第六章平面问题的直角坐标解知识点
平面应变问题
应力表示的变形协调方程应力函数
应力函数与双调和方程平面问题应力解法
逆解法
简支梁问题
矩形梁的级数解法平面应力问题
平面应力问题的近似性应力分量与应力函数
应力函数与面力边界条件应力函数性质
悬臂梁问题
楔形体问题
一、内容介绍
对于实际工程结构的某些特殊形式，经过适当的简化和力学模型的抽象处理，就可以归结为弹性力学的平面问题，例如水坝，受拉薄板等。这些问题的特点是某些基本未知量被限制在平面内发生的，使得数学上成为二维问题，从而简化了这些问题的求解困难。
本章的任务就是讨论弹性力学平面问题：平面应力和平面应变问题。弹性力学平面问题主要使用应力函数解法，因此本章的工作从推导平面问题的基本方程入手，引入应力函数并且通过例题求解，熟悉和掌握求解平面问题的基本方法和步骤。
本章学习的困难是应力函数的确定。虽然课程讨论了应力函数的相关性质，但是应力函数的确定仍然没有普遍的意义。这就是说，应力函数的确定过程往往是根据问题的边界条件和受力等特定条件得到的。
二、重点
1、平面应变问题；
2、平面应力问题；
3、应力函数表达的平面
问题基本方程；4、应力函数的性质；5、典型平面问题的求解。
§6.1 平面应变问题
学习思路:
对于弹性力学问题，如果能够通过简化力学模型，使三维问题转化为二维问题，则可以大幅度降低求解难度。
平面应变问题是指具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束的弹性体。这种弹性体的位移将发生在横截面内，可以简化为二维问题。
根据平面应变问题定义，可以确定问题的基本未知量和基本方程。
对于应力解法，基本方程简化为平衡微分方程和变形协调方程。
学习要点：
1、平面应变问题；
2、基本物理量；
3、基本方程；
4、应力表
示的变形协调方程
1、平面应变问题
部分工程构件，例如压力管道、水坝等，其结构及其承载形式力学模型可以简化为平面应变问题，典型实例就是水坝，如图所示
这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。
这类工程问题，我们可以认为柱体是无限长的。如果从中任取一个横截面，则柱形物体的形状和所受载荷将对此横截面是对称的。因此物体变形时，横截面上的各点只能在其自身平面内移动。
设纵向轴为z轴，则沿z方向的位移恒等于零，位移只能发生在Oxy面内。而且任一个横截面都是对称面，因此只要具有相同的x、y坐标，则有相同的位移。所以物体的位移为
2、基本物理量
根据几何方程
平面应变问题的应变分量εx，εy，γxy 均为坐标x,y的函数，而其余应变分量εz = γxz= γyz = 0。
由于这类问题的位移和应变都是发生在Oxy平面内的，所以称为平面应变问题。
根据物理方程
可得
所以
回代可得平面应变问题的物理方程
其中
因此，平面应变问题只有应力σx，σy，σz = (σx+σy)和τxy不等于零，而且这些应力均为x，y的函数，与坐标z无关。
3、基本方程
据上述的分析，可以将弹性力学的基本方程在平面应变问题中大为简化。平衡微分方程
将简化为两个
几何方程
简化为三个
变形协调方程
由六个简化为一个
面力边界条件
也简化为两个
4、应力表示的变形协调方程
应用上述平衡、物理、几何方程和变形协调方程，再配以一定的边界条件，例如面力边界条件，则可求解平面应变问题。
弹性力学平面问题一般采用应力解法，基本方程为平衡微分方程和变形协调方程。变形协调方程是应变分量表达的，对于应力解法，需要用基本未知量应力分量来描述变形协调方程。
将物理方程代入变形协调方程，可得
在体力为常数的条件下，可以利用平衡微分方程简化上式，既对平衡微分方程的两个公式分别对x，y求偏导数后相加，可得
回代到变形协调方程，并作整理可得
以上方程是平面应变问题中的由应力表示的变形协调方程，它表达了物体内的变形协调关系，称为莱维（Lévy，M.）方程。
§6.2 平面应力问题
学习思路:
平面应力问题讨论的弹性体为薄板，厚度为h远远小于结构另外两个方向的尺度。薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面Oxy面内，并沿厚度方向Oz不变。而且薄板的两个表面不受外力作用。因此应力沿厚度方向不变。
平面应力问题与平面应变问题在应力解法条件下，有类似的基本方程。
学习要点：
1、平面应力问题；
2、基本物理量与本构方程；
3、基本方程与边界条件
1、平面应力问题
平面应力问题和平面应变问题的力学模型是完全不同的。
平面应力问题讨论的弹性体为薄板，如图所示
薄壁厚度为h远远小于结构另外两个方向的尺度。薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面Oxy面内，并沿厚度方向Oz不变。而且薄板的两个表面不受外力作用。
根据薄板的表面面力边界条件，即表面不受外力作用，则
由于板很薄，外力沿厚度均匀分布，因此应力分量也沿厚度均匀分布，所以应力分量不随z改变。根据边界条件可得
而其余应力分量为坐标x, y的函数，即
由于应力分量均发生在薄板的中面，所以称为平面应力问题。
2、基本物理量与本构方程
根据物理方程的第三式
可得
与平面应变问题相比较，这里 z≠0，这表明薄板变形时，两底面将发生畸变。
