D2 D
=
2,
x3
=
D3 D
=
1.
例2 解线性方程组
⎧ ⎪ ⎨
2x1 + x2 − 3x3 = 9, x1 + x2 + x3 = 4,
x1 = −3, x2 = 9, x3 = −2
分析上例：
我们对方程组反复进行了三种变换，即： （1）互换两个方程的位置； （2）用一个非零数乘某个方程； （3）把一个方程的k倍加到另一个方程上。 我们称着三种变换为线性方程组的初等变换。
说明：线性方程组的初等变换是可逆的。 即，方程组（1）经初等变换化为一个新方 程组，那么新方程组也可以经过初等变换还 原为原方程组（1）。因而，方程组（1）与 它经过若干此初等变换之后得到的新方程组 是同解的。
Step3 同样的把第一步中得到的方程组的第 一个方程的－3倍加到第三个方程上，得
⎧ ⎪ ⎨
x1 + x2 −x2 −
第三章线性代数方程组解法
(k (k akk ) akn ) (k (k ank ) ann)
中，选取绝对值最大的元素作为主元素，如果它位于第r 行第s列，则通过交换k,r两行及交换k,s两列，使主元素位 (k a kk ) 的位置，然后进行消元计算。由于作列的交换 于 改变了方程中未知量的次序，因此回代过程要按未知量 调换后的编号顺序求解。
- x1 - 0.5x2 + 2x3 = 5 5x1 - 4x2 + 0.5x3 = 9
解 [A,b] =
0.01
2
- 0.5 2 0.5 9
-5 5 9 5 (3) 0 (1) (3)
5
-4
0.5 2
9 5
- 1 - 0.5 5 -4 0.5 2.10
-1 - 0.5 0.01 -4 2
- 0.5 – 5 0.5 9
(i, j=k+1, …, n)
回代过程:
( (n xn bnn ) / ann) ; n
xi (bi(i )
j i 1
a
(i ) ij
( x j ) / aiii )
（i =n-1,…,2,1）
四、顺序高斯消去法计算量分析
用计算机作四则运算时，加减操作所花的机器时间比乘除操 作少得多, 所以我们仅统计乘除次数。 1. 消元过程(共需n-1次消元） 第k次消元时需除：n-k 第k次消元时需乘：(n-k)(n-k+1) 共需乘除次数： [(n-1)+(n-1)n]+[(n-2)+(n-2)(n-1)]+…+[1+1×2] = n3/3+n2 /2-5n/6 2. 回代过程 需除：n 需乘：1+2+…+(n-1)= (n-1)n/2 共需乘除次数：n+ (n-1)n/2= n2/2+n/2 所以总共需乘除次数: n3/3+n2 /2-5n/6+n2/2+n/2 = n3/3+n2 -n/3 。 n3/3+n2 -n/3<<(n+1) n! (n-1)+n(克莱姆法则需的乘除次数),因此 顺序高斯消去法从计算量上考虑是可行的。
中，选取绝对值最大的元素作为主元素，如果它位于第r 行第s列，则通过交换k,r两行及交换k,s两列，使主元素位 (k a kk ) 的位置，然后进行消元计算。由于作列的交换 于 改变了方程中未知量的次序，因此回代过程要按未知量 调换后的编号顺序求解。
- x1 - 0.5x2 + 2x3 = 5 5x1 - 4x2 + 0.5x3 = 9
解 [A,b] =
0.01
2
- 0.5 2 0.5 9
-5 5 9 5 (3) 0 (1) (3)
5
-4
0.5 2
9 5
- 1 - 0.5 5 -4 0.5 2.10
-1 - 0.5 0.01 -4 2
- 0.5 – 5 0.5 9
(i, j=k+1, …, n)
回代过程:
( (n xn bnn ) / ann) ; n
xi (bi(i )
j i 1
a
(i ) ij
( x j ) / aiii )
（i =n-1,…,2,1）
四、顺序高斯消去法计算量分析
