一元二次方程根的分布问题、恒成立问题

二次函数的区间恒成立问题
恒成立问题求参数范围常规思路： 方法一：利用函数性质(二次函数性质). 方法二：分离参数，转化为求函数最值.
a<f(x)恒成立
a<f(x)min a>f(x)恒成立 a>f(x)max
例1
课堂互动讲练 已知f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)
时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
m 6或m 2 即 m 0 m 3 0
X=m/2
o
x1
x2
∴ 2≤ m<3.
（三）二次函数图象的应用
例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条件的m值 的集合： (2)一个根大于0,另一个根小于0; 解： (2) ∵一个根大于0,另一个根小于0;
0 f (0) 0
m 6或m 2 即 m 3 0
x1 o
X=m/2
∴ m>3.
x2
（三）二次函数图象的应用 例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条件的m 值的集合： (3)两根都小于0;
解： (3) ∵两根都小于0
X=m/2
x1
2 5 2 ∴不等式变为－3ax ＋－3ax＋a<0，
即 2ax2＋5ax－3a>0， 又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0.
1 ∴所求不等式的解集为x－3<x<2 .
方法二：由已知得 a<0
1 c － ×2＝ 知 a 3
2
1 1 ∴－ ， 是方程 ax2＋bx＋2＝0 的两实根． 2 3 b 1 1 －2＋3＝－a 由根与系数的关系得 －1×1＝2 2 3 a

练习27(13)x x p x -+1.若关于的方程220p p αβ+--=的两根、满足012,p αβ<<<<求实数的取值范围。

2.2421y x ax a =++-函数(1,1)0,x y ∈->当时，恒有(2,3)0,x y ∈<当时，恒有 a 求的范围。

220(2,2)x x a ++=-3。

在内a 仅有一个根，求的范围。

230[11]2x x k --=-4、若在，上k 有实根，求的范围。

2{|540}A x x x =-+≤5、已知2{|220},B x x ax a =-++≤若B A a ⊆，求实数的取值范围。

27(13)x x p x -+1.若关于的方程220p p αβ+--=的两根、满足012,p αβ<<<<求实数的取值范围。

.,210<<<<βα解：因为⎪⎩⎪⎨⎧><>∴0)2(0)1(0)0(f f f ⎪⎩⎪⎨⎧>--++-<--++->--⇒02)13(22802)13(702222p p p p p p p p⎪⎩⎪⎨⎧><<<->-<⇒304221p p p p p 或或4312<<-<<-⇒p p 或2.2421y x ax a =++-函数(1,1)0,x y ∈->当时，恒有(2,3)0,x y ∈<当时，恒有 a 求的范围。

3. 220(2,2)x x a ++=-3。

在内a 仅有一个根，求的范围。

80a -<≤230[11]2x x k --=-4、若在，上k 有实根，求的范围。

0(1)0f ∆≥⎧⎨-≥⎩解：要使方程有根，则94043102k k ⎧+≥⎪⎪⇒⎨⎪+-≥⎪⎩95162k ⇒-≤≤ 2{|540}A x x x =-+≤5、已知2{|220},B x x ax a =-++≤若B A a ⊆，求实数的取值范围。

丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳一元二次方程根的分布问题，通常会给出一元二次方程根的分布区间，要求方程中参数的取值范围.解答此类问题，常需利用一元二次方程根的判别式、韦达定理以及一元二次函数的图象、性质.下面重点谈一谈一元二次方程根的分布问题的解法.一、采用直接法一元二次方程的根能够直接用配方法或因式分解法求出来，可采用直接法，将一元二次方程的根直接求出来，然后根据方程的根所在的区间建立不等式，解不等式即可确定参数的取值范围.例1.要使关于x的方程x2-2mx+m2-1=0的两个实根介于-1和4之间，求实数m的取值范围.分析：方程x2-2mx+m2-1=0的两个实根很容易用配方法或因式分解法求出来，可采用直接法求解.解：x2-2mx+m2-1=()x-m-1()x-m+1=0，解得x1=m-1，x2=m+1，由题意得-1＜m-1＜m+1＜4，解得0＜m＜3.有时可运用求根公式求得方程的根，但要注意对判别式的符号进行讨论.二、利用函数法一元二次方程与一元二次函数之间的联系紧密，若一元二次函数为f（x）=ax2+bx+c（a≠0），当函数f（x）=0时，它就会变成一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).而解方程实质上是求对应函数的零点，即函数图象与x轴交点的横坐标，所以在解答一元二次方程根的分布问题时，可构造一元二次函数，借助图象来讨论函数零点的位置或取值，以明确方程根的分布情况.例2.关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的两实根一个大于1，一个小于1，求实数k的取值范围.解：设f（x）=2kx2-2x-3k-2，画出如图1、2所示的函数图象，图1图2根据题意可得{k>0,f()1<0,或{k<0,f()1>0,即{k>0,-k-4<0,或{k<0,-k-4>0,解得k＞0或k＜-4.根据所给的一元二次方程构造一元二次函数，便可将问题转化为函数问题，采用函数法来求解.对一元二次函数的开口方向和两根的取值范围进行讨论，便能快速建立关于k的不等式，求得问题的答案.三、分离参数对于一些含参一元二次方程，可将参数分离，运用分离参数法来求参数的取值范围.利用分离参数法求解一元二次方程根的分布问题，需在分离参数后，构造函数模型，将问题转化为求函数的值域或函数图象的交点问题.例3.若方程x2+ax-2=0在区间[]1,5上有解，则实数a的取值范围为（）.A.（-235，+∞）B.（1，+∞）C.éëùû-235，1 D.（-∞，-235）解：因为x∈[]1,5，所以方程x2+ax-2=0可以变形为a=2x-x，令f(x)=2x-x，g(x)=a，故原方程在区间[]1,5上有解⇔f(x)与g(x)的图象在区间x∈[]1,5上有交点，由图3知f(x)=2x-x在[]1,5上单调递减，其值域为éëùû-235，1，所以实数a的取值范围是éëùû-235,1，本题应选C项.将方程x2+ax-2=0变形为a=2x-x，就能将参数分离，再构造函数f(x)、g(x)，便将问题转化为f(x)与g(x)的图象在区间x∈[]1,5上有交点的问题.总之，对于简单的一元二次方程根的分布的问题，可采用直接法求解；对于较为复杂的问题，就需灵活运用函数法和分离参数法求解.而每种方法的适用情况均不相同，同学们需根据解题需求选择合适的方法来求解，这样才能有效提升解题的效率.（作者单位：江苏省盐城市龙冈中学）赵爱华图3探索探索与与研研究究50。

一元二次方程根的分布情况归纳总结一元二次方程ax+bx+c=0的根的分布情况可以通过二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标来确定。

设方程的不等两根为x1和x2，且x1<x2.下面分别讨论根的分布情况。

表一：两根与0的大小比较即根的正负情况(a>0)分布情况两个负根即x1<x2<0 两个正根即0<x1<x2 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0大致图象结论Δ>0，b0，b>0 f(x)>0 x1和x2都是正数f(0)>0 x1<0<x2表二：两根与k的大小比较(a>0)分布情况两根都小于k即x1x2>k 一个根小于k，一个大于k即x1<k<x2大致图象结论Δ>0，b0 x1<k<x2Δ>0，b>k f(k)>0 x1>x2>kf(k)>0 x1<k<x2表三：根在区间上的分布(a>0)分布情况两根都在(m,n)内一根在(m,n)内，另一根在(p,q)内两根有且仅有一根在(m,n)内，m<n<p<q（图象有两种情况，只画了一种）大致图象结论Δ>0，f(m)>0，f(n)>0 m<n<x1<x2<p<qΔ>0，f(m)>0，f(n)0 x1<m<n<x2<p<qΔ>0，f(m)0，f(p)>0，f(q)<0 m<n<x1<p<q<x2 或x1<m<n<q<p<x2函数与方程思想：1) 方程f(x)=0有根⇔y=f(x)与x轴有交点x⇔函数y=f(x)有零点x2) 若y=f(x)与y=g(x)有交点(x,y)⇔f(x)=g(x)有解x根的分布练题例1、已知二次方程(2m+1)x^2-2mx+(m-1)=0有一正根和一负根，求实数m的取值范围。