用计算机作四则运算时，加减操作所花的机器时间比乘除操 作少得多, 所以我们仅统计乘除次数。 1. 消元过程(共需n-1次消元） 第k次消元时需除：n-k 第k次消元时需乘：(n-k)(n-k+1) 共需乘除次数： [(n-1)+(n-1)n]+[(n-2)+(n-2)(n-1)]+…+[1+1×2] = n3/3+n2 /2-5n/6 2. 回代过程 需除：n 需乘：1+2+…+(n-1)= (n-1)n/2 共需乘除次数：n+ (n-1)n/2= n2/2+n/2 所以总共需乘除次数: n3/3+n2 /2-5n/6+n2/2+n/2 = n3/3+n2 -n/3 。 n3/3+n2 -n/3<<(n+1) n! (n-1)+n(克莱姆法则需的乘除次数),因此 顺序高斯消去法从计算量上考虑是可行的。
第5章 求解线性代数方程组的直接法
数值计算与MATLAB1《数值计算与MATLAB 》第5章求解线性代数方程组的直接法§0 引言§1 线性代数方程组求解概论§2 恰定线性方程组求解§3 矩阵的三角分解§4 MATLAB实现《数值计算与MATLAB 》引言大量的科技与工程实际问题，常常归结为解线性代数方程组，有关线性方程组解的存在性和唯一性在“线性代数”理论中已经作过详细介绍，本章的主要任务是讨论系数行列式不为零的n阶非齐次线性方程组Ax=b的两类主要求解方法：直接法（精确法）和迭代法。
《数值计算与MATLAB 》5.1 线性代数方程组求解概论线性代数方程组的矩阵表示Ax=b⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111《数值计算与MATLAB 》线性代数方程组解的性质AS≡b解的判别及其结构Ax=0：有非零解——系数矩阵的秩R(A)<n。
若R(A)=n，则方程组只有零解。
Ax=b：分三种类型：当R(A)=R(B)=n时，称方程组为恰定方程组，这时它有唯一解向量；当R(A)=R(B)<n时，称方程组为欠定方程组，这时它有无穷多解向量；当R(A)<R(B)时，称方程组为超定方程组或矛盾方程组，即保留方程个数大于未知量个数，一般意义下无解，但可求出其最小二乘解。
《数值计算与MATLAB 》5.2 恰定线性代数方程组求解克莱姆法则对于恰定方程组Ax=b，即满足R(A)=R(B)=n 的方程组求解，可用克莱姆（Cramer）法则得出唯一解。
利用Cramer法则求解所需乘除运算量为：N=(n+1)!(n-1)+n=n!(n2-1)+nAΔhhxdet《数值计算与MATLAB 》高斯消去法（消元法）消元过程回代过程顺序高斯消去法（Gauss－Jordan）列主元素消去法主元素消去法全主元素消去法《数值计算与MATLAB 》5.3 矩阵的三角分解高斯消去法和三角矩阵消元过程：实质上就是用一系列行初等变换，即P n-1P n-2...P1Ax= P n-1P n-2 (1)使方程组等价地变换成一个三角形回代过程：就是先求出，然后逐个由下往上进行回代，求得方程组的解。
第2章线性方程组求解方法第2讲
y1 1 1 1 y2 3 3 y 34 3 5
1 2 3 x1 1 再解 5 9 x2 3 ,得 34 17 x 5 3 5
计算方法 2.3.1
线性代数方程组求解方法
直接三角分解法
将高斯消去法改写为紧凑形式，可以直接从矩阵A的元
素得到计算L、 U元素的递推公式，而不需要任何中间步骤 ，这就是所谓的直接三角分解法。一旦实现了矩阵A的LU分
解，那么求解线性代数方程组Ax=b的问题就等价于求解两
个三角方程组 Ly=b，求y Ux=y，求x 的问题，而这两个线性代数方程组只要回代，就可以求出其
1 u11 u12 u13 u 22 u 23 l21 1 l l 1 u 33 31 32 l l l 1 n1 n 2 n 3
计算方法
线性代数方程组求解方法
克罗脱(Grout)分解
a11 a12 a21 a22 a 31 a32 an 1 an 2 ... a1n ... a2n a3n ... ann ... u1n ... u 2n ... u 3n 1
a11 a12 ... a1n b1 a21 a22 ... a2n b2 a a ... a b nn n n1 n 2
u11 u12 ... u1n y 1 l21 u 22 ... u 2n y 2 l l ... u y nn n n1 n 2
设A
A=LU=L1U1 其中, L、L1 为单位下三角矩阵， U、 U1为上三角矩阵。由 于U１－1
线性代数方程组求解直接方法
通过对方程组进行初等行变换，将方 程组化为上三角矩阵形式，然后回代 求解得到方程组的解。该方法具有简 单易懂的优点，但在处理大型方程组 时可能存在数值稳定性问题。
LU分解法
将系数矩阵分解为一个下三角矩阵L和 一个上三角矩阵U的乘积，然后通过求 解LY=b和UX=Y两个三角形方程组得到 原方程组的解。LU分解法具有较高的数 值稳定性，适用于中小型方程组。
根据系数矩阵的第一行和最后一行元素， 计算出初始参数。
2. 追赶过程
3. 回代过程
从第二行开始，逐行进行消元，将系数矩 阵转化为上双对角矩阵。
从最后一行开始，逐行回代求解，得到方程 组的解。
平方根法的基本原理与计算步骤
基本原理
1. Cholesky分解
2. 前代过程
3. 回代过程
平方根法是一种适用于对称正 定矩阵线性方程组的求解方法 ，通过Cholesky分解将系数矩 阵分解为下三角矩阵和其转置 的乘积，进而简化计算。
收敛速度
在适当的条件下，雅可比迭代法的收敛速度可能比一般的 迭代法更快。
计算复杂度
雅可比迭代法需要计算雅可比矩阵及其逆矩阵，因此计算 量相对较大；而一般的迭代法只需要进行矩阵与向量的乘 法运算，计算量相对较小。
稳定性
雅可比迭代法的稳定性较好，对初始近似解的要求较低； 而一般的迭代法可能对初始近似解的要求较高，否则可能 导致迭代序列发散。
对系数矩阵进行Cholesky分解 ，得到下三角矩阵L。
通过下三角矩阵L，求解出中间 向量y。
利用中间向量y和下三角矩阵L 的转置，求解出方程组的解。
追赶法与平方根法的比较
适用范围
追赶法适用于三对角矩阵线性方程组， 而平方根法适用于对称正定矩阵线性方
LU分解法
将系数矩阵分解为一个下三角矩阵L和 一个上三角矩阵U的乘积，然后通过求 解LY=b和UX=Y两个三角形方程组得到 原方程组的解。LU分解法具有较高的数 值稳定性，适用于中小型方程组。
根据系数矩阵的第一行和最后一行元素， 计算出初始参数。
2. 追赶过程
3. 回代过程
从第二行开始，逐行进行消元，将系数矩 阵转化为上双对角矩阵。
从最后一行开始，逐行回代求解，得到方程 组的解。
平方根法的基本原理与计算步骤
基本原理
1. Cholesky分解
2. 前代过程
3. 回代过程
平方根法是一种适用于对称正 定矩阵线性方程组的求解方法 ，通过Cholesky分解将系数矩 阵分解为下三角矩阵和其转置 的乘积，进而简化计算。
收敛速度
在适当的条件下，雅可比迭代法的收敛速度可能比一般的 迭代法更快。
计算复杂度
雅可比迭代法需要计算雅可比矩阵及其逆矩阵，因此计算 量相对较大；而一般的迭代法只需要进行矩阵与向量的乘 法运算，计算量相对较小。
稳定性
雅可比迭代法的稳定性较好，对初始近似解的要求较低； 而一般的迭代法可能对初始近似解的要求较高，否则可能 导致迭代序列发散。
对系数矩阵进行Cholesky分解 ，得到下三角矩阵L。
通过下三角矩阵L，求解出中间 向量y。
利用中间向量y和下三角矩阵L 的转置，求解出方程组的解。
追赶法与平方根法的比较
适用范围
追赶法适用于三对角矩阵线性方程组， 而平方根法适用于对称正定矩阵线性方
线性代数方程组的解法
线性代数方程组的解法关键词：线性代数方程组；高斯消元法；列主元消元法；三角分解法；杜立特尔分解法；迭代法；雅可比迭代法；高斯-赛德尔迭代法1引言目前，解线性代数方程组在计算机上常用的的方法大致把它分为两类：“直接法”与“迭代法”.在线性代数中曾指出阶线性代数方程组有唯一的解，并且可以用克拉默法则求方程组的解，初次看来问题已经解决，但从使用效果看并不是这样的.因为求阶线性代数方程组，如果用克拉默法则，需要计算个阶行列式，每个阶行列式为项之和，每项又是个元素的乘积，所以计算中仅乘法次数就高达次，当较大时，它的计算量是非常惊人的.因为现在所碰到的很多问题都需要很大的计算量，故需要好用的算法来求解.先来回顾一下回代过程和迭代过程.(1)是一个三角形方程组，当有唯一解时，可以用反推的方式求解，也就是先从第个方程解得， (2)然后代入第个方程，可得到， (3)如此继续下去，假设已得到，， , ,代进第个方程即得的计算， (4)上述求解的过程叫做回代过程.定义1[1] (向量的范数) 若向量的某个实值函数满足1.是非负的，即且的充要条件是 ;2.是齐次的，即 ;3.三角不等式，即对，总是有.那么上向量的范数（或模）就是 .下面给几个最常遇到的向量范数.向量的“1”范数：(5)向量的“2”范数：(6)向量的范数：(7)例1设求 , , .解由式（5）,（6）及（7）知.定义2若矩阵的某个实值函数满足1.是非负的，即且的充要条件是 ;2.是齐次的，即 ;3.三角不等式，即对总有;1.矩阵的乘法不等式，即对总有，那么称为上矩阵的范数（或模）.表 1是矩阵几个常用算子范数的定义与算式.表 1范数名称记号定义计算公式“1”范数（又名列模）“2”范数（又名谱模）“”范数（又名行模）的极限就是方程组的解向量，这时候在给定允许的误差内，只要适当的大,就可以作为方程组在满足精度要求条件下的近似解.这种求近似解的方法就是解线性方程组的一类基本的迭代解法，其中称为迭代矩阵，公式（9）称迭代公式（或迭代过程）,由迭代公式得到的序列叫做迭代序列.如果迭代的序列是收敛的，则称为迭代法收敛；如果迭代的序列是不收敛，则称它是迭代法发散.定理3设 .如果约化主元素，则可以利用高斯消元的方法把方程组约化成三角形方程组来求解，其计算公式如下：（1）消元计算：对依次计算（2）回代计算：3用高斯消元法与列主元消元法解线性代数方程组（重点）！3.1 高斯消元法解方程组用高斯消元的方法求线性代数方程组的解的整个计算过程可分为两个环节，也就是利用按照次序消去未知数的方法，把原来的方程组转化成跟它同解的三角形方程组（这个转化的过程叫消元过程），再通过回代过程求三角形方程组的解，最终得到原来方程组的解.其中按照方程的顺进行消元的高斯消元法，又叫顺序消元法.3.2列主元消元法解方程组列主元消元法实际上是一种行交换的消元法，它跟顺序消元法比较而言，主要特点是在进行第次消元前，不管的值是否等于零，都在子块的第一列中选择一个元，使，并将中的第行元与第行元互相变换（相当于交换同解方程组中的第个方程），然后再进行消元计算得到结果.注：列主元素法的精度虽然稍低于全主元素法[1]，但它计算简单，相对比全主元素法它的工作的量大大减少，并且从计算经验和理论分析都可以表明，它与全主元素法同样拥有很好的值稳定性，列主元素法是求解中小型浓密型方程组的最好的方法之一.4用三角分解法解线性代数方程组4.1 矩阵的三角分解定义4把一个阶矩阵分解成两个三角矩阵相乘的形式称为矩阵的三角分解.常见的矩阵三角分解是其中是下三角形的矩阵,是上三角形的矩阵.定理5[1]（矩阵三角分解基本定理）设 .若的顺序主子式，那么存在唯一的杜利特尔分解其中是单位下三角形矩阵，为非奇异的上三角形矩阵.如果是单位下三角形的矩阵，是上三角形的矩阵，那么把这种分解法称为杜利特尔分解法，其中杜利特尔分解法是这种三角分解的一种特例，下面主要介绍利用杜利特尔分解法来求方程组的解.4.2 用杜利特尔分解法解线性代数方程组用杜利特尔分解法解方程组的步骤可以把它归纳为（1）实现分解，也就是1.按算式（11）（12）依次计算的第一行元与的第一列元；1.对按算式（13）（14）依次计算的第行元与的第列元.（2）求解三角形方程组，即按算式依次计算 .（3）求解三角形方程组，即按算式依次计算.利用杜利特尔分解法解方程组与高斯消元法是相似的，它重要的优点是：在利用分解，解有相同的系数矩阵的方程组时,用杜利特尔分解法非常方便，只用两个式子就可以得到方程组的解.5用迭代法解线性代数方程组用迭代法求方程组的解，需要考虑迭代过程的收敛性，在下面的讨论中，都假设方程组的系数矩阵的对角阵是不为零的.5.1 用雅可比迭代法解方程组对于一般线性方程组，如果从第个方程解出，就可以把它转化成等价的方程组. （15）从而可以得到对应的迭代公式（16）这就是解一般方程组的分量形式的雅可比(Jacobi)迭代公式.如果把它改成（17）并把系数矩阵表示成（18）其中则可以看出式的左右两端分别是向量和的第个分量，故因为可逆，所以于是就可以得到是雅可比迭代的公式.其中（称为雅可比迭代矩阵）， .5.2 用高斯-赛德尔迭代法解方程组高斯-赛德尔迭代法也是常用的迭代法，设线性代数方程组为，则高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为（19）其中迭代法（19）就称为高斯-赛德尔迭代法.通过雅可比迭代法类似的途径，就可以得到矩阵的表达式其中（称为高斯-赛德尔迭代矩阵）， .高斯-赛德尔迭代法与雅可比迭代法都有算式简单、容易在计算机上实现等优点，但是用计算机来计算时，雅可比迭代法需要两组工作单元用来寄存与的量，而高斯赛-德尔迭代法只需一组工作单元存放或的分量.对于给定的线性方程组，用这两种方法求解可能都收敛或者都不收敛，也可能一个收敛另一个不收敛，两种方法的收敛速度也不一样.5.3 迭代法的收敛条件与误差分析定义6[1]矩阵全部的特征值的模的最大值，叫做矩阵的谱半径，记作 ,即.定理7[1]对任意初始向量迭代过程收敛的充要条件是；当时，越小，那么其收敛的速度是越快的.由定理7可知，用雅可比迭代法求解时，其迭代的过程是收敛的，而用高斯-赛德尔迭代法来求解,其迭代的过程是发散的.在不同条件下，收敛的速度是不同的，对同一矩阵，一种方法是收敛的，一种方法发散.第 7 页。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
当 r ( A) > r ( A) 时，
未知数表示． 未知数表示． 通解表达式中就出现 n-k 个任意常数． 个任意常数．
β k +1 , ⋯, β m 中至少有一个不等于零 . α11 α12 ⋯α1n β1 不妨设 β k +1 ≠ 0 . ......................... 此时第 k+1 个方程变成 α k 1 α k 2 ⋯α kn β k 0x1 + 0 x2 + ⋯ + 0 xn = β k +1 ≠ 0 0 0 ⋯ 0 β k +1 这是不可能的． 这是不可能的． ..................... 因此方程无解． 因此方程无解． 0 0 ⋯ 0 βm
4.2.1
Байду номын сангаас齐次线性代数方程组
定理 3 (1) 齐次线性方程组有非平凡解 齐次线性方程组有非平凡解的充分必要条件是 有非平凡解的充分必要条件是 r ( A) < n （系数矩阵的秩小于未知数的个数） 系数矩阵的秩小于未知数的个数） (2) 若齐次线性方程组有非平凡解， 齐次线性方程组有非平凡解，则通解中含有
四个未知数， 四个未知数，两个方程. 选 x2, x4 为自由未知量， 为自由未知量，
r ( A) = 2, n = 4 . 方 程 组有非 平 凡 解 .
令 x2 = t1 , x4 = t2 .
1
1 x1 = −2t1 + 5 t2 x2 = t1 则有 3 x = − t2 3 10 x = t2 4
通解表达式中包含两个任意常数 t1 , t2 . 令
−2 1/ 5 x1 1 0 x 2 . , α2 = x = , α1 = 0 −3/10 x3 0 1 x4
系数矩阵
β = ( β1 β 2 ⋯ β m )T
原方程组 Ax=b 化为同解方程组
当 r ( A) = r ( A) = k 时， 增广矩阵化为 α11 α12 ⋯α1n β1 a11 a12 ⋯ a1n b1 ......................... a21 a22 ⋯ a2 n b2 α k 1 α k 2 ⋯α kn β k ∼ A= ..................... 0 0 ⋯ 0 β k +1 am1 am 2 ⋯ amn bm ..................... r ( A) = r ( A) 可以推出 0 0 ⋯ 0 βm β k +1 = ⋯ = β m = 0 . 当 r ( A) = r ( A) = k = n 时，
(2) 若 r ( A) = r ( A) = n ， 则非齐次方程组有惟一解 .
(3) 若 r ( A) = r ( A) < n ， 则非齐次方程组有无限多解 ,
通解表达式中含有 n-r(A) 个任意常数.
(4) 若 r ( A) > r ( A) ， 则非齐次方程组无解 .
2
将系数矩阵 A 变成梯形矩阵 N 1
下面研究这样的问题： 下面研究这样的问题： ①在什么条件下非齐次方程组有解？ 在什么条件下非齐次方程组有解？ ②怎样求解？ 怎样求解？ ③解的表达式具有什么形式？ 解的表达式具有什么形式？
系数矩阵的秩为3，未知数的个数也 是3，所以方程组只有平凡解： 所以方程组只有平凡解： x1 0 x2 = 0 x3 0
方程组 N1 x = β 的系数矩阵是 n × n 可逆矩阵 . −1 存在惟一解： 存在惟一解： x = N1 β
N1 x = β
只需要讨论这个方程组就可以了． 只需要讨论这个方程组就可以了．
当 r ( A) = r ( A) = k < n 时， 方程组N1 x = β 左端的n -k
个未知数移到方程右端． 个未知数移到方程右端． 移到右端的未知数分别取值
齐次方程组一定有解（ 齐次方程组一定有解（至少有平凡解）． 至少有平凡解）． 但是一般情形， 但是一般情形，非齐次方程组未必有解． 非齐次方程组未必有解． 如果非齐次方程组有解， 如果非齐次方程组有解，则称该方程组相容 则称该方程组相容． 相容． 定理4 (1) 若 r ( A) = r ( A) ， 则非齐次方程组 相容 .
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = b1 a x + a x + ⋯ + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ..................................... am1 x1 + am 2 x2 + ⋯ + amn xn = bm
或
x1 −2 1/ 5 1 x 2 = t +t 0 x3 1 0 2 −3 /10 0 1 x4
例5：求解齐次线性方程组
x1 + 2 x2 + 3 x3 = 0 3x + 6 x + 10 x = 0 1 2 3 2 x1 + 5 x2 + 7 x3 = 0 x1 + 2 x2 + 4 x3 = 0
k = n − r ( A) 个任意常数.
考察 n 个未知数的齐次线性代数方程组： 个未知数的齐次线性代数方程组：
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + ⋯ + a2 n xn = 0 ..................................... am1 x1 + am 2 x2 + ⋯ + amn xn = 0 a11 a12 ⋯ a1n 系数 a21 a22 ⋯ a2 n 方程组的 Ax = 0 矩阵 A = 矩阵表示 ..................... am1 am 2 ⋯ amn
例5
对方程组
kx1 + x2 + x3 = 5 3x1 + 2 x2 + kx3 = 18 − 5k x2 + 2 x3 = 2
问k取何值时方程组有惟一解， 取何值时方程组有惟一解，无限多解或无解. 无限多解或无解. 在无限多解时求出通解.
解一 利用行初等变换， 利用行初等变换，可把讨论相容性与 求解过程结合进行： 求解过程结合进行： 3 2 k 18 − 5k 5 k 1 1 2 A = 3 2 k 18 − 5k r~ 0 1 2 12 r23 k 1 1 5 2 0 1 2 3 0 k − 4 14 − 5k 3 0 k −4 14 − 5k ~ 0 1 2 2 ~ 0 1 2 2 r21 ( −2) k r13 ( − ) r23 ( −1) 3 3 4 1 2 5 2 14 k 0 −1 0 0 k − k − 1 k − k + 3 3 3 3 3 4 1 2 (1) 当 k − k − 1 ≠ 0 时，即当 k ≠ 1 并且 k ≠3 3 3
b1 b b= 2 ⋮ bm
Ax = b
a11 a12 ⋯ a1n a21 a22 ⋯ a2 n A= 系数矩阵 ..................... am1 am 2 ⋯ amn a11 a12 ⋯ a1n b1 增广矩阵: a21 a22 ⋯ a2 n b2 A= ..................... am1 am 2 ⋯ amn bm
则方程组通解可表示为： 则方程组通解可表示为： x
= t1 α1 + t2α2 , 其中
1 3 A= 2 1
2 3 6 10 用行初等变换将系数 5 7 矩阵变为梯形矩阵 2 4
α1 ,α2 称为齐次方程组的基础解系。 称为齐次方程组的基础解系。
1 3 A= 2 1 1 0 0 0
t1 , t2 ,⋯, tn −k
左端的未知数由右端的
α11 α12 ⋯α1n β1 ......................... α k 1 α k 2 ⋯α kn β k 0 0 ⋯ 0 β k +1 ..................... 0 0 ⋯ 0 βm
证明 对于增广矩阵进行行初等变换 对于增广矩阵进行行初等变换， ， a11 a12 ⋯ a1n b1 a21 a22 ⋯ a2 n b2 A= ..................... am1 am 2 ⋯ amn bm
A ~ [ N1 ⋮ β ]
4.2 线性代数方程组的解
第二节 线性代数方程组的解
齐次方程组 非齐次方程组
一个存在解的线性代数方程组称为是相容的 一个存在解的线性代数方程组称为是相容的, 相容的, 否则就是不相容或矛盾方程组. 否则就是不相容或矛盾方程组. 利用矩阵的概念可 理性地描述一般齐次[ 理性地描述一般齐次[线性] 线性]方程组的通解以及非齐 次方程组相容的条件和相容线性代数方程组解的结 构.
证明
例4：求解齐次线性方程组 x1 + 2 x2 + 4 x3 + x4 = 0 2 x1 + 4 x2 + 8 x3 + 2 x4 = 0 3x + 6 x + 2 x =0 1 2 3
1 2 4 1 用行初等变换将系数 2 4 8 2 系数矩阵 A = 矩阵变为梯形矩阵 3 6 2 0 1 1 2 4 1 1 2 4 0 0 −10 −3 r12 (−2) 0 0 0 0 r23 r13 (−3) 0 0 0 −10 −3 0 0 0